███████ de ███

En █████████████, une ███████ de ███, ██████ en l'███████ du █████████████ ██████ ███, est un ██████ █████████ qui est ████ d'un ███████ de ███, c'est-à-████ d'une ███ de ███████████ ███████ ██████████, ████████, et qui ███████ la ████████ de ██████. Une ███████ de ███ est un ███ ███████████ d'███████ sur un █████.

███████████, ████████ et █████████ ██████████

██████████

████ █ un █████ ██████████.

Une ███████ de ███ sur █ est un ██████ █████████ ${\mathfrak {g}}$ sur █ ████ d'une ███████████ ██████████ $(x,y)\mapsto [x,y]$ de ${\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}$ dans ${\mathfrak {g}}$ qui ███████ les ██████████ █████████ :

$\forall x\in {\mathfrak {g}},\ [x,x]=0$ ;
$\forall x,y,z\in {\mathfrak {g}},\ [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0.$

Le ███████ $[x,y]$ est ██████ ███████ de ███ (ou ██████████ ███████) de $█$ et $y$ . ███████ le ███████ est une ████████ ██████████ ████████ de $█, y$ , il est █████ ██████████████ : $[x,y]=-[y,x]$ pour ████ $█, y$ dans ${\mathfrak {g}}$ . L'████████ (█) ██-██████ est ███████ l'████████ de ██████.

Une sous-███████ de ███ de ${\mathfrak {g}}$ est un sous-██████ █████████ de ${\mathfrak {g}}$ ██████ pour le ███████ de ███. █████ sous-███████ de ███ de ${\mathfrak {g}}$ est █████ de ███████ ████████ d'une █████████ d'███████ de ███ sur █.

████████ : █████████████ aux ████████ ████████████ (et aux ████████ de ████████, dont les ████████ ███████████), les ████████ de ███ ne sont ni █████████, ni ████████████.

████████ ████████ ██████████ d'████████ de ███

████ ██████ █████████ $█$ peut ████ ████ d'une █████████ d'███████ de ███ en ██████, $\forall x,y\in E,\ [x,y]=0$ . Une █████ ███████ de ███, où le ███████ de ███ est █████████████ ███, est ███████ █████████.
À ██████ d'une ███████ ███████████ sur un █████ $(A,*)$ , on peut ██████████ une ███████ de ███ de la █████ ████████ : on ████ $\forall x,y\in A,\ [x,y]=x*y-y*x$ (c'est le ███████████ des ████ ████████ █ et y). Il est ██████ de ████████ que l'on ███████ █████ sur $A$ une █████████ d'███████ de ███.
███████████, █████ ███████ de ███ ${\mathfrak {g}}$ est ████████ dans une ███████ ███████████, ███████ ███████ ████████████, dans ████████ le ███████ de ███ ████████ avec le ███████ ██████ ██-██████. Si ${\mathfrak {g}}$ est ███ █████████ (et ████ si son ███████ de ███ est ███ ███), son ███████ ████████████ est ████████ plus ██████ qu'elle-████.
█████ ███████ ███████ de la █████████ ██-██████, ███████████ ${\mathcal {M}}_{n}(K)$ , l'██████ des ████████ ███████ de ██████ n à ████████████ dans █. C'est une ███████ ███████████ pour le ███████ █████████ █████. On peut ████ █████████ lui ██████ une █████████ d'███████ de ███, avec le ███████ $[A,B]=AB-BA$ . On ████ ${\mathfrak {gl}}_{n}(K)$ cette ███████, ███████ l'on █████████ sa █████████ d'███████ de ███.
████ ██████████, ████ sous-██████ █████████ de ${\mathfrak {gl}}_{n}(K)$ ██████ par le ███████ est une ███████ de ███. █████, on peut ████████ que l'████████ des ████████ de █████ █████ est une ███████ de ███, que l'on ████ ${\mathfrak {sl}}_{n}(K)$ .
En ████, le ████████ d'███ ██████ que █████ ███████ de ███ de █████████ █████ n peut ████ ███ █████ une sous-███████ de ${\mathfrak {gl}}_{n}(K)$ .
Un █████ ███████ ███████████, plus ███████████, est le ███████. ████ $M$ une ███████ ██████████████. █████ l'██████ █████████ █████ par les ██████ de ████████ sur $M$ ███████ une █████████ █████████ d'███████ de ███, sans ████ une ███████.
En ███████████, l'████████ des ██████ de ███████ d'une ███████ ████████████ ou ██████-████████████ █████ une ███████ de ███, qui ██████████ au ██████ d'██████████ de la ███████ ██████████.
L'██████ █████████ ███████████████ █^█ avec le ███████ █████████ █████ ███████ de ███ est une ███████ de ███.

