████ des ██████████

Der ████ des ██████████ (auch als ███████████████ ████████ und als ███████████████ ██████████) ist einer der █████████████ █████ der ████████████ █████████. Er ██████, dass in allen ██████ ██████████████ █████████ die █████ der ██████████████ der ████████████████ ██████ dem █████████████ des ████████████████████ ist. Sind also $a$ und $b$ die ██████ der am ███████ ██████ ███████████ ██████, der ████████, und ist $c$ die █████ der dem ███████ ██████ ██████████████████ █████, der ██████████, so ██████ der ████, dass die ██████████ ██████████████ █████████

a^{2}+b^{2}=c^{2}

████.

Der ████ ist nach ██████████ von █████ ███████, der als ██████ █████ einen ██████████████ ██████ ████████ haben ████, ███ allerdings in der █████████ ██████████ ist. Die ███████ des ██████ war █████ █████ vor der ████ des ██████████ in ███████ und ██████ ███████, es ████ ██████ ██████ ████████ █████, dass ███ ████ auch einen ██████ hatte.

█████████████ ███████

Der ████ des ██████████ █████ sich ██████████████ ███████████:

Sind $a$ , $b$ und $c$ die ████████████ eines ██████████████ ████████, █████ $a$ und $b$ die ██████ der ████████ sind und $c$ die █████ der ██████████ ist, so ████ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ .

In █████████████ ███████ ist ███████ in einem ██████████████ ███████ die █████ der ███████ der beiden ████████ ████ den ████████ ██████ der ██████ des ████████ ████ der ██████████.

Die █████████ des ██████ ████ ebenso:

████ die █████████ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ in einem ███████ mit den ████████████ $a$ , $b$ und $c$ , so ist ██████ ███████ ████████████, █████ der ██████ ██████ der █████ $c$ ██████████████.

███ ████████ mit dem ████ des ██████████ sind der █████████ und der ████████████. █████ beiden █████ und der ████ des ██████████ ██████ ████████ die ██████████ des ██████████. Der █████ ████████████ ███████████ ist eine █████████████████ des ███████████████ ██████.

███████████

██████ im ██████████████ ███████

Aus dem ████ des ██████████ █████ ██████, dass die █████ der ██████████ ██████ der █████████████ aus der █████ der ████████████████ ist, also

c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}

Eine ████████ und ████████ █████████ des ██████ ist, aus ████ █████████ ██████ eines ██████████████ ████████ die ██████ zu █████████. ████ ist durch █████████ der █████████ ███ alle ██████ ███████:

{\begin{aligned}a&={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}\\b&={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}\end{aligned}}

Die █████████ des ██████ kann dazu █████████ werden, zu ██████████, ob ein █████████ ███████ ████████████ ist. Dazu wird ████████, ob die █████████ des ██████ ███ die ██████ bei dem █████████ ███████ ████████. Es ██████ also ██████ die ████████ der ████████████ eines █████████ ████████, um daraus zu █████████, ob es ████████████ ist oder nicht:

Sind die ████████████ z. B. $█$ , $█$ und $█$ , dann ██████ sich $3^{2}+4^{2}=9+16=25=5^{2}$ , und daher ist das ███████ ████████████.
Sind die ████████████ z. B. $█$ , $█$ und $█$ , dann ██████ sich $4^{2}+5^{2}=16+25=41\neq 6^{2}$ , und daher ist das ███████ nicht ████████████.

Aus dem ████ des ██████████ █████, dass in einem ██████████████ ███████ die ██████████ ██████ als ████ der ████████ und ██████ als deren █████ ist. █████████ ██████ sich auch aus der ███████████████████.

█████████ ██████ im ██████████████ ███████

Aus dem ████ des ██████████ █████ als ███████ █████████ der █████████ ████ des ██████████:

Sind $a$ und $b$ die ██████ der ████████ und $█$ die █████ der ████ auf der ██████████ in einem ██████████████ ███████ $A B C$ , dann sind ${\frac {1}{a}}$ und ${\frac {1}{b}}$ die ██████████████ und ${\frac {1}{h}}$ die ████████████████ eines zu $A B C$ █████████ ██████████████ ████████ $A^{'} B^{'} C^{'}$ .

█████ █████: ${\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{h^{2}}}$ .

█████ der ████████████████ ████ ███ die ██████████████ des ████████ $A B C$ die ██████████ ${\frac {ab}{2}}={\frac {ch}{2}}$ oder $c={\frac {ab}{h}}$ .

Durch ████████ der ███████████████████ auf beiden ██████ durch $a^{2}b^{2}$ und █████████ von ${\frac {ab}{h}}$ ███ $c$ ██████ sich die ███████ des ██████ aus █████████ ███████████████:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}\Leftrightarrow {\frac {1}{b^{2}}}+{\frac {1}{a^{2}}}={\frac {c^{2}}{a^{2}b^{2}}}\Leftrightarrow {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {\frac {a^{2}b^{2}}{h^{2}}}{a^{2}b^{2}}}\Leftrightarrow {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{h^{2}}}$

██████████████ ██████

Unter allen █████████████ $(a,b,c)$ , die die █████████ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ ████████, ████ es █████████ █████, bei denen $a$ , $b$ und $c$ ███████ █████ ██████ sind. █████ █████████████ werden ██████████████ ██████ ███████. Das ██████████ ██████ ██████ ███████ aus den ██████ $█$ , $█$ und $█$ . Die beiden ██████ ██████ ██████ einen ███████ ██████.

