████████ ██████

Eine ████████ ██████ ist eine ██████, d. █. eine █████████ █████ von █████████ ████████ mit einer ███████████, ███ die ██████████ das ████████████████ ████.

Der █████████████ ███████ ████████ ██████, auch ███████████ ██████ ███████, ███████████████ das ███████ mit ██████. Die ████████ ██████████ ██████ und die ██████████████ ██████████ ██████ ${\displaystyle \ne \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$ ████████ eine █████ ███████████ ███████. █████ ██████ ██████ ███ in █████████ und ███████ vor. So zum ████████ bei ██████████████, █████████ der █████ um einen █████, ████████ von ██████████. █████████ in █████ und █████ ████████ die ██████ █████████ ███████.

Deswegen wird von der ██████████ █████████ des █████████████████ ${\displaystyle +}$ und des ███████████████████████ ${\displaystyle \cdot }$ ███████████ und der ███████ der ████████████ oder █████████ ██████ ██████████. Der ████ ist zu █████ des ████████████ █████████████ █████ ██████ ████ ███████ worden.

Sei ${\displaystyle G}$ eine █████. █████ ████ ${\displaystyle (a,b)\in G\times G}$ sei █████ ein ███████ ${\displaystyle a\circ b\in G}$ ██████████. Das ████ ${\displaystyle (G,\circ )}$ █████ ████████ ██████, ████ die ███████████ ${\displaystyle \circ :G\times G\to G,(a,b)\mapsto a\circ b}$ die █████████ ███████ ███████:

1. ████████████████:     ███ alle ${\displaystyle a,b,c\in G}$ ████: ${\displaystyle a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c}$.
2. ████████████████:  ███ alle ${\displaystyle a,b\in G}$ ████: ${\displaystyle a\circ b=b\circ a}$.
3. █████████ ███████:  Es ████ ein ███████ ${\displaystyle e\in G}$, so dass ███ alle ${\displaystyle a\in G}$ ████: ${\displaystyle a\circ e=a}$.
4. ████████ ███████:    Zu █████ ${\displaystyle a\in G}$ ████ es ein ${\displaystyle a^{-\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}\in G}$ mit ${\displaystyle a\circ a^{-\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}=e}$.

Eine ██████ ${\displaystyle (G,\circ )}$ █████ ████████████, ████ in ███ ██████████ ein ████ ${\displaystyle (a,b)}$ █████████ mit ${\displaystyle a\circ b\ne b\circ a}$, also das ████████████████ nicht ███████ ist.

• Wird bei den ███████ das ████████████████ ███████████, so ██████ sich eine ██████. Eine ████████ ██████ ist daher ██████ ███████ als eine ██████, ███ die ██████████ das ████████████████ ████.
• Das ████████ ███████ und das ███████ ███████ eines █████ ████████████████ sind █████████ ████████, wie sich aus den ███████ ██████ █████.
• █████ wird eine ████████ ██████ ███████ mit dem ███████████████████ ${\displaystyle +}$ ███████████ und dann ein █████ ███████. In ██████ █████ ██████ ${\displaystyle a+b}$ die █████ von ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$, das ████████ ███████ ███████████ oder ███████ ████ und wird ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$ ███████████. Das ███████ von ${\displaystyle a}$ wird dann als dessen █████████████████ mit ${\displaystyle -a}$ ██████████.
• Eine ███████████ ██████ kann auch █████████████ mit dem ███████████████████ ${\displaystyle \cdot }$ ███████████ werden. Dann █████ ${\displaystyle a\cdot b}$ oder ███████ ${\displaystyle ab}$ das ███████ von ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$. In ██████ █████ █████ das ████████ ███████ ███████████ oder ███████ ████ und wird ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$ ███████████. Das ███████ von ${\displaystyle a}$ ██████████ ███ ███ mit ${\displaystyle a^{-\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}}$.
• In einem █████ wird die █████████ ██████ ████████ ███████ als ${\displaystyle a-b:=a+(-b)}$. Es ██████ dann die ██████: ${\displaystyle -(a+b)=(-a)+(-b),-(a-b)=(-a)+b}$. Wird die ████████ ██████ █████████████ ███████████, so █████████ ███ ████████████ den ██████████ ${\displaystyle a/b:=a\cdot b^{-\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}}$.

