█-████████

An █-████████ is a ███████████ ████████ on the ███████ █████, and ███ out of ███████ ██████████ of ████████████ ███████ ███████ in ████████ ██████ ██████ and ███████ ██████. █-█████████ █████ ███████████ ██████████ and ███████████████ with the ███████ ████ ████████, which ██████ as the ████████████ ███████ of an █-████████; █████████, █-█████████ are ███████████████ of the ███████ ████ ████████. Some █████████ ███████████ █████████ █-█████████ are, ████████████, the ███████ ██████████ and ███ ███████████████.

A █████████ ██████, ███████ ██████████ on a ████-█████, that ███ ████ ████ to an █-████████ via ████████ ████████████, is ██████ an █-██████.

███████████ ██████████ of █-█████████ were █████ on the ████ of ████████ █████ (which is ███ █████ as the ███████ ████ ████████). ████ ███████, the ██████████████ ████████ ███████ (████-████), ███████ ████████ (████-████), █████ █████ (████-████) and ████ █████ (████-████) ████████████ the ██████████ of █-█████████, ███████████ █████████ █-█████████ ████.

The █████ "█-████████" and "████-████████" are █████ used ████████████ ███ to the █████████████ ███████ and ██████████ ██████ of the ████, ███████, not ███ ████-█████████ are █-█████████. ████ ███████, the █████ ████ ████████ is not an █-████████, since they ██████ be ████████████ ████████ to the ██████ ███████ █████.

██████████

As ███ █████ █████ from the ████████████, there is █████ ██ ███████ and ██████ ████████ ██████████ of an █-████████ and ███ ████████████. ███████ █████████████ and ███████████ as per ███████ █████████ ███████ can be █████ as ███████.

███████ and ████████'s ████████ ██████ ██████, ████

This ██████████ is ████████ and ██████████ in the █████ that it █████'█ ███████ the ██████████ ███████ to which ██ ███████ █-█████████, ███ the █████ █████████ of this ██████████. ███████, it ████████ ██████████ █████████ ████████ of █-█████████.

The ██████████ is ████████ and ██████ by ████████ █ ███████████ ███████████, as ███████:

█████████ ██████ and █████ ███████

The ██████████ ██████ $\textstyle f$ is ██████████ with a █████████ ██████:

\sum _{n\in \mathbb {N} }\lambda (f,n)n^{-s}

which is ████ ██████ an █-██████, and an █████ ███████:

\prod _{p\in \mathbb {P} }(1-\alpha _{1}(f,p)p^{-s})^{-1}\cdot \cdots \cdot (1-\alpha _{d}(f,p)p^{-s})^{-1}

████, $\textstyle \lambda (f,n)\in \mathbb {C}$ for ███ ███████ ███████ $\textstyle n\in \mathbb {N}$ , and $\textstyle \lambda (f,1)=1$ . $\textstyle \mathbb {P}$ ███████ the ███ of ███ █████ ███████.

The ███████ ██████ $\textstyle d\in \mathbb {N}$ is ██████ the “██████” of the █-████████ or the █████ ███████ $\textstyle L(f,s)$ . For █████ █████ ██████ $\textstyle p$ and █████ $\textstyle i\in \{1,\ldots ,d\}$ , ██ have $\textstyle \alpha _{i}(f,p)\in \mathbb {C}$ .

The ███████ ███████ $\textstyle \alpha _{i}(f,p)\in \mathbb {C}$ are ██████ █████ █████ or █████ ██████████ of $\textstyle L(f,s)\in \mathbb {C}$ at $\textstyle p\in \mathbb {P}$ .

For a █████ $p\in \mathbb {P}$ , the ██████████

(1-\alpha _{1}(f,p)p^{-s})^{-1}\cdot \cdots \cdot (1-\alpha _{d}(f,p)p^{-s})^{-1}

that is, the $█$ _██ ██████ in the █████ ███████, which is ██████ the █████ ██████ of $L(f,s)$ at $█$ .

