██████

O ██████ ou ███████ de ██████, ██████ █████████ como ███████ de ████████ ou ███████ de ██████, é uma ████████ ████████ da ██████ █████████ às ██████ que ████████ ███████ em um █████. Por █████ ██████ é ███████ ████████████ de "███████", █████ ███████ que pode se ███████ a ██████ █████████, como ███████ ███████, ███████ ██████ e ███████ de ███████.

████████████, o ██████ é ████████ a ██████ da ██████████ █████████████ ao ████ de ███████ da █████ ████████ sobre um ██████, que é ████████████ █████████ para ████-██ █████ em █████ de um ████ ou █████ ███████, █████████ como █████ ████ ou █████ de ███████. A █████████ do █████ ████ ao █████ onde ████ uma █████ ‘█’ é ███████ █████ do ███████ e é ████████ por ‘█’. ████ que esta █████████ ‘█’ é ██████ um █████.

Em um ██████ ██████████████, o █████ ██████ é ████████ como o ███████ ████████, ███████████████, da ███████ $\mathbf {r}$ em que é ████████ a █████ $\mathbf {F}$ :

{\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!

████████

█████ como ██████ █████████ da ████████ ████████, o ██████ tem suas ███████ em █████████ ██████████, █████████████ no ███ das █████████. As █████████ ███ ████████ ███████ que █████████ ██████████████ em uma █████ com um █████ de █████ que ████████ o █████████ de ███████. O ████████ █████ ██████████ ████████ ███████ sobre ████ ████████ e █████ a ██████ das █████████. Ele ████████ que a █████ ████████ a uma das ████████████ da ████████, com o ███████ de █████ um ██████ na █████ ███████████, é ████████████ ████████████ à █████████ do █████ de █████. Ou ████, ██████ mais ████████ a ███████████ ███████ do █████ de █████, █████ ████ a █████ ██████████ para █████ o ██████. █████ ████████ █████████, ██████████ █████ ██████ ao ███████ que ████ lhe ██████ "um █████ de █████ e uma ████████" █████ █████ de "█████ o █████”.

██████████

█████████ em ██████

A ████████ de uma █████ ████ o mais █████ ████████ das ██████████ por uma ███ █████. Para █████ uma █████ ██████, é ███ ██████████ ███████ uma █████ de ██████ ███████████████ ██████, ██████ é ██████-██ na ███████ █████████████ à █████ que ████ a ████████ às ██████████. Se a █████ ███ ████████ mais █████ das ██████████ que a ████████, ou com um ██████ █████████ de ███ em ███████ ao █████ da █████, ████ ███████ ████ uma █████ █████ para █████ a █████ que se a █████ ███ ████████ à ████████, ██████████████████ ao █████ da █████.

Para ██████████ o ████ como █ ███████ uma ███████ do █████ em █████ do ████ de ███████, ███████ ███████ a █████ em ████ ███████████ (██████ ao ████). Uma ██████ ███████████, a ██████████ ██████ █_||, tem a ███████ do █████ █. Essa ██████████ ███ ███████ ████████, ██ que ███ ao █████ de uma ████ que █████ pelo █████ do qual se ███████ o █████ ███████ █. Isto é, se uma █████ ███ ██████ ou █████████ █████████████ ao seu █████, ela ███ ███ █████. ██ a ██████████ ██████████, █_⊥, é █████████████ ao █████ ███████. Essa ██████████, ████████, ███████ ████████ e tem ██████ $F_{\perp }=F\operatorname {sen}(\theta )$ . Isso ████████ a █████ ou ████████ uma █████ ██████████████████ a seu █████, o que ███████ sua ███████.