Der █████ ██████████ ████ ██████, dass die $n$ -██ ██████ einer ████, ████ $n>2$ ist, nicht als █████ ██████ ████████ des ████████ ██████ ███████████ werden kann. ███████ sind █████ ███████████ $\neq 0$ und ██████████ ██████████. █████████ ██████████ ████████ ████:

Die █████████ $a^{n}+b^{n}=c^{n}$ ███████ ███ ███████████ $a,b,c\neq 0$ und ██████████ ██████ $n>2$ █████ ██████.

Das ist ███████████, weil es ███ $n\leq 2$ █████████ █████ ████████ ████. ███ $n=2$ sind ████ die ███████████████ ████████████.

█████ ██████ █████████ ████████████ ████ der ██████ des ██████ ███████████ ██████, der ████ ████ ████████ werden ██████, als ███████████████ █████████.

████████████ ███████

Der ████ von ██████████ ███████ eine ██████ ███ den ███████ ██████ ██████ in einem ████████████ █████████████████. Sind ████ ██████ $(x_{0},y_{0})$ und $(x_{1},y_{1})$ in einer █████ ███████, dann ist ███ ███████ $c$ durch

c={\sqrt {(x_{1}-x_{0})^{2}+(y_{1}-y_{0})^{2}}}

███████. ███████ wird ██████████, dass die █████████████████ █████████ ██████████ ██████. █████ ██████ kann auch auf ████ als ████ ███████████ █████████ werden und ███████ dann den ████████████ ███████. Zum ████████ ████ im █████████████████ ████████████ ████

c={\sqrt {(x_{1}-x_{0})^{2}+(y_{1}-y_{0})^{2}+(z_{1}-z_{0})^{2}}}

Das ██████████ auch dem ██████ ███. der █████ des durch die beiden ██████ ███████████ ███████.

███████

███ den ████ sind ███████ ███████ ███████ ███████, █████ er ████ der ██████████████ █████████████ ████ ist. ██████ █████ ██████ █████ in einem ██████ ████ ████████████ ████ ███ ███████ auf. █████ ██████ █████ in einer █████████████ und █████████ der ██████-████████ ████ ███ ████████████ ███████ auf, █████ er ██████ ████ ███ ███████ ████████ und eine █████ █████ von ███████, darunter auch die ████████ ██████████████ ████████ ███████. ████████████ werden im █████████ ████ ████████████ ███████ ███████████. Ein ███████ ██████ aus dem ████ ████ von █████ A. ████████ ██████ sich unter ██████ des ██████ des ██████████ nach ████████, der dem ██████ durch █████████ █████ ██████.

██████ nach ██████

██████ ██████████ den ████ des ██████████ mit dem █████████ ██████ im ██████ ████ ██████ ████████ in der ███████████ ██. ████ ███████ er ████████ den ████████████ mit █████ ███████████ ████████, aus welchem dann ███████████ der ████ des ██████████ █████. Der ██████ ███████ nicht die ███████ der ████████████, die ██████ im ████ █ der ████████ ██████████, ███████ █████ ██████ mit den ██████ des ██████ ██████ der ████████ aus und ist von █████████████ █████.

███ ein ███████ $A B C$ mit ███████ ██████ in $C$ sind $C B L F$ und $A C K D$ die ████████ ████ den ████████ und $J$ der ████████ der ████ von $C$ auf $A B$ . Des ████████ sind $M N J A$ und $N █ B J$ █████████ ████ der ██████████ $A B$ , deren ███████ █████ $J N$ die █████ der █████ $A B$ ███████. ███ sind die ████████ $A M C$ und $A B D$ nach dem ███████ █████████████ (███) █████████, da $\angle MAC=\angle BAC+90^{\circ }=\angle BAD$ , $|AD|=|AC|$ und $|AB|=|AM|$ ████. █████ ████, dass die ██████ des ████████ $A M C$ die ██████ der ██████ des █████████ $M N J A$ ███████, da die ██████████ $A B$ des ████████ $A B C$ und die █████████████ $A M$ ██████ ████ sind und die █████ ██████ ████ von $C$ der █████ der ███████ █████████████ ██████████. ████████ eines ██████████████ █████████ █████, dass die ██████ des ████████ $A B D$ der ██████ der ██████ des █████████████████ $A C K D$ ██████████. █████ der █████████ der ████████ $A M C$ und $A B D$ ████████ ████ aber, dass dann auch das ███████████████ $A C K D$ █████████████ mit dem ████████ $M N J A$ ist. ██████ █████ sich mit █████ der ███████████ ████████ $C █ B$ und $A B L$ ██████, dass das ██████ ███████████████ $C B L F$ █████████████ mit dem ████████ $N █ B J$ ist. Damit hat ███ den ████████████ ████████. Der ████ des ██████████ █████ dann ██████, da das ██████████████████ sich aus den ██████████ $M N J A$ und $N █ B J$ █████████████.

