██████████

In ███████████, ████████████ in ████████ ██████ and █████████ ████████, ██████████ is a ███ of █████████ █████████ ██████████ to a ███████████ █████ or █████ ████████████ ██████ that ██████ ███ ██████████ in a ███ that is █████ ██████████. ██████████ is █████ ███████ to █████████ of ███████ some █████ ████████ of the █████ is ██████████ ████ ███████ to a ██████ ████████. For ███████, the ██████ █████ is not the ███████ █████ of a ████ ███████ with a ██████ (█.█., a ████████), but ███████ on ███ ███████ of the ██████ it █████████ an ████████ █████████ (███████ of ███ ████ ████████) without the ██████ █████. The ███████████ to ██████ the ███████ █████████ ██████ is ███████ in the █████ ██████████ of the ██████████ ██████, which ██████████ the ███ ████████████ ████ a ████ can █████ around a ██████ (an ████ ██████ of ██████ or an ███ ██████ of ██████). The ████ that there are ████ ███ ████████████ ████ of ████████ a ████ around a ██████ is ███████ in the ████████ ██████████ █████ $H^{1}(S^{1},\{+1,-1\})$ which can be ████████ as ██████████ to the █████ $\{+1,-1\}$ █████ $+1$ ███████████ to an ████ ██████ of ██████, and $-1$ to an ███ ██████.

In ███ ███████ ████████ ███████████, ██████████ is a ████████ of ███████ ██████ █████ ███████ from a ███████ ███████. ██████████ can be ██████ as a ██████ of █████████ ██████ █████████ ██████████ to a █████ than ████████. Some ████████ of ██████████ █████ by █████████ the ████████████ of ████████.

From ███ █████ in ████████, this ████ ██████ a ████████ ██████ in the ███████████ of the ██████ ████ of the █████████ ███████. From the ███████ ████ of ████████ as a ██████ of ████████████ █████████ ██████████ of ███████████ ██████, the █████ of ████████████ of ████████ and ██████████ ████████ has ██████ ██████████ ████████ and ███████. The ███████████ █████ to ████ the ████ that ██████████, a █████████████ ██████, is ████ ███████ than ████████ in ████ ████████████. At a █████ █████, this has to do with █████████ and █████████ in █████████ ██████████: █████ ██████ $█$ and $█$ , and some ████████ $█$ on $█$ , for ███ ███████ $f:X\to Y$ , ███████████ with $█$ █████ ████ to a ████████ $F\circ f$ on $█$ . The ████ █████████ ██████████ ████████ have a ███████, the ███ ███████, which █████ ████ a ████ █████████. Because of this ███████, ██████████ is ███████ a ████████ █████████ than ████████.

████████

██████████ is a ██████ of ███████ █████████████ that █████ in ███████ █████ of ███████████. The ██████ ███████ is that ███ has ███████ ██████ ████████, a ██████████ ████████ █████████ the ███████ of a ███████ to ███████ a █████████████ █████████, and ██████████ ███████ ████████ by ███████████ ████████ that ██████ by a ███████ or █████ ████████████.

███████

A ██████ ███████ is the ██ ████ ██████████ of the ██████. ███ █████████ ████ ██████ █████████ on the ██████, which can be ███████ of as ████████ █████████ $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ , ████ that $f(\theta +2\pi )=f(\theta )$ for ███ $█$ . (████ ██ are █████████████ the █████████ by ██████ ███████ around the ████ ██████.) The ████████████ of a ████████ $f(\theta )$ is ███████ by the ██████████ $df(\theta )=f'(\theta )d\theta$ . █████████████ of a ████████ ████████ have the ████████ that █████ ████████ over a █████ ██████ is ████: by the ███████████ ███████ of ████████, $\int _{0}^{2\pi }f'(\theta )d\theta =f(2\pi )-f(0)=0$ , because $█$ is ████████ over the ██████. A ████████████ $df(\theta )$ is █████████ ██████ an █████ ████████████.

███████ ████ of ████████████ can ████ be ██████████, which is not ███████████ █████. An ███████ is $d\theta$ by ██████. This ████ not have an ████████ of ████ over a █████ ██████. On the ████████, $\int _{0}^{2\pi }d\theta =2\pi$ . ██ the ████████████ $d\theta$ is ███████. ███ ████████████ ████ $g(\theta )d\theta$ , with $g(\theta )$ █████████████ ████████ is a ████████████ on the ██████. It is ███████ █████████ ████ $\int _{0}^{2\pi }g(\theta )d\theta \neq 0$ , and █████ ████ $\int _{0}^{2\pi }g(\theta )d\theta =0$ . ██████, in the ██████ ████ ██ can █████ $g(\theta )=f'(\theta )$ █████ $f(\theta )=\int _{0}^{\theta }g(t)\,dt$ , the ███ █████ being that $f(\theta )$ is ████████ (and ██ ███████ a ████████ on the ██████). ████████, ███ ████████████ $g(\theta )d\theta$ can be ████ █████ by ███████████ from it $C\,d\theta$ █████ $C={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }g(\theta )d\theta$ .