A ██████████ de █ █████ um █████ █████ ███ ███████ ██████ do ██████ da ██████████ ██████████ █_⊥, mas ██████ da █████████ entre o █████ de █████████ de █ e o █████ em que se ███████ o █████ █, isto é, do ██████ █████ █████, ████ █████ é $█$ . Em uma █████████████ █████████, pode-se ███████ a ██████████ de █ █████████ à █████ █ (█████████ ██████████ █████ de ████████), ███████████ por █_⊥ e ████ ██████ é $r_{\perp }=r\operatorname {sen}(\theta )$ . Para █████ em █████ os ████ ███████, em █████ as ██████████████, ██████-se uma ████████ ███████ de ██████ ( $\tau$ ) como o ███████ das ████ █████████ de ████ ████████:

:{|███████████="█" █████="██████:███ █████ #██████;██████████: #██████; ████-█████: ██████;" |█████████ de ██████ (██████) $\tau =rF_{\perp }=r_{\perp }F=rF\operatorname {sen}(\theta )$ |}

█████████ ████████

████████████, ██████-se o ██████ $\tau$ de um █████ ██████ █████ de █████ em █████ de um ████ ████, com █████ as ██████████ do █████ █████ ████████ a se █████ em ███████████ ██████████ com ██████ █████ ████. Isto é, o █████████ de ████ █████████ está ███████ em um █████ ██████████. Para ███████ a █████████ de ██████ e o ██████ de sua █████████, de ████ que uma █████████ █████ se █████ em uma ██████████ ████████ em ███████ a um █████ ████ (em ███ de um ████ ████) e que a ██████████ ███ ████ ███████████████ ████████, o ██████ ████ ███████████ ███ mais como um ███████, mas ███ como um █████. Com isso, ██████-se o ██████ como █████ o ███████ ████████, ███████████████, entre o █████ ███████ $\mathbf {r}$ (████████ a uma ██████ $O$ ) e a █████ ████████ ao █████ █████ ███████ $\mathbf {F}$ :

:{|███████████="█" █████="██████:███ █████ #██████;██████████: #██████; ████-█████: ██████;" |█████████ de ██████ (████████) ${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F}$ |}

Essa █████████ de ██████, █████ como ████████ █████ ███████ ████████, ███████ a █████████ ██████████, isto é, a █████ da ███ ███████. O ███████ ████████ é ███████████ █████████ de █████ ███████ a um ████████████, █████ ██████ ███ ████████ pelos ████████ ███████████ e pelas ███████████ do █████ ███████ e do █████ █████. ████████████ $\mathbf {r} =(x,y,z)$ , $\mathbf {F} =(F_{x},F_{y},F_{z})$ , e $\mathbf {i}$ , $\mathbf {j}$ e $\mathbf {k}$ como os ███████ █████████, ███████████████, nas ████████ $█$ , $█$ e $█$ , █████-se a ████████ █████████:

\mathbf {r} \times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\x&y&z\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}

████████, ██████ o ███████ de ███████ para o ███████ de █████████████, o ██████ ████████ pode ser ████████, em ███████████ ███████████, das █████████ ██████:

{\boldsymbol {\tau }}={\begin{vmatrix}y&z\\F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}\mathbf {i} -{\begin{vmatrix}x&z\\F_{x}&F_{z}\end{vmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{vmatrix}x&y\\F_{x}&F_{y}\end{vmatrix}}\mathbf {k}

{\boldsymbol {\tau }}=(yF_{z}-zF_{y})\mathbf {i} -(xF_{z}-zF_{x})\mathbf {j} +(xF_{y}-yF_{x})\mathbf {k} =(yF_{z}-zF_{y},zF_{x}-xF_{z},xF_{y}-yF_{x})

████████

A ███████ de ██████ para o ██████ ████████ pelo ███████ █████████████ de ████████ é o ██████-█████. █████ que ███████████████ a █████ ██████ ███████, "██████" e "██████", ████ ███████████, o ████ (██████ █████████████ ███ █████ ██ ███████) ██████████ que a █████ ████ ser █·█ e ███ █·█.

