███████ █████████

In ███████████, the ███████ █████████ (██) is an ████████ █████████ that █████ a ████████ as █████ and ███████ ███████ ████████ that █████████ the ██████ to which ███████ ███████████ are ███████ in the ████████ ████████. The ██████ of the █████████ is a ███████ ██████ ████████ of █████████. The ████ ███████ █████████ ██████ to ████ the ████████████ █████████ and to this ███████-██████ ████████. ████ a ███████████ █████ to be ████, the ██████ of the █████████ is █████████ ██████ the █████████ ██████ ██████████████ of the ████████ ████████. The ███████ █████████ is █████████ to ███████████ the █████ of a ███████ █████ into the ███████████ of ███ ███████████ ███████.

█████████ that are █████████ in the ████ ██████ have ███████ ██████████ that are ██████ out across the █████████ ██████ and ████ █████, a ██████████ █████ as the ███████████ █████████. The ████████ ████ for this █████████ is the ████████ ████████, of ███████████ ██████████ in ███████████ ██████ and ██████████ as ████ as in the █████ of ████████ █████████ ██████████ ██████ ████████████ (█.█., █████████). The ███████ █████████ of a ████████ ████████ is ███████ ████████ ████████. ██████ ███████ ██████████ ████ and ██████ ██████████ (which ██████████ to the █████████ and ████ ██████████ of the ██████ ███████ █████████) in ███ █████ of ████ ████████, █████ ████████ █████████ ██████ as █████████ of the ████ ████████.

The ███████ █████████ can be ████████ ███████ as an ████████ ███████ ████████, ██████ it an ████████ █████████, ████████ this ██████████ is not ████████ for ████ ████████████ █████████ a ████ █████████████ ███████████ ██████. For ███████, ████ ██████████ ██████ ████████████ use the █████ █████ ████████, which can be ███████ ████████ as if it were a ████████, but the █████████████ ████████ a ██████████████ ████ █████████████ █████████.

The ███████ █████████ can ████ be ███████████ to █████████ of ███████ █████████ on █████████ █████, ███████ a ████████ of █-███████████ "████████ █████" to a ████████ of █-███████████ ████████ (or a ████████ of █████ and ████ to a ████████ of █-████████). This ████ █████ the ███████ ███████ █████████ ████ ███████ in the █████ of █████, as ████ as in ███████ █████████, █████ it is █████████ to be ████ to █████████ ████ █████████ as █████████ of ██████ ████████ or ████████ and █████████ ████. In ███████, █████████ to which ███████ ███████ are ██████████ are ███████-██████, and ████████ ██████-██████. █████ ███████ ██████████████ is ████████ to █████████ on ██████, which, ███████ the ████████ ███████ █████████ on █ or █^█, ███████ ████████ the ████████-████ ███████ █████████ (████, █████ = █), the ████████ ███████ █████████ (███, █████ = █ ███ █) and the ███████ ██████ or ████████ ███████ █████████ (█████ = █^█, the ████ ██████ ≈ ██████ ██████ ████████ with █████████ ██████████). The ██████ is █████████ ████████ to ██████ ████████ █████████. The ████ ███████ █████████ (███) is an █████████ for █████████ the ███.

██████████

The ███████ █████████ of a ████████ ██████████ ███████-██████ ████████ $f(x)$ on the ████ ████, is the ███████ ██████ ████████ ⁠ ${\widehat {f}}(\xi )$ ⁠, ███████ by the ████████

███████ █████████

████ $f(x)$ is (████████) ██████████ over the █████ ████ ████, the above ████████ █████████ for ███ $\xi \in \mathbb {R}$ , and ${\widehat {f}}(\xi )$ is a █████████ ██████████ ████████ of $\xi$ which ██████ to ████ as ⁠ $\xi \to \infty$ ⁠.

