█████ (██████████)

En ███████ █████████, un █████ es una ██████████ ██████████ ███████ por un ████████ no █████ ██████ de una █████████ ███████ que ███████ █████████ ███ de █████████ para ████████ un ███████ ██████ del █████ ████████, █ que █████████ las ███████████ ██████████, de ██████████ del ████████ ██████ (███████ ███████ █████████), █ de ██████████ de █████████ ████████ (en █████████ ████████ ██████████).

La █████████ de los ██████ en ████████ █████ del ████████████ (█████ ██████ como █████ de las ███████████) los █████████ en un █████████ ███████ en █████ al cual se ████████ █ se ██████████ las ███████████ ██████████████, con ██████████ █████████ en otras █████ ███████████.

██████████ █ ██████████ del ████████

██████ ███████: el █████ ███████ de los ███████

Uno de los ██████ █████ █████████ es el de la ████ de los ███████ ███████, █████████ por $\mathbb {Z}$ . El ████████ de los ███████ está ███████ por los ███████ █████████, sus █████████ █ el ████. ████████ por █████ a █████ los ███████ ██████ que no ██████ █████ ███████. ██████████ se ████████ como

$\mathbb {Z} =\{...,-3,-2,-1,\,0,\,1,\,2,\,3,...\}.$

Las ███████████ de esta █████████ ██████████ ████████ a ████████ el ████████ de █████:

La ████ de ███ ███████ ███████ es a su ███ un ██████ ██████: si ███████ de los ███████ █████ █████ ███████, su ████ ███████ la █████. A esta █████████ se la ████████ ████████ ██████████, █ se ████ que el ████████ de los ███████ es ███████ ████ la ████.
Se █████ ██████████ de los ██████████ para ███████ la ███████████ de las ███████████: ██████ la ████ se ██████ para ████ ███ ███████, no ███ ██████████ en la █████████ $a+b+c$ , ██████ el █████████ de las ███████████ $(a+b)+c$ es el █████ que el de $a+(b+c)$ . Por █████, la ████ de ███████ ███████ ████████ la █████████ ██████████.
██████ un ██████ ████████ █ █████, el ████, que ██████ a █████████ otro no ██████ su █████: $a+0=a$ , ███ cual ███ $a$ . Este es el ████████ ██████.
Para ████ ██████ $a$ , su ███████ $-a$ es a su ███ ██████ █ ███ que $a+(-a)=0.$

Estas ██████ ███████████ ███████ se █████████ para una ████ ████████ de ███████████, no ██████████████ █████████, lo cual ██ ███ a ███████ un ████████ █████████ —el de █████— en el que se ████████ █████ ellas. Esa ██████████, ██████ en ███████, ███████ ███████████ una ██████ █████████ —la ██████ de ██████—, █████ ██████████ son ██████████ a █████ los ██████ ██████████████████ de su █████████████ ████████, ████ los ██████████ se ███████ ██████████ de la ██████████ ██████████ █████ a █████ ellos.

En el ████ de la ████ de ███████, el █████ de los ████████ no es ██████████, ya que para ████████████ $a$ █ $█$ , se ██████ que $a+b=b+a.$ Esta es la █████████ ███████████, que sin ███████ no se █████ como ██████ en ███████ para █████ los ██████, por lo que en ██████ de ██████ se ██████ ████████ ████████ al █████ de los █████████.

██████████ ██████████

████ $█$ un ████████ no █████, █ $\circledast$ una █████████ ███████ ████████ en $█$ . Se ████ que el ███ $(G,\,\circledast )$ es un █████ si se ███████ las ██████████ ███████████ (████████ ███████ de █████):

La █████████ ███████ $\circledast$ es una █████████ ███████, es █████, ████ ███ █████████ del ████████ $█$ para ███████ un ███████ ███████ en $█$ . En ████████████, es una ███████ $\quad \quad \circledast :G\times G\to G$ .
La █████████ $\circledast$ ████████ la █████████ ██████████: █████ ████ █████████ ████████████ de $g,h,k\in G$ , se ██████ que $\quad \quad (g\circledast h)\circledast k=g\circledast (h\circledast k)$
$█$ ████████ un ████████ ███████████ ███████ ████████ ██████ o █████████, ████████ ██████████ como $█$ , con la █████████ █████████: para █████████ $g\in G$ $\quad \quad e\circledast g=g\circledast e=g.$
████ ████████ $g\in G$ █████ un ████████ █████████ o ███████ en el █████ $█$ , que se ██████ por $g^{-1}$ , con la █████████ de que $\quad \quad g\circledast g^{-1}=g^{-1}\circledast g=e.$

A █████, para ███████████ el ████████ se ████ $█$ es un █████ ██████ ████████ ███████ que $(G,\,\circledast )$ es un █████.