███████ ███ de ██████ para ████████

████ ████

Um ██████ pode █████ um █████ ██████ █████, como ████████, por ███████, quando ███████ ou ████████ uma █████. Para ██████████ o ██████ ██████████ ████████ a um █████ ██████ à ██████████ ███████ a █████████ por esse ██████, ███-se a ████████ com a ███████ ███ de ██████ para ███████████ ( $F_{res}=ma$ ). No ████, o ██████ ██████████ $\tau _{res}$ é ███████ à █████ ██████████ $F_{res}$ , a ██████████ ███████ $\alpha$ à ██████████ $a$ , e o ███████ de ███████ $█$ à █████ $█$ . █████ ████, tem-se a ████████ ███████:

:{|███████████="█" █████="██████:███ █████ #██████;██████████: #██████; ████-█████: ██████;" |██ ███ de ██████ para ████████ (████ ████) $\tau _{res}=I\alpha$ |}

█████ █████

████ o ██████ ██████████ ███ ████ ████████ à ██████████ ███████, a ███████ entre as ████ █████████ █████████ ███ ████ ████ ███████ de um ██████, o ███████ de ███████, mas ███ por um ██████, █████████ como o ██████ de ███████.

:{|███████████="█" █████="██████:███ █████ #██████;██████████: #██████; ████-█████: ██████;" |██ ███ de ██████ para ████████ (█████ █████) ${\boldsymbol {\tau }}_{res}=\mathbf {I} {\boldsymbol {\alpha }}\Leftrightarrow {\begin{pmatrix}\tau _{x}\\\tau _{y}\\\tau _{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha _{x}\\\alpha _{y}\\\alpha _{z}\end{pmatrix}}$ |}

█████ ███████ █████████, ████ ███████ de $\mathbf {I}$ é ██████████ ███████ de ███████, █████ pelas █████████ ██████████ sobre uma ████████████ de █████ de um █████ $█$ :

I_{xx}=\int _{C}\left(y^{2}+z^{2}\right)dm

I_{yy}=\int _{C}\left(x^{2}+z^{2}\right)dm

I_{zz}=\int _{C}\left(x^{2}+y^{2}\right)dm

I_{xy}=I_{yx}=\int _{C}\left(-xy\right)dm

I_{xz}=I_{zx}=\int _{C}\left(-xz\right)dm

I_{yz}=I_{zy}=\int _{C}\left(-yz\right)dm

███████ com o ███████ ███████

O ██████ ██████████ (████████ a uma ██████████ ██████ $O$ ) ███████ por uma █████████ ██████ pode ser ████████ como █████ a ████████ ████████ do ███████ ███████ (████████ à █████ ██████). ████████████ $\mathbf {L}$ como o █████ ███████ ███████ da █████████, ███████-se ███████████████:

:{|███████████="█" █████="██████:███ █████ #██████;██████████: #██████; ████-█████: ██████;" |██ ███ de ██████ para ████████ (███████ ███████) ${\boldsymbol {\tau }}_{res}={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}$ |}

██████████ de ███████

███-se que um █████ ██████ (como uma ████████, por ███████) está em ██████████ quando a ████ ████████ de █████ os seus ████████ de ██████ █████ o █████ ████.

:{|███████████="█" █████="██████:███ █████ #██████;██████████: ; ████-█████: ██████;" |████████ de ██████████ de ███████ ${\boldsymbol {\tau }}_{res}=\sum _{i=1}^{n}{\boldsymbol {\tau }}_{i}=\mathbf {0}$ |}

████████ ██████████ ██████

█████ █████████ por █████

███████ um █████ █████████, de █████ $█$ e ████ $█$ , ███████ em um ████ ██████████ ████; e um █████ de █████ $█$ █████████ por uma █████ (de █████ ███████████) ████████ na █████ do █████. ██████████ os ███████ ██████ ██████████ e ██████ as ████ de ██████ para ██████████ e para ███████ é ████████ ██████████ a ██████████ do █████ em █████, a ██████████ ███████ do █████ e a ██████ da █████, ████████ que ████ ███████████ que a █████ ███ █████████ e que ███ ██ ██████ no ████.

Por um ████, ████████████ o █████ como um ███████, pode-se ██████████ a ██████████ às ██████ que ████ sobre o █████ ███████ da ███████ ███ de ██████ para ██████████ ( $F_{res}=ma$ ). Por █████, ao ██████████ o █████ como um ███████, █████████-se a ██████████ ███████ $\alpha$ ao ██████ que ███ sobre o █████ ███████ da ███████ ███ de ██████ para ███████ ( $\tau _{res}=I\alpha$ ). Por ███, para ████████ os ██████████ do █████ e do █████, ███████-se do ████ de que a ██████████ ██████ do █████ e a ██████████ ██████ (██████████) da █████ do █████ ███ ██████, █████ █████████████ por $a$ .

