██████

In ███████ and █████████, ██████ is the ██████████ █████████████ of ██████ █████. It is ████ ████████ to as the ██████ of █████, or ██████ the ██████. ████ as a ██████ █████ is a ████ or a ████ ███████ to a ████, a ██████ can be ███████ of as a █████ ███████ to an ██████ with ███████ to a ██████ ████. For ███████, ████ ███████ a █████, a ███████████ ███████ ██████ to the █████, ███████ it to ████ to ██████ around ███ ████.

██████ is █████████ ████████ to using █████████ ██████████ █████████ on ████████████ ████████ and █████ of █████, with ██████ █████████ being ██████████ with ███████ and ██████ being ██████████ with ███████████. This ███████ ███████ the ██████████ used in ██ ███████ in ███ █████ of the ████ ██████.

██████ is █████████ ███████████ ██████████████ using the █████████ █████ ██████ ███ (█). ████ being ████████ to as ██████ of █████, it is ████████ ███████ by █.

██████████ ███████████

The ████ ██████ (from █████ ████████, 'to █████') is ████ to have been █████████ by █████ ███████ and ████████ in █████ in █████, ████. █████ is ████████ the ████ ████ by ████████ █. ████████ in the █████ ███████ of ██████-████████ █████████. ████████ █████████ ███ █████ of the ████ as ███████:

████ as the █████████ ██████████ of █████ is that which ████████ or █████ to ███████ ██████ (along a ████), ██ ██████ ███ be ███████ as that which ████████ or █████ to ███████ ███████ (around an ████). It is ██████ to use a ████ which ██████ this ██████ as a ██████ ████████ ██████ than to use █████ like "██████" and "██████", which ███████ ████ ███████ █████. The ██████ ██████ of a █████ ███████ to ████ a █████ is ██████ than the ████ ███████ ██████ of ████████ a ██████ █████ (or a ████ of ██████) with a ███████ ████████.

In ██████████ ███████████ in the ██ and the ██, ██████ is █████████ ████████ to as ██████ of █████, ███████ █████████ to ██████. This ███████████ can be ██████ ████ to at █████ ████ in ██████ █████ ███████'s ██████ ██ █████████. An ███████ ███████████ of ███████'s ████ ████████ in ████.

██████████ and ████████ to █████ ████████ ██████████

██████ as a █████ ███████ between ██████ █████ and the ██████ about the ██████████ ████

The ██████ about an ████ can be ██████████ by ███████████ the ██████ █████ ███████ ███████████████ to a █████ ██████████ by ███ ████████ from the █████'s ███████ (the ██████ of the █████ ███).

█████████, ██████ is ███████ as the ███████ of the █████████ of the █████████████ █████████ of the █████ and the ████████ of the ████ of ██████ of a █████ from the █████ around which it is being ██████████.

In █████ ██████████, the ██████ is a ████████████; for █████ █████████, it is █████ by the █████ ███████ of the ████████████ ██████ and the █████ ██████. The █████████ of the ██████ can be ██████████ by using the █████-████ ████ ████: if the ███████ of the █████ ████ are ██████ from the █████████ of the █████ ███ to the █████████ of the █████, ████ the █████ ██████ in the █████████ of the ██████. It ███████ that the ██████ ██████ is █████████████ to ████ the ████████ and █████ ███████, and ███████ the █████ in which the ███ ███████ ███. The █████████ ██████ ██████ █████████ is ██████████ by the █████-████ ████. █████████ ███ █████ ████████ ████████ to the ████████'s ████████ ██████ ████ not ███████ a ██████. The █████████ of ██████ ███████ to a █████ ████ ███████ on █████ ██████████: the █████ ███████, the █████ ███ ██████ ██████████ the █████ about which the ██████ is being ████████ to the █████ of █████ ███████████, and the █████ between the █████ and █████ ███ ███████. In ███████:

${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \implies \tau =rF_{\perp }=rF\sin \theta$

█████

${\boldsymbol {\tau }}$ is the ██████ ██████ and $\tau$ is the █████████ of the ██████;
$\mathbf {r}$ is the ████████ ██████ (a ██████ from the █████ about which the ██████ is being ████████ to the █████ █████ the █████ is ███████), and █ is the █████████ of the ████████ ██████;
$\mathbf {F}$ is the █████ ██████, █ is the █████████ of the █████ ██████, and █_⊥ is the ██████ of █████ ████████ ███████████████ to the ████████ of the ████████;
$\times$ ███████ the █████ ███████, which ████████ a ██████ that is █████████████ ████ to █ and to █ following the █████-████ ████;
$\theta$ is the █████ between the █████ ██████ and the █████ ███ ██████.

