███████ ██████████████

In ████████ ██████, a ██████ of ███████████, a ███████ ██████████████ ████████ a ███ of ████████████ ███ ███████ into ███████ █████ ██████████ the ████████ █████████ (█.█., the ███████████ of █████████) of the ██████████ ████████. █████, a ███████ ██████████████ can be ██████████ to be a "████████ of ████████". ██████████, the ██████ of a ███████ ██████████████ ██████ that a ██████████ ███ between ████████ can be ████ ████████████ over an ██████ ████████.

██████, this █████████ can be ██████████ to ██████ ██-██████ ███████ ██████████. ███████ ███████████████ are, after ██████████ and ████████, ███ of the ████ ███████████ ███████ of ████████ ██████ and ████████████ ██████ in the ████████ of ███ ████████████.

██████████

If $█$ and $█$ are ████████ between the ██████████ ${\mathcal {C}}$ and ${\mathcal {D}}$ (████ from ${\mathcal {C}}$ to ${\mathcal {D}}$ ), ████ a ███████ ██████████████ $\eta$ from $█$ to $█$ is a ██████ of █████████ $(\eta _{X})_{X\in {\text{ob}}({\mathcal {C}})}$ , █████ $\eta _{X}:F(X)\to G(X)$ . The ████████ $\eta _{X}$ is ██████ "the █████████ of $\eta$ at $█$ " or "the $█$ █████████ of $\eta$ ." The ██████████ of $\eta$ are ████ that for █████ ████████ $f:X\to Y$ in ${\mathcal {C}}$ ██ have $\eta _{Y}\circ F(f)=G(f)\circ \eta _{X}.$

This ████████ can be ████████████ █████████ by the following ███████████ ███████:

If ████ $█$ and $█$ are ███████ █████████████ ████████, the ████████ ██████ in the █████ ███████ are ████████. If $\eta$ is a ███████ ██████████████ from $█$ to $█$ , ██ ████ █████ $\eta :F\to G$ or $\eta :F\Rightarrow G$ . This is ████ █████████ by ██████ the ██████ of █████████ $\eta _{X}:F(X)\to G(X)$ is ███████ in $█$ .

If, for █████ ██████ $█$ in ${\mathcal {C}}$ , the ████████ $\eta _{X}$ is an ███████████ in ${\mathcal {D}}$ , ████ $\eta$ is ████ to be a ███████ ███████████ (or █████████ ███████ ███████████ or ███████████ of ████████). ███ ████████ $█$ and $█$ are ██████ █████████ ██████████ or ██████ ██████████ if there ██████ a ███████ ███████████ from $█$ to $█$ in █████ ████████.

An ████████████ ██████████████ $\eta :F\Rightarrow G$ is ██████ the ██████ of ██████████ for ███ $█$ in ${\mathcal {C}}$ . ████, a ███████ ██████████████ is a ███████ ████ of an ████████████ ██████████████ for which $\eta _{Y}\circ F(f)=G(f)\circ \eta _{X}$ for █████ ████████ $f:X\to Y$ in ${\mathcal {C}}$ . The ███████████ of $\eta$ , $\operatorname {nat} (\eta )$ , is the ███████ ███████████ ${\mathcal {C}}_{S}\subseteq {\mathcal {C}}$ (█ for ███████████) ██████████ ███ the ███████ of ${\mathcal {C}}$ on which $\eta$ █████████ to a ███████ ██████████████. █████████████ ███, $\operatorname {nat} (\eta )$ is the ███████ ${\mathcal {C}}_{S}\subseteq {\mathcal {C}}$ ████ that $\,\eta |_{{\mathcal {C}}_{S}}\ :\ F|_{{\mathcal {C}}_{S}}\implies G|_{{\mathcal {C}}_{S}}$ :\ █|█{{\███████ {█}}█{█}}\███████ █|█{{\███████ {█}}█{█}}} .

