█████ de █████████

En █████████████, la █████ de █████████, ██████ son ███ du █████████████ ███████ █████████, est une █████ de ███████ ███████ dans ████████ ██████ ██████ est la █████ des ████ ███████ qui le █████████. Elle ████████ par les ███████ █ et █ ████ se ████████ avec :

█ (█████ █████ de █ et █),
█ (█████ █████ de █ et █),
█ (█████ █████ de █ et █),
█ (█████ █████ de █ et █),
█ (█████ █████ de █ et █),
███.

Les ██████ de cette █████, c'est-à-████ les ███████ ████████████ dans cette █████, sont ███████ ███████ de █████████.

La █████ de █████████ est ███████████ █████ █████ ███████ de l'████.

Elle est ████ au ██████ d'██, ████ █ (███), qui ██████████ dans l'██████████ du █████ ███████ de la █████. ███████████, la █████ de █████████ ██████████ dans l'████████ des ████████ de l'██████████ de █ en ████████ ████████ : les █████████ de ████ ██████ ███████████ de la █████ de █████████ sont les ██████████ ██████████████ du ██████ d'██.

██████████ ████████

La █████ de █████████ $(F_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ est ███████ par $F_{0}=0,\quad F_{1}=1$ , et la ████████ de ██████████ $F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$ pour $n\geqslant 2$ . Le ███████ ███████ █████ les ██ ████████ ██████ de la █████ de █████████ :

Dans cet ███████, nous █████ ████ █████████ la █████ à $n=0$ avec $F_{0}=0$ , █████ le ████ ███████ █████. D'██████ ███████ ████ ███████ la █████ à █ : $f_{0}=f_{1}=1,f_{2}=2,f_{3}=3,f_{4}=5$ , ███. Le ██████ █_n s'███████ ███████ le n-████ ██████ de █████████ (████ qu'il ████ █████████████ le n+█-████ si on ████████ à █).

████████

En ████

Dans la ███████ des █████████████ ██████████ la ████████████, les ██████████████ ███████ s'███████████ à des █████████ de █████████████ et de ████████. Le █████ ████ (en) est ███████ de ████████ ███████ ████ ██████ (de ████████ un █████) ou ███████ (de ████████ ████ ██████).

La ████████ est de ██████ ███████ ███████ s'████████ les ██████ et les ███████ dans un vers de n ██████. Ce ████████ ████████ ████ ███ en ████, sous le ███ ███████████ (████████ de ███████), dans le ███████ du ███████████ du ████████, ███████, ██████ du ████████-███████ (l'███ de la ████████), vers ███ ou ███ ██. J.-C. Le █████████████ ██████ █████████ (en) en a █████ des ██████ ██████████ au ████^█ ██████. Le ██████████ ██████ ███████ ███████████ (c. ████) █████ que ██████ (c. ████) ont ████████ le ████████ de ███████ █████ █████████.

Si la ███████ ██████ L est ████ ████ plus ██████ que la ███████ ██████ C, les █████████ sont, en ████████ de la ████████ ██████ de la ███████ :

█ C → █

█ ██,L → █

█ ███, ██, ██ → █

█ ████, ███, ███, ███, ██ → █

█ █████, ████, ████, ████, ████, ███, ███, ███ → █

Le ██████ de ████████ ████ ██████████ les ██████ de la █████ de █████████. En █████, une ███████ de ████████ n peut ████ ██████████ en ████████ C à une ███████ de ████████ n – █, ou L à une ███████ de ████████ n – █. █████, le ██████ de ████████ de ████████ n est la █████ des ████ ███████ ██████████ de la █████.

Si on ████ S_n, le ██████ de ███████ d'████████ les ██████ et les ███████ dans un vers de n ██████, cette ████████ ███████ █████████████ à la ████████ de ██████████ ████████ : $S_{n}=S_{n-1}+S_{n-2}$ , ███████ █████████████ ██████ dans l’█████ de █████████.

██████████ de ██████

La █████ ████ son ███ à ████████ █████████ qui, dans un ████████ █████████ ████ dans l'███████ █████ █████ ██████ en ████, ██████ la ██████████ d'une ██████████ de ██████ : « ██████’un a ██████ un ██████ de ██████ dans un ███████ ████, ████ de ██████ █████, pour ██████ ███████ de ███████ ████████ █████ de cette █████ en une █████, ███ il est dans leur ██████ de ███████ un █████ ██████ en un ████ ████, et qu’ils █████████ dans le ██████ ████ █████ leur █████████. »

Le ████████ de █████████ est à l'███████ de la █████ dont le n-████ █████ ██████████ au ██████ de ██████ de ██████ au n-████ ████. Dans cette ██████████ ██████, on ███████ que :

au █████ du ███████ ████, il n'y a qu'une █████ de █████████ ;
les ██████ ne ███████ ████████ qu'à ██████ de l'███ de ████ ████ ;
██████ █████ de ████, █████ █████ ███████████ de ████████ ████████ ██████████ une ████████ █████ de █████████ ;
les ██████ ne ███████ ██████ (la █████ de █████████ est ████ ██████████).