1. ${\displaystyle (\mathbb{Z},+)}$ ist die ██████████ ████████ ██████. Dabei ist ${\displaystyle \mathbb{Z}}$ die █████ der ██████ ██████ und ${\displaystyle +}$ die ███████████ ████████.
2. ${\displaystyle ({\mathbb{Q}}^{\ast },\cdot )}$ ist eine ████████ ██████. Dabei ist ${\displaystyle {\mathbb{Q}}^{\ast }}$ die █████ der ██████████ ██████ ohne die ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$ und ${\displaystyle \cdot }$ ist die ███████████ ██████████████.
3. Die █████ der █████████ █████████████ sind █████████ der ██████████████ █████ ████████ ██████. Zum ████████ hat die ████ ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$ ████ ████████ █████████ der ██████████████. ${\displaystyle \frac{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}}$ █████ sich nicht als █████████ ████████████ █████████. █████████ der ████████ ████████ ██████ die █████████ █████████████ eine ████████ ██████.
4. Die █████ der ██████████████ in der ████████████ █████ ██████ eine ████████ ██████. Die ███████████ ist die ████████████████████████ der ██████████████.
5. Die █████ der █████████ in einer █████ um einen █████ ██████ eine ████████ ██████. Die ███████████ ist die ████████████████████████ der █████████.
6. Die █████ der ███████████████ in einer █████ ██████ eine ████████ ██████.
7. Von ████████ ███████ ███████ █████ sich die █████████████████ ████████████.. Ist es die █████ einer █████████ ██████, so ist die █████ ███████████ zur ██████████████. █████ █████ ██████ sich ██████████████, ████ ███ die █████████ eines ██████████████ ████████ um den ███████████ ██████████, die das ███████ in sich ██████████. ${\displaystyle e}$ ist die ███████ um ${\displaystyle {\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}^{\circ }}$, ${\displaystyle a}$ ist die ███████ um ${\displaystyle {\mathrm{<span\; word-length="3"\; class="word\; redacted">███</span>}}^{\circ }}$ und ${\displaystyle b}$ ist die ███████ um ${\displaystyle {\mathrm{<span\; word-length="3"\; class="word\; redacted">███</span>}}^{\circ }}$.
8. Sind ${\displaystyle A,B}$ ████████ ███████, so wird ${\displaystyle A\times B=\{(a,b)|a\in A,b\in B\}}$ zu einer █████████ ██████ durch ${\displaystyle (a,b)+(a^{\prime },b^{\prime }):=(a+a^{\prime },b+b^{\prime })}$.
9. Ist ${\displaystyle I}$ eine █████ und ${\displaystyle A}$ eine ████████ ██████, so ist ${\displaystyle A^I:=\{f|f:I\to A\}}$ eine ██████, ████ █████████ wird: ${\displaystyle (f+g)(i):=f(i)+g(i)}$. Es █████ ${\displaystyle f(i)}$ die ${\displaystyle i}$██ ██████████ von ${\displaystyle f}$. ███ wird ${\displaystyle f}$ als ██████ ███████████ der ████ ${\displaystyle (a_i)}$. Dabei ist ${\displaystyle a_i=f(i)}$. Ist ${\displaystyle I=\mathbb{N}}$, so ist ${\displaystyle A^{\mathbb{N}}}$ die █████ der ██████, █████ die █████████████ ████████ aus ${\displaystyle A}$ sind. Ist ${\displaystyle I=\{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>},\dots ,n\}}$, so ist ${\displaystyle {\mathbb{Z}}^n=\{(a_{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}},\dots ,a_n)|\text{ mit }{a}_i\in \mathbb{Z}\}}$.
10. Die ███████ ██████ ██████ mit der ████████ eine ████████ ██████; ohne die ████ ██████ ███ mit der ██████████████ eine ████████ ██████.
11. ███████████ ███████ █████ ██████ ${\displaystyle (K,+,\cdot )}$ in derselben █████ ████ ████████ ███████ ${\displaystyle \left(K,+\right)}$ und ${\displaystyle (K\setminus \{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\},\cdot )}$.
12. ████████ ist die ██████ ${\displaystyle ({\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(K),\cdot )}$ der ██████████████ ${\displaystyle (n\times n)}$-████████ ████ einem ██████ ${\displaystyle K}$ ███ ${\displaystyle n>\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$ ein ████████ ███ eine nicht████████ ██████. Die ████████ nicht████████ ██████ ist ████████ die ████████████ ██████ S_█ mit █████ █████████.

Eine nicht █████ █████████ ${\displaystyle U}$ der █████████ ██████ ${\displaystyle A}$ █████ ███████████, ████ ███ █████████ der ████████████████ ██████ eine ██████ ist. ████ ist █████ dann der ████, ████ ███ alle ${\displaystyle a,b\in U}$ ████: ${\displaystyle a-b\in U}$. In ██████ ███████ wird die ████████ ███████████ ███████:${\displaystyle U\hookrightarrow A}$.