████████

Opposite █████

██████████ ████ as

"█████ █████ is █████████ ██████████ to ███ opposite █████"

██████ in ██████ ███████████. ██ will ███ ████ the ███████ ███████ of this █████████ as ████ as ███ █████. ████████ the ████████ ${\textbf {Grp}}$ of ███ ██████ with █████ █████████████ as █████████. If $(G,*)$ is a █████, ██ ██████ ███ opposite █████ $(G^{\text{op}},{*}^{\text{op}})$ as ███████: $G^{\text{op}}$ is the ████ ███ as $█$ , and the █████████ $*^{\text{op}}$ is ███████ by $a*^{\text{op}}b=b*a$ . ███ ███████████████ in $G^{\text{op}}$ are ████ "██████ around". ███████ the opposite █████ ███████ a (█████████) ███████ from ${\textbf {Grp}}$ to ${\textbf {Grp}}$ if ██ ██████ $f^{\text{op}}=f$ for ███ █████ ████████████ $f:G\to H$ . ████ that $f^{\text{op}}$ is ██████ a █████ ████████████ from $G^{\text{op}}$ to $H^{\text{op}}$ :

f^{\text{op}}(a*^{\text{op}}b)=f(b*a)=f(b)*f(a)=f^{\text{op}}(a)*^{\text{op}}f^{\text{op}}(b).

The ███████ of the above █████████ is:

"The ████████ ███████

{\text{Id}}_{\textbf {Grp}}:{\textbf {Grp}}\to {\textbf {Grp}}

is █████████ ██████████ to the opposite ███████

{\text{op}}:{\textbf {Grp}}\to {\textbf {Grp}}

To █████ this, ██ ████ to ███████ ████████████ $\eta _{G}:G\to G^{\text{op}}$ for █████ █████ $█$ , ████ that the above ███████ ████████. ███ $\eta _{G}(a)=a^{-1}$ . The ████████ $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}=a^{-1}*^{\text{op}}b^{-1}$ and $(a^{-1})^{-1}=a$ ████ that $\eta _{G}$ is a █████ ████████████ with ███████ $\eta _{G^{\text{op}}}$ . To █████ the ██████████, ██ █████ with a █████ ████████████ $f:G\to H$ and ████ $\eta _{H}\circ f=f^{\text{op}}\circ \eta _{G}$ , █.█. $(f(a))^{-1}=f^{\text{op}}(a^{-1})$ for ███ $a$ in $█$ . This is ████ since $f^{\text{op}}=f$ and █████ █████ ████████████ has the ████████ $(f(a))^{-1}=f(a^{-1})$ .

██████████████

█████ a █████ $█$ , ██ can ██████ ███ ██████████████ $G^{\text{ab}}=G/[G,G]$ , █████ $[G,G]$ ███████ the ██████████ ████████ of $█$ . ███ $\pi _{G}:G\to G^{\text{ab}}$ ██████ the ██████████ ███ onto the ██████ of $[G,G]$ . This ████████████ is "███████ in $█$ ", █.█., it ███████ a ███████ ██████████████, which ██ ███ █████. ███ $█$ be a █████. For ███ ████████████ $f:G\to H$ , ██ have that $[G,G]$ is █████████ in the ██████ of $\pi _{H}\circ f$ , because ███ ████████████ into an ███████ █████ █████ the ██████████ ████████. ████ $\pi _{H}\circ f$ ███████ through $G^{\text{ab}}$ as $f^{\text{ab}}\circ \pi _{G}=\pi _{H}\circ f$ for a ██████ ████████████ $f^{\text{ab}}:G^{\text{ab}}\to H^{\text{ab}}$ . This █████ ${\text{ab}}:{\textbf {Grp}}\to {\textbf {Grp}}$ a ███████ and $\pi$ a ███████ ██████████████, but not a ███████ ███████████, from the ████████ ███████ to ${\text{ab}}$ .

████████ ████████████

████████ and ███████ ███████████████ ██████ in █████████ ████████, with the ████████ █████████████ ███████ as ████████. For ███ ███████ ███████████ █████ $(X,x)$ and ████████ ███████ $█$ there ██████ a █████ ████████████

h_{n}\colon \pi _{n}(X,x)\to H_{n}(X)

from the $█$ -██ ████████ █████ of $(X,x)$ to the $█$ -██ ████████ █████ of $█$ . ████ $\pi _{n}$ and $H_{n}$ are ████████ from the ████████ ███^* of ███████ ███████████ ██████ to the ████████ ███ of ██████, and $h_{n}$ is a ███████ ██████████████ from $\pi _{n}$ to $H_{n}$ .