███████, the ███████ █████████ can ████ be ███████ for (███████████) █████████ for which the ████████ ████████ ██.█ ████ not ████ █████. ████████████ the ████████ ████████ (█.█. as an ████████ ████████ for ███████ ██████████ █████████) ███████ the ███████ █████████ to █████████ that are not ███████████ ██████████ over the █████ ████ ████. ████ █████████, the ███████ █████████ ████ ███████ to ███████████ █████████ like the █████ █████ (and ███ █████ ████████ █████████████), in which ████ it is ███████ by ███████ ██████ than an ████████.

█████ ██████████ in ███████'s ██████████ ██████ of ████., the █████████████ █████████ ███████ for █████████ ██████████ ██████████ ██████████ and █████ ██████████ is █████ by the ███████ █████████ ███████, █.█.,

███████ █████████

The █████████ $█$ and ${\widehat {f}}$ are ████████ to as a ███████ █████████ ████. A ██████ ████████ for ███████████ █████████ █████ is: $f(x)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ {\widehat {f}}(\xi ).$ For ███████, the ███████ █████████ of the █████ ████████ is the ████████ ████████ ⁠ $█$ ⁠: $\delta (x)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ 1.$

███████ █████████ (█)

████ the ███████████ ████████ (⁠ $█$ ⁠) ██████████ ████ (█████ ███████ by ⁠ $█$ ⁠), the █████████ ████████ (⁠ $\xi$ ⁠) ██████████ █████████ (█████ ███████ by ⁠ $█$ ⁠). For ███████, if ████ has the ████ ██████, ████ █████████ has the ████ █████. The █████████ ████████ can ████ be ███████ in █████ of ███████ █████████, ⁠ $\omega =2\pi \xi$ ⁠, with the ████ ██████ per ██████.

The ████████████ $\xi ={\tfrac {\omega }{2\pi }}$ into ██.█ ████████ this ██████████, █████ ████████ ${\widehat {f}}$ is █████████ ⁠ ${\widehat {f}}_{1}$ ⁠: ${\begin{aligned}{\widehat {f}}_{3}(\omega )&\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cdot e^{-i\omega x}\,dx={\widehat {f}}_{1}\left({\tfrac {\omega }{2\pi }}\right),\\f(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}_{3}(\omega )\cdot e^{i\omega x}\,d\omega .\end{aligned}}$ Unlike the ██.█ ██████████, the ███████ █████████ is ██ ██████ a ███████ ██████████████, and there is ████ ████████ between the ████████ for the █████████ and ███ ███████. █████ ██████████ are ████████ by █████████ the $2\pi$ ██████ ██████ between the █████████ and ███ ███████, which █████ to ███████ ██████████: ${\begin{aligned}{\widehat {f}}_{2}(\omega )&\triangleq {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cdot e^{-i\omega x}\,dx={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\ \ {\widehat {f}}_{1}\left({\tfrac {\omega }{2\pi }}\right),\\f(x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}_{2}(\omega )\cdot e^{i\omega x}\,d\omega .\end{aligned}}$ ██████████ of ███ █████ ███████████ can be ███████ by ███████████ the ███████-███████████ ██████ of ████ the ███████ and the ███████ █████████. The █████ ████ be █████████.

████████ ██████████ █████████

A ██████████ ████████ $f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ is ██████ (████████) ██████████ if the ████████ ████████ of ███ ████████ █████ is ██████: $\|f\|_{1}=\int _{\mathbb {R} }|f(x)|\,dx<\infty .$ If $█$ is ████████ ██████████ ████ the ███████ █████████, █████ by ██.█, is ████-███████ for ███ ⁠ $\xi \in \mathbb {R}$ ⁠. ███████████, ${\widehat {f}}\in L^{\infty }\cap C_{0}(\mathbb {R} )$ is ███████, █████████ ██████████ and (by the ███████–████████ █████) █████████ at ████████. ████ $C_{0}(\mathbb {R} )$ ███████ the █████ of ██████████ █████████ on $\mathbb {R}$ that ████████ █ as █ ██████████ ████████ or ████████ ████████.

