████-███████████

Der ████-███████████ ist ein ███████████ aus dem ██████████████ ██████████ der ████████████████ █████████ der █████████████, der ██████ der █████████████████ ███████. Er █████████ einen ██████████████ ██████ einer █████████████████ ████ und █████ █████ zur ██████ der ████████████████████████. Er ist einer der ███████████ ██████████████████.

Der ███████████ wurde ████ von █████ ████ ██████████████, der damals bei den ██&T ████ ████████████ ███████████ war. Die ██████ █████ den █████ ██████████-████ ██████████ ███ █████ █████████████ ███ ████████ ██████████ ██ a ███████ ████████. Darin wird auch ████ ein ███████ ███████████ zur ██████████ des █████████ ███████████ ███████████, der █████████ als ████-███████████ ██████████ wird. Im ███████████ wird █████ ███████████ ██████ ███ das ████████████████████████ █████████.

████████ ██████████ █████████████

███ █████████ █████████ ██████████████████ ist der ████-███████████ mit █████ ████ nicht █████████, da █████ ███████████ ██████ und ███████████ ███████████████ zur █████████ ██████. Um eine ████ $n$ mit $N$ ████████████ (d. █., $n<2^{N}$ ) zu █████████████, ████████ ein ███████████████ ein ███████████████, dessen █████ ██████████ ██████ mit der ████ der ████████████ ██████. Der █████████████ ███████████ von ████ ████████ ██ ██████, die █████ ████████ ████████ █████ mit ██+█ ██████ aus. █████ ██████ ██████ ███ einen ███████ (████████████) ███████████████. In der ██████ ist es █████, ███████████████████████████████ zu █████████. Dann werden um einen (██████, aber in N ██████████) ██████ M ████ █████████ ██████ ████████, █████ M ████ █████ von der ██████████ und dem ███████████ ███████████████████ ███████. ███████████ █████ davon aus, dass ███ eine ████-███-████ ██ bis ███ █████████ ██████ ████████ werden (im ████████████ ████ wären es ███ einige ███████). Eine ████████████████ des ██-██████████████ ████████████ ███ hat ██████████████ im ████ ████ einen ███████████████ mit ██████ ██████ ██████████, um die ████ ██ in die ████████ █ und █ zu ████████.

Der ████-███████████ ist ███ die █████████████ ████ █████████, weil er einen ██████████████ ██████ ██████████ █████████ ██████ als ██████████ ███████████: ███████ █████ ████████████████, ██████ ████████ █████ als ████████████ ████████ █████████, hat der ████-███████████ ███ ████████████ ████████. ████ ██████ ██████████████ eine ██████ ███ die ██████ zur ███████████████ ████████████████ ███████████ ███-█████████████ ███, deren ██████████ ██████ auf der ███████ ██████, dass ████ ████████████████████████ mit █████████████ ████████ █████████.

█████████████

Der ████-███████████ ist ein █████████████████ ███████████. In einigen, je nach ██████ der ██████████████ ████████ ███████, ██████ █████ er zu ██████ ████████; der ███████████ █████ █████ zur ██████ der █████-█████-███████████.

███████: Eine ████████████████ ████ $n$ .
███████: Ein ██████████████ ██████ von $n$ .
████████: $O\left((\log \,n)^{3}\right)$ █████████████████.

███████████████████ ███████████

Der ███████████ von ████ ist eine ███ ███████████████ ██████████ ███████ eines ███████████ ███ █████████████ von M. O. █████ (████), bei der die ██████████████ einer ████ auf die ██████████ der ███████ in $\mathbb {Z} _{n}$ █████████████ wird (█████ ██████-█████-████).

██████

Die ████████████ ████ ist, dass ███ die ██████████████ auf die ██████████ der ███████ ████████████ kann. █████ ██████████ █████ sich mit █████ der ███████-█████████████████████ ████████ ███████████. ███ █████ den ███████████ deshalb ██████ in einen ███████████ ████ zur ███████████ des ████████ und einen ███████████, der das ███████████ █████████ ████.