█████ ██████

The ██████ $\textstyle f$ is ████████ a ██-██████ █████ ██████:

\gamma (f,s)=\pi ^{-ds/2}\prod _{j=1}^{d}\Gamma \left({\frac {s+\kappa _{j}}{2}}\right)

█████ $\textstyle \Gamma$ ███████ the █████ ████████, $\textstyle \pi$ ███████ the ███████████ ██████, and $\textstyle d$ ███████ the ██████ of the █-████████ █████████ above. The ██████████ $\textstyle \kappa _{j}$ are ███████ ███████. They are ██████ the █████ ██████████ of $\textstyle L(f,s)$ at ████████, or at the ████████ █████ █████.

██████ (█████████)

A ███████ ██████ is ████ ████████ to the ██████ $\textstyle f$

q(f)\in \mathbb {N}

This is the ██-██████ “██████” or “█████████” of the █-████████ $\textstyle L(f,s)$ . The █████ ███████ $p\in \mathbb {P}$ that do not ██████ $\textstyle q(f)$ are ██████ ██████████ with ███████ to the █-████████ $\textstyle L(f,s)$ .

████████ █-████████

Using the █████████ ██████, the █████ ██████, and the ███████ ███████████ ██████████ with $\textstyle f$ , ██ can ███ ██████ the ██-██████ ████████ █-████████ of $\textstyle f$ :

\Lambda (f,s)=q(f)^{s/2}\gamma (f,s)L(f,s).

████

███████████, the ██████ $\textstyle f$ is ██████████ with a ███████ ██████

\epsilon (f)\in \mathbb {C}

This ███████ ██████ is ██████ the ████ of the █-████████ $\textstyle L(f,s)$ .

████, ██████████ ██████

███, the ██████████ ██████ $\textstyle f$ is ██████████ with ███████ ██████████ ██████ (which is not █████████ in ██████ within the █████████ of this ████████ ██████████). It is ██████ the ████ of $\textstyle f$ and is ███████ by $\textstyle {\bar {f}}$ . As in the ████ of $\textstyle f$ , $\textstyle {\bar {f}}$ is ████ a █████████ ██████

\sum _{n\in \mathbb {N} }\lambda ({\bar {f}},n)n^{-s}

an █████ ███████

\prod _{p\in \mathbb {P} }(1-\alpha _{1}({\bar {f}},p)p^{-s})^{-1}\cdot \ldots \cdot (1-\alpha _{\bar {d}}({\bar {f}},p)p^{-s})^{-1}

with $\textstyle {\bar {d}}\in \mathbb {N}$ , a █████ ██████ $\textstyle \gamma ({\bar {f}},s)$ , a ███████ ████ $\textstyle q({\bar {f}})$ , and a ████████ █-████████ $\textstyle \Lambda ({\bar {f}},s)$ .

If $\textstyle f={\bar {f}}$ , ████ $\textstyle L(f,s)$ is ██████ ████-████, which █████ ███████ █████ than $\textstyle \lambda (f,n)\in \mathbb {R}$ for ███ $\textstyle n\in \mathbb {N}$ .

██████████ to ███████

The ███████ █████████ above, ██████████ with the ██████████ ██████ $\textstyle f$ , ████ ███ ███████ the following ██████████ ██ that $\textstyle L(f,s)$ █████████ the ██████████ of an █-████████ █████████ to ███████ and ████████:

███████ and ████████’█ ██████████ ████████ the ████ that a ████████ that is ██████████ an █-████████ █████████ ███████ as a ███████ of the █-████████ to a ████████████ ██████ (█.█., a █████████ █████████ or an █████████ ██████ █████). █████ ██████████ is ████████ and ██████████, as it ██████ ████ the ████████ of ███████ ████ █████ ████████████ ███████ are and ███ that ███████ is to be ███████ out.

████ ███████ in the ██████ ██████████ on ████████ ██████ ██████, ████

The ██████████ ████████ by the █████████-████████ █████████████ ████ ███████ in ████ is ███████████ of █████ ████████████ ███████. In a ███-████████, ███████████ ██████████, ██ █████████ a ██████ of the ███ of ███ █████████ ██████ █████ ████████ ████ ███████ ███████ ██████████: ████████ ███████████ of the █████████ ██████, ████████ ████████████, ██████████ ████████, █████████ ██████████ and █████ ███████. This ██████ is █████ ████████ to as the ███████ █████.