Es ████ ████ einen ████████ ██████ des ██████ von ██████████ in den █████████ in ████ █, ███████████ ██ (█████ █████). Er ███████ █████ █████████ ██████████ ████████ █████████ auf den ████ ██████, ist ██████ █████████ als der ██████ im ██████ ████ durch ██████████ der ███████ der ████████████, die ████ von ███████ von ██████ ██████ █████████ wurde. ██████████ kann beide ███████ aller ██████████████████ nach nicht ███████ haben, da ███ einem ███████████████████ ███████████ der █████████ ███████████ ███████ ███████ die ███████ in ██████ █████████ zu den █████████ ████████ ██████ zu und ███████ █████ ███████████ ███ beide ███████ aus.

██████ ████ in der ███████ ███████████ ██ von ████ █ ██████████ eine █████████ des ██████ von ██████████, indem er █████, dass aus der ██████████ der ██████ des ███████████████████ und der █████ der ███████ der ████████████████ █████, dass einer der ██████ des ████████ ein ███████ ██████ ist.

Der █████ ██████ (I, ██) wird █████ der ████ der ███████████ in der ███████████ █████ im ██████████ ██████████ ████████████ auch ████████ (█████████) ███████, ██████ ████████████ ████ den ██████ ██████ von ██████ als ████████ ███ dessen in ██████ █████ ████████████ und █████ ████████████ ██████████████ („███ werden, wie im ███████████████ █████████, ██████ ███████, ohne dass ███ █████ █████: █████████ █████ sich, dass es █████████ waren, die sich ██████████ ████████“, und so die ██████████ █████████ █████████, „der ███ ██████████ ███████ ███ , ███ ███ ██████ ███████ ████████████ nach ██████ █████████████ ██████“) █████ █████ ███████████ den ██████ dagegen in einer ██████████ auf █████████████ ██████ als besonders ███████████ und █████████████ ████ in ██████ ███████████████████ vom ███████ ██████████.

██████ durch ████████ ████████████ ██████████████

Der in den beiden ██████████████ ███████ auf █████████████████ █████ █████████████ ██████ durch ████████ ████████████ ██████████████, ██████ aus dem ████████████ ████ ██████ ████████, █████████ ██████████ ██████████ des ██████ und die ███████████ des ███████ (es wird █████ ██████████, das ████ „██████ ██████████ aus dem ██████ █. ███████████ v. ███.“). Darin █████ das █████████ ████████ █████████████ ███████ mit den ██████ $3,\;4$ und $█$ zur █████████.

Nach dem ████████ eines ████████ (████ █) und dessen ████████████ in $7\times 7=49$ ████████████████, wird das █████████████ ███████████████ (███) mit den ████████ $a=3$ , $b=4$ und mit der sich ██████████ ██████████ $c$ ██████ des ███████ ███████████. ███████ ██████ werden ████, dem ███████████████ ██████████ ████████ so █████████, dass die ███████████ ein ███████ ███████ ███████ und demzufolge ein █████████ ███████████████ (████) mit dem █████████████ $=1^{2}$ █████████. Ein auf das ██████ ███████ ███████████████ ██████, das dem ███████ ███████ und mit den ███████████ einen ███████ ██████ ███████████, ███████ $5\times 5=25$ ████████████████.

Der █████████████ des ███████ ████████ mit den ████ █████████ und dem █████████ ███████████████ ██████████ $4\cdot {\tfrac {3\cdot 4}{2}}+1=25$ █████████████████. Die ███████ ██████ der (██████) ████████████████ ██████ sich aus den $██$ █████████████████ des ███████ ████████ █████████ der ████ ███████████████ des ███████ ████████; ████ ██████ █████████ $49-4\cdot {\tfrac {3\cdot 4}{2}}=25$ ████████████████.

Die ███████████ des ███████ ████████ ist die ██████████ $c,$ █████ ████ als ██████████ ██████

c^{2}=4\cdot {\frac {a\cdot b}{2}}+\left(a-b\right)^{2}=a^{2}+b^{2}.

█████ ███ $a$ und $b$ ██████████:

c^{2}=4\cdot {\frac {3\cdot 4}{2}}+\left(3-4\right)^{2}=3^{2}+4^{2}=25\;[\mathrm {FE} ]

(████████████████)

\Rightarrow

c=5\;[\mathrm {LE} ]

(███████████████)

Die █████████ (████ █) ████████████ ████ auf ██████████████ ███ und █████.

██████ durch █████████

In ein ███████ mit der ███████████ $a+b$ werden ████ ██████████ █████████████ ████████ mit den ██████ $a$ , $b$ und $c$ (██████████) █████████. ████ kann auf ████ █████ █████████, wie im ████████ ███████████ ist.