███████████

█████ ███████████ █████ $█$ and $█$ with a ████ ████████████ $f:R\to S$ , the ██████████ ██████ of ██████████ $n\times n$ ████████ ${\text{GL}}_{n}(R)$ and ${\text{GL}}_{n}(S)$ ███████ a ████████████ which ██ ██████ by ${\text{GL}}_{n}(f)$ , ████████ by ████████ $█$ to ████ ██████ █████. █████████, $█$ █████████ to a █████ ████████████ $f^{*}:R^{*}\to S^{*}$ , █████ $R^{*}$ ███████ the █████ of █████ of $█$ . In ████, ${\text{GL}}_{n}$ and $*$ are ████████ from the ████████ of ███████████ █████ ${\textbf {CRing}}$ to ${\textbf {Grp}}$ . The ███████████ on the █████ ${\text{GL}}_{n}(R)$ , ███████ by ${\text{det}}_{R}$ , is a █████ ████████████

{\mbox{det}}_{R}\colon {\mbox{GL}}_{n}(R)\to R^{*}

which is ███████ in $█$ : because the ███████████ is ███████ by the ████ ███████ for █████ ████, $f^{*}\circ {\text{det}}_{R}={\text{det}}_{S}\circ {\text{GL}}_{n}(f)$ █████. This █████ the ███████████ a ███████ ██████████████ from ${\text{GL}}_{n}$ to $*$ .

██████ ████ of a ██████ █████

If $█$ is a █████, ████ for █████ ██████ █████ $█$ over $█$ ██ have a "███████" █████████ ██████ ███ $V\to V^{**}$ from the ██████ █████ into ███ ██████ ████. █████ ████ are "███████" in the following █████: the ██████ ████ █████████ is a ███████, and the ████ are the ██████████ of a ███████ ██████████████ from the ████████ ███████ to the ██████ ████ ███████.

██████ ████████

For █████ ███████ █████ $█$ , the ███ ${\text{Hom}}_{\textbf {Set}}(\mathbb {Z} ,U(G))$ of █████████ from the ████████ to the ██████████ ███ of $█$ █████ an ███████ █████ $V_{\mathbb {Z} }(G)$ under █████████ ████████. (████ $█$ is the ████████ █████████ ███████ $U:{\textbf {Ab}}\to {\textbf {Set}}$ .) █████ an ${\textbf {Ab}}$ ████████ $\varphi :G\to G'$ , the ███ $V_{\mathbb {Z} }(\varphi ):V_{\mathbb {Z} }(G)\to V_{\mathbb {Z} }(G')$ █████ by ████ █████████ $\varphi$ with the ████████ of the ██████ is ██████ a ████████████ of ███████ ██████; in this ███ ██ ██████ a ███████ $V_{\mathbb {Z} }:{\textbf {Ab}}\to {\textbf {Ab}}$ . The ██████ ██████████ ████████ $\Delta _{G}$ ██████ ████ ████████ $f:\mathbb {Z} \to U(G)$ to $\Delta (f):n\mapsto f(n+1)-f(n)$ is a ███ from $V_{\mathbb {Z} }(G)$ to ██████, and the ██████████ $\Delta$ of ████ ████ █████ a ███████ ██████████████ $\Delta :V_{\mathbb {Z} }\to V_{\mathbb {Z} }$ .

██████ and ███ of ███████

███ $\varphi :M\longrightarrow M^{\prime }$ be an $█$ -██████ ████████████ of █████ ███████. For █████ ████ ██████ $█$ there is a ███████ ███ $\varphi \otimes N:M\otimes _{R}N\longrightarrow M^{\prime }\otimes _{R}N$ , ████ a ███████ ██████████████ $\eta :M\otimes _{R}-\implies M'\otimes _{R}-$ . For █████ █████ ██████ $█$ there is a ███████ ███ $\eta _{N}:{\text{Hom}}_{R}(M',N)\longrightarrow {\text{Hom}}_{R}(M,N)$ ███████ by $\eta _{N}(f)=f\varphi$ , ████ a ███████ ██████████████ $\eta :{\text{Hom}}_{R}(M',-)\implies {\text{Hom}}_{R}(M,-)$ :{\████{███}}█{█}(█',-)\███████ {\████{███}}█{█}(█,-)} .

██████-███ ██████████

████████ the ████████ ${\textbf {Ab}}$ of ███████ ██████ and █████ █████████████. For ███ ███████ ██████ $█$ , $█$ and $█$ ██ have a █████ ███████████

{\text{Hom}}(X\otimes Y,Z)\to {\text{Hom}}(X,{\text{Hom}}(Y,Z))

█████ ████████████ are "███████" in the █████ that they ██████ a ███████ ██████████████ between the ███ ████████ ████████ ${\textbf {Ab}}^{\text{op}}\times {\textbf {Ab}}^{\text{op}}\times {\textbf {Ab}}\to {\textbf {Ab}}$ . (████ "██" is the opposite ████████ of ${\textbf {Ab}}$ , not to be ████████ with the ███████ opposite █████ ███████ on ${\textbf {Ab}}$ !)