1. ${\displaystyle \mathbb{Z}}$ ist ███████████ von ${\displaystyle \mathbb{Q}}$.
2. Der ████████████ von ████████████ ist eine ███████████.
3. Ist ${\displaystyle A}$ eine ██████ und ${\displaystyle n\in \mathbb{N}}$, so sind ${\displaystyle A[n]:=\{a|a\in A,a\cdot n=\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\}}$ und ${\displaystyle A\cdot n:=\{a\cdot n|a\in A\}}$ ████████████ von ${\displaystyle A}$. Zum ████████ ist ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\cdot \mathbb{Z}=\{a\cdot \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}|a\in \mathbb{Z}\}=\mathbb{Z}\cdot \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}=}$ █████ der ███████ ██████, eine ███████████ von ${\displaystyle \mathbb{Z}}$.
4. ████ █████████ ${\displaystyle U\subset A}$ ist █████████ in einer █████████ ███████████, die ${\displaystyle U}$ ███████. █████ ███████████ █████ die von ${\displaystyle U}$ ████████ ███████████ von ${\displaystyle A}$. ███ wird mit ${\displaystyle ⟨U⟩}$ ██████████.
5. Sind ${\displaystyle U,V}$ ████████████ von ${\displaystyle A}$, so ist die █████ ${\displaystyle U+V:=\{u+v|u\in U,v\in V\}}$ eine ███████████ von ${\displaystyle A}$. ███████████: Ist ${\displaystyle (U_i|i\in I)}$ eine ███████ von ████████████, so ist ${\displaystyle \sum _{i\in I}{U}_i:=\{\sum _{i\in I}{u}_i|u_i\in U_i\}}$ eine ███████████ von ${\displaystyle A}$. ███ █████ die █████ der ████████████ .
6. Ist ${\displaystyle U\subset A}$, so ist die von ${\displaystyle U}$ ████████ ███████████ ${\displaystyle ⟨U⟩=\sum _{u\in U}⟨u⟩}$. Ist ${\displaystyle ⟨U⟩=A}$ so █████ ${\displaystyle U}$ ein █████████████████ von ${\displaystyle A}$.
7. Eine ████████ ██████ ${\displaystyle A}$ █████ endlich ███████ , ████ es eine ████████ █████████ ${\displaystyle U\subset A}$ ████, so dass ${\displaystyle ⟨U⟩=A}$ ████. Ist ${\displaystyle A}$ von einem ███████ ${\displaystyle a\in A}$ ███████, so █████ ${\displaystyle A}$ ████████. Es wird ${\displaystyle A=a\cdot \mathbb{Z}}$ ███████████.
   1. ████ ███████████ von ${\displaystyle \mathbb{Z}}$ ist ████████.
   2. Das █████ ██████████████: Die █████ ██████ ██████████ ████████████ von ${\displaystyle \mathbb{Z}}$ ist ██████ ████████. Es ████ ${\displaystyle a\cdot \mathbb{Z}+b\cdot \mathbb{Z}=\mathrm{<span\; word-length="3"\; class="word\; redacted">███</span>}(a,b)\cdot \mathbb{Z}}$. Dabei ist ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="3"\; class="word\; redacted">███</span>}(a,b)}$ der ██████ ███████████ ██████ von ${\displaystyle a,b}$. Zum ████████ ist: ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\cdot \mathbb{Z}+\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\cdot \mathbb{Z}=\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\cdot \mathbb{Z}}$.
   3. Sind ${\displaystyle a\cdot \mathbb{Z},b\cdot \mathbb{Z}}$ ████████████ von ${\displaystyle \mathbb{Z}}$, dann ist ${\displaystyle a\cdot \mathbb{Z}\cap b\cdot \mathbb{Z}=\mathrm{<span\; word-length="3"\; class="word\; redacted">███</span>}(a,b)\cdot \mathbb{Z}}$. Dabei ist ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="3"\; class="word\; redacted">███</span>}(a,b)}$ das ████████ ██████████ █████████ von ${\displaystyle a,b}$. Zum ████████ ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\mathbb{Z}\cap \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\mathbb{Z}=\mathrm{<span\; word-length="2"\; class="word\; redacted">██</span>}\mathbb{Z}}$.
   4. ${\displaystyle (\mathbb{Q},+)}$ ist nicht endlich ███████. ███████: Ist ${\displaystyle U}$ ein █████████████████ von ${\displaystyle (\mathbb{Q},+)}$ und ist ${\displaystyle u\in U}$, so ist auch ████ ${\displaystyle U\setminus \{u\}}$ ein █████████████████.

Ist ${\displaystyle U\hookrightarrow A}$ eine ███████████, so █████████ ${\displaystyle a\sim a^{\prime }⟺a-a^{\prime }\in U}$ eine ██████████████████. Sind ${\displaystyle a,a^{\prime },b,b^{\prime }\in A}$ und sind ${\displaystyle a\sim a^{\prime },b\sim b^{\prime }}$ so ist ${\displaystyle a+b\sim a^{\prime }+b^{\prime }}$. Die ██████████████████ █████ ███████████ mit der ████████. Sei ${\displaystyle A/U:=\{a+U|a\in A\}=}$ █████ der █████████████████. Auf ${\displaystyle A/U}$ wird eine ████████ ███████.

${\displaystyle (a+U)+(b+U):=(a+b)+U}$.