████████ de ███████████

L'████████ de ███████████, ██████ par le █████████ ██████████ █████ ███████████ en ████, est une ████████ ████████████ en █████████ █████████. Elle ██████ l'█████████ dans le █████ d'une █████████ ███████ ███ ███████████, et ███████ █████ le ████ ████ que la ████████ ████████████ de la █████████ en █████████ █████████.

█████████ de l'████████

████████ ██████████

Au █████ du ██^█ ██████, il █████ ██████ █████ que la ███████ ██████████ une ███████ ████-██████████, c'est-à-████ qu'elle ███████ se ██████████, █████ les █████████████, ████ █████ une █████████, le ██████, ████ █████ une ████ █████████████████. █████ de ███████ ███████ de ███████████ cette ███████ à ██████ les ██████████ ███████. L'█████████ de de ███████ ███ pour ███████████ a ██████ ██████████ la ██████████ d'█████████████ par les █████████ — à l'██████ de la ███████ — ce qui fut ███████ ██████████████ par l'██████████ de ████████-██████. Par ████████ avec le ██████, █████ de ███████ ███████ █████ à ██████ █████████ █████ d'███████ $█$ et de ████████ de █████████ $█$ une █████████ $\nu$ et une ████████ d'████ $\lambda$ : $\left\{{\begin{matrix}E=h\nu \\p={\frac {h}{\lambda }}\end{matrix}}\right.$

Dans les ████ ███████████ ██-██████, la ██████ $█$ ███████ la █████████ de ██████. L'████████ de ███████████, ███████ par le █████████ █████ ███████████ en ████, est une ████████ d'████ dont l'████████ $\psi$ est ███████ la ████████ d'████, ce qui ██████████ l'████████ de █████ de ███████ ██-██████ aux ██████████ ████████ ███ ████████████ ████████ à une █████ ████████ d'un █████████ $V(t,{\vec {r}})$ , dont l'███████ █████████ ██████ est █████████████ : $E={p^{2} \over 2m}+V(t,{\vec {r}}).$ Le ██████ de l'████████, ███████ de cette █████████ par ███████████ du ████████ de ██████████████, fut ████████ █████ à l'██████████ des ███████ ██████████ d'███████ de l'████████ dans l'█████ d'█████████, ███ elle ██████ d'█████████ les █████ d'████████ de l'█████████ : ██████ de █████, ██████, ████████, ███████, ███.

L'██████████████ ████████ ███████████ ██████ de la ████████ d'████ de ███████████ fut ██████ dès ████ par ███ ████. En ██████ du █████████ ████████████ qu'elle ████████████, la █████████ ███████████ de ███████████ ███████ ████████████ de la ████████ ████ ████████ ██████████ de █████ █████ ██████ ████████, pour qui « ████ ne ████ pas aux dés ».

La ████████ ██████████

L'████████ de ███████████ a d'█████ ███ ████████ sous la █████ ████████ :

${\rm {i}}\hbar {\frac {\partial \Psi (t,{\vec {r}})}{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \Psi (t,{\vec {r}})+V({\vec {r}})\Psi (t,{\vec {r}})$

Le ██████ ██████████ ███████ par ███████████ pour ███████ son ████████ ██████ sur une ████████ ████████ entre l'███████ et la █████████.

En ███████ ████████, l'████████ de ███████████ dans un ██████ ███████████ d'██████ ████ $n$ ███████ █████████ à l'███████ de la ████████ d'████ ███████ — ██████'on ███████ une ████████ ███████████████ dont l'█████████ █████ ████ █████████ ██████ la █████ — à une ████████ █████████ ████ de l'████████. C'est l'█████████████ de l'███████ ███████████, à ████████ est ███████ le ████████ ████████████ de ██████.

Dans la ███████████ █████████████ de la █████████ █████████, il ██████ une ████████ ████ de ████████-██████. Pour une █████████ ███████ ███ ███████████ ███████ à une █████ ████████ d'une ███████ ███████████, l'███████ █████████ ██████ est █████████ et l'████████ de ████████-██████ pour la « ████████ ███████████████ de ████████ » █████████ █████ ████████████ à l'████████ ████████ (le ████████ ████████████ ███████ █████ le ████████ de ███████ ██████).