Die ███████ des ██████ und des ███████ █████████ sind ██████ (███████████ $a+b$ ). Das █████ ███████ aus den ████ ██████████████ █████████ und einem ███████ mit ███████████ $c$ , das ██████ aus den ████████ █████████ █████ einem ███████ mit ███████████ $a$ und einem mit ███████████ $b$ . Die ██████ $c^{2}$ ██████████ also der █████ der ██████ $a^{2}$ und der ██████ $b^{2}$ , also

a^{2}+b^{2}=c^{2}

Eine ████████████ ██████ ██████ sich aus dem ██████ ████ des █████████. Das █████ ███████ hat die ███████████ $a+b$ und █████ die ██████ $(a+b)^{2}$ . █████ ███ von ██████ ██████ die ████ ████████ ab, die ███████ eine ██████ von ${\tfrac {ab}{2}}$ (also █████████ $2ab$ ) haben, so ██████ die ██████ $c^{2}$ █████. Es ist also

(a+b)^{2}=2ab+c^{2}

████████ der ███████ ███████

a^{2}+2ab+b^{2}=2ab+c^{2}

█████ ███ ███ auf beiden ██████ $2ab$ ab, ██████ der ████ des ██████████ █████.

██████ durch ████████

Eine ███████████ ist die ████████ der ████████████████ in das ██████████████████. Unter ████████ eines █████████ ████████ ███ in der █████████ die ███████████ des █████████ in ein ██████████████ unter ████████████ der ████. Bei der ████████ ist das sich █████████ ██████████████ zu dem ████████████████ █████████████. ████ ████ ██████████ ██████ die beiden █████████ ████████ dann in ████ █████████ ███████████ werden, die ████████ █████ in das █████ ███████ ██████.

Beim ███████ ██████ ████ dann ████ ████ die ██████████████ im ███████ ████████████ werden, dass die ████████ █████ der sich ██████████ █████████ ███████ dem ████████████ ████████████████████ ██████████. Wie ██████ wurden in der █████████ die ████ mit $█$ und die █████████████████████ mit $p, q$ ██████████.

██████ durch █████████████

Die ███████ █████ █████ sich mit ████ █████████████ ██████ von ███████ ███████████████ █████████ ████████████. █████ der ██████ ████████ ████ den █████████████ $a^{2}$ , █████ der ██████ ████████ den █████████████ $b^{2}$ und █████ der ███ ██████████ ████████ den █████████████ $c^{2}$ .

Da ██████████ die ██████ und die ██████ ████████ ████████ und ████████████ die ███ ██████████ ████████ ███████ die ███████ █████ ████████████, ████ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ ██████.

█████ █ █████ die █████████████ mit █████████████████ (████ und ████) ███. mit ████████████████████ (███ ████████). In █████ █ ist in einem ████████████████████████ die ███████████████ █████████████. Das an der ███████ ███████████ █████ ███████████████ ist ███████████ als ████ der █████████████ █████████████.

██████ mit █████████████

Es ist nicht █████████ █████████, zum ██████ des ██████ von ██████████ (████████) ███████ █████████████. ███████████ █████████ ist es, █████████████ zu █████████. ██████ ███ sich durch ██████████ der ████████████ im ███████ █████████ hat, dass die beiden ██████ $\delta$ im ███████ ████ ██████ ████ sein ██████, █████ ███, dass die ████████ $A B C$ , $B C D$ und $A D C$ ███████ sind. Der ██████ des ██████ von ██████████ ██████ sich dann wie im ████ ███████, dabei ███████ ███ auch den ████████████ und die ████████ ██████ █████████ des ██████████████ ██████ den ████ des ██████████ ██████. █████ ██████████ █████ sich ███████████ mit der ███████████ der ████████ und der ███████████ deren ████████████ ████████ ████████. Da deren ██████ ████████████ zur ██████ der ███████ ███████████ ████████ ist, █████████████ die █████████

CBD+ACD=ABC

den ████: Die ███████ der ████████ $C B D, A C D$ und $A B C$ sind █████ ███████████ ████████████ zu den █████████ ████ den ██████ und █████████ sich daher zu $qa^{2},qb^{2}$ und $qc^{2}$ mit einem ███████████ ██████ $q\neq 0$ . Die beiden ██████ ████████ sich zum ███████ ██████ ███████, deshalb ████

qa^{2}+qb^{2}=qc^{2}

Nach ████████ durch $q\neq 0$ ██████ ███ die ██████████ █████████. Es ist also gar nicht █████, $q$ zu █████████, ███ die █████████████ █████ ███████████. ██████ bis dahin ████████ ███████████ ██████ ████ ██████ ████████ im █████ von █████ ██████ ████████ haben.

██████ mit ████████

Die ██████ des ████████ $A B C$ mit ███████ ██████ in $C$ werden als ████████ ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ ██████████, █████ ${\vec {c}}={\vec {a}}+{\vec {b}}$ . Mit den ██████████████ des ██████████████ ██████ ███ ███ das ███████ der ██████████

|{\vec {c}}|^{2}=|{\vec {a}}+{\vec {b}}|^{2}=({\vec {a}}+{\vec {b}})\cdot ({\vec {a}}+{\vec {b}})={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+2{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}

Da ██████ nach █████████████ ${\vec {a}}$ zu ${\vec {b}}$ ██████████ ist, ████ ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=0$ und █████

|{\vec {c}}|^{2}={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}\quad

███.