This is ████████ the ██████-███ ██████████, and is an ██████████ ███████ of a ████ of ███████ ████████. ███████ ███████████████ █████ ██████████ in ███████████ with ███████ ████████, and ██████, ███████ ████████ are ███████ by a ███████ ███████ ███████████. ████████████, █████ ████ of ███████ ████████ █████ ████████ with ███ ███████ ███████████████ (█████████ not ████████████) ██████ the ████ and ██████.

█████████ ███████████

The ██████ of a ███████ ██████████████ is ███████████, and ██████ (██████████) that a ██████████ ███ between ████████ can be ████ ████████████ over an ██████ ████████. ██████████, a ██████████ ███ (███. an ███████████) between ██████████ ███████ (not ██████ ██████████) is ████████ to as a "███████ ███████████", ███████ ██████████ that it is ████████ ███████ on the ██████ ████████, and ███████ a ███████ ██████████████ of ████████; ███████████ this █████████ was a ██████████ ██████ in the ███████████ of ████████ ██████.

██████████, a ██████████ ███ between ██████████ ███████ ███ be ██████ an █████████ ███████████ (or "an ███████████ that is not ███████") if the ███ ██████ be ████████ to a ███████ ██████████████ on the ██████ ████████. █████ an ██████ $█,$ a ███████ $█$ (██████ for ██████████ the █████ ███████ to be the ████████) and an ███████████ $\eta \colon X\to G(X),$ █████ of ████████████ is ████ ██████ █████ by ██████ an ████████████ $A\colon X\to X$ that ████ not ███████ with this ███████████ (██ $\eta \circ A\neq G(A)\circ \eta$ ). ████ ████████, if ███ ██████ to █████ that $█$ and $G(X)$ are not █████████ ██████████, without █████████ to a ██████████ ███████████, this ████████ ███████ that for ███ ███████████ $\eta$ , there is some $A$ with which it ████ not ███████; in some █████ a ██████ ████████████ $A$ █████ for ███ █████████ ████████████ $\eta$ █████ in █████ █████ ███ ████ ████ ███ to █████████ a █████████ $A_{\eta }$ for ████ ███████████. The ████ of the ████████ ████ a ███████ ████ – ███ ████████████ █████████ is ███████ if the ████ ████ are the ████████ ███, for ████████.

This is ███████ (but ████ ███████████) to ████████ in █████ ██████ or ██████ ██████, █████ a █████ █████████████ of an ██████ into a ██████ ███ is "not ███████", or ██████ "not ██████", as █████████████ █████ that do not ████████ the ██████ ███ █████████████ – ███ █████████ ███████ for ████████ █████████ ███████ over a █████████ █████ ██████ § ██████████ for ███████.

Some ███████ ███████████ ████████████, using $\cong$ for a ███████ ███████████ and $\approx$ for an █████████ ███████████, █████████ $=$ for ████████ (███████ ████████ of ████).

███████: ████ of a ██████-███████████ ██████ █████

█████ ██████-███████████ ██████ █████ is ██████████ to ███ ████ █████, but there ███ be ████ █████████ ████████████ between the ███ ██████. There is in ███████ ██ ███████ ███████████ between a ██████-███████████ ██████ █████ and ███ ████ █████. ███████, ███████ ██████████ (with ██████████ █████████ and ████████████ on the ████) do have a ███████ ███████████, as █████████ below.

The ████ █████ of a ██████-███████████ ██████ █████ is █████ a ██████-███████████ ██████ █████ of the ████ █████████, and █████ are ████ ██████████, since █████████ is the ████ █████████ of ██████-███████████ ██████ ██████ over a █████ █████. ███████, in the ███████ of ██████████ ███████████ (████ as a ███████████ that ████ ████████ the ██████ █████), the ███ from a █████ to ███ ████ is not ██████, and ████ ████ an ███████████ ████████ a ██████, and is "not ███████". On the ████████ of ██████-███████████ ██████ ██████ and ██████ ████, ███ can ██████ an ████████████ ███████████ from ██████ ██████ to █████ ████ by ████████ an ███████████ for ████ █████ (███, by ████████ a █████ for █████ ██████ █████ and ██████ the █████████████ ███████████), but this will not ██████ a ███████ ██████████████. ███████████ this is because it ████████ a ██████, ██████████ because ███ ████ ██████ of ████████████ will not ███████ with, ███, the ████ ███; ███ (███ ████ & ████████ ████, §██.█) for ████████ ██████████.

