█████████████████████

███████████ ███████████████████████

█████ die ████████ ████████ █████████ von einer █████████ ab, so ███████ ███ von einer ████████████ █████████████████████. Es ██████ █████████ ███████████ ███████████ nach der einen ██████████████ vor.

█████████:

${\displaystyle y^{\prime }(x)=-\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\cdot y(x)+\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>},\ddot{z}(t)+\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\cdot z(t)=\mathrm{<span\; word-length="3"\; class="word\; redacted">███</span>}(\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\cdot t)}$

████████ sich die ███████████ █████████████████████ ███ die ████████ ████████ ${\displaystyle y(x)}$ in der ████

${\displaystyle F\left(x,y(x),y^{\prime }(x),\dots ,y^{(n)}(x)\right)=\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>},}$

so █████ die ███████████ █████████████████████ ████████.

Ist die █████████████████████ nach der ████████ █████████ █████████, d. █., es ████

${\displaystyle y^{(n)}(x)=f\left(x,y(x),y^{\prime }(x),\dots ,y^{(n-\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>})}(x)\right),}$

so █████ ███ die ███████████ █████████████████████ ████████. Nicht ████ █████████████████████, die in ██████████ ████ ████████, kann auf eine █████████ ████ ████████ werden. In den ███████████ sind █████████ ███████████ ███████████████████████ ████████████ █████████ zu ███████████. Die ███████ ███████████ █████████████████ ${\displaystyle n}$ wird ███████ der █████████████████████ ███████. ██████████████ hat eine █████████ ███████████ █████████████████████ █. ███████ die ███████

${\displaystyle y^{\prime }(x)=f(x,y(x)).}$

Es ████ eine ██████████████ ██████████████ ██████████ ████████████ ███████████████████████.

Eine ███████████ █████████████████████ ist ██████, █████ ███ ██████ in der ████████ und █████ ███████████ ist:

${\displaystyle y^{(n)}(x)+a_{n-\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}(x)y^{(n-\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>})}(x)+\cdots +a_{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}(x)y(x)=b(x)}$

███ ist ██████████, █████ ███ zwar in den ███████████ und der ████████ auf der ██████ █████ ██████ ist, die ████████ ${\displaystyle b(x)}$ aber auch von der ████████ ${\displaystyle y}$ und █████ ███████████ ████████ kann, außer der ████████ █████████:

${\displaystyle y^{(n)}(x)+a_{n-\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}(x)y^{(n-\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>})}(x)+\cdots +a_{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}(x)y(x)=b(x,y(x),y^{\prime }(x),\cdots ,y^{(n-\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>})}(x))}$

█████████ █████████████████████

█████ die ████████ ████████ von ████████ █████████ ab und ██████ in der █████████ █████████ ███████████ nach ████ als einer ████████ auf, so ███████ ███ von einer ██████████ █████████████████████. █████████ ███████████████████████ sind ein ██████ ████, und die ███████ ist ████████████ nicht █████████████, ███████ ██████████ der █████████ █████████ in ████████ ████████.

Ein ████████ ist die ███. ██████████████████████ ███ eine ████████ ${\displaystyle u(t,x)}$

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }t}u(t,x)=a\frac{{\mathrm{\partial }}^{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}}{\mathrm{\partial }{x}^{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}}u(t,x)}$

███ █████████████ ████████████ █████ ██████████ ███████████████████████. ████████ ████ es ███████ █████████ ███████████████████████. Dabei █████ die ████████ ████████ und ████ ███████████ ██████ in die █████████ ein. Die ████████████ █████████ der ████████████ █████████ kann dabei durchaus ███████████ sein. Die ███████ ████████ ██████████ ███████████████████████ ist am █████████ ███████████████, ██████ ████ davon ████████, █████████████ zu sein.

███ ███████ von einer █████████████ █████████, █████ alle ███████████ von ████████ ███████ ██████ █████████, ████ aber nicht ████ ███ die ████████ und ███████████ ███████████ ███████ ████. Eine ████████████ █████████ ist █████ ███████████ zu █████████. Eine ████████████ █████████ █████████████████████ ist ██████████, █████ die █████████████████████ vor den ████████ ███████████ nicht von ███████████ ███████████ und der ███████████ ████████ ███████. ██████ im ██████ der █████- und ████████████ ███████████ werden ███████ die ███████ █████████ ███████.

Kann ███ ███████████ auch █████ ███████ ████████████ █████████ der ████████ ███████████ ███████████, █████ ███ die █████████ eine ████████████ █████████ █████████████████████ oder eine ███████████-████████████ █████████ █████████████████████.

Besonders ███████████ in dem ██████ ██████████ ███████████████████████ sind die ███████████ ███████ ███████. In ██████ █████████████ ████ es ████ ███████ ████████████████████████████.