Ce █████████ █████ ███ ████ dès ████ par ████████, mais █████-██ n'█████ █████ pas de ██████ de ██████ de la ████████ de la █████████ █████████. █████ l'█████████ de de ███████ de ████, ███████████ s'est ███ : l'████████ de l'████████ █████ une █████████████ de l'████████ d'████ de l'███████ ████████, █████████ l'████████ d'████ de la « █████████ ███████████ » (à ██████████) dont l'█████████████ ████ l'████████ de ████████-██████. Ce qu'il a ████, d'█████ pour une ████ ████████████ (█ = █████████), ████ pour une ████ ██████████.

████████ : ███████████ █████ en ████ ████████ par ███████ le ███ d'une █████████ ███████████ — █████ d'████████ de ███████ █████ lui. Il a █████ ██████ l'████████ ██████ ███████'███ sous le ███ de ████████ de █████-██████, mais son ███████████ au ███ du █████████ ██████████ ███████ des ███████ d'███████ █████████████ avec les █████████ █████████████ de l'█████ d'█████████, il se ██████ ███████ sur le ███ ███ ███████████, avec le ██████ que l'on ███████.

█████████████ ███████████

Une ████ ██████ le █████████ entre l'███████ et la █████████ █████████████ — c’est-à-████ la ██████ ███ ████████ du ████████████ —, la ███ de la ██████████ est ████████████ ███████████. En █████, l'████████ d'████ ██████████ par l'█████████ ████████ d'une ████ ███████████████ de █████████ $\omega$ █████ dans un ██████ d'██████ n █████████ ████████ s'█████ :

$\left(\Delta \ +\ {\frac {n^{2}\,\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)\ \psi ({\vec {r}})\ =\ 0$

On █████████ le ██████ d'████ █ dans le ██████ d'██████ n, ███ que :

$k^{2}\ =\ {\frac {n^{2}\,\omega ^{2}}{c^{2}}}$

On ███████ █████ l'████████ de █████████ :

$(\Delta \ +\ k^{2})\ \psi ({\vec {r}})\ =\ 0$

La ████████ d'████ dans le ██████ est ███████ par $\lambda =2\pi /k$ . L'████████ de █████████ se ███████ :

$\left(\,\Delta \ +\ {\frac {4\pi ^{2}}{\lambda ^{2}}}\,\right)\ \psi ({\vec {r}})\ =\ 0$

On ███████ █████ la ████████ de de ███████ pour une █████████ ███ ███████████, pour ████████ la ████████ de █████████ █ = m █ :

$\lambda \ =\ {\frac {h}{mv}}\quad \Longrightarrow \quad {\frac {1}{\lambda ^{2}}}\ =\ {\frac {m^{2}\,v^{2}}{h^{2}}}$

██, l'███████ █████████ s'█████ pour une █████████ ███ ███████████ :

${\frac {1}{2}}\,m\,v^{2}\ =\ E\ -\ V({\vec {r}})$

d'où l'████████ de ███████████ ████████████ :

$\left[\,\Delta \ +\ {\frac {8\pi ^{2}m}{h^{2}}}\,\left(\,E\ -\ V({\vec {r}})\,\right)\ \right]\ \psi ({\vec {r}})\ =\ 0$

En ████████████ le ███████ d'██████ $\hbar =h/2\pi$ , on la ███ sous la █████ ██████████ :

$-\ {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\,\Delta \psi ({\vec {r}})\ +\ V({\vec {r}})\,\psi ({\vec {r}})\ =\ E\,\psi ({\vec {r}})$

Il ne █████ plus qu'à ████████████ le █████ t en ███████████ la ██████████ ██████████ pour une ████ ███████████████, ████ en █████████ la ████████ de ██████-████████ $E=\hbar \omega$ :

$\psi ({\vec {r}},t)\ =\ \psi ({\vec {r}})\ \mathrm {e} ^{-\,{\rm {i}}\,\omega \,t}\ =\ \psi ({\vec {r}})\ \exp \left(-\,{\frac {{\rm {i}}\,E\,t}{\hbar }}\right)$

On ███████ ██████████ l'████████ de ███████████ ████████ :

$-\ {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\,\Delta \psi ({\vec {r}},t)\ +\ V({\vec {r}})\,\psi ({\vec {r}},t)\ =\ {\rm {i}}\,\hbar \ {\frac {\partial \psi ({\vec {r}},t)}{\partial t}}$

███████████ ███████

En █████████ █████████, l'████ à l'███████ t d'un ███████ est ██████ par un ███████ $|\Psi (t)\rangle$ de l'██████ ████████ de ███████ — avec l’███████████ de la ████████ ███-███ de ████ █████. Le █████ du ██████ de $|\Psi (t)\rangle$ ██████████ les ████████ de ████████████ de █████████ de ██████ les ███████ █████████ d'un ███████.