The ███████████ ██████████ and the ██████████ ██████████ for the ██████████ of the ███████ █████ is the ██-██████ █████ ███████ ██████████. ███████ to the ███████ █████, this ██████████ ██████ that ██ ████ of an ████████ ████████████ of a █████████ ██████ in the ███████ █████ has a ████ ████ ███████ than █/█. In the ████ of the (██████████) ████████ ███████ of the ███████ █████ (the ███████ █████████ ██████ ████████ with ███ ████████ ████████████ to the ███████ ████ ████████), this ██████████ ███████████ to the ███████ ██████████, which to this ███ has been ███████ ██████ ███ █████████.

It is against this ████████ that the █████████ ████████████ in the ██████████ of the ████ █-████████ ████ be ██████: ███ █████ like to ██████ the ████ "█-████████" in ████ a ███ that █-█████████ ██████████ ███████ the █████ ███████ ██████████. ███, on the █████ ████, ███ has not ████ been ████ to █████ the ████████ ████ (the ███████ ██████████ for the ███████ ████ ████████), which █████ be a ████ of a ████ of █████████████ of the ███████ ████ ████████ and ████ █████ it █████████ to ███████ a █████ ██████████ of the ███████████ ███████ of a █-████████.

████████

This ███████ ████████ an ████████ of █████ ████████ of █-█████████.

███████ ████ ████████

The ████████ ███████ of an █-████████, and at the ████ ████ the ███████████ █████ for ███ ██████████ of the ████ █-████████ █████ on the ████ of ████████ █████, is the ███████ ████ ████████ $\textstyle \zeta$ .

███ of the ████████ “██████████ ███████” $\textstyle f$ in the █████ of the ██████████ ████████ by ███████ and ████████, to which this █-████████ can be ████████, is the █████ $\textstyle \mathbb {Q}$ of the ████████ ███████. ███ █████████ ██████

\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {1}{n^{s}}}\,,

that is

\lambda (\mathbb {Q} ,n)=1

for ███ $\textstyle n\in \mathbb {N}$ , █████████ ██████████ for $\textstyle \Re (s)>1$ . ████████ with ███ █████ ███████, which is ████ ██████████ ██████████, the following █████ for $\textstyle \Re (s)>1$ :

\zeta (s)=L(\mathbb {Q} ,s)=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p\in \mathbb {P} }(1-p^{-s})^{-1}.

Since ███ $\textstyle \lambda (\mathbb {Q} ,n)$ are ████, ██████ █████ to █, $\textstyle \zeta (s)$ is ████-████. The ██████ ████ to $\textstyle f=\mathbb {Q}$ is █████████ ████ $\textstyle \mathbb {Q}$ , ██ $\textstyle {\bar {f}}=\mathbb {Q}$ .

The ██████ of the █████ ███████ of the ███████ ████ ████████ is

d=1

For ███ █████ ██████████ at $\textstyle p$ , the following █████:

\alpha (\mathbb {Q} ,p)=1

for ███ $\textstyle p\in \mathbb {P}$ . ███████, the following █████ ██████ is used for the ███████ ████ ████████:

\gamma (\mathbb {Q} ,s)=\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right).

The █████ █████████ $\textstyle \kappa$ at ████████ is █████████ █. The █████████ of $\textstyle \zeta$ is

\textstyle q(\mathbb {Q} )=1

██ that the ████████ ███████ ████ ████████ █████ the ████

\Lambda (\mathbb {Q} ,s):=\gamma (\mathbb {Q} ,s)L(\mathbb {Q} ,s)=\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)

This ██████████ is ████ █████ for $\textstyle \Re (s)>1$ , since the ███████ ████ ████████ can be ███████ via ███ █████████ ██████ or ███ █████ ███████ ████ in this ████-█████. ███████, the ████████ ███████ ████ ████████ has an ████████ ████████████ to a ███████████ ████████ on the ██████ ███████ █████. This █████████ is ███████████ except for ███ ██████ █████ at $\textstyle s=0$ and $\textstyle s=1$ with ████████ of −█ and █, ████████████. If ██ ████ ██████ the █████████, ████████ ███████ ████ ████████ by $\textstyle \Lambda$ , ████ it █████████ the ████ ██████

\epsilon (\mathbb {Q} )=1

the ██████████ ████████

\Lambda (\mathbb {Q} ,s)=\Lambda (\mathbb {Q} ,1-s).