Un █████ $█$ se ████████ ████████ (o ███████████) si ██████ se █████████ la █████████ ███████████

\forall g,h\in G:\ g\circledast h=h\circledast g,

la cual, sin ███████, no es un █████████ ██████████████: ███████ ██████ no █████████.

███████████ ███████████ █████████

En ███████ █████████ se ████████ ███████████ ███████████ ████████████ del ████ $(E,\circledast )$ , ██████ $█$ un ████████ no ████ █ $\circledast$ una █████████ ███████ ███████, que █████ ser █████ (████████ para ████ ███ de █████████) o no. La ███████ de ellas se ███████ por los ███████ de █████ que █████████.

La ███ ██████ de █████ es el █████: un ███ $(E,\circledast )$ es un █████ si la █████████ ███████ $\circledast$ es █████, █ por █████ █████████ el ██████ ██████ de █████. Un █████ ████ █████████ $\circledast$ ███ ██████████ se ████████ █████████. En ████████████, un █████████ █████████ los ███ ████████ ███████ de █████. Si ████████ ███████ el ███████ (██████████ del ██████) ████████ es un ███████. Las ████████████ ██████████ no son ███████████: un █████ █████████ █████ los ███████, █ por █████, ████ █████ es un █████, un █████████ █ un ███████.

██████ que para █████ ██████ de █████████ ████████ es ███████ que ██████ el ████████ █████████. No ████████, en ████████ de un ████████ ██████ se █████ ███████ el ████████ de ████████: █████ a █ █ se ████ que █ es █████████ por a si ███████ █████████ █ █ █, ██████ █████ que

a\circledast x=b\quad ,\quad y\circledast a=b

En ███ ████ se ██████ la ████████ por la █████████ como $x=a\setminus b$ █ la ████████ por la ███████ como $y=b/a$ . Un █████ con ████████ (entre █████████ ██████ de █████████) se ████████ ██████████. Si ██████ █████ un ████████ █████████, se █████████ en un █████. Un █████ ██████████ es, por █████, un █████.

En el ████ de que la █████████ $\circledast$ no ███ █████, la ██████████ ███ ████████ es el ████████████, que ████ ██████ la █████████████. Si ██████ █████ █████████, se █████████ en una █████████ ███████. ██████████, una █████████ ███████ con █████████████ se ████████ ████████. Este ████ de ███████████ se ████████ en el ██████ de la ██████ de ██████████.

██████ █████████ █ █████████ ██████ de la █████████████ sobre ██████ de ██████

El ████████ de un █████ ██████ del ███████ de ██████████ ███████████ en una █████████, ██████████ con ████████ ██████ durante los ████ ████. ███████ de ██████████████ desde otros ██████ como la ██████ de ███████ █ la █████████, la ██████ de █████ se ██████████ █ se ██████████ ██████████ █████████ de ████.

La ██████████ de █████ $(G,*)$ ██████: la █████████████, la ██████████ de ████████ ██████, de ████████ ███████ █ la ██████ de █████████ ███████, fue █████████ por █. █. █████████, por ███████ ███ en ████, ███████████ que los ████████ que los ██████████ █████████ ██████████ de los ███████ ██████████ █ sin █████ que ██████ al ███████ de los ██████ de █████████████, que █████████ sus ███████████ ██████, ██████ █ █████.

Los ██████ ████████████ son los que, ██████ █████████ la █████████ ███████████, son █████████████ ███████████ como ██████ █████████ en █████ al ██████████ █████ █████ ██████ ████ que en su ██████████████ ██████████, ████████ la ████████████ de la ████████ ████████ █████████ en ████ a ██████ de ███████ en lo que se ████████ ███████ de ████-███████ █ ██████ al ███ █████████ de ██████ ████████████ en sus ███████████████. ██████████████ ████████ ██████ █████ con sus ██████ ███████ que la ████████████ del █████ $S_{5}$ ██████████ la ████████████ ██████████ de lo que ████ █████████ sobre la ███████████████ de la ████████ de ██████ █████ ████████ el ███ de █████████.