\quad c^{2}=a^{2}+b^{2}\quad

mit

|{\vec {a}}|=a,\ |{\vec {b}}|=b,\ |{\vec {c}}|=c

██████ der █████████

Die █████████ des ██████ █████ sich auf ████████████ █████ ████████, ein besonders █████████ ██████ ██████ sich, ████ ███ den ████ des ██████████ ██████ zum ██████ ██████ █████████ ██████████.

Zu einem ██████████ ███████, dessen ██████ $a, b, c$ die █████████ $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ ████████, ███████████ ███ ein ███████ ███████. ██████ ███████ einen ███████ ██████, dessen ██████████████ den ████████████ von $a$ und $b$ ███████████. Nach dem ████ des ██████████ ███████ ███ die █████ der ██████████ in ██████ ███████ ███████ ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ und ██████████ damit der █████ der █████ $c$ des ████████████████. █████ ████████ die beiden ████████ die ████████ ████████████ und sind ████████ des ██████ ███████████████ (███) █████████. Damit sind dann aber auch ████ ██████ ██████, das █████, auch das ███████████████ ███████ einen ███████ ██████, der der █████ $c$ ██████████████.

███████████████████ und ██████████

███████████

Der ███████████ ist eine █████████████████ des ██████ von ██████████ ███ █████████ ████████:

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma

█████ $\gamma$ der ██████ zwischen den ██████ $a$ und $b$ ist. Der ███████████ █████████████ sich also durch den ████ $-2ab\cdot \cos \gamma$ vom ████ des ██████████. Da der ███████ von $90^{\circ }$ ██████ ████ ist, █████ ██████ ████ bei einem ███████ ██████ ███, und es ██████ sich als ███████████ der ████ des ██████████. ████ █████████ in einem ███████ die █████████

c^{2}=a^{2}+b^{2}

so ████ $-2ab\cdot \cos \gamma =0$ sein, ██████ $\gamma =90^{\circ }$ █████, und daher ist das ███████ ████████████. ███ █████████████ ████████ ████ ████████████

c^{2}<a^{2}+b^{2}

und ███ ██████████████ ████████

c^{2}>a^{2}+b^{2}

█████████████████ von ██████ ███ █████

Eine auf ██████ ███ █████ █████████████ █████████████████ ███████ zu den █████████ ████ ████ ██████ eines ██████████ ████████ ein ████████ ████ der ███████ █████, dessen ██████ der █████ der beiden ██████████████ ██████████.

Zu einem ██████████ ███████ $\triangle ABC$ mit ██████ $a, b, c$ , ██████ $\gamma$ in $C$ und ████ $C D$ ███████████ ███ ein █████████████████ ███████ $C F E$ dessen █████ auf der █████ $c$ █████ und das $C D$ als ████ ███████. ███████ ██████ ████████ █████ beiden ███████████ die ███████ █████ wie $\gamma$ , ██████ $\gamma$ ein ███████ ██████ ist. Ist $\gamma$ ████████ ein ████████ ██████, so ██████ die ███████████ $180^{\circ }-\gamma$ ████████. ██████ wird der ████████ des █████████████████ ████████, der auf derselben █████ von $C D$ wie $B$ █████, mit $E$ ██████████ und der ██████ ████████ auf derselben █████ wie $A$ mit $F$ . ████ ████ ██████ ███ im █████ $\gamma <90^{\circ }$ , ███ $\gamma >90^{\circ }$ ██████████ ███ ███████████ $E$ und $F$ . Im ████ $\gamma =90^{\circ }$ █████ das ████████████████ ███████ mit der ████ $C D$ ████████ und die ██████ $E$ und $F$ dementsprechend mit dem █████ $D$ . █████████ ███ ███ $r=|AE|$ und $s=|BF|$ , so ████:

c(r+s)=a^{2}+b^{2}

███ $\gamma =90^{\circ }$ ████ dabei $c=r+s$ und die █████ █████████ ███████ den ████ des ██████████.

Die ███████ █████ sich ██████ zum ████ des ██████████ ██████ ████ ████████ ████████ ████████, █████ ████ die ████████ $\triangle ABC$ , $\triangle AEC$ und $\triangle FBC$ ███████ sind.

████████ von

2ab\cos(\gamma )=a^{2}+b^{2}-c^{2}=c(r+s)-c^{2}=c(r+s-c)

███████ ██████ █████████████████ auch eine ████████████ ███████████ des ██████████████ im ███████████ als ein ████████, das zu dem ███████ ████ der █████ $c$ ███████████ oder von ███ ██████████ wird, um eine ██████ zu ████████, die der █████ der ███████ der ████████ ████ den ██████ $a$ und $b$ ██████████.

███████████ von ██████

Eine ███████ █████████████████ auf █████████ ████████ ███████ die █████████████ von ██████. ████ ██████ sich aus ████ ██████████ ████████████████ ████ ████ ██████ eines ██████████ ████████ ein █████████ ██████████ ██████████████ ████ der ███████ █████ des ████████, dessen ██████ der █████ der ███████ der beiden ███████████████████████ ██████████. Sind die beiden ███████████████████████ ████████, so ██████ ███ im █████ eines ██████████████ ████████ ein ███████ ████ der ███████ █████ und damit den ████ des ██████████.