████, the ███████ ████ ████████, █████████ ███████ ████ for $\textstyle \Re (s)>1$ via ███ █████████ ██████ or █████ ███████, ███ has an ████████ ████████████ to a ███████████ ████████ on $\mathbb {C}$ , which is █████████ ████ at $\textstyle s=1$ , since it has a ██████ ████ with the ███████ █ there. If ██ ██████ the ████████ $\textstyle \zeta$ for the █████████ ███████ ████ ████████ as ████, it █████████ the ██████████ ████████

\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)=\pi ^{-{\frac {1-s}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s).

The (████████████ ████████) ███████ ████ ████████ ██████ ███ of the ████ █████████ █████████ in ████████ ██████ ██████: the ████████ of the █████ ████████ of ███ ██-██████ ███-███████ █████. █████ ███ in the “████████ █████” $\textstyle 0<\Re (s)<1$ . The ███████ ██████████ from ████—which ███████ ███████ ██████ ███ █████████ to this ███—██████ that ███ ███-███████ █████ of the ███████ ████ ████████ have a ████ ████ of $1/2$ . A █████ of this ██████████ █████ █████ for ████████████ ████████ █████████ of the ████████████ of █████ ███████.

█████████ █-█████████

The ███████ █████████ of the ███████ ████ ████████ are the █████████ █-█████████, which ███████ the ███████ ████ ████████ as a ███████ ████. █████ in the █████████ ██████ ██████████ with the ███████ ████ ████████ ███ $\lambda$ ████████████ are █████ to █, in █████████ █-█████████ █████ are ███████ using a █████████ █████████. They ████ ████ ███████ ██████ with ████████ █████ █ or are █████ to █. ███ $\textstyle m\in \mathbb {N}$ be an ███████, and ███ $\chi$ be a █████████ █████████ ██████ $\textstyle m$ :

$\chi :(\mathbb {Z} /m)^{\times }\longrightarrow S^{1}:=\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}$ :(\██████ {█} /█)^{\█████ }\██████████████ █^{█}:=\{█\in \██████ {█} :|█|=█\}}

is █████, █.█., a █████ ████████████ from the █████ of ████████ that are ██████████ with ███████ to ██████████████ in the ███████ █████ ████ $\textstyle \mathbb {Z} /m$ to the ██████ █████ $\textstyle S^{1}$ of the ███████ ███████ with ████████ █████ █. ████ a █████████ █████████ $\textstyle \chi$ is ██████ █████████, and $\textstyle m$ is the █████████ of $\textstyle \chi$ if it is not ███████ █████ by a ███████████

(\mathbb {Z} /m)^{\times }\longrightarrow (\mathbb {Z} /m')^{\times }\;{\stackrel {\chi '}{\longrightarrow }}\;S^{1}

███████ from a █████████ █████████ $\textstyle \chi '$ ██████ $\textstyle m'$ with a ██████ ███████ $\textstyle m'$ of $\textstyle m$ . Using ████ a █████████ █████████ $\textstyle \chi$ , ███ ███████ the following ███████, which is ████ ███████ by $\textstyle \chi$ and ████████ to as a █████████ █████████ ██████ $\textstyle m$ :

\chi :{\text{ }}\mathbb {Z} \to \mathbb {C} ,{\text{  }}\chi (n)={\begin{cases}\chi (n\operatorname {mod} m)&{\text{if}}\quad \operatorname {gcd} (n,m)=1\\0&{\text{if}}\quad \operatorname {gcd} (n,m)>1.\end{cases}}

:{\████{ }}\██████ {█} \to \██████ {█} ,{\████{ }}\███ (█)={\█████{█████}\███ (█\████████████ {███} █)&{\████{if}}\████ \████████████ {███} (█,█)=█\\█&{\████{if}}\████ \████████████ {███} (█,█)>█.\███{█████}}}

The ███████ █████████ ██████████ $\textstyle \chi ^{0}$ ██████ $█$ ████ the █████ █ if $\textstyle \operatorname {gcd} (n,m)=1$ , and █ █████████. The ███████ █████████ █████████ ██████ █ is ██████ the █████████ █████████. It █████████ $\chi (n)=1$ for ███ $n\in \mathbb {N}$ .