L'█████████ ██████████ de $|\Psi (t)\rangle$ est ███████ par l'████████ de ███████████ : ${\rm {i}}\hbar {{\textrm {d}} \over {\textrm {d}}t}|\Psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\Psi (t)\rangle$ où :

${\rm {i}}$ est l'█████ ██████████ : ${\rm {i}}^{2}=-1$ ;
$\hbar \,$ est la █████████ de ██████ ███████ (█████████ de █████) : $\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$ où $█$ est la █████████ de ██████. $█$ = █,███ ███ ██ × ██^−██ ██ m^█ s^−█ ;
${\hat {H}}$ est l'███████████, █████████ du █████ en ███████, l'██████████ █████████████ ██████████████ à l'███████ ██████ du ███████.

███ ███████████

En █████████ la █████ de l'█████████ ███████████ (█████ au ████████ de ██████████████), pour une █████████ de █████ $m$ ███████ à un █████████ $V({\vec {r}},t)$ , l'████████ █████ la █████ :

${\rm {i}}\hbar {{\textrm {d}} \over {\textrm {d}}t}|\Psi (t)\rangle ={\frac {m{\hat {\vec {\mathcal {V}}}}^{2}}{2}}|\Psi (t)\rangle +V{\Bigl (}{\hat {\vec {R}}},t{\Bigr )}|\Psi (t)\rangle$ où :

${\hat {\vec {R}}}\,$ est l'██████████ ████████ ;
${\hat {\vec {\mathcal {V}}}}$ est l'██████████ ███████.

Dans le ███ où la █████████ n'est ███████ qu'à un █████████ ████████ et █████ █████████ █████████ (█████ █████ ███████ au █████ ██████████), l'████████ █████ la █████ plus ██████ :

${\rm {i}}\hbar {{\textrm {d}} \over {\textrm {d}}t}|\Psi (t)\rangle ={\frac {{\hat {\vec {P}}}^{2}}{2m}}|\Psi (t)\rangle +V{\Bigl (}{\hat {\vec {R}}},t{\Bigr )}|\Psi (t)\rangle$ où :

${\hat {\vec {P}}}\,$ est l'██████████ █████████.

█████████████ aux █████████ de ███████ ██████ l'█████████ des █████ ██████████████████, l'████████ de ███████████ est ███ ███████████. Cette ████████ est un ████████. Elle a ███ ████████ ████████ █████ que ████████ et ██████ ont ████████ █████████████████ l'█████████ de █████ de ███████.

██████████ de l'████████

L'████████ de ███████████ █████ une ████████ ███████████, on peut la ████████ de █████ ███████████ dans une ████ ████████████ de l'██████ des █████. Si on ███████ par ███████ la ████ $|{\vec {r}}\rangle$ █████████████ à la ██████████████ de ████████ (en) ███████ par

{\hat {\vec {R}}}|{\vec {r}}\rangle ={\vec {r}}|{\vec {r}}\rangle

█████ la ████████ d'████ $\Psi (t,{\vec {r}})\equiv \langle {\vec {r}}|\Psi (t)\rangle \,$ █████████ à l'████████ ████████

i\hbar {\frac {\partial \Psi (t,{\vec {r}})}{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \Psi (t,{\vec {r}})+V(t,{\vec {r}})\Psi (t,{\vec {r}})

où $\Delta$ est le █████████ ████████. En █████ l'██████████ ████████ ${\hat {\vec {R}}}$ ne ██████ pas du █████, ████ ses █████ ███████ n'en █████████ pas ███ plus : ${\frac {\mathrm {d} |{\vec {r}}\rangle }{\mathrm {d} t}}=0$ .

Sous cette █████ on ████ que l'████████ de ███████████ est une ████████ aux ████████ ██████████ ███████ ██████████ des ██████████ █████████, ce qui ██████ d'██████ la ████████ █████████ █████ la █████ des █████████ █████████████. L'████████ est dans la ██████ ████████ des ███ ████ ██████████ pour ████████ une ████████ ██████████, de █████ que sa ██████████ est █████████ ou █████████.