The █████ $L^{1}(\mathbb {R} )$ is the █████ of ██████████ █████████ for which the ████ $\|f\|_{1}$ is ██████, ██████ the ███████████ ████████ of ████████ ██████ ██████████. The ███████ █████████ on $L^{1}(\mathbb {R} )$ is ███-to-███. ███████, there is ██ ████ ████████████████ of the █████, and ████ ██ ████ ████████████████ of the ███████ █████████. In ██████████, ██.█ is ██ ██████ █████, as it was ██████ ████ under the ██████████ that $f(x)$ was "████████████ ████" (█.█., $f(x)$ ██████ with ███ ███████████).

█████ ██.█ ███████ the ███████ █████████ for (███████-██████) █████████ in ⁠ $L^{1}(\mathbb {R} )$ ⁠, it is not ████-███████ for █████ █████████████ ███████, ████ ███████████ the █████ of ██████-██████████ █████████ ⁠ $L^{2}(\mathbb {R} )$ ⁠. For ███████, the ████████ $f(x)=(1+x^{2})^{-1/2}$ is in $L^{2}$ but not $L^{1}$ and █████████ the ████████ ████████ ██.█ ████ not █████. ███████, the ███████ █████████ on the █████ ████████ $L^{1}\cap L^{2}(\mathbb {R} )\subset L^{2}(\mathbb {R} )$ ██████ a ██████ ██████████ █████████ to a ███████ ████████ on ⁠ $L^{2}(\mathbb {R} )$ ⁠. This █████████ is █████████ in ████ because, unlike the ████ of ⁠ $L^{1}$ ⁠, the ███████ █████████ is an ████████████ of the █████ ⁠ $L^{2}(\mathbb {R} )$ ⁠.

In ████ █████, the ███████ █████████ can be ████████ ██████████ by ████████████ the ████████, and ████ ███████ to a █████. In ████████, the ████████ is █████ ████████ as an ████████ ████████ ███████ of a ██████ ████████ ████████, but █████████ for ███████████ ███ █████ to use ████ █████ or █████████ █████ ███████ of the (█████████) ██████ ████████ in an ████████ ████████. ██████████ (████) and ███ & ██████ (████) ████ █████ █████ ████████ ████ of █████████ the ███████ █████████ to ██████ ██████████ █████████ using this █████████. A ███████ █████████ in ███████ with the $L^{2}$ ███████ █████████ is that ██████ ██████ ████████████ of █████████ are █████ in ⁠ $L^{1}\cap L^{2}$ ⁠, and the ███████ ████████ of the ███████ █████████, ████ as ███ █████████, are ██████ ████████ for █████████. ████ of the ██████████ of the ███████ █████████ can ████ be ██████ from ███ █████ about █████████:

that $e^{-\pi x^{2}}$ is ███ ███ ███████ █████████; and
that the ████████ ████████ ⁠ $\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-\pi x^{2}}\,dx=1$ ⁠.

A ███████ of the $L^{1}$ ███████ █████████ is that it is a ████████████ of ██████ ████████ from $L^{1}$ ████████ with the ███████████ █████████ to the ██████ ███████ of ██████████ █████████ under the $L^{\infty }$ (████████) ████. The ███████████ ██████ in this ███████ are █████ of ████████ ████████, ████ that the ███████ █████████ is ████ ███████ on ⁠ $L^{2}$ ⁠ and an ███████ ████████████ from ⁠ ${1}$ ⁠ to ⁠ $L^{\infty }$ ⁠, without █████████████ the ████████ ███████.

██████████

███████

In ████, ███████ ███████ (███ ██████ ███████ § The ████████ ██████ of ████) that ███ ████████, ███████ ██████████ or █████████████, can be ████████ into a ██████ of █████. That █████████ ████ was █████████ and ████████ upon by ██████ to ███████ the ██████████ for the ███████ █████ of the ███████ █████████ used since.