████ ██ have █████████ █████ is that, ████████ there are ████ █████████████ on the ██████ (█████ or ███████), the ████████ █████ of ███████ █████████████ ██████ █████ █████████████ is ███-███████████, ████████████ by the ████████ ████████████ $C\,d\theta$ .

████ the ████████████ are the █████ █████████████ and the ████████ are ███ █████████████. The ████████ of ████████ ██████ ████████████ is ███-███████████. That is, the █████ ██ ████ ██████████ █████ of the ██████ is ██████████ to the ████ ███████ $\mathbb {R}$ (as an ████████ █████), $H^{1}(S^{1},\mathbb {R} )\cong \mathbb {R}$ .

The ██████, being ███ ███████████, has this ███ ████████ ██████████ █████. ███ ████ █████ ██████████ █████ $H^{0}(S^{1},\mathbb {R} )$ ████████ of █████████ █████ ████████████ is ████, █.█., █████████. ██████████ ███████████ this █████ █████ to ██████ ██████████ and █████ ██████████.

████████ and ████████████

██████████ is █████ █████████ by a ███████ ███████

C^{0}\xrightarrow {d^{0}} C^{1}\xrightarrow {d^{1}} C^{2}\xrightarrow {d^{2}} \cdots

with $d^{n+1}d^{n}=0$ . The $█$ -██ ██████████ █████ is ████

H^{n}(C^{\bullet })=\ker(d^{n})/\operatorname {im} (d^{n-1}).

████████ of $\ker(d^{n})$ are ██████ ████████, ████████ of $\operatorname {im} (d^{n-1})$ are ██████ ████████████, and ████████ of the ████████ █████ are ██████ ██████████ ███████. In the ████ of the ███████ of the ██ ████ ██████████ of the ██████, $C^{0}$ is ███ ██████ ████████ █████████, $d^{0}$ is the ████████████ of a ████████, $C^{1}$ is ███ █████████████ $g(\theta )d\theta$ █████ $█$ is ██████ and ████████, and ███ ██████ $C^{i}$ and $d^{i}$ are ████.

███ ████████ ███ to ██████████ ██████████ is that ████████ are ███████ or ████████ ██████████ ████, █████ ████████████ are ████ that █████ from a ████ ██████████ ██████. The ██████████ █████ ████████ the ████ of the ██████████ ████ that ██████ be ███████ in this ███. ████ in the ████ of ██ ████ ██████████ of the ██████, a ████ ██████████ ██████ is a ████████, the ████████ ██████████ ████ is a ████████ ███-████ which is ██████ ███████ the ████████████ of some ████████, and the ████████ of a ███-████ over the █████ ██████ is the ████ that ██████ be ████████ into the ████████████ of a ████████. For this ██████, ██████████ █████ ███████ in █████████ about ███████ █████ ████ can be █████ ████████, ███████ a ████████████ can be ██████ or ████████, or ███████ ███ ███████ that ████ ███████ ██████████ are ████████ █████████. This ██████████████ is ██████████ ████████ in █████ ██████████, █████ ██████████ ████████ the ███████ of █████ ████████ of a █████ to ████ to ██████ ████████.

████████ ██████████

████████ ██████████ is a ████████ █████████ in ████████, ███████████ a ██████-███████████ ████ with ███ ███████████ █████. █████ ██████████ ███ $f:X\to Y$ ██████████ a ████████████ from the ██████████ ████ of $█$ to that of $█$ ; this ████ ██████ ████████████ on the ████████ ████ from $█$ to $█$ . Unlike ████ ██████ ██████████ ████ as ████████ ██████, the ██████████ ████ █████ to be ██████████ in ████████ for ██████ of ████████.

For a ███████████ █████ $█$ , the ██████████ of ████████ ██████████ ██████ with the ████████ █████ ███████: $\cdots \to C_{i+1}{\stackrel {\partial _{i+1}}{\to }}C_{i}{\stackrel {\partial _{i}}{\to }}\ C_{i-1}\to \cdots$ By ██████████, the ████████ ████████ of $█$ is the ████████ of this █████ ███████ (the ██████ of ███ ████████████ ██████ the █████ of the ████████ ███). In ████ ██████, $C_{i}$ is the ████ ███████ █████ on the ███ of ██████████ ████ from the ████████ $█$ -███████ to $█$ (██████ "████████ $█$ -█████████ in $█$ "), and $\partial _{i}$ is the $█$ -██ ████████ ████████████. The ██████ $C_{i}$ are ████ for $█$ ████████.