███████ █████

Beim █████ der ██████████████ ███████████████████████ ██████ in der █████████ █████████████ ████████ auf. ██████████ sind █████████████ ███████████████████████ █████ ███████████████████████ im ██████ █████, ███████ █████████ ███████ ██████████████████████, welche als █████████████████████ █████████████ werden ██████.

Der █████ der ███████-███████████████████████ ████████ sich dadurch aus, dass ██████████ zur █████████████████████ auch ████ ████████████ ██████████ als ████████████████ ███████ sind.

██████ ████ es ████ ██████████ ███████████ ███████████████████████. ████ ██████ █████ einer ████████ und █████ ███████████ zu einem █████████ ${\displaystyle t}$ auch ████ ██████████████ ███. ███████████ aus der █████████████ auf.

Unter einer ███████-█████████████████████ ████████ ███ eine █████████, in der nicht ███ die ████████ und deren ███████████, ███████ auch ████ █████████████ der ████████ ██████████. Ein █████████ ████████ dazu ist die ████████████████████ in der █████████████████ (████████'████ █████████████████).

Je nach ████████████████ und ████████ ████ es ████ ███████ █████ von ███████████████████████.

███████ von ███████████████████████

███ ███████ von einem ██████ von ███████████████████████, ████ ${\displaystyle y=(y_{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}},\dots ,y_k)}$ eine █████████████ █████████ ist und ███████ ███████████

${\displaystyle F_l\left(x,y,Dy,\dots ,D^{n}y\right)=\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>},l=\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>},\dots ,k.}$

████████████ zu ████████ sind. █████ sich ██████ █████████ ████████████████████████████ nicht ███████ █████ in ein ██████████ ██████ █████████, so ███████ es sich um eine ███████-█████████████████████.

███-███████

Ein ██████████████ ███████████ ██████ zur ██████ von ███████████████████████ wird ████ die █████████ und die ███████████████ ██████████████ ████████. ████ ███████ ██████ ███ in ██████ ██████ die ███████ der ███████████████████████ mit der ███-███████ auf eine ████████████████ █████████. Er ██████, dass die ███████ ██████████████ ████████ zur ██████ von ███████████████████████ durch die ██████████ von ███████████ ███-███████ ███████████████ werden ██████. Ein ███████████ ██████ zur ██████ von ███████████████████████ █████ die █████████-███████████ der ███████████████████████ aus. Dabei werden ███████████████ ██████████████ ████████████████ ██████████, die ████████ auf (██████) ████████ der █████████████████████ ████████. ███████████████ ██████████████, ███-████████ und █████████████████████ werden █████████, um die ███████ ████████ der ████████ und █████████████ (██████████) ███████████████████████ zu ████████ und die █████████████ ██████████, die ███████████ zu den ███████ ████████████ ████████ einer █████████████████████ ██████. █████████████████ werden ███████, um ███████████████████████ █████ zu █████.

████████ und █████████████

Die ██████ der ████████, █████████████, ███████████ und ███████████ ██████████ von ████████ sind █████ je nach █████████ ███████████ bis gar nicht ██████. ████████ der █████████ von ███████████████████████ in der ██████ ist ███████ die █████████ der ███████████ ████████████████ besonders bei ██████████ ███████████████████████ ██████ ███████████████ als deren ████████████ █████████████.

Eines der ██████████-████████ ist der ██████████████ einer █████████ ██████ ███ die ██████-██████-███████████. █████ ███████████ ██████ ██████████████ in der █████████████████ auf.

█████████████ ████████

███████████████████████ haben als ██████ ██████████, die ███████████ an ████ ███████████ ████████. Eine █████████████ █████████ █████, indem ████ und ████ durch ein ████████████ in endlich █████ █████ ███████ werden (███████████████). Die ███████████ werden dann nicht ████ durch einen █████████ ███████████, ███████ durch ███████████ ████████████. In der ███████████ ██████████ wird der dadurch ███████████ ██████ ██████████ und █████████ ███ ███████████.

Ein ██████ █████████, das █████ ████ in ██████ ████ █████████████ ███████ ██████████ ██████████, ist das ██████████████.

Je nach ███ der █████████ werden ████████████████ ███████████████████████ ███████, bei ██████████ ███████████████████████ etwa ██████-███████████-█████████, ██████-███████-█████████ oder ██████-████████-█████████.

Die ██████████████ █████████████████████ ███████ █████ ███████████ ████, ███████ ███ ████ ████ ████████████ █████████. Damit ██████ sich entweder eine ███████ █████████████████ oder ein ████████ oder █████████████ ████████████████, welches dann ███████ ███████████ █████████ ██████ werden kann.