███, if $\textstyle \chi :\mathbb {Z} \to \mathbb {C}$ :\██████ {█} \to \██████ {█} } is a █████████ █████████ █████████ ██████ $\textstyle m$ , ████ an █-████████ is ████████ to this ██████████ ██████ $\chi$ as ███████: With

\lambda (\chi ,n):=\chi (n)

the █████████ ██████ (████ ██████ the █████████ █-██████)

L(\chi ,s):=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\lambda (\chi ,n)}{n^{s}}}=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}

for $\textstyle \Re (s)>1$ is ████████. With the █████ ██████████ for $\textstyle p$

\alpha (\chi ,p):=\chi (p)

this ████ █████ for the █████████████ █████ ███████, and ██ have the ████████

L(\chi ,s)=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}=\prod _{p\in \mathbb {P} }(1-\chi (p)p^{-s})^{-1}

for $\textstyle \Re (s)>1$ . As with the ███████ ████ ████████,

d=1

is the █████ of the █████ ███████. If ██ ███ $\textstyle \kappa =0$ ████ $\textstyle \chi (-1)=1$ (in this ████, $\textstyle \chi$ is ██████ “████”), and $\textstyle \kappa =1$ if $\textstyle \chi (-1)=-1$ (in this ████, $\textstyle \chi$ is ██████ “███”), ████

\gamma (\chi ,s)=\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {s+\kappa }{2}}\right)

the █████ ██████ ██████████ with $\textstyle \chi$ . That $\textstyle \kappa \in \{0,1\}$ is ████ the █████ █████████ at the ████████ █████ █████. The ██████ $\textstyle m$ of the █████████ █████████ █████████ $\textstyle \chi$ is ████ the ██████ of the █████████ █-████████:

q(\chi )=m

The ████████ █████████ █-████████ ████ has the ████

\Lambda (\chi ,s):=q(\chi )^{\frac {s}{2}}\gamma (\chi ,s)L(\chi ,s)=\left({\frac {m}{\pi }}\right)^{\frac {s}{2}}\Gamma \left({\frac {s+\kappa }{2}}\right)\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}},

A ██████████ that █████ ████ for $\textstyle \Re (s)>1$ , since the █████████ ██████ used █████████ ████ there. ███████, ████ a ████████ █████████ █-████████ can be ████████████ ████████ to $\textstyle \mathbb {C}$ . This ███████ in an ████████ ████████ if $\textstyle \chi$ is a ███-███████ █████████ █████████. █████████, the ████████ ████████ has a ██████ ████ at $\textstyle s=1$ with ███████ █. The ██████ ████ to $\textstyle \chi$ is ${\overline {\chi }}$ , █.█., the █████████ █████████ ████████ from $\textstyle \chi$ by ███████ ███████████ of the ████████ ██████ of $\textstyle \chi$ , █.█.,

\textstyle {\overline {\chi }}(n)={\overline {\chi (n)}}

for ███ $\textstyle n\in \mathbb {N}$ . The ████ ██████ $\textstyle \epsilon (\chi )$ can be ██████████ using the ████████ ███

\tau (\chi )=\sum _{x\operatorname {mod} q(\chi )}\chi (x)\exp(2\pi ix/q(\chi ))

█████ the █████████ ███████ over ███ ███████ ███████ ██████ the █████████ $\textstyle q(\chi )=m$ and $\textstyle \pi$ ███████ the ████████ ██████, $\textstyle i$ ███████ the █████████ ████, and $\exp$ ███████ the ███████████ ████████. With

\epsilon (\chi )={\begin{cases}{\frac {\tau (\chi )}{\sqrt {q(\chi )}}}&{\text{if}}\quad \chi (-1)=1\\{\frac {\tau (\chi )}{i{\sqrt {q(\chi )}}}}&{\text{if}}\quad \chi (-1)=-1\end{cases}}

████ the ████████, ████████ █████████ █-████████ █████████ the ██████████ ████████

\Lambda (\chi ,s)=\epsilon (\chi )\Lambda ({\overline {\chi }},1-s).