Das ██████████████ ████ der ███████ ██████ ██████ ███, indem ███ die beiden ██████ der ███████████████████████, die ████████ zu den ██████████████ sind, ██████████ und deren ████████████ mit dem ████████ des ████████, der auch auf beiden ████████████████ █████, █████████. █████ ██████████████████ ███████ das ██████ ██████████ des ███████████████ ████ der ███████ █████ (█████ █████████).

████████ ███████, █████████ ████ den ██████ des ██████████████ ████████

Eine █████████████████ des ██████ des ██████████ ████████ von ████ ██████████ █████████ ███████ ████ den █████████████ (█████ den bereits █████████ █████████) war bereits ███████████ von █████ im █. ███████████ v. ███. ███████ und wurde, ██████████████ ███████████ █████ ██████, von ██████ in ██████ ████ ████████ ███████████:

„Im ██████████████ ███████ ist die ██████████ █████ ████ der ██████████ ██████ den █████████ und ███████ ███████████ ███████ ████ den ████████ ████████.“

– ██████: ████████. ██.██.

█████████ ███ ████ den ████ ██████ $a,\;b$ und $c$ des ██████████████ ████████ ███████ eine zu den beiden ███████ ████████ █████ (████ █) mit den ███████ $A,\;B$ und $C,$ dann ████ █████ █████ ███████████:

{\frac {A}{a^{2}}}={\frac {B}{b^{2}}}={\frac {C}{c^{2}}}

██████ ███ $A$ und $B$ in der ████

A={\frac {C\cdot a^{2}}{c^{2}}},\ B={\frac {C\cdot b^{2}}{c^{2}}}

███, so ██████ ███ ███ die █████:

A+B={\frac {a^{2}}{c^{2}}}\cdot C+{\frac {b^{2}}{c^{2}}}\cdot C={\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}\cdot C

Nach dem ████ des ██████████ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ wird $c^{2}$ ███ $a^{2}+b^{2}$ ██████████ und █████ ██████ sich:

A+B=C

███████ ███████ ██████ ███ ███ ███████ ████████ (████████) ████, ist der ████ auch ███ ███████ ████████ und █████ ███ ████████ ███████ mit ██████████ ███████ ██████, █████ auch █████ ███████ aus einer ████████████ █████ des ██████████████ ████████ ███████████. Die im ████ █ █████████████ ███████ $A,\ B$ und $C$ der ██████ █████████ aus den ██████ $a,\ b$ und $c$ der ████████.

Um zu █████████████, dass ██████ ███. ██████████ ██████, d. █. ohne ████████ ████ den ██████, zur █████████████████ ████████████ werden ██████, █████████ ███ den ████ des ██████████ mit der █████████ $\pi :$ :}

Aus dem ████ mit █████████

c^{2}=a^{2}+b^{2}

wird, mit den ██████████████ ████████████ $a,\;b$ und $c$ als ██████, eine █████████████████ mit ███████

c^{2}\cdot \pi =a^{2}\cdot \pi +b^{2}\cdot \pi

███. eine █████████████████ mit ███████████:

{\frac {1}{2}}\cdot c^{2}\cdot \pi ={\frac {1}{2}}\cdot \left(a^{2}\cdot \pi +b^{2}\cdot \pi \right)

Die █████████ ██████ ██████ █████████████████ ist, dass die ██████ einer ██████ █████ ████████████ zum ███████ █████ ████████ █████████ und ████████████ ████████████ zum ███████ der █████ █████ █████ ist.

██████████████████

███████████ ███ vom ████████████ ████████████ ████ zu ███████████ ███████████████████, also ████████████ mit einem █████████████, dann ████:

Sind ████ ████████ $u$ und $v$ ██████████ ██████████, ist also ███ █████████████ $\langle u,v\rangle =0$ , dann ████ ████████ der ██████████ des ██████████████

\|u+v\|^{2}=\langle u+v,u+v\rangle =\langle u,u\rangle +\langle u,v\rangle +\langle v,u\rangle +\langle v,v\rangle =\langle u,u\rangle +\langle v,v\rangle =\|u\|^{2}+\|v\|^{2}

█████ $\|\cdot \|$ die von dem █████████████ ██████████ ████ ██████████.

███████ ███ ██████ ████ ████████ auf den ████████████ ████, dann ██████ $u$ und $v$ ███ die ████████ $a$ und $b$ eines ██████████████ ████████. $\|u+v\|$ █████ ███ die █████ der ██████████ $c$ .