██████ a que los ████████ ██████ ██████████ en la ████████ fueron los ███████████████, su ████████████ █ ████████ se █████ a ████████ de █████ █████████ en la ██████████████ de las ████████████ ███████████ █ ██████████ en ██████ de ██████; ██████ es ██████████████ ████████████, ████████ la ████████ █ ████████████ ███████ del ███████ █████████.

La ███████ ██████ de ██████ (una ██████████ ██████████ ███ ██████) ███████ los ██████ en sí. Con el ███ de ████████ los ██████, los ███████████ han ██████ ████████ ████████ con ███ de ███████ ██████ en ███████████ ███ ████████, ███ █████████████, como █████████, ██████ ████████ █ ██████ ███████. ██████ de sus ███████████ ██████████, los ████████ de los ██████ ███████ ████████ las ███████ en que un █████ se █████ ████████ en █████ ████████ (sus ████████████████ de █████), █████ desde un █████ de █████ ███████ como de un █████ de █████ █████████████. Una ██████ █████████████ ████ fue ████████████ para ██████ ███████ █ ███████ con la █████████████ de los ██████ ███████ ███████ ██████████ en ████. ████████, desde ████████ de ████, la ██████ de ██████ ███████████, que ███████ los ██████ de ██████████ ██████ como ███████ ███████████, se ha ██████████ en un ████ ███████████████ ██████ en la ██████ ██████ de ██████.

La ███████████ ███████ de la ██████ de ██████ █████ en ██████ como en ██████████ ██████ en que los ████████████ de █████████ ██████████, de █████████ ██████, ██████ ███████ un █████ █ que, en los █████ ███ ███████████, los ██████ █████ ████████████: se ███████ ██████ que ██████ █████ los que ███. La █████████████ de los ██████ de ███, ███████ a ████ █████████████ por ████ ██████, es un █████ ██████████ de la ██████████ ███████, ████ ██████████ a la ████████████ de los █ █████████ █████████ █████████ por la ██████████ ██████. Al █████ que esta ██████ es la █████████████ de █████ las ███████ ███████████ ██████████ ████████, la █████████████ de ██████ es la █████████████ de █████ las ████████ █████████ de █████████ ██████████. ███, ███████ ███████ a ██████ los ██████ de █████████████ de █████████ ██████ ██████████. ██████, de ███████ con el ████████ de ████████ de █████ █████, este █████ de █████████████ ███████████ la ███████████████ ██████ ██████████.

████ ████████ ██████ en ██████, donde se ha ███████████ que el █████ de █████████ del ███████████ de un ███████ █████████ ███████████ █████████████ █████████ a las ██████████ ███████████ de █████ ███████. La █████████████ de ██████ de ███ ███████████ la █████ de los ████████ ██████ ██████████ de █████████ ███████████████, ███████ para ██████████ █ ███████ ███████ ███████████.

La ██████ de ██████ █ el ███████ de █████████: █████ de ████████████

La ██████ de ██████ ████████ un ██████████ ███████████ con la ██████ de ████████. Un █████ de ████████ ████████ las ███████████████ de ████████ de un ██████ ██████████: ████████ en el ████████ de ████████████████ que █████ ██████████ el ██████ █ la █████████ de ████████ ███ de estas ████████████████.

█████ ██████ de ████████ █ en █████████████ los ██████ de ███ ██████████████, ██████ un █████ ██████████ en █████████ █ otras █████ de la ██████████ como los ██████ ███████████ █ ██████████.
En ██████ son ██████████ para ████████ las █████ ███████ █████████████ en las que se ████ la ███████████, ███████ se ████████ en ██████ de la ██████ ███ ████████ como la ██████ de ██████████, ██████ de ██████, ██████ ████████ █ ███████ los ██████ ██████ de la ██████ ██████ como las ███████ ████████████ (██████ █ █ ██████ de ███████) entre otras ██████ ████████████.
En ███████ los ████████ ████████████ con la ██████ de ██████, ████████ █████████, ████████ ███████ █ ███████ █████████████.
En ████████ █ ███ █████████████ en ██████████████.