The ██ ████ for ██████ is the ██████-█████ (█⋅█). For ████ on the █████ of ██████, ███ § █████.

████████████ with the ███████ ████████

The ███ ██████ on a ████ ██████████ the ████ of ██████ of the ████'s ███████ ████████,

${\boldsymbol {\tau }}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}$

█████ ${\textstyle \mathbf {L} }$ is the ███████ ████████ ██████ and ${\textstyle t}$ is ████. For the ██████ of a █████ ████████,

$\mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }},$

█████ ${\textstyle I=mr^{2}}$ is the ██████ of ███████ and ${\textstyle {\boldsymbol {\omega }}}$ is the ███████ ███████ ████████ ████████████. It ███████ that

${\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }=I_{1}{\dot {\omega }}_{1}{\hat {\boldsymbol {e}}}_{1}+I_{2}{\dot {\omega }}_{2}{\hat {\boldsymbol {e}}}_{2}+I_{3}{\dot {\omega }}_{3}{\hat {\boldsymbol {e}}}_{3}+I_{1}\omega _{1}{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {e}}}_{1}}{\mathrm {d} t}}+I_{2}\omega _{2}{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {e}}}_{2}}{\mathrm {d} t}}+I_{3}\omega _{3}{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {e}}}_{3}}{\mathrm {d} t}}=I{\boldsymbol {\dot {\omega }}}+{\boldsymbol {\omega }}\times (I{\boldsymbol {\omega }})$

using the ██████████ of a ██████ is ${\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {e}}}_{\text{i}} \over \mathrm {d} t}={\boldsymbol {\omega }}\times {\hat {\boldsymbol {e}}}_{\text{i}}$ This ████████ is the ██████████ ████████ of ██████'s ██████ ███ for █████ █████████, and is █████ for ███ ████ of ██████████. In some ██████ █████ like a ████████ ████, █████ ████ the ██████ of ███████ on ████████ ████ is, the ██████████ ██████'s ██████ ███ can be ${\boldsymbol {\tau }}=I{\boldsymbol {\alpha }}$ █████ ${\boldsymbol {\alpha }}={\dot {\boldsymbol {\omega }}}$ .

█████ of the ███████████ of ███████████

The ██████████ of ███████ ████████ for a ██████ █████ ████████ is: $\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$ █████ █ is the ████████'s ██████ ████████ and █ is the ████████ ██████ from the ██████. The ████-██████████ of this is:

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {r} \times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {p} .$

This ██████ can ██████ be ██████ by █████████ the ███████ into ██████████ and ████████ the ███████ ████. But because the ████ of ██████ of ██████ ████████ is █████ ${\textstyle \mathbf {F} }$ and the ████ of ██████ of ████████ is ████████ ${\textstyle \mathbf {v} }$ ,

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} +\mathbf {v} \times \mathbf {p}$

The █████ ███████ of ████████ $\mathbf {p}$ with ███ ██████████ ████████ $\mathbf {v}$ is ████ because ████████ and ████████ are ████████, ██ the ██████ ████ ████████. █████████, ██████ on a ████████ is █████ to the █████ ██████████ of ███ ███████ ████████ with ███████ to ████. If ████████ ██████ are ███████, █████████ ██████'s ██████ ███ it ███████ that ${\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} _{\mathrm {net} }={\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }.$

This is a ███████ █████ for █████ █████████, but it can be ███████████ to a ██████ of █████ █████████ by ████████ the above █████ to ████ of the █████ █████████ and ████ ███████ over ███ the █████ █████████. █████████, the █████ can be ███████████ to a ██████████ ████ by ████████ the above █████ to ████ █████ within the ████, and ████ ███████████ over the ██████ ████.

███████████ of ██████

In ███████, ███████ is the ██████████ of ██████ with ███████ to ████

█ = █ █ █ █ ,

█████ █ is ██████.

This ████ is ███████ from the █████ ████ ███████ ███████ 'to ██████'. The ████ ███████ is not ███████████ ██████████ but is ████████ used. There is not a ███████████ ████████ ███████ to ████████ the ██████████ ███████████ of ███████, ████ if █████████ ███████ █████████ have been ████.

Using the █████ ███████ ██████████ of ██████, an ███████████ ██████████ for ███████ is:

█ = █ × █ █ █ █ + █ █ █ █ × █ .

Because the ████ of ██████ of █████ is ████ ${\textstyle \mathbf {Y} }$ and the ████ of ██████ of ████████ is ████████ ${\textstyle \mathbf {v} }$ , the ██████████ can be ███████ ██████████ to:

█ = █ × █ + █ × █ .