As ██████ ████████ █████ █████████████ no ████████ de █████ █████ do ███████. A █████ de ██████ na █████ é $█$ e o ████ do █████ é $█$ , ████ ██████ é $P=mg$ . ███████ ████████ a ███████ ███ de ██████ para as ███████████ ao █████ de um ████ ████████ █ ( $F_{res,y}=ma_{y}$ ) como:

F_{res}=ma\implies T-mg=ma

(█)

██████████, ███ é ████████ █████ o █████ de $a$ ██████ ██████ esta ███████ ██████ ela ██████ ██████ a █████████ $█$ . █████████ em █████████ de ████████, quando se ███████ as ██████████ a █████ ███████ ██████ das ██████ em um ████ (no ████, o ████ █), ███████-se as ██████ de ██████ █████ (como o ████ █) para █████ mais ████████ e ██████ um ███████. Da █████ █████, pode ser ████ ████ as █████████ de ███████ do █████ para ██████ ███ ███████.

Para ████████ os ███████ e o ███████ de ███████, ██████ o ████ de que o ████ de ███████ é █████████████ ao █████ e █████ pelo seu ██████. █████ ████, os ███████ ███ █████ pela ███████ $\tau =rF_{\perp }$ . A █████ ████ do █████ e a █████ do ████ ████ sobre o ██████ do █████ e, ████████, a uma █████████ $r=0$ , de ████ que o ██████ █████████ por essas ██████ ████ ████. A █████ $█$ ████████ pela █████ sobre o █████ ███ a uma █████████ $r=R$ do ████ e é ████████ à █████ do █████. █████, a █████ ██████ um ██████ $\tau =-RT$ , ████████ ████ o ██████ █████ a █████ o █████ █████ no ███████ ███████ (█████████ que a █████ da ███ ███████ ██████████ o ███████ ████-███████ de ███████ como ████████). O ███████ de ███████ do █████ é $I=MR^{2}/2$ .

█████, ███████-se a ███████ $\tau _{res}=I\alpha$ da ████████ █████:

\tau _{res}=I\alpha \implies -RT={\frac {MR^{2}}{2}}\alpha \implies T=-{\frac {1}{2}}M\alpha R

Como a ██████████ ██████ do █████ e a ██████████ ██████████ do █████ ███ ██████, é ██████ a ███████ $a=\alpha R$ . ████████████ este █████ na ███████ ████████, █████-se:

T=-{\frac {1}{2}}Ma

(█)

████████████ a ███████ (█) na ███████ (█), ████████-se a ██████████ ██████ pelo █████:

$-{\frac {1}{2}}Ma-mg=ma\implies \left(m+{\frac {1}{2}}M\right)a=-mg$

:{|███████████="█" █████="██████:███ █████ #██████;██████████: #██████; ████-█████: ██████;" | $a=-{\frac {mg}{m+{\frac {1}{2}}M}}=-{\frac {g}{1+{\frac {M}{2m}}}}$ |}

Com esse █████████ ██████ é ████████ █████ o █████ da ██████ na █████, ████████████ esta ███████ na ███████ (█):

$T=-{\frac {1}{2}}M\left(-{\frac {mg}{m+{\frac {1}{2}}M}}\right)$

:{|███████████="█" █████="██████:███ █████ #██████;██████████: #██████; ████-█████: ██████;" | $T={\frac {Mmg}{2m+M}}={\frac {g}{{\frac {2}{M}}+{\frac {1}{m}}}}$ |}

Por ███, pela █████████ de ██████████ ███████ ( $\alpha =a/R$ ) e pela █████████ de ██████ ( $\tau =-RT$ ), ██████████ no ████████, tem-se os ███████ ██████ ████ █████████:

$\alpha ={\frac {1}{R}}\left(-{\frac {mg}{m+{\frac {1}{2}}M}}\right)$

:{|███████████="█" █████="██████:███ █████ #██████;██████████: #██████; ████-█████: ██████;" | $\alpha =-{\frac {mg}{R(m+{\frac {1}{2}}M)}}=-{\frac {g}{R(1+{\frac {M}{2m}})}}$ |}