█████████ des █████ ███████

Les ██████████ ████████████ dans l'████████ de ███████████ sont des ██████████ █████████ ; il s'██████ que █████ ███████████ ████████ de █████████ est ████████ de l'████████. Cela ████ à █████████ la █████████ de █████████ qui ont un █████ ███████ █████████ et ████████ : à ██████ les █████ qui sont ███████ de l'█████████ ███████████.

Ces █████ sont ████ █████████ de l'████████ aux █████ et ███████ ███████ : $H|\varphi _{n}\rangle =E_{n}|\varphi _{n}\rangle$ qui █████ ███████ le ███ d’████████ de ███████████ ████████████ du █████. L'████ ██████ $|\varphi _{n}\rangle$ est ███████ à la ██████ ██████ $E_{n}$ , ████████ ████, ███████ de la █████████ dont $|\varphi _{n}\rangle$ est l'████.

Les ███████ de l'███████ ███████ ████ █████████ █████ les █████████ █████ d'un █████ de █████████ (par ███████ ███████ de l'█████ d'█████████) ; il en ███████ une ██████████████ des ███████ d'███████. Elles ███████ █████ ████████████ à un ███████ ███████ █████ les █████████ ██████ d'un █████ de █████████ (par ███████ un ████████ █████ █████ d'███████ pour s'████████ à l'██████ du █████ de l'█████ d'█████████).

Il ██████ ███████ que █████████ █████ $|\varphi _{n}\rangle$ █████████████ à une ████ ██████ de l'███████ : on █████ █████ de ███████ d'███████ █████████.

D'une █████ ████████, la █████████████ de ██████ des █████ ███████ de l'███████████, $|\varphi _{n}\rangle$ , et de l'███████ ████████, ███████ l'████ ████████████ █████████████, ████████ de l'████████ de ███████████ : $|\psi _{n}(t)\rangle \,=\,|\varphi _{n}\rangle \,\exp \left({\frac {-iE_{n}t}{\hbar }}\right).$ Une ████████ de l'████████ de ███████████ peut █████ s'██████ ████ ████████████ █████ une ███████████ ████████ de ████ █████ : $|\psi (t)\rangle \,=\,\sum _{n}\sum _{j}c_{n,j}|\varphi _{n,j}\rangle \exp \left({\frac {-iE_{n}t}{\hbar }}\right).$

█████ les █████████ de la █████████ █████████,

le ████████ ████████ $c_{n,i}$ est l'█████████ de l'████ $|\psi (t)\rangle$ sur l'████ $|\varphi _{n,i}\rangle$ ;
le ████ $\sum _{i}|c_{n,i}|^{2}$ est la ███████████ (dans le ███ d'un ███████ ███████) de ███████ l'███████ $E_{n}$ ████ d'une ██████ de l'███████ sur le ███████.

L'██████ des █████████ d'████ est un ██████ de ███████.

██████ d'une ██████████ ██████████ ██████

La █████████ des █████ ███████ de l'███████████ est en ███████ ████████. ████ le ███ ██████████████ ███████ de l'█████ d'█████████ ne l'est ██████████████ sous █████ ██████ que si l'on ███████ le ████████ avec le █████ █████████████████ qui ██ █████████ le ███████ des █████ ███████, █████████ de l'████████ de ███████████ de l'█████, vers le ███████████.

████████ ███████ ███████, ████ que ███ ████ à ████ █████████ à la ███████, ███████ ████ ███████ ██████████████ et s'███████ ████ ██████ :

█████████ █████ (█████████ ███) ;
███████████ ██████████ (█████████ ███████████) ;
█████████ se █████████ sur un ██████ ;
█████████ dans un █████ de █████████ █████████████ ;
█████████ dans un █████ d'█████ █████████ ;
█████████ dans un █████████ à ████████ █████████ ;
█████████ dans un ██████ ███████████████ (█████████ ██████████).

Dans les ██████ ███, il ████ █████ █████ aux ████████ ██████████ d'█████████████ :

la ███████ des █████████████ ███████ des ███████████ ███████████ sous la █████ de ██████████████ █████████████ ██████ d'un ████████ ███ ████████ ██████████ ███████ ;
l'███████ █████████ ██████ d'████████ des ██████████ █████████████ par la ███████ de ████████████.