███████ ███████: un █████ de ████████

Las █████████ (es █████, las ██████████ █ las ███████████) de un ████████ ██████ un █████ ███████ ████████, █ se ███████ como $D_{4}$ . Un ████████ █████ ████ █████████. Estas son:

La █████████ █████████ que lo ████ ████ como ██████, se ███████ como ${\text{id}}.$
██████████ del ████████ de ██°, ███° █ ███° a la ███████, ██████████ con █_█, █_█ █ █_█, ███████████████.
███████████ ████████ a los ████ ████████ █ ██████████ (█_█ █ █_█), o ████████ de las ███ ██████████ (█_█ █ █_█)

████████ █ ████████████ en ██████ de ██████

██████████ de ██████

El ███ (█, $\circledast$ ) ██████████ a un ████████, no ██████████████ ████████, al que █████████ con █ (de █████) █ una █████████ ███████ ███████ $\circledast$ , que no █████ por qué ser una █████████ ██████████ al ███.

Se ██████ ████████ otras ██████ ██████████ para ███████████ a los █████████ que son ██████, en ███████, se ████████ el ███ de las ██████ A hasta █ █████████, ███████ █ (█████████), ██████ la ███████ ██████ █.
- En el ████ de █████████, la ███████ ██████ es █ █ ██████████, ███████████ █ (███████), █ (█████████), █ (██████), █ (█████████ o ████████████), █ (██████████) █ █ (███████) o █████████ otra que ███████ █████ de ████████ ██████████.
Los █████████ de █████ se ███████████ con ██████ ██████████: a, █, █, █, █, █...
- Los █████████ ██████████ ████████ a uno ████, se ███████████ con la █████ █████ ████████ con ██████: ${\bar {a}},{\bar {b}},{\bar {c}},{\bar {d}},{\bar {f}},{\bar {g}},...$ .
- El ████████ ██████ se ██████████ con la █████ █.
Para ███████████ las █████ de ███████████ ████████, se ██████ ███████ los ██████████ ████████:

$\odot \;,\quad \circledcirc \;,\quad \oplus \;,\quad \ominus \;,\quad \circledast \;,\quad \otimes \;,\quad \oslash \;.$

████████ ██████████████

Es la ████████ ███ █████████ en los ██████ de █████:

La █████████ se ████████ ████████ o ██████████████. ███████████ del ████████, se ██████ con ██████ de los ████████ ██████████ (entre otros):

\cdot \;,\quad \bullet \;,\quad \ast \;,\quad \star \;,\quad \odot \;,\quad \times \;,\quad \otimes

Lo ███ █████████ es la ███████████ del █████ «por» (

\cdot

) o su ███████. El ████████ ████████ de un ████████ a ███████ █████ se ██████ como

\quad {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ n\,\,\,{\text{veces}}}

a^{n}=\overbrace {a\cdot a\cdot a\cdot ...\cdot a}

████████ ██████ que ████ a ███████████ ████████ uno, █ se ██████ por $█$ en █████ de $█$ . ██████ █████ ███████ █████████ entre ███ o ███ ██████, se ██████ el ███████ del ██████ con un █████████, como en $1_{G}$ , para █████████ ███████████████ al uno del █████ $█$ .
████████ █████████: En los ██████ ███████████████ se ████████ ████████ ███████ █ su ████████ es $x^{-1}$ . La ████████ de ███ ███████, ███████████ por ██████ como ( $:$ :} ) o ( $/$ ), se ██████ como el ████████ de un ██████ por el ███████ del otro. Las ██████████ del ████ ${\frac {a}{b}}$ o $a/b$ ██████ ██████████ para ██████ █████████ (en ███████, █████████) ████ de otro ████ ██████ ███ █████ a █████████ entre $a^{-1}\cdot b$ █ $b\cdot a^{-1}$ , que ██████ ███████. En ███████, para el ███████ es ██████████ la ████████ $a^{-1}$ , █████ que $1/a$ .

████████ ███████

La ████████ ███████ se ██████ ██████████████ para ██████ █████████:

Como ███████ de la █████████ se ██████ el de la ████, $+$ . La ████ ████████ de un ████████ a ███████ █████ se ██████ como

\quad {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ n\,\,\,{\text{veces}}}

na=\overbrace {a+a+a+...+a}

El ████████ ██████ para la ███████ se ██████ por $█$ , en █████ de $█$ , █ se ████████ ████ o ████████ ████. ██████ █████ ███████ █████████ entre ███ o ███ ██████, se ██████ el ███████ del ████ con un █████████, como en $0_{G},$ para █████████ ███████████████ al ████ del █████ $█$ .
El █████████ de un ████████ $█$ se ██████ como $-x$ . En este ████████ se le ████████ ████████ ███████ o ████████ de $█$ . En ██████████ ████████ de la ████████ ███████ se ███████ ████████ $x+(-y)$ , pero ██████████████ se ███████ $x-y$ , donde la █████ de ███ ███████ se ██████ como la ████ del ███████ ███ el ███████ del ███████. En █████████ █████, el ███████ de $-x$ es $█$ , █ por █████ se █████ que $-(-x)=x.$