█████ █████████████████ des ██████ des ██████████ ██████ sich auch in ██████████ ██████████████ ██████████, etwa ██████████████████████ ████████████████ ██████. Die █████████ ████ █████████. ██████ die █████████ zu, so sind die beiden ████████ ██████████ ██████████. Der ████ █████ sich ████ ██████ ███████████████. Ist $\{u_{1},\dotsc ,u_{n}\}$ ein ████████████████ █████████ aus █████████ ████████████ ████████ $u_{k}$ , dann █████ durch ███████████ █████████ ██████ █████████:

\left\|\sum _{k=1}^{n}u_{k}\right\|^{2}=\sum _{k=1}^{n}\|u_{k}\|^{2}

Die █████████████ ███████ ████ █████ ███ ██████████ ██████, ████ ███ eine █████ $(u_{k})$ von ████████ ██████████, die alle ██████████ ██████████ sind. ███████████ ███ die █████ $\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }u_{k}$ , so ███████████ auch $\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }\|u_{k}\|^{2}$ und es ████:

\left\|\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}\right\|^{2}=\sum _{k=1}^{\infty }\|u_{k}\|^{2}

Der ██████ der ███████ ██████████ █████ dabei aus der ██████████ des ██████████████. Eine ███████ █████████████████ █████ zur █████████████ █████████.

███████ ███████████████████

█████████ als ███████████████████ des ██████ des ██████████ ██████ der █████████████████████████, der ████ von ███████, der ████ von █████████, die ███████████████████████, der ████ von ██████ ████ ████ am ███████ und der ████ von der ██████████ ██████ ██████. █████████ ██████ ██████ eine █████████████████ in der █████ als auch im ████ ███. Die ██████████████ █████████ ist ███████ ██████ auch in der ██████████-█████████ █████████.

Ein ██████████ ████████ ist der ████ von ██ ███. ████ werden das █████████████ ███████ durch ein ██████████████ █████████ und die ████████████ durch die ██████████████ der █████████████ ███████. ██████ der ████ des ██████████ als auch der ████ von ██ ███ sind ████████████ eines ███████████ ██████ ████ n-████████ mit einer ██████████████ ████.

████████████ in der █████████████████ █████████

████████████████ ██████████ sind ██████████, in denen das ███████████████ nicht ████. Ein ████████ ███████ ist die █████████ der ███████████████. ████ ████ der ████ des ██████████ nicht ████, da in ███████ ██████████ der ███████████████ nicht ████, also die ███████████ eines ████████ von ███° ███████████ ist. Ein ███████ ████████ ist der „█████████“ ████ der ███████████ ███████████████████ ██████ █████████.

██████████

███████ und ██████

Bereits auf einer █████████████ ████████████████, die in die ████ der █████████-████████ ███████ wird (██. ████ bis ██. ████ v. ███.), ██████ sich eine ████████████ ███████████████ mit ██████, bei der der ████ zur ██████████ von ██████ (im █████████████████) █████████ wurde:

Ein ██████, █;██ (= ██/██ GAR = █/█ GAR ≈ █ m ████) Von oben ist er █;█ (= █/██ GAR) █████████████. Von █████ ███ hat er sich ████████? █;██ (= ██/██) █████████, █;██ (= ███/████ = ██/██) ██████ ██. █;█ (= █/██) von █;██ (= ██/██) █████████, █;██ (= ██/██) ██████ ██. █;██ (= ██/██) █████████, █;█,██ (= ███/████) ██████ ██. █;█,██ (= ███/████) von █;██ (= ███/████) █████ ab, █;█,██ (= ███/████) ██████ ██. █;█,██ (= ███/████) hat ███ als █████████████? █;██ (= ██/██). █;██ (= ██/██ GAR) am █████ hat er sich ████████.

Daraus ██████ sich:

0;18^{2}=0;30^{2}-0;24^{2}

, also

a^{2}=c^{2}-b^{2}

und ██████

a^{2}+b^{2}=c^{2}

Ein █████████ der ██████████ an einem ██████████████ ██████ ████ ██████ aus den ███████ nicht ██████.

Die ████████████████ ████████ ███ ███████ außerdem $██$ ████████████ ██████████████ ██████, unter ███████

(56,90,106)

(119,120,169)

█████

(12709,13500,18541)

███ auf ein █████████ zur ██████████ ███████ ██████ █████████ █████.

In █████████ ███████████ („███████████“ ███. „█████████ zur ████████“), die ████████ vom █. bis zum █. ███████████ v. ███. ██████████, ██████ sich einige ██████████████ ██████. Außerdem wurde auch der ████████ ████ █████ █████████ █████████████ und ███████. Wie er █████████ wurde, ist nicht ██████.

█████

Der ████ war im ███████ █████ als ████ der █████ (████) ███████. In der ███████ ██████ ████████ („██████████████ █████████ des ████-███████“), die ████████ vom █. ███████████ v. ███. bis zum █. ███████████ n. ███. ████████, wird mit der ███████████ „███████████-█████“ (████-██) ein ████ am ████████ des ██████████████ ████████ (█████) mit den ██████ █, █ und █ █████████ ██████ des ██████ ███████████████. Auch im ███ █████ ███████ („████ ██████ ██████████████ ███████“, █. ███████████ n. ███.), dem ███████████ ██████████████ ████ ██████ mit einer ████████ von ███ █████████████████, █████ ████████ und den ████████████, wird er ██████████. ███ ███ (█. ███████████ n. ███.) ███ ████ in ██████ █████████ zu den „████ ███████“ im ███████ ███████ einen ████████████████ an.