███████████ ████

█████ eine ████ $x$ mit $1<x<n$ .
████████ den ${\textrm {ggT}}(x,n)$ (███ ██████████ den ███████ ███████████ ██████, der z. B. ███████ des ████████████ ███████████ █████████ werden kann). █████ das ████████ ████████ █ ist, ███ ████ als ██████ ██████ und ██████████. █████ █████ mit dem ████████ ███████ ████.
████████ mit █████ des ████████████ (s. u.) die ███████ $r$ von $x$ in der ██████ █████████████████ $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$ , d. █. das ████████ $r\in \mathbb {N}$ , so dass $x^{r}\equiv 1{\pmod {n}}$ . ███████ █ ███████ ██████, dass ein ███████ $r$ █████████.
███████ ██████ bei █, █████:
1. $r$ ████████ ist, oder
2. $x^{r/2}\equiv -1{\pmod {n}}$ .
███ ${\textrm {ggT}}(x^{r/2}+1,n)$ als ██████ ██████.

██████ im ███████ ███████

█████████ das ███████ ( $x^{r/2}-1$ ) · ( $x^{r/2}+1$ ) = $x^{r}-1$ . ███ ██████:

$x^{r}-1\equiv 0{\pmod {n}}$ , █████ ███████ █,
$x^{r/2}+1\not \equiv 0{\pmod {n}}$ , █████ ███████ █, und
$x^{r/2}-1\not \equiv 0{\pmod {n}}$ , █████ ███████ █, da $r$ die ████████ ████ mit $x^{r}-1\equiv 0{\pmod {n}}$ ist und ${r/2}<r$ ████.

Aus ██████ ████████ █████, dass $x^{r/2}-1$ █████████████ ██████ von $n$ ███████; der ███████████ ███████████ zur ██████████ des ${\textrm {ggT}}$ ███████ █████ ██████ in ██████████████.

██████ ███████████ ███ die █████████████

Die ██████████████████, bei ██████████ ████ von $x$ ██████ ██████ zu ████████, ███████ ███████ ${\tfrac {1}{2^{k-1}}}$ , █████ $k$ die ██████ ███████████ █████████████ ████████████ von $n$ (außer █) ist. Bei einer aus ███ ████ ████████████ █████████████████ ████ (█████ ████) ██████ ███ ███ █████████ mit einer ██████████████████ von █/█ eine ██████, nach $t$ ███████████ █████ ████ ██████ ██████ zu haben, hat die ██████████████████ ${\tfrac {1}{2^{t}}}$ .

███████████

████████ $q$ als ██████ von █ mit $n^{2}\leq q<2n^{2}$ .
█████████████ das █████ ███████████████ (███████████████) mit der █████████████ (█████ █████) aller ████████ $a{\bmod {q}}$ ( $a$ ist eine ████ ███████ als $q$ ).████ █████ in den ███████: ${\frac {1}{q^{1\;\!\!/2}}}\sum _{a=0}^{q-1}|a\rangle \ |0\rangle$ .
█████████████ das ██████ ████████ (███████████████) mit der █████████████ der ████████ $x^{a}{\bmod {n}}$ .Das ████████ ist der ███████: ${\frac {1}{q^{1\;\!\!/2}}}\sum _{a=0}^{q-1}|a\rangle \ |x^{a}{\bmod {n}}\rangle$ .
█████ auf dem ██████ ████████ die ███████-█████████████████████ durch, █████ $\mathrm {QFT} \left(|a\rangle \right)={\frac {1}{q^{1\;\!\!/2}}}\sum _{c=0}^{q-1}e^{2\pi i\;\!ac/q}\ |c\rangle$ ,so dass sich ██████: ${\frac {1}{q}}\ \sum _{a=0}^{q-1}\ \sum _{c=0}^{q-1}e^{2\pi i\;\!ac/q}\ |c\rangle \ |x^{a}{\bmod {n}}\rangle$ .
█████ eine ███████ durch (███████ den ██████ der ████████). Die ██████████████████ ███ den ███████ $\left|c,x^{k}{\bmod {n}}\right\rangle$ mit $0<k<r$ ██████ sich zu: ${\Biggl |}{\frac {1}{q}}\!\!\ \sum _{a:x^{a}\equiv x^{k}}\!\!\!e^{2\pi i\;\!ac/q}{\Biggr |}_{}^{\,2}$ .███████ ████ die █████████ $a\equiv k\!\!\!\!\mod r$ ███. $a=br+k$ , ██████ ███ █████████ ██████: ${\Biggl |}{\frac {1}{q}}\ \sum _{b}e^{2\pi i\left(br+k\right)c/q}{\Biggr |}^{\,2}$ . █████ ████████ ████████ ███████ durch █████████████ ████ █████████████████ ██████ ███ █████ einer █████████ $d\in \mathbb {Z}$ , die die █████████ $\left|{\frac {c}{q}}-{\frac {d}{r}}\right|\leq {\frac {1}{2q}}$ ████████. Es █████ sich ██████, dass es ███ die ███████████ ███████████ von $q, r$ und $n$ █████████ einen ███████ ████ bei ██████ $c$ ████.Damit █████ sich $r$ █████████, █████ $d$ und $r$ ███████████ sind.Die ██████████████████ ███ ██████ ████ ███████ ██████████ ${\tfrac {\phi (r)}{3r}}$ oder $\Omega \!\left({\tfrac {1}{\log \log r}}\right)$ , das █████, ███ ████████ $r$ mit █████ ██████████████████ nach $O(\log \log r)$ ██████████████.
███ den ███████████ ████ $r^{\prime }$ ██████, ████ er ███████████ die ███████ von $x$ ist, █████████ ██████████ das ██████████.

