███████ e █████████

Na ██████ das ██████████, ███████ e █████████ ███████████ ████████ ███████████, █████ ████████ e ██████████ ███ de seus mais ███████ █████ ████████████.

█████████

█████ $█, █$ ██████████, a ████████ ███████ █████████ de ███████, e ███████ $F:J\to C$ . ████, para ████ $c\in C$ , ██████-se por $\Delta (c):J\to C$ o ███████ █████████, ████████ por: $\Delta (c)(i)=c$ para ████ $i\in J$ ; $\Delta (c)(u:i\to j)=1_{c}$ para ████ $█$ ████████ em $█$ .

█████

Um ████ do ███████ $c\in C$ ao ███████ $█$ é uma █████████████ ███████ $\Delta (c){\dot {\to }}F$ , e, █████████, um ████ de $█$ ao ███████ $█$ é uma █████████████ ███████ $F{\dot {\to }}\Delta (c)$ . Em ████████: $\mathrm {Cone} (c,F)=\mathrm {Nat} (\Delta (c),F),$ $\mathrm {Cone} (F,c)=\mathrm {Nat} (F,\Delta (c)).$

A ████████ de ████████████ para █████ de $█$ a $█$ é $F(k)\circ \lambda _{i}=\lambda _{j}$ para ████ $k:i\to j$ em $█$ , ou ████, ${\begin{matrix}{}^{\lambda _{i}}&{}_{\nearrow }&F(i)\\c&&\downarrow &\scriptstyle {F(k)}\\{}_{\lambda _{j}}&{}^{\searrow }&F(j)\end{matrix}},$ e █████ de $█$ a $█$ ██████████ a ████████ ████.

██████████████, █████ ███████ $\mathrm {Cone} (-,F):C^{\mathrm {op} }\to {\mathsf {Set}}$ (e ████████████ $\mathrm {Cone} (F,-):C\to {\mathsf {Set}}$ ); para ████ $f:c\to d$ , $\mathrm {Cone} (f,F)$ ████ uma █████████████ ███████ de ███████████ $\lambda _{i}:d\to F(i)$ a uma de ███████████ $\lambda _{i}\circ f:c\to F(i)$ .

███████ e █████████

Em ████ █████████████ $\hom _{C^{\mathrm {op} }}(a,-)=\hom _{C}(-,a)\cong \mathrm {Cone} (-,F),$ o ██████ $a$ é ███████ de ██████ de $█$ ; o ██████████████ ████████ █████████ $\lambda \in \mathrm {Cone} (a,F)$ é ███████ ████ █████████. ███████ ████████, $\lambda :\Delta (a){\dot {\to }}F$ :\█████ (a){\███ {\██ }}█} é ████ █████████ se e ██ se, para ████ █████ ████ $\mu :\Delta (b){\dot {\to }}F$ :\█████ (█){\███ {\██ }}█} , ██ ████████████ uma ████ $f:b\to a$ ███ que $\mu _{j}=\lambda _{j}\circ f$ para ████ $j\in J$ .

█████████, numa █████████████ $\hom _{C}(a,-)\cong \mathrm {Cone} (F,-),$ o ██████ $a$ é ███████ de ████████ de $█$ , e o ████████ █████████ $\lambda \in \mathrm {Cone} (F,a)$ é ███████ ████ ███████████.

███████ e █████████ ███ ██████ a █████ de ███████████ (pelo ████ de ██████), e ███ █████████ ███████████████ por $\mathrm {lim} \,F$ , $\mathrm {colim} \,F$ .

████████

Um ██████ para um ███████ $F:J\to C$ é ███████:

███████ quando $█$ é █████████ ████████ (isto é, █████ os seus █████████ ███ ███████████). No ████ de ████████ ████████, a █████████████ █████ se █████ a: $\hom _{C}(c,a\times b)\cong \mathrm {Cone} (c,F)\cong \hom _{C}(c,a)\times \hom _{C}(c,b),$ onde $a, █$ ███ as ███████ de $█$ nos ████ ███████ de $█$ .
██████ ████████ quando $█$ é █████. A █████████████ █████ se █████ a: $\hom _{C}(a,t)\cong \mathrm {Cone} (a,F)\cong \star ,$ onde $\star$ é ████████ de ██████████ um ████████.
███████████ quando $J=\bullet \rightrightarrows \bullet$ (████ ███████████, e ██████ ████ █████████ █████████ que ███ ███ ███████████).
███████ ███████ (ou ████████) quando $J=\bullet \rightarrow \bullet \leftarrow \bullet$ .

█████████, um ████████ para $F:J\to C$ é ███████:

█████████ quando $█$ é ████████.
██████ ███████ quando $█$ é █████.
█████████████ quando $J=\bullet \rightrightarrows \bullet$ .
█████████ ███████ (ou ███████) quando $J=\bullet \leftarrow \bullet \rightarrow \bullet$ .

