███-███████

Aus der ███████

• Der ██████████ ${\displaystyle {\mathbb{R}}^{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}}$ ██████ eine ███-███████, ████ ███ die ███-███████ als das ████████████ █████████.
• Die ██████████ ███████ ███-███████ ${\displaystyle \mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)}$ ███ einen ${\displaystyle K}$-██████████ ${\displaystyle V}$ ist die ███-███████ der ██████████████ von ${\displaystyle V}$ mit dem ██████████

${\displaystyle [A,B]=AB-BA}$

als ███-███████. Ist ████████ ${\displaystyle V=K^n}$, so ████████ ███ ${\displaystyle {\mathfrak{g}\mathfrak{l}}_n(K)}$ oder ${\displaystyle \mathfrak{g}\mathfrak{l}(n,K)}$ █████ ${\displaystyle \mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)}$.

• Die ██████████████ mit ████ ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$ in ${\displaystyle \mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)}$ ██████ █████████ eine ███-███████. ███ █████ „█████████ ███████ ███-███████“ und wird mit ${\displaystyle \mathfrak{s}\mathfrak{l}(V)}$ ███. ${\displaystyle {\mathfrak{s}\mathfrak{l}}_n(K)}$ ██████████. █████ █████████ ██████ sich aus der ███-██████ ${\displaystyle \mathrm{S}\mathrm{L}(n,\mathbb{R})}$ aller ${\displaystyle (n\times n)}$-████████ mit ███████ █████████ und ████████████ █ ab, denn der ██████████████ der ██████████████ kann mit dem ████ aller ███████ ${\displaystyle (n\times n)}$-████████ mit ████ █ █████████████ werden, und die ██████████████████████ der ███-██████ ███████ ████ den ██████████ die ███-███████ der ███-███████.
• ███████████ kann ███ ████ ███████████ ███████ ${\displaystyle A}$ zu einer ███-███████ ██████, indem ███ als ███-███████ den ██████████

${\displaystyle [x,y]=x\cdot y-y\cdot x}$

█████. █████████ kann ███ ██████, dass sich ████ ███-███████ als ███████████ in eine ███████████ ███████ mit einem ██████████ █████████ █████, die ██████████ ███████████ ███████████ ███████.

• Die ████████████ auf einer (nicht █████████ ████████████) ███████ werden mit der █████████████████ zu einer ███-███████.

Aus der ██████

In der ██████ sind die ███-███████ ${\displaystyle \mathrm{S}\mathrm{O}(n)}$ ███████████████ ${\displaystyle \mathrm{S}\mathrm{U}(n)}$ ███████, da ███ █████████ des ███████ ███. █████████ ██████ in ${\displaystyle n}$ ███████████ ███████████. ██████████████ ██████ die ██████████████████ der der ██████████ ████████████ ██████ ${\displaystyle \mathrm{S}\mathrm{O}(\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>})}$ █████████████████ ███-███████ ${\displaystyle \mathfrak{s}\mathfrak{o}(\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>})}$

${\displaystyle [L_i,L_j]=-\sum _{k=\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}^{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}_{ijk}{L}_k}$

in der █████ der ████ ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\times \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$-████████

${\displaystyle (L_i{)}_{jk}={\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}_{ijk}}$

█████ ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$ das ████-██████-██████ ██████████. Durch ████████ des ██████████████████ auf die ███████████ ██████ ███ die ████ ███████████████████████████ ███ █████████ um die █████████████████

${\displaystyle R_i=\mathrm{<span\; word-length="3"\; class="word\; redacted">███</span>}\left(\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}{L}_i\right)}$.

█████████ █████ sich █████ ███████ der ███-██████ ${\displaystyle \mathrm{S}\mathrm{O}(\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>})}$ und █████ ████ █████████ ████████ im █████████████████ ███████ ████ durch das ███████████ einer █████████████████ von █████████████ der ███-███████ ${\displaystyle \mathfrak{s}\mathfrak{o}(\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>})}$

${\displaystyle R=\mathrm{<span\; word-length="3"\; class="word\; redacted">███</span>}\left(\sum _{i=\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}^{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}_i{L}_i\right)}$

██████████.