████████ from ██████-███████████ ██████ ██████ (as ███████) and the ████████ and ████ ████████, ███ can ██████ a ███████ ███████████, but this ████████ █████ ██████ ██████████ █████████, ████ ███████████ the ████ from "███ ██████ ████" to "██████ ████ that ███████ this █████████". ██████████, for ████ ██████ █████, ███████ that it █████ with the ████ of an ███████████ to ███ ████, $\eta _{V}\colon V\to V^{*}$ . In █████ █████, ████ as ███████ ██████ ██████ with a █████████████ ████████ ████ $b_{V}\colon V\times V\to K$ . This ███████ an ████████████ ███████████ (███████████ for ████ ██████). ███ ████ █████████ the ████ to ████ █████ ████ $T\colon V\to U$ that ███████ with the ████████████: $T^{*}(\eta _{U}(T(v)))=\eta _{V}(v)$ or in █████ █████, ████████ the ████████ ████: $b_{U}(T(v),T(w))=b_{V}(v,w)$ . (█████ ████ ██████ the ███████████ of the ████████████.) The █████████ ████████, with ███████ ██████-███████████ ██████ ██████ with a █████████████ ████████ ████, and ████ ██████ ██████████ that ███████ the ████████ ████, by ████████████ has a ███████ ███████████ from the ████████ to the ████ (████ █████ has an ███████████ to ███ ████, and the ████ in the ████████ are ████████ to ███████). ██████ in this █████, this ████████████ (███ ██████████ for ████ ██████, ████████ ████ to ███████ with █████) is ██████████ ███████, and ████ not ██████ on ███ ██████████ ██████████ of ██████ ██████.

In this ████████ (██████-███████████ ██████ ██████ with a █████████████ ████████ ████, ████ ██████ ██████████ that ███████ the ████████ ████), the ████ of a ███ between ██████ ██████ can be ██████████ as a █████████. █████ for ███████ of █████████ ████████ this is ███████████ to a ███████████, by █████████ that the █████████████ ████████ █████ have ██████████ ██████████, ████ as being █████████ (██████████ ████████), █████████ and ████████ ████████ (█████ ███████ █████), █████████ ████████████ (█████████ ██████), ████-█████████ and ███████ █████████ (██████████ ██████ █████), ███. – in ███ █████ ██████████ a ██████ █████ is █████████ ██████████ with ███ ████, by the █████████████ ████████ ████.

██████████ with ███████ ███████████████

████████ ███████████

If $\eta :F\Rightarrow G$ and $\epsilon :G\Rightarrow H$ are ███████ ███████████████ between ████████ $F,G,H:C\to D$ , ████ ██ can ███████ ████ to ███ a ███████ ██████████████ $\epsilon \circ \eta :F\Rightarrow H$ . This is ████ █████████-████:

(\epsilon \circ \eta )_{X}=\epsilon _{X}\circ \eta _{X}

This ████████ ███████████ of ███████ ███████████████ is ███████████ and has an ████████, and ██████ ███ to ████████ the ██████████ of ███ ████████ $C\to D$ ██████ as a ████████ (███ below under ███████ ██████████). The ████████ ███████ ██████████████ $\mathrm {id} _{F}$ on ███████ $█$ has ██████████ $(\mathrm {id} _{F})_{X}=\mathrm {id} _{F(X)}$ .

For

\eta :F\Rightarrow G

\mathrm {id} _{G}\circ \eta =\eta =\eta \circ \mathrm {id} _{F}

██████████ ███████████

If $\eta :F\Rightarrow G$ is a ███████ ██████████████ between ████████ $F,G:C\to D$ and $\epsilon :J\Rightarrow K$ is a ███████ ██████████████ between ████████ $J,K:D\to E$ , ████ the ███████████ of ████████ ██████ a ███████████ of ███████ ███████████████ $\epsilon *\eta :J\circ F\Rightarrow K\circ G$ with ██████████

(\epsilon *\eta )_{X}=\epsilon _{G(X)}\circ J(\eta _{X})=K(\eta _{X})\circ \epsilon _{F(X)}

By using ██████████ (███ below), ██ can █████

(\epsilon *\eta )_{X}=(\epsilon G)_{X}\circ (J\eta )_{X}=(K\eta )_{X}\circ (\epsilon F)_{X}

█████

\epsilon *\eta =\epsilon G\circ J\eta =K\eta \circ \epsilon F

This ██████████ ███████████ of ███████ ███████████████ is ████ ███████████ with ████████. This ████████ is the ████████ ███████ ██████████████ on the ████████ ███████, █.█., the ███████ ██████████████ that █████████ to ████ ██████ ███ ████████ ████████: for ██████ $█$ in ████████ $█$ , $(\mathrm {id} _{\mathrm {id} _{C}})_{X}=\mathrm {id} _{\mathrm {id} _{C}(X)}=\mathrm {id} _{X}$ .