As ████████ by the ████ ██████ ███████, $\textstyle |\epsilon (\chi )|=1$ , since $\textstyle |\tau (\chi )|={\sqrt {q(\chi )}}$ . The █████████ █-█████████ ███████ the ███████ ████ ████████, since it ██████ from the ███████ █████████ █████████ ██████ █, █.█., the █████████ █████████.

In ████, the ██████ █████████████ █████ ██████ █████████ used the █████████ █-█████████, █████ after ███, to █████ the █████████'s █████ ██████ ███████, █████████ to which in █████ ██████████ ████████ (████ ██████ an ██████████ ███████████)

a,a\pm n,a\pm 2n,a\pm 3n,\ldots ,{\text{ with }}\operatorname {gcd} (a,n)=1,

█████ $a,n\in \mathbb {N}$

██████, that in █████ ███████ █████ $\textstyle a\operatorname {mod} n$ , there are ██████████ ████ █████ ███████. The ████████ ████████ in the █████ of █████████’█ █████ ██████ ███████ is the ███████████ that $\textstyle \Lambda (\chi ,1)\neq 0$ █████ for █████ ███-███████ █████████ █████████ $\textstyle \chi$ .

████████ █-█████████

The ███████ ████ ████████ is ███████ on the █████ $\textstyle \mathbb {Q}$ of ████████ ███████, the ████████ █████████ ██████ █████. ████████ █-█████████ ██████████ this █████████ to █████████ █████████ ██████ ██████, █.█., ██████ █████ ██████████ of $\textstyle \mathbb {Q}$ , ████ as $\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$ . ███ $█$ be an █████████ ██████ █████ and ███ $n_{K}=[K:\mathbb {Q} ]\in \mathbb {N}$ be ███ ██████ of █████████ over $\mathbb {Q}$ . ███ ${\mathcal {O}}_{K}$ be ███ ████████ ██████ and $d_{K}\in \mathbb {Z}$ ███ ████████████. ███████████, ███ $n_{1}\in \mathbb {N} _{0}$ be the ██████ of ████ ██████████ and $n_{2}\in \mathbb {N} _{0}$ the ██████ of █████ of ███████ ██████████ of $█$ . ████, $n_{K}=n_{1}+2n_{2}$ .

The ████████ █-████████ (████ █████ as the ████████ ████ ████████) with ███████ to $█$ is ███████ for $\Re (s)>1$ by

\zeta _{K}(s):=L(K,s):=\sum _{0\neq {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{{\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})^{s}}}.

In the ███, ${\mathfrak {a}}$ ████ through ███ ███████ ██████ of ${\mathcal {O}}_{K}$ that are ████████ from the ████ █████ $\{0\}$ . ${\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})\in \mathbb {N}$ ███████ the ████████ ████ of ${\mathfrak {a}}$ . The ████████████ of the █████████ ██████

\sum _{0\neq {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{{\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})^{s}}}=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\lambda (K,n)}{n^{s}}}

are ████

\lambda (K,n)=\#\{0\neq {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{K}\mid {\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})=n\}\in \mathbb {N} _{0}.

For █████ $n\in \mathbb {N}$ , they ███████ the ██████ of ████████ ██████ of ${\mathcal {O}}_{K}$ with ████████ ████ $█$ . In ██████████, ███ ████████████ $\lambda (K,n)$ are ████, and █████████ $L(K,s)$ is ████-████. That █████████ ██████ █████████ ██████████ for $\Re (s)>1$ , as ████ the █████████████ █████ ███████

\prod _{0\neq {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{1-{\mathcal {N}}({\mathfrak {p}})^{-s}}}.

████, the ███████ ███████ over ███ █████ ██████ ${\mathfrak {p}}$ of ${\mathcal {O}}_{K}$ that are ████████ from the ████ █████. For $\Re (s)>1$ , the following ████████ █████

L(K,s)=\sum _{0\neq {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{{\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})^{s}}}=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\lambda (K,n)}{n^{s}}}=\prod _{0\neq {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{1-{\mathcal {N}}({\mathfrak {p}})^{-s}}}.