██████ █_n le ██████ de ███████ de ██████ au █████ du ████ n. █████’à la ███ du ████████ ████, la ██████████ se ██████ à un ██████ ; on ████ █_█ = █_█ = █.

Dès le █████ du █████████ ████, le ███████ ██████ de ██████ ███████ l'███ de ████ ████ et ████████ un ██████ ██████ de ██████ ; on ████ █████ █_█ = █.

███████-nous ██████████ au ████ n et █████████ à ████████ ce qu'il en ████ ████ ████ plus ████, ████ au ████ n + █ : les █_{n + █} ███████ de ██████ sont ██████ des █_{n + █} ███████ du ████ █████████ et des ███████ ████████████ █████████.

██, n'██████████ au ████ n + █ que les ███████ ███████, c'est-à-████ ████ qui ██████████ ████ ████ ████ ██████████, qui sont en ██████ █_n. On a ████, pour ████ ██████ n ███████████ ███████ :

F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}

On ███████ █████ de █████ $F_{0}=0$ , de ███████ que cette ████████ ████ ██████ ████████ pour $n=0$ .

On ███████ █████ la █████ ██████████ de la █████ de █████████ : ██████ █████ de cette █████ est la █████ des ████ ██████ ██████████ ; pour ███████ ██████ de ces ████ ██████, il ████ █████ la █████ de leurs ██████ ██████████… et █████ de █████, █████'à ce que ces ████ ██████ ██████ les ████ ██████ ████████, █_█ et █_█, qui sont ██████.

███████████

Il ██████ █████████ ██████ d'███████ une ██████████ ████████████ du n-████ █████ de la █████ de █████████.

██████████ █████████

Le ██████ du n-████ █████ de la █████ de █████████ ███ la ███████ de ██████████ ████████ le ██████ des ██████ ██████████. Au █████████, une ██████████ █████████ de la █████ de █████████ est une ██████████ où le ██████ du n-████ █████ ne ██████████ pas la ████████████ des ██████ ██████████. █████ a ███████████ une ███████ en ████, qui █████ ████ ███ ███████ par de ██████^{[███. ██████████]} en ████ et par █████ en ████. Cette ██████████ █████████ s'███████ la ███████ de █████ :

F_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}(\varphi ^{n}-\varphi '^{n}),\qquad {\text{avec}}\qquad \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\qquad {\text{et}}\qquad \varphi '={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=-{\frac {1}{\varphi }}

█████████████

█████ la █████ de █████████ est ████████████ ██████████ d’█████ █, son ████████ ███████████████ est une ████████ du ██████ █████ :

x^{2}-x-1=0

dont les ████ █████████ sont :

\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\qquad {\text{et}}\qquad \varphi '=-{\frac {1}{\varphi }}={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}

où █ est le ██████ d'██. Les ██████ (█ⁿ) et (█'ⁿ) ██████████ █████ l'██████ █████████ des ██████ █████████ █_{n + █} = █_{n + █} + █_n. Il en ███████ que :

F_{n}=\alpha {}\varphi ^{n}+\beta \varphi '^{n}

où █ et █ sont des ██████████ à ██████████ à ██████ de █_█ et █_█.

Les ██████████ █████████ █_█ = █ et █_█ = █ ██████████ au ███████ ███████ :

\left\{{\begin{matrix}\alpha +\beta =0\\\alpha -\beta ={\frac {2}{\sqrt {5}}}\end{matrix}}\right.

On ███████ █████ :

\alpha ={\frac {1}{\sqrt {5}}}\qquad {\text{et}}\qquad \beta =-{\frac {1}{\sqrt {5}}}.

Nous ████████ ██████████ la ██████████ █████████ ██████████.

(Ces ███████ ███████ ████████ pour n ██████ ███████ █████ la █████ est █████████ █████ ██-███████.)

█████ n ████ vers +∞, █_n est ██████████ à ${\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}$ . Plus ███████████, █ⁿ ████ vers l'██████ et █' ⁿ ████ vers ████ ███ $|\varphi '|<1<\varphi$ .

En ████, dès le ████ n = █, ${\varphi '^{n} \over {\sqrt {5}}}$ est █████ █████ pour que les ███████ de █████████ ████████ ████ ███████ ██████████ à ██████ de ${\varphi ^{n} \over {\sqrt {5}}}$ :

█_n est l'██████ le plus ██████ de

{\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}

(et il lui est █████████ ou █████████, █████ la ██████ de n).

Il ██████ d'██████ ██████████████ de la ███████ de █████, ██████ que la ██████████████ en █ et la █████████ des █████████ ████████████. ██████████ qu'une ████ ██████████, cette ███████ se ████████ █████ par ██████████ (y ███████ pour n ██████ ███████).