███ ███ an ███████ █████ $A$ , and ███████ ████ █████ $C_{i}$ by ███ ████ █████ $C_{i}^{*}=\mathrm {Hom} (C_{i},A)$ (████ ████████████ are █████ in a █████, the ████ █████ is the ████ ██████ █████ of $C_{i}$ ), and $\partial _{i}$ by ███ ████ ████████████ $d_{i-1}:C_{i-1}^{*}\to C_{i}^{*}.$

This has the ██████ of "█████████ ███ the ██████" of the ████████ ███████, ███████ a ███████ ███████ $\cdots \leftarrow C_{i+1}^{*}{\stackrel {d_{i}}{\leftarrow }}\ C_{i}^{*}{\stackrel {d_{i-1}}{\leftarrow }}C_{i-1}^{*}\leftarrow \cdots$

For an ███████ $█$ , the $█$ ^██ ██████████ █████ of $█$ with ████████████ in $A$ is ███████ to be $\operatorname {ker} (d_{i})/\operatorname {im} (d_{i-1})$ and ███████ by $H^{i}(X,A)$ . The █████ $H^{i}(X,A)$ is ████ for $█$ ████████. The ████████ of $C_{i}^{*}$ are ██████ ████████ $█$ -████████ with ████████████ in $A$ . (████████████, an $█$ -███████ on $█$ can be ██████████ with a ████████ from the ███ of ████████ $█$ -█████████ in $█$ to $A$ .) ████████ of $\ker(d)$ and ${\textrm {im}}(d)$ are ██████ ████████ and ████████████, ████████████, █████ ████████ of $\operatorname {ker} (d_{i})/\operatorname {im} (d_{i-1})=H^{i}(X,A)$ are ██████ ██████████ ███████ (because they are ███████████ ███████ of ████████).

In ████ ███████, the ███████████ █████ $A$ is █████████ not ███████. It is ██████ to ████ $A$ to be a ███████████ ████ $█$ ; ████ the ██████████ ██████ are $█$ -███████. A ████████ ██████ is the ████ $\mathbb {Z}$ of ████████.

Some of the ██████ ██████████ of ██████████ are ████ █████ ████████ of the ██████████ of ████████:

A ██████████ ███ $f:X\to Y$ ██████████ a ███████████ ████████████ $f_{*}:H_{i}(X)\to H_{i}(Y)$ on ████████ and a ████████ ████████████ $f^{*}:H^{i}(Y)\to H^{i}(X)$ on ██████████. This █████ ██████████ into a █████████████ ███████ from ███████████ ██████ to ███████ ██████ (or $█$ -███████).
███ █████████ ████ from $█$ to $█$ ██████ the ████ ████████████ on ██████████ (████ as on ████████).
The █████–████████ ████████ is an █████████ █████████████ ████ in ██████████, as in ████████. ████ that the ████████ ████████████ █████████ (██████ than █████████) ██████ in ██████████. That is, if a █████ $█$ is the █████ of ████ ███████ $█$ and $█$ , ████ there is a ████ █████ ████████: $\cdots \to H^{i}(X)\to H^{i}(U)\oplus H^{i}(V)\to H^{i}(U\cap V)\to H^{i+1}(X)\to \cdots$
There are ████████ ██████████ ██████ $H^{i}(X,Y;A)$ for ███ ████████ $█$ of a █████ $█$ . They are ███████ to the █████ ██████████ ██████ by a ████ █████ ████████: $\cdots \to H^{i}(X,Y)\to H^{i}(X)\to H^{i}(Y)\to H^{i+1}(X,Y)\to \cdots$
The █████████ ███████████ ███████ █████████ ██████████ in █████ of ████████, using ███ ██████. ██████, there is a █████ █████ ████████ $0\to \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(\operatorname {H} _{i-1}(X,\mathbb {Z} ),A)\to H^{i}(X,A)\to \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(H_{i}(X,\mathbb {Z} ),A)\to 0.$ A ███████ █████████ is that for a █████ $█$ , $H^{i}(X,F)$ is █████████ the ████ █████ of the ██████ █████ $H_{i}(X,F)$ .
If $█$ is a ███████████ ████████ or a ██ ███████, ████ the ██████████ ██████ $H^{i}(X,A)$ are ████ for $█$ ███████ than the █████████ of $█$ . If $█$ is a ███████ ████████ (████████ with ████████), or a ██ ███████ with ████████ ████ █████ in ████ █████████, and $█$ is a ███████████ ██████████ ████, ████ the $█$ -██████ $H^{i}(X,R)$ is ████████ █████████ for ████ $█$ .