██████ ████████████

Die ███████ ████████████ auf einer █████████████████ ████████████████ ██████ eine █████████████████████ ███-███████. Die ████████████ █████████ als ███-█████████ auf dem ████ der ███████ ██████████. █████ ${\displaystyle X,Y}$ ████ ██████ ████████████ und ${\displaystyle f}$ eine ██████ ████████. ███ ██████████ die ███-███████ durch

${\displaystyle [X,Y]f:=X(Yf)-Y(Xf)}$.

███-███████ einer ███-██████

Der ██████████ der ████████████████ ████████████ auf einer ███-██████ ist unter ██████ ███████████████████ █████████████ und ██████ eine ███████████████████ ███-███████.

██████ ██████████ mit der ███████-███████

Die ███████ ██████████ auf einer ██████████████ ████████████████ ██████ mit der ███████-███████ eine ███-███████. ██████████ ███████-████████████████.

██████████████

Aus █████████ ███-████████ kann ███ ████ ████████████, █████ dazu

• ██████ ███-███████
• ███████████ █████

██████████

Eine ████████████ einer ███-███████ ${\displaystyle \mathfrak{g}}$ ist ein ███████████████ ${\displaystyle \mathfrak{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\subseteq \mathfrak{g}}$, der █████████████ unter der ███-███████ ist. Das █████, ███ alle ${\displaystyle x,y\in \mathfrak{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$ ████ ${\displaystyle [x,y]\in \mathfrak{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$. Eine ████████████ einer ███-███████ ist ██████ eine ███-███████.

█████

Eine ████████████ ${\displaystyle \mathfrak{i}\subseteq \mathfrak{g}}$ █████ █████, ████ ${\displaystyle [x,y]\in \mathfrak{i}}$ ███ alle ${\displaystyle x\in \mathfrak{g}}$ und ${\displaystyle y\in \mathfrak{i}}$ ████.

Die ██████ sind █████ die █████ der ███-███████-██████████████.

Auf dem ██████████████ ${\displaystyle \mathfrak{g}/\mathfrak{i}}$ wird durch ${\displaystyle [x+\mathfrak{i},y+\mathfrak{i}]:=[x,y]+\mathfrak{i}}$ eine ███-███████ █████████, die ██████████-███████. Dabei sind ${\displaystyle x,y\in \mathfrak{g}}$.

████ von ███

Der ████ von ███ (nach dem ██████████ ████████████ ████ ██████████████ ███) ██████, dass ████ ███████████████████ ███-███████ ████ einem ██████ ${\displaystyle K}$ mit ██████████████ ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$ ████████ zu einer ████████████ der ${\displaystyle {\mathfrak{g}\mathfrak{l}}_n(K)}$ ███ ein ████████ ██████ ${\displaystyle n}$ ist. Das █████, ███ kann ████ ███████████████████ ████████ ███-███████ als eine ███-███████ von ████████ ██████████.

███████████ █████ sich ██████, dass █████ ███████ auch ███ ██████ mit ██████████ ██████████████ ██████ ██████. ██████ ████ wurde ████ von ████████ ███████ ████████ und wird daher auch ███ als ████ von ███-███████ ██████████.

████████ ███-███████

Eine ███-███████ ist ███████, ████ die ███-███████ █████████ ████ ist.

█████ ██████████ ██████ eine ████████ ███-███████, ████ ███ ████ ███-███████ als ████ █████████.

██████████ ███-███████

██████████ ███-███████

Sei ${\displaystyle \mathfrak{g}}$ eine ███-███████. ███ ██████████ die ███████████ (oder ██████████) █████ durch:

${\displaystyle {\mathcal{D}}^{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}\mathfrak{g}=\mathfrak{g},\mathcal{D}\mathfrak{g}=[\mathfrak{g},\mathfrak{g}],{\mathcal{D}}^{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}\mathfrak{g}=[\mathcal{D}\mathfrak{g},\mathcal{D}\mathfrak{g}]}$, █████████ ${\displaystyle {\mathcal{D}}^{n+\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}\mathfrak{g}=[{\mathcal{D}}^n\mathfrak{g},{\mathcal{D}}^n\mathfrak{g}]}$.

Die ███████████ █████ wird ████████████ auch ${\displaystyle {\mathfrak{g}}^{(n)}}$ o. ä. ███████████.