███████ █████████

In ███████, the ████████████ ${\widehat {f}}(\xi )$ are ███████ ███████, which have ███ ██████████ █████ (███ █████'s ███████): ${\widehat {f}}(\xi )=\underbrace {Ae^{i\theta }} _{\text{polar coordinate form}}=\underbrace {A\cos(\theta )+iA\sin(\theta )} _{\text{rectangular coordinate form}}.$

The ███████ with $e^{i2\pi \xi x}$ (██.█) has █████ █████: ${\begin{aligned}{\widehat {f}}(\xi )\cdot e^{i2\pi \xi x}&=Ae^{i\theta }\cdot e^{i2\pi \xi x}\\[6pt]&=\underbrace {Ae^{i(2\pi \xi x+\theta )}} _{\text{polar coordinate form}}\\[6pt]&=\underbrace {A\cos(2\pi \xi x+\theta )+iA\sin(2\pi \xi x+\theta )} _{\text{rectangular coordinate form}},\end{aligned}}$ which ███████ ████ █████████ and █████ of █████████ ⁠ $\xi$ ⁠. ████████, the █████████ ██████████████ of ██.█ is that ███████████ $f(x)$ by $e^{-i2\pi \xi x}$ has the ██████ of ███████████ $\xi$ from █████ █████████ █████████ of ████████ ⁠ $f(x)$ ⁠. ████ the █████████ that was at █████████ $\xi$ can ███████ a ███-████ █████ of the ████████ ████████, because (at █████ ████████) ███ the █████ ███████ ██████████ are ███████████ and █████████ to ████ (███ § ███████).

It is ██████████ ███ ██████ the ███████ was ██████████ using the █████ ████, and ███ ██████ the ███████████ ████ was ███████ by an ███████████ of █████'s ███████.

████████ █████████

█████'s ███████ ██████████ the ███████████ of ████████ ⁠ $\xi$ ⁠. ██.█ is ███████ ⁠ $\forall \xi \in \mathbb {R}$ ⁠. ████ ███████ ███████-██████ $f(x)$ have ██████████ ⁠ ${\widehat {f}}=0,\ \forall \ \xi <0$ ⁠. (███ ████████ ██████; a ██████ ███████ is ⁠ $e^{i2\pi \xi _{0}x}\ (\xi _{0}>0)$ ⁠.) But ████████ █████████ is █████████ to ████████████ ███ █████ ███████-██████ ⁠ $f(x)$ ⁠, █████ in ██████ ██████████, ███████ ████████████ █████████, █████, █████████ ██████, ███████ █████████, and ██████.

For a ████-██████ ⁠ $f(x)$ ⁠, ██.█ has the ████████ ████████ ${\widehat {f}}(-\xi )={\widehat {f}}^{*}(\xi )$ (███ § ███████████ below). This ██████████ ███████ ██.█ to ███████████ $f(x)=\cos(2\pi \xi _{0}x)$ from ⁠ $e^{i2\pi \xi _{0}x}$ ⁠. But it ██████ █████████ the ██████ ████ of ⁠ $\xi _{0}$ ⁠, because $\cos(2\pi \xi _{0}x)$ and $\cos(2\pi (-\xi _{0})x)$ are █████████████████ on ████ the ████ ███████ ████.

███████ █████████ for ████████ █████████

The ███████ █████████ of a ████████ ████████ ██████ be ███████ using the ████████ ███████ ████████. In █████ for ████████ in ██.█ to be ███████ the ████████ ████ be ██████████ ██████████. ███████ it is ██████ to use ███████ ██████. It is ████████ to ██████ the ██████████ to ███████ ████████ █████████ by ███████ ████ as ████████ █████████████.