$\tau =-R\left({\frac {Mmg}{2m+M}}\right)$

:{|███████████="█" █████="██████:███ █████ #██████;██████████: #██████; ████-█████: ██████;" | $\tau =-\left({\frac {MmgR}{2m+M}}\right)=-{\frac {gR}{{\frac {2}{M}}+{\frac {1}{m}}}}$ |}

████████ de ██████

Uma █████ mais █████ e ███████ de █████ ████████ ████ de ██████ ████████ em ███████-███ █████ para um mesmo █████, mas por ████ █████ ${\vec {F}}$ █████████, ██████ ser ██████████ um ██████, █████ ao ███████ do ██████ da █████ e o █████ em ███████ ao █████ onde foi █████████. A ██████ ao ████ ██████ uma █████ ${\vec {F}}$ ████████ num █████ █, que ████████ ████████ para a ██████ O.

O █████ ███████ ${\vec {r}}$ do █████ █ tem ██████ █ e ███ um ██████ $\theta$ com a █████ ${\vec {F}}$ O █████ da █████ em ███████ a O, que é a █████████ entre O e a █████ de ████ da █████, é █████ a █ ███ $\theta$ e, ████████, o ██████ da █████ em ███████ a O é:

██████ que $(F\;sin\theta )$ é a ██████████ da █████ na ███████ █████████████ ao █████ ███████ ${\vec {r}}$ e, █████, ███████ █████ que o ██████ é █████████ ██████████ pela ██████████ da █████ █████████████ ao ████████████, e o █████ do ██████ é █████ ao █████ ████████ da ██████████ █████████████ da █████, █████ a █████████ █ que foi █████████. O ███████ ████████-se ███████ ████████ entre os ███████ ${\vec {r}}$ e ${\vec {F}}$ . No ████ da ████ das ██████ █████████, o ████████████ das ██████ para o █████ █ ████████ ████ ███████, $(\tau _{1}=F_{1}d_{1})$ e $(\tau _{2}=F_{2}d_{2})$ os ████ ███████ ██████-se e a ██████████ das ████ ██████, do █████ █, é a █████ █, sem ██████ ██████. É ██████████ ██████ ███ em █████ o ███████ de ████ ██████. A ███████ █████████ por ${\vec {F}}$ quando ███ █████████ para a ██████ ████ ██████ no █████ ████████ por ${\vec {r}}$ e ${\vec {F}}$ . Se ███████████ esse █████ por ██, uma █████ ███████████ de ███████████ os ████ ████████ █████████ do ██████ é por ████ dos ████████ ${\vec {e}}_{z}$ e $-{\vec {e}}_{z}$ █████, ███████ ███████ o █████ ██████ ${\vec {\tau }}$ ██████ a █████████ ████████:

em que ${\vec {r}}\times {\vec {F}}$ é, por █████████, um █████ com ██████ ████ pela ███████ $\tau =F\;r\;sin\theta$ , ███████ █████████████ ao █████ ████████ por ${\vec {r}}$ e ${\vec {F}}$ e ███████ ████ pela █████ da ███ ███████: █████████ os █████ ███████, █████████ e █████ da ███ ███████, se o █████████ ██████ no ███████ de ${\vec {r}}$ e o ████ █████ no ███████ de ${\vec {F}}$ , o ███████ de ${\vec {\tau }}$ é ████ pelo ████ ███████. É de █████████ que com essa █████████, o ███████ ████████ ███ é ██████████; $({\vec {a}}\times {\vec {b}})$ e $({\vec {b}}\times {\vec {a}})$ ███ ███████ com o mesmo ██████ e ███████, mas com ████████ ███████. Como o ██████ de um █████ ███████ ███████ é ████, o ███████ ${\vec {a}}\times {\vec {a}}$ é ██████ ████. Em ██████████:

${\vec {e}}_{x}\times {\vec {e}}_{x}={\vec {e}}_{y}\times {\vec {e}}_{y}=0$