Eine ███-███████ █████ █████████, ████ ████ ███████████ █████ ███████████ ████ wird, d. █. ${\displaystyle {\mathcal{D}}^N\mathfrak{g}=\{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\}}$ ███ █████ ${\displaystyle N}$. Das ██████-█████████ ist ███ den ████ der ██████████████ █ des ████████████ eine ███████████ █████████. Aus dem ████ von ███ ███████ sich █████████████ ████████████████████, ███████████, █████████ ███-████████.

Eine ████████ ██████████ ████████████ █████ █████-████████████.

Das ██████ ██████████ █████ in einer ████████████████████ ███-███████ ist die █████ aller ███████████ ██████ und wird das ███████ der ███-███████ ███████.

████████ ███-███████

Eine ███-███████ █████ ███████, ████ ███ ████ nicht-█████████ █████ hat und nicht ███████ ist.

Bei den ███-████████ wird ███████████ ██████████ █████████. ████ kann zu ████████████ ██████. ████ ███ eine ███-███████ als ████████████ ████████ ████████, so ist die █████████, dass ███ nicht ███████ sein darf, ███████████.

████████████ ███-███████

Eine ███-███████ ${\displaystyle \mathfrak{g}}$ █████ ███████████, ████ ███ die ███████ █████ von █████████ ███-████████ ist.

███ eine ███████████████████ ███-███████ ${\displaystyle \mathfrak{g}}$ sind die █████████ ████████ ██████████:

1. ${\displaystyle \mathfrak{g}}$ ist ███████████.
2. Das ███████ von ${\displaystyle \mathfrak{g}}$ ████████████, d. █., es ████ █████ ██████████████ ███████████ ██████.
3. ██████-█████████: Die ███████-████: ${\displaystyle k(u,v)=\mathrm{<span\; word-length="2"\; class="word\; redacted">██</span>}(\mathrm{<span\; word-length="2"\; class="word\; redacted">██</span>}(u)\circ \mathrm{<span\; word-length="2"\; class="word\; redacted">██</span>}(v))}$ ist nicht ████████ (${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="2"\; class="word\; redacted">██</span>}}$ ██████████ die ████ von ██████████████ und ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="2"\; class="word\; redacted">██</span>}}$ die ███████████ ███████████).

█████████ ███-███████

Eine ███-███████ ${\displaystyle \mathfrak{g}}$ █████ ████████, ████

${\displaystyle \mathfrak{g}=\mathfrak{z}(\mathfrak{g})\oplus \left[\mathfrak{g},\mathfrak{g}\right]}$

mit dem ███████ der ███-███████

${\displaystyle \mathfrak{z}(\mathfrak{g})=\left\{X\in \mathfrak{g}:\left[X,Y\right]=\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\mathrm{\forall }Y\in \mathfrak{g}\right\}}$

████. In ██████ ████ ist ${\displaystyle \left[\mathfrak{g},\mathfrak{g}\right]}$ eine ████████████ ███-███████.

Eine ███-███████ ist █████ dann ████████, ████ ████ endlich-████████████ ███████████ ███████████ █████████ ist. ████████████ sind ████████████ ███-████████ nach dem ████ von ████ ████████.

██████ ███-████████

Eine ███████ ███████ ███-████████:

1. ███████████████: ${\displaystyle \mathbb{R}}$ mit ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\equiv \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$
2. Es ████ █████ ████ █████████████████ von █████████████████ ███████ ███-████████, und zwar ${\displaystyle {\mathbb{R}}^{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}}$ mit ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\equiv \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$, █████ mit ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\not\equiv \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$.
3. ████████████████:
   1. ${\displaystyle {\mathbb{R}}^{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}}$
   2. ██████████-███████
   3. ${\displaystyle \mathfrak{s}\mathfrak{u}(\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>})\cong \mathfrak{s}\mathfrak{o}(\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>},\mathbb{R})}$
   4. ${\displaystyle \mathfrak{s}\mathfrak{l}(\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>},\mathbb{R})}$
4. █████████████████: ${\displaystyle \mathfrak{s}\mathfrak{l}(\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>},\mathbb{C})}$ ${\displaystyle \cong \mathfrak{s}\mathfrak{o}(\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>},\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>})}$