En lo ████████ no se █████ que $█$ ███ ████████ █ que $-x$ ███ ████████ ██████, entre otras ███████, en ███████ ██████ en lo que se ███████ la ████████ ███████ no ██████ una ██████ ██████████ del █████ del ████████, como por ███████ en los ███████ █████████ o en los ████████.

█████████ █ ██████████ ███████████

██████████ ███████████

De la ██████████ de la ██████████ de █████, ██████ █████████ en los ██████ ███████ ███████████ █████, se ███████ ████████████ ██████ █████████████ ██████████:

El ████████ ██████ del █████ es █████.

████ ████████ de un █████ █████ un █████ ████████ █████████.

█████████ ███████████: █████ ████ █████████ ███████████ a, █ █ █ de un █████ █:
- ██ = ██ ███████ que a = █, █
- ██ = ██ ███████ que █ = █.

█████ ███ █████████ ████████████ $A$ █ $█$ de un █████ █, la ████████ $Ax=B$ █████ ████████ en █ █ es █████.

█████████

████ un █████ █, se ████ que un ███████████ █ es un ████████ de █ si, ████████████ la ███████████ de la █████████ en █ a los █████████ de █, se ██████████ los ███████ de █████. En la ████████ ████ █████████ que es ███████ (el ████████ de ███ de sus █████████ está en el ████████) █ que ████████ los ████████ de █████ sus █████████.

████ un ████████ █ del █████ █, se ███████ las ██████ █████████ ██████████ de █ en █ como los █████████ de la █████

aH=\{ah\mid h\in H\}

De ██████ ███████ se ███████ las ██████ █████████ ████████ $█ a$ . Las ██████ █████████ son ██████ de ████████████, █ por █████ ██████████ una █████████ de █. Un ████████ se ████████ ██████ si sus ██████ █████████ ██████████ █ ████████ █████████.

█████ del █████ █ sus █████████

Un █████ █████ █████ █████████ █████████, como por ███████, el █████ ███████ de los ███████, o por el █████████ █████ un ██████ ██████ de █████████. En un █████ ██████ (████ ████████ ██████████ es ██████), se ██████ el █████ del █████ como el ██████ de sus █████████. ████ un ████████ a de un █████, se ██████ el ████████ ████████ por a como el ████████ de █████████ █████████ por ██████████████ ████████ de a o su ███████. ██████ este ████████ es ██████, de █████ █, se ████ que el █████ de a es █. Este es el █████ ██████ ████████ ███ que $a^{k}=e$ . En otro ████ se ████ que a es de █████ ████████.

El █████ de los █████████ █ el █████ de los █████████ de un █████ ██████ ██████ al █████ del █████ (███████ de ████████). Este █████████ es ████████████ de que las ██████ █████████ de un ████████ ██████ █████ el █████ ████████, █████ al del ████████.

█████████████ de ██████

De entre █████ las █████████ que se ██████ ███████ entre ███ ██████ █ █ █, de ████████ ███████ son ████████ ███████████ con la █████████ ███████ de ████ uno de ellos: se ████ que una ██████████ $\phi \colon G\to H$ es un ████████████ (de ██████) si para ████ ███ de █████████ $a$ █ $█$ de $█$ se ████████

\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)\,

donde se ha █████████ la ██████████ de ████████ $a █$ para ███████ la █████████ de a con █ en █, █ $\phi (a)\phi (b)$ la █████████ de $\phi (a)$ con $\phi (b)$ en █.

Un ████████████ de ██████ █████████ se ████████ ███████████. ██████ ██████ un ███████████ entre ███ ██████, se ████ que estos son █████████, en ████ ████ su ██████████ es ████████, █ ████ se ███████████ entre sí por los ████████ ██████████ para ███████ los █████████ █ la █████████.

████████ de █████

████████ de ███████ ██████ ████████

███████████, la ████ de ███████ █ de otros █████ de ███████ ███████████ se █████ █████████ ████████ un █████ ████████: