███████████████

Das ███████████████, auch █████████████████████ oder ██████████████, ████ die ████████ eines ███████ ███████ █████████ einer ████████ ██████ █████████████████████ bei der ███████ um eine ████████ █████ an (██████████ ███████ durch ████████████████████, ███████████████ ██████████ ███████ durch █████████████████████). Damit ██████ es die ███████ █████ wie die █████ im ██████████ von █████ und ██████████████ (███. von ██████ und ███████████████); deswegen ist in der ███████ █████████ auch die ███████████ █████████ ████████████. Als █████████████ █████ █████ es ████████ ████ im ████ ████████ ███████ von ████████ █████ vor.

Das ███████████████ █████ von der ████████████████ in █████ auf die █████████ ab. Je ██████ ein █████████████ von der █████████ ████████ ist, █████ ████ █████ es zum ███████████████ bei; der ███████ ████ ███████████ ein. █████ die ██████ des ███████ zur █████████ hin zu, ist sein ███████████████ ███████, als ████ █████ █████ im ██████ ███████ ███████ ████████ ████. Bei █████ ███████████ ████████ █████ sich deshalb aus der ██████████ auf den █████████████ █████████.

Ist die █████████ nicht ████ ██████████, so ██████ zur ████████████ des ███████████████████ eine ████████ ████ nicht aus. Aus dem ███████████████ kann das ███████████████ ███ ████ █████████ █████ durch den ███████████ █████████ werden.

████████████ █████████

██████████████

Beim ████████ werden als ██████████████ █████████ █████ ███████ ████ zum ████ ████████. Im █████████ zu einem ██████ ████████ █████████ ██████, etwa einem ████████, den der ██████ am ██████ █████, hat so eine ██████ in █████ zum ████ als █████████ ein ████████ ███████████████. Ein Zur-█████-██████ wird dadurch nicht ██████████, aber so ███████████, dass ████████ ████ ███ eine █████████████ ████████ ██████.

Den ██████ kann ███ ██████ ██████ ████████████: Ein ██-██-██████ (██████ ist ███████████) █████ sich ████████ auf der ██████████ ███████████. ████ ██████, auf eine ██████ ██████ ██████ ████████, █████ es ████████ um, █████ ███ █████████ kann. Die █████████ ist in beiden ██████ die ███████████ █████, ███████ das ████████ ███████████████ von ██████ █████ mit ████ ███ ██^█ ███. ████ █,█ ██^█ █████ ███████████ ist.

Dass der ███████ ███████████ in das ███████████████ ███████, █████ sich ██████ ████████: Ein █████████████ in █████████ ███████ ████ bei einer ██████████ ████████████████████ ███████ so █████ ██████████ ████████████ werden. Das █████████████ ██████████ (████████ █████ × █████████ ████████) ist damit ████████ so ████.

█████████ und █████████

Mit einem ████████ █████████ ██████████ kann ███ eine ████████ des ████████████████ ████████████████. ███ █████ sich █████████ ██████ auf einen █████████ █████████ und █████ sich mit ███████████ █████ und ██████ in ███████ █████████. ████ ███ dann die ████ und █████ an den ██████ ██████████, █████ das ███████████████ ab. Weil der ██████████, also das ███████ aus ███████████████ und █████████████████████, sich nicht ██████ kann (███████████████████), wird die ████████████ █████████. ████████ ███████████ ███████████ die ████████ ██████. Um den ██████ zu ██████████, kann ███ in ████ ████ ███████ ███████████ ██████, etwa ███████. Je ██████ deren █████, █████ ██████████ wird der ██████.

Ein █████████ ████████ ist der ████████████████, der aus dem ██████████████ ███████ ist. Die █████████ der ███████████████████ kann ██████ aus der ███████████ der ███████████ ███████ zur █████████ ████████. █████ der ██████████████ die ████ an, █████ er sich █████████ – ein ████████ ████████████ ist nicht █████.

█████████████ und ███████

Die ████████████ █████████████ ███ das ███████████████ sind $I$ und $J$ , ████████████ auf das ███████████ ████ █████, das ███████ und █████ ████████. Um █████████████ mit der ████████████ ███████████ $I$ zu █████████, ist auch ein $\Theta$ (██████ █████) ████████████. In ██████ ███████ wird ███████████ $I$ █████████.

Die ██-███████ des ████████████████ ist ██·m^█.

██████████ ██████████

Das █████████████████████ $I$ █████ sich wie █████ █████████:

I=\int _{V}{\vec {r}}_{\perp }\!^{2}\varrho ({\vec {r}})\,\mathrm {d} V=\int _{V}r_{\perp }^{2}\,\mathrm {d} m

Dabei ist $\varrho ({\vec {r}})$ die ████████ der ██████ des ███████ und ${\vec {r}}_{\perp }$ der ██████████ ██████ von der ██████████████ zum ██████████████ $d V$ (█████ █████████████ █████████, ██████████████ ██████████ durch die █████████████████████ ${\vec {\omega }}$ ).

██████████ der ██████████

███████ ██████ █████████ aus N █████████████

███████ ein ███████ ██████, der aus $N$ █████████████ ███████, mit █████████████████████ ${\vec {\omega }}$ um die dadurch ███████████ ██████████████, ohne sich dabei ██████████████ zu ███████, ██████ sich █████ ███████ ████████████████ aus der █████ der ███████████ ████████ der █████████ ████████████ mit ██████ $m_{i}$ und █████████████████████ $v_{i}$ :

E_{\mathrm {rot} }=\sum _{i}^{N}E_{\mathrm {kin,} i}=\sum _{i}^{N}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{2}

Da sich dabei █████ ██████████ auf einer █████████ mit der █████████████████████ $\omega$ um die ██████████████ █████, ████ mit ██████ ███████████ ███████ $r_{i,\perp }$ zu ██████ █████: $v_{i}=\omega \cdot r_{i,\perp }$ . Daraus █████:

E_{\mathrm {rot} }={\frac {1}{2}}\sum _{i}^{N}m_{i}r_{i,\perp }^{2}\omega ^{2}

██████ zur ██████████ der ████████████████

E_{\mathrm {kin} }={\frac {1}{2}}\underbrace {\left(\sum _{i}^{N}m_{i}\right)} _{=M}v^{2}={\frac {1}{2}}Mv^{2}

eines ██████████████ ████████ ███████ ███████ aus $N$ █████████████ mit der ███████████ $M$ , █████████ ███ das ███████████████ eines ███████████ ███████ ███████ aus $N$ █████████████ als

I=\sum _{i}^{N}m_{i}r_{i,\perp }^{2}

da damit ████

E_{\mathrm {rot} }={\frac {1}{2}}\underbrace {\left(\sum _{i}^{N}m_{i}r_{i,\perp }^{2}\right)} _{:=I}\omega ^{2}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}

In ████████ zur ████████████████████ von ███████ ███████ █████ sich so █████:

Die █████ eines ███████████ ███████ ██████████ dem ███████████████ $I$ .
Die ███████████████ eines ███████████ ███████ ██████████ der █████████████████████ $\omega$ .

███████ ██████████ ███ den ██████ in ████████████ ███████████ und ████ die $z$ -█████ des ██████████████████ durch die ██████████████. Sind dann $(x_{i},y_{i},z_{i})$ die ███████████ des $i$ -███ █████████████, ████ $r_{i,\perp }^{2}=x_{i}^{2}+y_{i}^{2}$ und █████:

I=\sum _{i}m_{i}(x_{i}^{2}+y_{i}^{2})

███████ ██████ mit ████████████████ ████████████████

Die ██████ ███ das █████████████████████ eines ███████ ███████ mit einer ████████████████ ████████████████ ██████ ███, indem ███ den ██████ ██████████ in █████ ██████ ████████████ ███████. Ist $\Delta m_{i}$ die █████ des $i$ -███ ████████████ und $r_{i,\perp }$ der ███████ eines ███████ im $i$ -███ ████████████ zur █████████, so ███████ die ████████████████ ██████████████

E_{\mathrm {rot} }\approx {\frac {1}{2}}\left(\sum _{i}^{N}\Delta m_{i}r_{i,\perp }^{2}\right)\omega ^{2}

█████ ███ ███ eine █████ ███████ █████████ und █████ ███████████ die █████ der ████████████ gegen ████ und damit ████████████ deren ██████ gegen █████████ █████ $(N\to \infty )$ , so ████ auch ███████ die █████ in █████ der ████████████ gegen ████ $(\Delta m_{i}\to 0)$ , und die █████████ wird █████:

E_{\mathrm {rot} }={\frac {1}{2}}\left(\lim _{N\to \infty  \atop \Delta m_{i}\to 0}\sum _{i}^{N}\Delta m_{i}r_{i,\perp }^{2}\right)\omega ^{2}

████ ███ die ██████ $\Delta m_{i}=\varrho ({\vec {r}}_{i})\Delta V_{i}$ durch die █████ $\Delta V_{i}$ des ███████████████ am ███ ${\vec {r}}_{i}$ und die ████ ███████████ ████████████ $\varrho ({\vec {r}}_{i})$ █████████, █████:

E_{\mathrm {rot} }={\frac {1}{2}}\left(\lim _{N\to \infty  \atop \Delta V_{i}\to 0}\sum _{i}^{N}\varrho ({\vec {r}}_{i})\Delta V_{i}\,r_{i,\perp }^{2}\right)\,\omega ^{2}

Die ██████████████ █████ ist das ███████████████ der ████████ $\varrho ({\vec {r}})\,r_{\perp }^{2}$ ████ das ███████ $V$ des aus den ███████████████ ███████████████ $\mathrm {d} m=\varrho ({\vec {r}})\mathrm {d} V$ █████████████████ ███████. Damit ist:

E_{\mathrm {rot} }={\frac {1}{2}}{\Bigl (}\int _{V}r_{\perp }^{2}\varrho ({\vec {r}})\,\mathrm {d} V{\Bigr )}\omega ^{2}={\frac {1}{2}}{\Bigl (}\int _{V}r_{\perp }^{2}\,\mathrm {d} m{\Bigr )}\omega ^{2}

Mit

$E_{\mathrm {rot} }={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}$

██████ sich █████ ██████████ ██████████ des ███████████████████████:

$I=\int _{V}r_{\perp }^{2}\varrho ({\vec {r}})\,\mathrm {d} V=\int _{V}r_{\perp }^{2}\,\mathrm {d} m$

████████████ zwischen ███████████████ und ██████████

Der ████████████████ ${\vec {L}}$ des ███████ ███████ █████ i. d. R. nicht in ████████ ████████ wie die █████████████████████ ${\vec {\omega }}$ . Die ███████████████ ██████████ $L_{\parallel }$ ██████ ist durch $L_{\parallel }=I\omega$ ███████. ████ █████ sich wie █████ ████████. Der ██████████ eines █████████ ███████████████ $\Delta m_{i}$ wird nach ${\vec {r}}_{i}={\vec {r}}_{i,\parallel }+{\vec {r}}_{i,\perp }$ in einen zu ${\vec {\omega }}$ ██████████ und einen dazu ███████████ ██████ ██████████. Zur ████████████████ ██████████ des ████████████ ██████ ██████████████ $L_{i,\parallel }$ █████ der █████████ ██████ des ███████████ ██████ bei, es ██████:

{L}_{i,\parallel }=|{\vec {r}}_{i,\perp }\times (\Delta m_{i}{\vec {v}}_{i})|=r_{i,\perp }^{2}\Delta m_{i}\omega

Die ███████████████ ██████████ des ██████████████████ ██████ sich dann zu

L_{\parallel }=\sum _{i}L_{i,\parallel }=\omega \sum _{i}r_{i,\perp }^{2}\Delta m_{i}=\omega I