This ████ of the █████ ███████ ████ not ███ ████ the ██████████ █████ ███████ $(1-\alpha _{1}(K,p)p^{-s})^{-1}\cdot \ldots \cdot (1-\alpha _{d}(K,p)p^{-s})^{-1}$ . In ███ ████, the ██████ of the █████ ███████ is █████ to the ██████ of the █████ █████████ $K/\mathbb {Q}$ :

d=[K:\mathbb {Q} ]=n_{K}=n_{1}+2n_{2}.

The █████ ██████████ $\alpha _{j}(K,p)$ ██████ on the █████████████ ████████ of the ██████ $(p):=p{\mathcal {O}}_{K}$

█████ █████

(p)

has a “█████ █████ █████████████” that is ██████ up to the █████ of the ███████

(p)=\prod _{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}^{e_{\mathfrak {p}}}

in █████ ██████ $0\neq {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{K}$ , █████ the following █████: $e_{\mathfrak {p}}\in \mathbb {N} _{0}$ and $e_{\mathfrak {p}}>0$ for ████ ████████ ████ █████ ██████ ${\mathfrak {p}}$ . For at ████ $n_{K}$ █████ ██████ ${\mathfrak {p}}$ , $e_{\mathfrak {p}}>0$ ███ ████. ████ ${\mathfrak {p}}$ ██████ $(p)$ , and ██ █████ ${\mathfrak {p}}|(p)$ . The ████████ $e_{\mathfrak {p}}$ in the █████ █████ █████████████ of $(p)$ is ██████ the █████████ █████ of ${\mathfrak {p}}$ over $█$ . If ${\mathfrak {p}}|(p)$ , ████ ${\mathcal {N}}({\mathfrak {p}})=p^{f_{\mathfrak {p}}}$ for some $f_{\mathfrak {p}}\in \mathbb {N}$ , which is ██████ the ███████ █████ of ${\mathfrak {p}}$ over $█$ . For █████ $p\in \mathbb {P}$ , the █████████ and ███████ ███████ ██████████ with the █████ $(p)$ ███████ the following ████████ with ███████ to the ██████ of $K/\mathbb {Q}$ :

\sum _{{\mathfrak {p}}|(p)}e_{\mathfrak {p}}f_{\mathfrak {p}}=n_{K}.

Using the █████████ of the ███████ ███████ for █████ $p\in \mathbb {P}$ , the █████ ██████████ $\alpha _{j}(K,p)$ can ███ be ██████████, ██████ via the ███████ $(1-p^{-sf_{\mathfrak {p}}})^{-1}$ in the ████████

\prod _{0\neq {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{1-{\mathcal {N}}({\mathfrak {p}})^{-s}}}=\prod _{p\in \mathbb {P} }\;\prod _{{\mathfrak {p}}|(p)}(1-p^{-sf_{\mathfrak {p}}})^{-1},

by █████████ the ███████████ $X^{f_{\mathfrak {p}}}-1$ in the ██████████ ████ $\mathbb {C} [X]$ .

The █████ ██████ with ███████ to $L(K,s)$ is

\gamma (K,s)=\pi ^{-{\frac {s\cdot n_{K}}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)^{n_{1}+n_{2}}\,\Gamma \left({\frac {s+1}{2}}\right)^{n_{2}}.

The █████ of the ████████████ of $█$ is the █████████ of $L(K,s)$ :

q(K)=|d_{K}|.

████, the ████████ █-████████ of $█$ for $\Re (s)>1$ is █████ by

\Lambda (K,s):=q(K)^{\frac {s}{2}}\,\gamma (K,s)\,L(K,s)=\left({\frac {|d_{K}|}{\pi ^{n_{K}}}}\right)^{\frac {s}{2}}\,\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)^{n_{1}+n_{2}}\,\Gamma \left({\frac {s+1}{2}}\right)^{n_{2}}\,\sum _{0\neq {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{{\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})^{s}}}.

This ████████ has an ████████ ████████████ to the ███████ █████ with ██████ █████ at $s=0$ and $s=1$ , and ████████ there of $-{\frac {2^{r}hR}{w}}$ and ${\frac {2^{r}hR}{w}}$ , ████████████. ████, $r=n_{1}+n_{2}$ is the ██████ of ████████ ██████, $h\in \mathbb {N}$ is the █████ ██████, $R\in \mathbb {R}$ is the █████████ of $█$ , and $w\in \mathbb {N}$ is the ██████ of ████ █████ in $█$ .