██████████ et ██████

Un █████████ d'████████ de ███ ${\mathfrak {g}}$ est une ███████████ ████████ $\phi$ qui ████████ le ███████ de ███, c'est-à-████ █████ que

\forall a,b\in {\mathfrak {g}},\ \phi ([a,b])=[\phi (a),\phi (b)]

Un █████ de ${\mathfrak {g}}$ est un sous-██████ █████████ ${\mathfrak {h}}$ ███ que $\forall g\in {\mathfrak {g}},\ \forall h\in {\mathfrak {h}},\ [g,h]\in {\mathfrak {h}}$ . C'est en ███████████ une sous-███████ de ███. Si une ███████ de ███ n'█████ pas d'█████ ███ ███████, elle est ████ ██████.

Si ${\mathfrak {h}}$ est un █████ de ${\mathfrak {g}}$ , on peut ██████ le ████████ de ${\mathfrak {g}}$ par ${\mathfrak {h}}$ : c'est l'██████ █████████ ████████ ${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}$ , ████ du ███████ ██████ par $[g+{\mathfrak {h}},g'+{\mathfrak {h}}]=[g,g']+{\mathfrak {h}}$ . La ██████████ ${\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}$ est █████ un █████████ d'████████ de ███.

Une ██████████████ d'une ███████ de ███ ${\mathfrak {g}}$ est un █████████ $\phi \,:\,{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}_{n}(K)$ . █████████ ███, c'est une ███████████ ████████ █████ que $\phi ([g,h])=\phi (g)\phi (h)-\phi (h)\phi (g)$ .

Le █████████ ${\text{ad}}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl(g)}}$ ██████ par ${\text{ad}}(g)(h)=[g,h]$ ███████ une ██████████████ de ${\mathfrak {g}}$ , ███████ ██████████████ ████████. L'████████ de ██████ ███████ ███████████ le ████ que ██ ████████ le ███████. Le █████ de cette ██████████████ est le ██████ $Z({\mathfrak {g}})=\{g\in {\mathfrak {g}},\forall h\in {\mathfrak {g}},[g,h]=0\}$ de l'███████ de ███ ${\mathfrak {g}}$ .

████████ avec les ███████ de ███ et les ███████ ███████████

Les ████████ de ███ sont █████████████ █████████ aux ███████ de ███. Si $█$ est un ██████ de ███ et █ son ███████ ██████, █████ l'██████ ███████ en █ à $█$ est une ███████ de ███ ; la ████████████ ██████ de cette ███████ est █████████ dans la ███████ ██████████████ de l'███████ ██████ de ███. La ████ ████████████ est ███████ pour les ███████ ███████████. On ████ en ███████ en ███████ ███████ █████████ l'███████ de ███ ████████ à un ██████ de ███, ou à un ██████ ██████████. █████, █████ on l'a ████ ██, ${\mathfrak {gl_{n}}}$ ███████ l'████████ des ████████ ███████ de ██████ n et ${\mathfrak {sl}}_{n}$ ███████ l'████████ des ████████ ███████ de ██████ n de █████ █████. De la ████ █████, ${\mathfrak {so_{n}}}$ ███████ l'████████ des ████████ ███████ A de ██████ n ███████████████, ███. Dans ████ ces ████████, le ███████ de ███ n'est ████ d'█████ que le ███████████ : $[A,B]=AB-BA$ .

Si $\phi$ est un █████████ de ███████ entre ████ ███████ de ███ $█$ et $█$ , et si l'on ███████ $\phi$ ██████████████, █████ sa ██████████████ en l'████████ ████ un █████████ entre les ████████ de ███ ${\mathfrak {g}}$ et ${\mathfrak {h}}$ de $█$ et $█$ . En ███████████, à une ██████████████ de $█$ ██████████████, on ███████ une ██████████████ de ${\mathfrak {g}}$ .

La ██████████████ des ████████ de ███ est ████████ de █████ ████████ pour l'█████ des ███████ de ███, des ███████ ███████████ et de leurs ███████████████.

██████████████

Si ${\mathfrak {a}}$ et ${\mathfrak {b}}$ sont ████ sous-████████ de ███ d'une ███████ de ███ ${\mathfrak {g}}$ , ██████ $[{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}]$ le sous-██████ █████████ ████████ par les ████████ de la █████ $[a,b]$ pour $a\in {\mathfrak {a}}$ et $b\in {\mathfrak {b}}$ .

████████ de ███ ███████████

Une ███████ de ███ est ████ ██████████ ███████ █████ █████ de ████████████ $[[g_{1},g_{2}],g_{3}],\dots ,g_{n}]$ █████ par ████ █████, ███████ n ███████ ████████████ █████.

Plus ███████████, ███████████ $C_{i}$ par $C_{0}={\mathfrak {g}}$ et $C_{i+1}=[C_{i},{\mathfrak {g}}]$ .

S'il ██████ un █ ███ que $C_{i}$ =█, on ███ que ${\mathfrak {g}}$ est ██████████. Cette ██████ est à ██████ en █████████ avec █████ de ██████ █████████. █████ ███████ de ███ █████████ est ██████████.

L'███████ ${\mathfrak {n}}$ des ████████ █████████████ ████████, c'est-à-████ de la █████ $\left({\begin{matrix}0&\star &\cdots &\star \\\vdots &\ddots &\star &\vdots \\\vdots &0&\ddots &\star \\0&\cdots &\cdots &0\\\end{matrix}}\right)$ ███████ un ███████ d'███████ de ███ ██████████.

Le ████████ de █████ ███████ qu'une ███████ de ███ est ██████████ si et █████████ si l'█████ de la ██████████████ ████████ est █████████ à une sous-███████ de ${\mathfrak {n}}$ .

█████████, l'███████ de l'███████ de ███ █████████ (████ ██████████) ${\mathfrak {gl}}_{1}(K)$ ██████ qu'il ██████ des sous-████████ ███████████ de ${\mathfrak {gl}}_{n}(K)$ qui ne sont pas ██████████ à une sous-███████ de ${\mathfrak {n}}$ .

████████ de ███ ██████████

███████████ par ██████████ $D_{i}$ par $D_{0}={\mathfrak {g}}$ et $D_{i+1}=[D_{i},D_{i}]$

S'il ██████ un █ ███ que $D_{i}$ =█, on ███ que ${\mathfrak {g}}$ est █████████. █████ dans le ███ des ████████ ███████████, cette ██████ ██████████ à █████ de ██████ █████████. Il est ██████ de ████ que █████ ███████ de ███ ██████████ est █████████.

Un ███████ d'███████ de ███ █████████ est █████ par l'███████ ${\mathfrak {b}}$ des ████████ █████████████ ███████████ dans ${\mathfrak {gl}}_{n}(K)$ .

Le ████████ de ███ ██████ que, si █ est █████ ██████████████ ████ et de ███████████████ █████, █████ █████ sous-███████ de ███ █████████ de ${\mathfrak {gl}}_{n}(K)$ est █████████ à une sous-███████ de ${\mathfrak {b}}$ .

████████ de ███ ████-███████ et ██████████

On ███ qu'une ███████ de ███ ${\mathfrak {g}}$ est ████-██████ ██████'elle ne ████████ pas d'█████ █████████ ███ ███████. ${\mathfrak {g}}$ est ████ █████████ ███████ sa ██████████████ ████████ est ████-██████.

███████ █ est de ███████████████ █████, et que ${\mathfrak {g}}$ est de █████████ █████, la ████-██████████ de ${\mathfrak {g}}$ est ███████████ à la ███-██████████████ de la █████ de ███████ $K(x,y)$ ███████ par $K(x,y)=tr(ad(x)ad(y))$ , où ██ ███████ la █████. Par ████████, ${\mathfrak {g}}$ est █████████ si et █████████ si $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ est ████-██████.

On peut ███████ que, sous les █████ ██████████, █████ ███████ de ███ ████-██████ est en ████ une █████ ███████ d'████████ de ███ ███████.

Les ████████ de ███ ███████ de █████████ █████ sur le █████ █ des ███████ █████████ sont ███████████ par les ██████████ de ██████. Il y a ████ █ ████████ d'████████ de ███ ███████ (ou █ si on █████████ $B_{n}$ et $D_{n}$ █████ une ████ ███████) et █ ████████ de ███ ███████████████, █████████████ ███████ à un █████████ de ██████ █████████.

À un █████████ de ██████ de ████ $A_{n}(n\geq 1)$ ██████████ l'███████ de ███ ${\mathfrak {sl}}_{n+1}(\mathbb {C} )$ .
À un █████████ de ██████ de ████ $B_{n}(n\geq 2)$ ██████████ l'███████ de ███ ${\mathfrak {so}}_{2n+1}(\mathbb {C} )$ .
À un █████████ de ██████ de ████ $C_{n}(n\geq 3)$ ██████████ l'███████ de ███ ${\mathfrak {sp}}_{2n}(\mathbb {C} )$ .
À un █████████ de ██████ de ████ $D_{n}(n\geq 4)$ ██████████ l'███████ de ███ ${\mathfrak {so}}_{2n}(\mathbb {C} )$ .
Les ████████ de ███ ███████████████, █████████████ aux ██████████ de ██████ ████████ (de ████ █_█, █_█, █_█, █_█ et █_█) n'ont pas d'██████████████ █████ ██████.

L'███████ de ███ ${\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} )$ est, elle, █████████ et son ███████ de ███ ███████ est ${\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )$ .

Les ████████ de ███ ████-███████ de █████████ █████ sur le █████ █ des ███████ █████ sont ███████████ par les ███████████ d'████████ de ███ █████████ ou, de █████ ███████████, par les ███████████ de ████████ de ███████ (en). Ceci ██████████ à la ██████ d'███████ de ███ ██████████ (en). █████ ██████ d'███████ de ███ ██████ ██████, on peut █████ :

Les ████████ de ███ █████████. Ce sont les ████████ de ███ de ███████ ████████. Il y en a ██████████ une qui ██████████ à ██████ ███████ de ███ ████████.
Les ████████ de ███ █████████ ████ █████ ████████ de ███ ███████.
Les ██████ ███████ ████ ████████ en ████████ ██, ███, ████, ██, ██, ███, ██, ████ et en ████████ ███████████████

██, ███, ████, ███ (de ████ $E_{6}$ ) ██, ███, ████ (de ████ $E_{7}$ ) █████, ███ (de ████ $E_{8}$ ) ██, ███ (de ████ $F_{4}$ ) et ██ (de ████ $G_{2}$ ) ███████ la ████████ d'████████ (de)).

█████████ ███████

Il n'y a pas de ██████████████ ████████ des ████████ de ███ de █████████ ███████ mais █████████ ███████ de ██████ ████████ ont ███ ████████.

Une ███████ de ███-█████ est une ███████ de ███ ███████ █████████████ en ██████ de ███████████ et █████████ █████ par une ███████ de ██████ ███████████ ███ ██████████████ ███████ ████████. Elles ███████ ████ ████ de █████████ ███████. Leur ██████████████ ████████ est ██████ ████ de ██████ mais █████████ sous-█████ sont ██████
- Une ███████ de ███-█████ ██████ (en) ███████ la █████████ que ████ les sous-██████████ de ██████ de son █████████ de ██████ █████████████ à des sous-████████ de ███ de █████████ █████. Sa ███████ de ██████ ███████████ est █████ de ██████ █. Les ████████ de ███-█████ ███████ ont ███ ███████████ par ██████ ███. Elles sont ████ █████████ en ████████ █████████ dans l'█████ des ████████ █████████ des ██████ et en ███████████ dans l'█████ des ███████ ███.
- Une ███████ de ███-█████ ████████████ ███████ un █████████ de ██████ ███████ avec la █████████ que si on lui ██████ une ██████, on ███████ une ███████ de ███ ████-██████ de █████████ █████ ou ████ une ███████ de ███-█████ ██████. Elles ont ███ █████████ ███████████ et sont de ████ ██ au ███████. Leur ███████ de ██████ ███████████ est ███ █████████ et de █████████ ████████████ (c’est-à-████ avec ██████████ une █████████ ████████).
███████ de ███-█████ ███████████ (en) ou ███████ de █████████ : c'est un ████ d'███████ de ███ ████████████ le ███████ d'███████ de ███-█████ dont la ███████ de ██████ ███████████ peut ████████ des ███████ ███████ ███████ ███████████ pour ██████████ l'███████ ████████ de la ███████ de ██████ ███████████ est ███████. Elles ont ███ ███████████ par ███████ ████ █████████ dans le █████ de l'█████ de la ██████████ █████████ █████████.

██████████████

Il ██████ ███████████ ██████ de ███████████████ des ████████ de ███, on ██████ les ███████ de ███ (en), les █████████████ de ███, les ███████ ██████████, les ████████ de ███████, les ████████ ███-███ (en).

████████ ████████

███████ de ████ █████-████████████
███████ de █████-████████-█████████
███████ de ███████-████

█████ et ██████████

N. ████████, ████████ de ████████████, ███████ et ████████ de ███
███████ ███████, ████████ █████████████, ████████ ███████ █████, █████, ████ (████ ███-█-█████-███-█)
(en) █████ █. █████████, ████████████ ██ ███ ████████ ███ ██████████████ ██████, ███ ████, ████████, ████. « ███ » (n^█ █), ████, █^█ ██., ███ █. (████ ███-█-███-█████-█)
(en) ██████ ████████, ███ ████████, ███ ████, █████, ████ (█^██ ██. ████), ███ █. (████ ███-█-███-█████-█, ████████████ en █████)
███████, █████ & ██████, ████. ████████████ ██ ███ ████████, ██ ███████, ████████, ████. (████ █-█████-███-█).

███████ de l’███████