This █████ it ████████ to ███ a ██████████ between the ███████ ██████ and the ███████ █████████ for ████████ █████████ that have a ██████████ ███████ ██████. If $f(x)$ is a ████████ ████████, with ██████ ⁠ $█$ ⁠, that has a ██████████ ███████ ██████, ████: ${\widehat {f}}(\xi )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\cdot \delta \left(\xi -{\tfrac {n}{P}}\right),$ █████ $c_{n}$ are the ███████ ██████ ████████████ of ⁠ $█$ ⁠, and $\delta$ is the █████ █████ ████████. In █████ █████, the ███████ █████████ is a █████ ████ ████████ █████ █████ are ██████████ by the ███████ ██████ ████████████.

████████ the ███████ █████████

The ███████ █████████ of an ██████████ ████████ $█$ can be ███████ at ███████ █████████ of █████████ ██████ ⁠ $1/P$ ⁠. █████ ███████ can be ███████ from ███ █████ of a ████████ ████████ ⁠ $f_{P}$ ⁠, which has ███████ ██████ ████████████ ████████████ to █████ ███████ by the ███████ █████████ ███████: $f_{P}(x)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }f(x+nP)={\frac {1}{P}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}\left({\tfrac {k}{P}}\right)e^{i2\pi {\frac {k}{P}}x},\quad \forall k\in \mathbb {Z} .$

The █████████████ of $█$ ███████ the ████████ █████████ █████████. █████████, the ███████ ${\widehat {f}}({\tfrac {k}{P}})$ can be ██████████ by ███████ ██████ ████████: ${\widehat {f}}\left({\tfrac {k}{P}}\right)=\int _{P}f_{P}(x)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\,dx.$

████ $f(x)$ has ███████ ███████, $f_{P}(x)$ has a ██████ ██████ of █████ within the ████████ of ███████████. ████ $f(x)$ ████ not have ███████ ███████, █████████ ██████████ of $f_{P}(x)$ ████████ an █████████████, ████ as ████████ $f(x)$ or ██████████ the ██████ of █████.

█████

The █████████ ████████ ████ have ███████ █████ to the █████ of the ████████ ████████'s ██████ (█████████ █████ $█$ or ⁠ $█$ ⁠). For ███████, if $█$ is ████████ in ███████, $\xi$ ██████ be in ██████ per ██████ or █████. If the █████ of ████ is in █████ of $2\pi$ ███████, ████ ███████ █████ ██████ $\omega$ is █████████ used ███████ to █████████ ███████ █████████ (█████ ⁠ $\omega =2\pi \xi$ ⁠) in █████ of ███████ per ██████. If using $█$ for █████ of ██████, ████ $\xi$ ████ be in ███████ ██████, █.█., ███████████. That is to ███, there are ███ ████████ of the ████ ████: ███ that is the █████ of $█$ and ████████ in █████ of ⁠ $█$ ⁠, and the █████ that is the █████ of $\xi$ and ████████ in ███████ █████ to the █████ of ⁠ $█$ ⁠. █████ ███ ████████ ████████ of the ████ ████ ██████ be ███████ with ████ █████. █████████, the ███████ █████████ ████ from ███ █████ of █████████ to a █████████ █████ of █████████: █████████ that have a █████████ ██████ of ██████████.

In ███████, $\xi$ ████ ██████ be █████ to be a ██████ ████ on the █████ of ███ ██████, which is to ███ that the ██████ ████ ████ is the ████ █████ of the █████ ████ ████. (███ the ███████ ██████ ███████ for a ████ ██████ ███████████ and for ████ ███████.) This █████ of ████ ███████ █████████ in ███████████████ of the ███████ █████████ to ███████ ████████ ██████, █████████ the ████ of ███████ ██████.

That there is ██ ███ █████████ ███ (█████, ███ ████ "██ █████████ ███") to ███████ the ███ ████████ of the ████ ████ that are ████████ in the ███████ █████████—██████ the █████ on ███ ████ ████ not █████ the █████ of the █████ on the █████ ████—is the ██████ for the ████████ of █████ ███████████ on the ██████████ of the ███████ █████████. The ███████ ███████████ █████████ from █████████ ███████ of █████ ██████ by ███████ █████████.