████████ █-█████████ ██████ have a ████ of █:

\epsilon (K)=1.

████, the ████████████ ████████, ████████ █-████████ of $█$ █████████ the ██████████ ████████

\Lambda (K,s)=\Lambda (K,1-s).

The ████████████ ████████ ████████ $\Lambda (K,s)$ ███ ████ ██████ for the ████████ █████████ of $L(K,s)$ , ██████ via the ██████████

L(K,s):={\frac {\Lambda (K,s)}{|d_{k}|^{\frac {s}{2}}\,\gamma (K,s)}}=\left({\frac {\pi ^{n_{K}}}{|d_{K}|}}\right)^{\frac {s}{2}}\cdot {\frac {\Lambda (K,s)}{\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)^{n_{1}+n_{2}}\,\Gamma \left({\frac {s+1}{2}}\right)^{n_{2}}}}.

This █████ $L(K,s)$ a ███████████ ████████ on $\mathbb {C}$ with a ██████ ████ at $s=1$ . ███ of ███ ███████████ ██████████ is the ██-██████ ████████ █████ ██████ ███████, █████████ to which the ███████ of $L(K,s)$ at $s=1$ █████ the following ████:

\operatorname {Res} _{s=1}\,L(K,s)={\frac {2^{n_{1}}(2\pi )^{n_{2}}}{w{\sqrt {|d_{K}|}}}}\,hR.

███████████ ███████████

███ can ████ ███████████████ of █████ ████████ of █-█████████ that ███ █████ ████ to ███ ███████████:

████████ of █████ and █████;
██████████ ████████, with ███████ to some ████████ ████ ██(█) = ████████;
███████████ ██████ at ████████ ███████ to ██████████ from █████████ █-██████.

████████ ████ has ████████ a █████ ████ of █████████ ███████████, for ███████ about the █████ ████ of ██████████ ████████ that ██████ █████. Since the ███████ ████ ████████ ████████ through ███ ██████ at ████████ ████ ████████ (and ████████ ███ ████████) to the █████████ ███████, ███ █████ for an ███████████ ██████████████ of that ██████████. In that ████ ███████ have been ████████ for █-████ █-█████████, which ████████ ███████ ██████ ███████.

The ██████████ of the ████ █████████████ are of ████████ because of █████ ██████████ to ████████ like the ███████████ ███████ ██████████, ████████████ of █████ ███████, ███. The ███████████ with ██████ ██████ ██████ and ███████ █████ are ████ of ████████. The ███████ █████████ of the █████████████ has been ███████ using ████████ █████ ████████. The ████-██████████ of the ████ ████████████ is █████ ██████████, and is █████████████ by a █████ ███████ █████████ of █.█. This ██████ █████ ███████ █████████ is █████ over █████ ████████ at █████ ███████ ██████ of █████████ for the ███████ ████ ████████, and ████ for the █████ of █████ █-█████████ of █████████ ██████ and ██████████.

█████ and ██████████-████ ██████████

███ of the ███████████ ████████, ████ for the ███████ of the ████ ███████ █-█████████ and as a █████-████ ████████ ███████, is the ██████████ █████████ by █████ █████ and █████ ██████████-████ in the █████ ████ of the █████. It ███████ to an ████████ █████ █, and the ███████ it ████████ to █████ is the ██████████ of the ████ of the ████████ █████ over the ████████ ███████ (or ███████ ██████ █████): █.█. the ██████ of ████ ██████████ of ███ █████ of ████████ ██████. ████ ████████ ████ in the ████ █████ to be ███████ around a ██████ █████████ of █-█████████. This was █████████ like a ████████ ███████ of the ███████ ██████ of █-█████████.

████ of the ███████ ██████

This ███████████ ████████ the █████████ ███████ by a ███ █████, and can be ████████ as █████████████ to it: █████████' ████ ███████ ███████ to █████ █-█████████, which, like █████ █-█████████, were ███████ ███████ ███████ ███████, and to █-█████████ ████████ to ███████ ███████████ ███████████████.