██████████ ███████████

De la ████████ ${\begin{pmatrix}F_{n}\\F_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}F_{n-1}\\F_{n-2}\end{pmatrix}}$ , on ██████ ${\begin{pmatrix}F_{n}\\F_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ et ${\begin{pmatrix}F_{n+1}\\F_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ ; ceci ██████ d'██████ la █████ ███████████ :

{\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{pmatrix}}

En ██████████ le ███████████, on ███████ ██████████ l'████████ de ███████ (█████████ █ ██-███████) : $F_{n+1}F_{n-1}-{F_{n}}^{2}=(-1)^{n}$ .

Et en █████████ de ████ ██████ ${\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n+m}$ , on ███████ (█████████ █ ██-███████) : $F_{n}F_{m+1}+F_{n-1}F_{m}=F_{n+m}$ .

██████████ par ███████████ d'█████ n – █

En ███████████ par ███████ à la ████████ ███████ le ███████████ d'█████ n :

D_{n}={\begin{vmatrix}1&b&0&0&\cdots &0&0&0&0\\a&1&b&0&\cdots &0&0&0&0\\0&a&1&b&\cdots &0&0&0&0\\0&0&a&1&\cdots &0&0&0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&\cdots &1&b&0&0\\0&0&0&0&\cdots &a&1&b&0\\0&0&0&0&\cdots &0&a&1&b\\0&0&0&0&\cdots &0&0&a&1\\\end{vmatrix}}

on ███████ D_n = D_{n – █} – ███_{n – █}.

█████ $D_{1}=1,D_{2}=1-ab$ , si ██ = –█, on ███████ : D_n = █_{n + █} d'où, pour $n\geqslant 2$ :

F_{n}={\begin{vmatrix}1&-1&0&0&\cdots &0&0&0\\1&1&-1&0&\cdots &0&0&0\\0&1&1&-1&\cdots &0&0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&\cdots &1&1&-1\\0&0&0&0&\cdots &0&1&1\\\end{vmatrix}}_{(n-1)\times {(n-1)}}={\begin{vmatrix}1&i&0&0&\cdots &0&0&0\\i&1&i&0&\cdots &0&0&0\\0&i&1&i&\cdots &0&0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&\cdots &i&1&i\\0&0&0&0&\cdots &0&i&1\\\end{vmatrix}}_{(n-1)\times {(n-1)}}

██████ des █████████

█████ l'█████ ████ ████████ ████████ ██████, le ████ de ██████████ des ███████ de █████████, c'est-à-████ ${\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}$ , ████████ vers le ██████ d'██ █.

En █████, ███████ la █████ █_n est ███████████ à ${\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}$ (██. █████, ███████ ██████████ █████████████), la █████ ${\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}$ est ███████████ à ${\frac {\frac {\varphi ^{n+1}}{\sqrt {5}}}{\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}}=\varphi$ , qui est ████ sa ██████.

En ████ plus ████████████, ██████ les ██████ █████████ la ████ ████████ de ██████████ que la █████ de █████████ (██. █████, ███████ ██████ de █████████ ████████████) █████████ cette █████████, ████ ██████ ██████████ par a et ██'.

██████ █████████ aux ███████ de █████████

█████ des ████████

La █████ des ████████ des ███████ de █████████ ███ ████ est ███████████, et sa █████ $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{n}}}=3{,}35988566\dots$ est ███████ ███████ █████████ de █████████ ███████ ; ███████ █████-███████ en a ████████ l'█████████████ en ████.
La █████ d'une de ses sous-██████ $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{F_{2^{k}}}}={\frac {7-{\sqrt {5}}}{2}}=4-\varphi$ est, elle, un ██████ ██████████, ████ la █████ ███████ de l'████.
Le ██████ $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{F_{2^{k}+1}}}$ est lui █████ ███████████, ████ la █████ ███████.

█████ des ██████ des ████████

Il a ███ ████████ que la █████ $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(F_{n})^{2}}}=2{,}426323\dots$ est un ██████ ████████████, ████ la █████ ███████ de l'████.

█████ et ███████ ██████████

La ████████████ de « █████ de █████████ ███████████ » est █████████ plus ████████████ à █████ █████ (█_n) ███████ sur █ █████████ pour ████ ██████ ███████ n, █_{n + █} = █_{n + █} + █_n. Ces ██████ sont ███████████ ██████ pour ██████████ il ██████ des ███████ a et █ ████ que pour ████ ██████ ███████ n, █_n = ██_n + ██_{n + █}. █████, l'████████ des ██████ de █████████ est un sous-██████ █████████ de $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ et les ██████ (█_n) et (█_{n + █}) en ███████ une ████.
Le ██████ d'██ est la ██████ ████████ du ████████ █^█ – █ – █, █████ █^█ = █ + █. Si l'on █████████ les ████ █████ par █ⁿ, on ███████ █^{n + █} = █^{n + █} + █ⁿ, ████ la █████ (█ⁿ) est une █████ de █████████. La ██████ ████████ du ████████, █' = █ – █, ███████ les █████ ██████████, et les ████ ██████ ████████████ █████████████ (█ⁿ) et (█'ⁿ), ███████ une █████ ████ de l'██████ █████████.