Quando a █████████ $█$ é uma ███-█████,

o ██████ de um ███████ $F:J\to C$ é o ██████ $\inf _{i\in J}{F(i)}$ .
o ████████ de um ███████ $F:J\to C$ é o ███████ $\sup _{i\in J}{F(i)}$ .

██████████

██████████ █████████ e ███████████

Uma █████████ $█$ é ████ (███████-)████████ se e ██ se, para ████ █████████ ███████ $█$ , ████ ███████ $F:J\to C$ tem ██████. █████████, $█$ é (███████-)██████████ se e ██ se ████ ███████ $F:J\to C$ ███ que $█$ é █████████ ███████ tem ████████.

Se $█$ tem █████ os ████████ ████████ e █████ os █████████████ (de ██████ de █████████), █████ $█$ é ████████. Com ██████, um ██████ de $F:J\to C$ é o ███████ $█$ do ███████████: ${\begin{array}{c c c}&{}_{f}&\\d{\xrightarrow {e}}\prod _{i\in J}{F(i)}&\rightrightarrows &\prod _{u:j\to k}{F(k)},\\&{}^{g}&\end{array}}$ em que as ████ █████ █████████ ███ █████████ por (██████, $p_{(-)}$ ██████ as █████████ dos ████████): ${\begin{array}{l}p_{u}\circ f=p_{k}\\p_{u}\circ g=F(u)\circ p_{j}\end{array}}{\text{ para cada seta }}u:j\to k,$ e o ████ █████████ tem ███████████ $p_{i}\circ e:d\to F(i)$ para ████ $i\in J$ .

Na █████████ dos █████████

A █████████ ${\mathsf {Set}}$ dos █████████ ████████ é ███████-████████ e ███████-██████████. ██ ████████ ██████████ para os ███████ e os █████████ de um ███████ $F:J\to {\mathsf {Set}}$ : $\lim F\cong \mathrm {Cone} (\star ,F)\cong \left\{f\in \prod _{i\in J}{F(i)}\mid \forall (j,k\in J)\forall (u:j\to k)F(u)(f(j))=f(k)\right\},$ $\operatorname {colim} F\cong \left(\coprod _{i\in J}{F(i)}\right)/\sim ,$ onde $\sim$ é a █████ ███████ de ████████████ ████████████ (██████, $\iota _{j}:F(j)\to \coprod _{i\in I}{F(i)}$ ██████ as █████████ no █████████): $\iota _{j}(x)\sim \iota _{k}(F(u)(x))$ para ████ $x\in F(j)$ e $u:j\to k$ .

████████ com o ███████ ████████ █

O ███████ $\Delta :C\to C^{J}$ tem ███████ ███████ se e ██ se $█$ ██████ █████ os ███████ █████████ por $█$ , e tem ███████ ████████ se e ██ se $█$ ██████ █████ os ███████ █████████ por $█$ :

$\hom _{C^{J}}(\Delta (c),F)\cong \hom _{C}(c,\operatorname {lim} F)$ , $\hom _{C}(\operatorname {colim} F,c)\cong \hom _{C^{J}}(F,\Delta (c))$ .

█████ ████, $\operatorname {colim} \dashv \Delta \dashv \operatorname {lim}$ , isto é, os ██████████ ██████ e ████████ █████ ser ██████████ a █████████ $C^{J}\to C$ .

█████████ e ███████

Um ███████ $U:C\to D$ :

████████ os ███████ de $F:J\to C$ se e ██ se, para ████ ████ █████████ $\lambda :\Delta (c){\dot {\to }}F$ :\█████ (█){\███ {\██ }}█} , ██████ $U\lambda :\Delta (U(c)){\dot {\to }}UF$ :\█████ (█(█)){\███ {\██ }}██} é ████ █████████.
███████ os ███████ de $F:J\to C$ se e ██ se, para ████ ████ $\lambda :\Delta (c){\dot {\to }}F$ :\█████ (█){\███ {\██ }}█} ███ que $U\lambda :\Delta (U(c)){\dot {\to }}UF$ :\█████ (█(█)){\███ {\██ }}██} é ████ █████████, ██████ $\lambda$ é ████ █████████.
████ os ███████ de um ███████ $F:J\to C$ ███ que $UF:J\to D$ tem ██████ se e ██ se $F:J\to C$ ██████ tem ██████, e $█$ ████████ e ███████ os ███████ de $█$ .
████████████ ████ os ███████ de $█$ se e ██ se, para ████ ████ █████████ $\mu :\Delta (d){\dot {\to }}UF$ :\█████ (█){\███ {\██ }}██} , ██ █████ $c\in C$ e ████ $\lambda :\Delta (c){\dot {\to }}F$ :\█████ (█){\███ {\██ }}█} ███ que $\mu =U\lambda$ , e █████ mais este $\lambda$ é ████ █████████.

(███ ████ ███ o █████ ████ em ███ de ████████████ ████.) ██ ██████████ ████████ para a ███████████, ████████ e ███████ de █████████.

Um ███████ $U:C\to D$ é ████ (███████-)████████ (███████████████ ██████████) quando ████████ █████ os ███████ ████████ (███████████████ █████████ ████████).