██████████████

La ██████████████ de l'████████ au ███████ ███████████ ████ à l'████████ de █████-██████, ████ à l'████████ de █████ ; cette ████████ ███████ █████████████ l'█████████ du ████-█/█ et des ██████████████. Les ██████████ de ████-█ sont ████████ par l'████████ de █████, et ██████ de ████-█/█ par l'████████ de ██████-█████████^{[███. █████████]}. █████████, il n'██████ ██████ ██████████████ ███████████ █████████ de ces █████████ d'█████ ████████████ dans le █████ d'une ███████ █████████ █████████ ██████████; le █████ █████████ dans ce █████ de ███ est la ███████ █████████ des ██████.

Il ██████ d'██████ █████████ de ████ ███████████, ███ █████████, █████ l'████████ de ███████████ ████-████████, ou █████ l'████████ de █████-██████████, qui █████████████ en ███████ des ██████ █████-██████, des ███████, des ██████, ███.

█████ et ██████████

██████████

[█]
█████ de de ███████
[█]
███████████ ████
[█]
███████████ ███████ en ██████ des █████████ entre █████████ █████████████ et ███████ dans le ████████ ███████ de ████ (██. █████████████). ██. ██████ █████, ███████████ — ████ & ███████, █████████ ██████████ █████ (████).
[█]
███████ dans : ███████ █████████, █████████ █████████, ███████-██████ (█^█ ███████-████), ██████████ ██.█, █. ███-███.
[█]
███████ ████, ██████ █████, ██████ ██████████ █████ (████).
[█]
La ███████ de ██████ ███████ est ████████, mais la █████████ ████ est ██████████.
[█]
(█████-█████████, █. ███)
[█]
(█████-█████████, █. ███)

████ █████

█████████████

█████ de ███████, ██████████ sur la ███████ des ██████, ████ (████ en █████)
C. █████-█████████, █. ███ et █. █████, █████████ █████████ [██████ de l’███████]
[███████████ ████] (en) █████ ███████████, « ██ ██████████ ██████ ██ ███ █████████ ██ █████ ███ █████████ » [« Une ███████ ███████████ de la █████████ des ██████ et des █████████ »], ████. ███., █^█ █████, ███. ██, n^█ █,‎ ███. ████, ███. n^█ █, █. ████-████ (████ ██████████, ███ ██.████/███████.██.████, ███████ ████████...██.█████, ██████, ████ en █████ [███]).
█████ ███████████, ████████ sur la █████████ ███████████, █████-█████, █████, ████. █████████ ███████ █████, ███████ de ██████ █████████, ████ (████ █-█████-███-█) — █████-██████ de l'██████ et █████ ████████ ████████████ ███████ pour cette ██████████. — ████████ la ██████████ █████████ par █████████ █████ des ████████ ███████████ de ████ :
- « ██████████████ et ███████ ███████ (█) et (██) », ███████ ███ ██████ (█), ██, ████ ;
- « Sur les ████████ qui ████████ entre la █████████ █████████ de ██████████-████-██████ et la ██████ », ███████ ███ ██████ (█), ██, ████ ;
- « ██████████████ et ███████ ███████ (███) — ███████ des █████████████ avec ███████████ à l'█████ █████ des █████ de ██████ », ███████ ███ ██████ (█) ██, ████ ;
- « ██████████████ et ███████ ███████ (██) », ███████ ███ ██████ (█), ██, ████ ; █████ que les ████████ ████████ :
- « Le ███████ ███████ de la █████-█████████ à la █████████ █████████████ », ███ ███████████████████, ██^█ █████, ██, ████, █. ███-███ ;
- « Sur l'█████ ███████ », ███████ ███ ██████ (█), ██, ████ ;
- « Le ████████ de la ████████████ d'███████ et de ████████ de █████████ pour les █████ ███████████ », ███████ ███ ██████ (█), ██, ████ ;
- « ████████ d'███████ d'█████ la █████████ ███████████ », ███████ ███ ██████ (█), ██, ████ ; « █████████ ».

████████ ████████

█████ ███████████
█████ d'█████████
████████ █████████
███████████ de l'████████ de ███████████
█████████ █████████
█████████
█████████ de ██████
████████ de █████-██████
████████ de █████

█████ ████████

███████ dans des █████████████ ou █████████████ ████████████ :
- ██████████
- ███████████ ████████████ ███
- ████████
- █████ ██████ ████████
███████ d'████████ :
- ███ (███████)
- ████
- ███
- ██████
- ████████
███████ ████████, « Un ██████ ██████████ pour ████████ l’████████ de ███████████ », sur ███████ du ████, ██ ████ ████ (████████ le ██ ███████ ████)

███████ de la ████████
███████ des ████████ ██████████