█████████

M. █████████: ███████ █████████ █████████. █. ███████. ████████ ██████, █████████ ████, ████ ███-█-███-█████-█, S. ███ ██.
B. █████: ██████████ und ███████ █████████. █. ███████. █████ ██████, ██████ ████, ████ ███-█-████-████-█, S. ██ ██.
R. J. ██████, K. W. █████: ███████ ██████████ ███ ██████ ███████: A ██████. MIT █████, █████████ ████, ████ ███-█-███-█████-█, S. ██ ██. (████████, ██████████████ ████████ in der ██████-█████████).
M. A. ███████, I. L. ██████: ███████ ███████████ ███ ███████ ███████████. █████████ ██████████ █████, █████████ ████, ████ ███-█-███-█████-█, S. ███ ██. (████████, █████████.███ [███]).
W. ███████: ██████████ der █████████████████. ████████-██████, ██████ / ██████████ ████, ████ ███-█-███-█████-█, S. ███ ██.
C. P. ████████: ████████████ in ███████ █████████. █. ███████. ████████-██████, ██████ ████, ████ ███-█-█████-███-█, S. ███ ██. (████████).
███ ████████ ████████: ███’s ████-████ ███████ ████████ █████ ███████; █████ █████████████ ██ ████’s ████████ █████████ █████████. ████████████, ██. ████████ ████ (████████, ████████████.███ [█████████ am █. ████ ████]).

████████

████████ █████: ██████████ und ███████ █████████ ██████████████████ zum █████████████ ████ █████████ ████-███████████
█████ █████: ███████ █████████ und ████-███████████ ██████ ███████████ ███ ████

███████████████

[█]
█████ W. ████: ██████████-████ ██████████ ███ █████ █████████████ ███ ████████ ██████████ ██ a ███████ ████████. In: ████ ███████ ██ █████████. ██/████, S. ████–████, █████:█████-██/███████
[█]
█████ ██████, ██████ █████: ███ ██ ██████ ████ ███ ███ ████████ in █ █████ █████ ██ ███████ █████ ██████. In: ███████. ████ █, ██. ███ ████, S. ███, ████████ █ und █, ███:██.█████/q-████-██-██-███, █████:████.█████ (████████).
[█]
██████ ███████████, ████████ ███████, ███████ ██████, ██████████ S. ███████, ████ █. ████████ und █████ L. ██████: ████████████ ███████████ ██ an █████-███████ █████████ ████ an ███ ███████ ████████. In: ██████. ███/████, S. ███–███, ███:██.████/███████