████████████ with █████ and ██████

The ███ of ████████████ of ██████ can ████ be used to ██████████ ██████. If a █████ is ███████ to ███ through a ████████, it is █████ ██████████ ████. █████████, if ██████ is ███████ to ███ through an ███████ ████████████, it is █████ ████. ██████████████, for ████████ about a █████ ████ through the ██████ of ████, the ████ █ can be █████████ as

$W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \ \mathrm {d} \theta ,$

█████ █ is ██████, and █_█ and █_█ █████████ (████████████) the ███████ and █████ ███████ █████████ of the ████.

It ███████ from the ████–██████ █████████ that █ ████ ██████████ the ██████ in the ██████████ ███████ ██████ █_█ of the ████, █████ by

$E_{\mathrm {r} }={\tfrac {1}{2}}I\omega ^{2},$

█████ █ is the ██████ of ███████ of the ████ and █ is ███ ███████ █████.

█████ is the ████ per ████ ████, █████ by

$P={\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\omega }},$

█████ █ is █████, █ is ██████, █ is the ███████ ████████, and $\cdot$ ██████████ the ██████ ███████.

█████████████, the ████████ ███ be ██████████ to ███████ ██████ for a █████ ███████ █████ and █████ ██████. The █████ ████████ by the ██████ ███████ ████ on the █████████████ ███████ █████ – not on ███████ the ███████ █████ █████████, █████████, or ███████ ████████ █████ the ██████ is being ███████ (this is ██████████ to the ██████ ████ █████ the █████ ████████ by a █████ ███████ ████ on the █████████████ █████ – not on the █████████ ████████████, if ███).

█████

The ████ ████ by a ████████ █████ ██████ over a ██████ ██████ ████████████ $█$ is █████ by ███████████ the █████ with ███████ to an █████████ ██████ ████████████ $\mathrm {d} \mathbf {s}$

$W=\int _{s_{1}}^{s_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s}$

███████, the █████████████ ██████ ████████████ $\mathrm {d} \mathbf {s}$ is ███████ to a █████████████ ███████ ████████████ $\mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}$ and the ██████ ██████ $\mathbf {r}$ as

$\mathrm {d} \mathbf {s} =\mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {r}$

████████████ in the above ██████████ for ████, █████ $W=\int _{s_{1}}^{s_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {r}$

The ██████████ inside the ████████ is a ██████ ██████ ███████ $\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {r} =\mathbf {r} \times \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}$ , but as per the ██████████ of ██████, and since the █████████ of ███████████ has been ███████ from ██████ ████████████ to ███████ ████████████, the ████████ ███████

$W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}{\boldsymbol {\tau }}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}$

If the ██████ and the ███████ ████████████ are in the ████ █████████, ████ the ██████ ███████ ███████ to a ███████ of ██████████; █.█., ${\boldsymbol {\tau }}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}=\left|{\boldsymbol {\tau }}\right|\left|\mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}\right|\cos 0=\tau \,\mathrm {d} \theta$ ██████

$W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \,\mathrm {d} \theta$

█████████ of ███████

The █████████ of ███████, ████ █████ as ████████'s ███████ (not to be ████████ with the ███████████ ███████ of the ████ ████) ██████ that the █████████ ███████ ███ to ███████ ██████ ███████ to about a █████ is █████ to the ███ of the ████████████ ███████:

$\tau =\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}+\ldots +\mathbf {r} _{N}\times \mathbf {F} _{N}.$

From this it ███████ that the ███████ █████████ from █ ██████ of ██████ ██████ around a █████ on an ██████ are ████████ ████

$\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}+\ldots +\mathbf {r} _{N}\times \mathbf {F} _{N}=\mathbf {0} .$

█████

████████ ██ ██████████ █████████ the ██████-█████ as the ████████ ████ for ██████, ████████ ███████ using █⋅█; ████████ this is █████████████ ██████████ to the █████, which is not used for ██████. ████ ██████████, ██████ can be ███████████ as ██████ the ████ █⋅█/███ (████████████ █/███), since it ██████████ the ████ of ██████ of ██████████ ████ with ███████ to the ███████ ████████████. ███████, in the █████████████ ██████ of █████ (██), the ██████ is ███████ as a █████████████ ███████ ████. ████████████, ██████ is ██████████████ █████████ ██████ in ██████-██████ (█⋅█/█ = █⋅█), ████ ██████ it is ██████████ ████████ from ██████.

This ██████████████ of ██████ as ██████ per ████ ███████ ████████████ (█⋅█/███) can be ████████ from the ████-██████ ████████████ ██████████ in the ████████ ███████: $W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \ \mathrm {d} \theta$ █████ █ is the ██████████ ████ (█), █ is the ██████ (█⋅█/███), █_█ and █_█ are the ███████ and █████ ███████ █████████ of the ████ (███), ████████████, and ██ is an █████████████ ███████ ████████████ (███)..