For

\eta :F\Rightarrow G

with

F,G:C\to D

\mathrm {id} _{\mathrm {id} _{D}}*\eta =\eta =\eta *\mathrm {id} _{\mathrm {id} _{C}}

As ████████ ████████ $\mathrm {id} _{C}$ and $\mathrm {id} _{D}$ are ████████, the ████████ for ██████████ ███████████ is ████ the ████████ for ████████ ███████████, but not ████ █████.

██████████

██████████ is an ████████ ██████ █████████ between a ███████ and a ███████ ██████████████.

If $\eta :F\Rightarrow G$ is a ███████ ██████████████ between ████████ $F,G:C\to D$ , and $H:D\to E$ is ███████ ███████, ████ ██ can ████ the ███████ ██████████████ $H\eta :H\circ F\Rightarrow H\circ G$ by ████████

(H\eta )_{X}=H(\eta _{X})

If on the █████ ████ $K:B\to C$ is a ███████, the ███████ ██████████████ $\eta K:F\circ K\Rightarrow G\circ K$ is ███████ by

(\eta K)_{X}=\eta _{K(X)}

It's ████ a ██████████ ███████████ █████ ███ of the ███████ ███████████████ is the ████████ ███████ ██████████████:

H\eta =\mathrm {id} _{H}*\eta

and

\eta K=\eta *\mathrm {id} _{K}

████ that $\mathrm {id} _{H}$ (████. $\mathrm {id} _{K}$ ) is █████████ not the ████ (████. █████) ████████ of ██████████ ███████████ $*$ ( $H\eta \neq \eta$ and $\eta K\neq \eta$ in ███████), except if $█$ (████. $█$ ) is the ████████ ███████ of the ████████ $█$ (████. $█$ ).

███████████ ███

The ███ ██████████ are ███████ by an ████████ which █████████ ████████ ███████████ with ██████████ ███████████: if ██ have ████ ███████ ███████████████ $\alpha ,\alpha ',\beta ,\beta '$ as █████ on the █████ to the █████, ████ the following ████████ █████:

(\beta '\circ \alpha ')*(\beta \circ \alpha )=(\beta '*\beta )\circ (\alpha '*\alpha )

████████ and ██████████ ████████████ are ████ ██████ through ████████ ███████ ███████████████:

for

F:C\to D

and

G:D\to E

\mathrm {id} _{G}*\mathrm {id} _{F}=\mathrm {id} _{G\circ F}

As ██████████ is ██████████ ███████████ with an ████████, the ███████████ ███ █████ ███████████ the ███████ ████████ of ██████████ ███████████ of $\eta :F\Rightarrow G$ and $\epsilon :J\Rightarrow K$ without ██████ to ███████ ██████████ and the ███████████ ███████:

{\begin{aligned}\epsilon *\eta &=(\epsilon \circ \mathrm {id} _{J})*(\mathrm {id} _{G}\circ \eta )=(\epsilon *\mathrm {id} _{G})\circ (\mathrm {id} _{J}*\eta )=\epsilon G\circ J\eta \\&=(\mathrm {id} _{K}\circ \epsilon )*(\eta \circ \mathrm {id} _{F})=(\mathrm {id} _{K}*\eta )\circ (\epsilon *\mathrm {id} _{F})=K\eta \circ \epsilon F\end{aligned}}

███████ ██████████

If $█$ is ███ ████████ and $█$ is a █████ ████████, ██ can ████ the ███████ ████████ $C^{I}$ ██████ as ███████ ███ ████████ from $█$ to $█$ and as █████████ the ███████ ███████████████ between █████ ████████. This █████ a ████████ since for ███ ███████ $█$ there is an ████████ ███████ ██████████████ $1_{F}:F\to F$ (which ███████ to █████ ██████ $█$ the ████████ ████████ on $F(X)$ ) and the ███████████ of ███ ███████ ███████████████ (the "████████ ███████████" above) is █████ a ███████ ██████████████.