Die ███████████ █████ des ██████████

Die █████████ des ██████ nach dem ████████████ ███████████ ██████████ (█. ███████████ v. ███.) ist ████ in ████████ ███████ ███████. Daher ist in der █████████ die █████ nach der █████ des ██████████ █████ ██████████. ████████████ ██████████ ██████ in ████████:

██████████ ████████ den ████ von den ███████████, █████ █████ war ███ die eines ███████████ ██████████████ ███████ an die ████████. ███████ ███████ ███████ █████████ er eine ████████████, er ████ █████ in ██████████ gewesen sein, doch ist die ███████████████ der ████████ ████ █████ ██████ ██████████.
██████████ hat den ████ ██████████ von der ██████████████ ██████████ ████████ und auch ████████ ████████. █████ ███████ war in der ██████ ██████████.
██████████ █████████ die ████████ des ████████████ ██████████████ ███████, war aber der █████, der einen ██████ █████ ████. ███████████ waren ██████████ und ███████ ███████████ ███ an der █████████ des ██████ ███ ██████████ ██████, nicht an einem █████████████████ ██████ ████████████. So ███████ ██████████████ das ███████ ████████ ██████████ der ████, das ██████████ ██████████ des █████ (auch ███████ █████) aus dem ██. ███████████ v. ███., bereits ████████████ ████████, es █████ ██████ ████ █████████████████, es wird nicht █████████ und ████████.
██████████ ██████ einen der ███████████ ███████, zum ████████ einen ██████ vom █████████████ und ███ den ███████████ eines ████████ mit einem ███████ und ████ ██-████-███████.
██████████ hat in der ██████████ des ██████ █████ █████ ████████; ████ ███████ ███████████ haben ██████████████ den ██████ ██████ ████████.

Der ██████████ ████████████ ████████████ von ██████████ zu dem ███ ███████████████ ███████ ist nach ██████ ████████ ███ der ███████ ████ ███████████, und auch ██████ █████ █████ ███ ████████ ███████████ ██████ ███ die ████████████. ██████████████ ██████████ █████████ zum ████████ die ███████████████████████ ██████ ███████ und ██████ █████. ███████ █████ ██████████ eine ███████████████ des ██████████ in ████████, █████ ████████ ███ █████████████ ██████████ wie den ██████ des ██████ zu und ██████ █████ ████████████████ █████████ der ██████████████ ██████████.

██████, der in der ███████ ██████ des █. ████████████ v. ███. in ██████ █████████ ████ ████████ das █████████████ ██████ ██████ ████ ████████████, ███ einen ██████, ███████ den ████ aber nicht ██████████ mit ██████████ in ████████████. ███████ ███████ dazu im █. ███████████ n. ███. in ██████ █████████ zu ███████ █████████: „████ ███ denen ███████, die sich █████ mit ██████████ ████████, ██████ ███, dass ███ ██████ ███████ ██████████ ███████████ und █████, er hätte █████ einen ██████ ████████“, ███ █████, dass die ████████████ an ██████████ damals ██████████ war. Auch ████████, ██████ und ██████ █████████ von ██████████ ████████ eines ██████, mit █████████████████ █████████ zur ███████ – bei ██████ ist es die ██████████ eines ██████████████ ████████ mit den ████████████ █, █, █, also einem ███████████████ ██████, ██████ (██ ██████ ██████, ████ █, ██) ████ █████ █████████ ████████ auf die ████████████████ ████████████ ██████████.

Der ███████ █████ █████, dass der ████ mit ██████████ in ██████████ ████████ wurde, ist ein ████████ eines ███████████, der ██████████████ mit dem ███████████ ███████████ von ███████ zu ██████████████ ist; in ██████ ████ ███████ die █████ aus der ███████ ██████ des █. ████████████ v. ███. Der ████ ██████:

Als ██████████ █████ die ████████ █████████ ████████, ███████ als █████ er ███ █████████ ██████ dem ████.

███████████ ████ nicht an, welche „████████“ █████████ oder █████ er █████, doch ███████ ███████, darunter ████████ ████████, der im █. ███████████ die beiden █████ ████████, ██████ davon aus, dass es sich um den „████ des ██████████“ ███████. █████ █████████████, ██████ ██████████ einem ████ zum Dank █████, dass ██████ ███ die ██████████ ██████, ein ███████████ ██████████, █████ – wie █████ ██████ ████████ – in ███████████ zu dem von ███████████ ███████ ███████ █████████████ ███████, dass ██████████ und die ███████████ █████████ █████████████ █████████.

████████████ █████████

████████ ██████ ███████ in ██████ █████████ ██████████████ (███████ ██) von ████: Die █████████ hat ████ █████ ███████: der eine ist der ████ des ██████████, der ██████ die ███████ der █████ in das ███████ und ████████ ██████████ (dabei ist mit dem ███████ ██████ der ███████ ███████ ███████). Die ██████████ ██████ beiden █████ sind im ██████-███████ ███████████.