█████████

█████████████

Die ██████ ███, ███████████████ und ██████████████ ██████ von der ████ des █████████████ ab.

• Ein ██████████ an einem █████████ █████ einen ████████████ ███ als ██████ ████. ███ einen ████████ des █████ ████████ sich der ███ ██████ in ████.
• Von der ████ aus ██████████ ███████ die █████ um die █████████ ████ zu ███████. Vom ████████ aus ██████████ ████ die █████, und die ████ ██████ sich.

Die ████████████ von ██████████ ist █████████████ in allen ██████████████ ███████, die ████████████ █████████████ sich aber je nach ████████████. Die ████████████████ ist ██████████████ mit einer ████████ █████ ████████ █████████ zu ███████████.

Es wird █████████████ zwischen ████████████, ████████ und ██████████████ ██████████████, █████ die ██████████████ ein ███████████ der ████████ █████████████ sind. █████████ █████████ haben die ███████████████. ████ sind █████████████, die entweder █████ oder sich mit ██████████ ███████████████ ██████████ ███████ (█████ ████████ und █████ ██████████████), weil in ████████████████ das █████ ██████████ ██████ ████: Ein ████████████ ██████ ██████ sich dann mit ██████████ ███████████████ oder ██████ in ████. In ██████████████ ██████████████ ██████ dagegen ████████████ auf. Die ████ █████ sich um ████ eigene █████ und um die █████; ███ ██████ also ████ ██████████████. ███ die ███████ ███████████ ███████████████ kann die ████ ██████ in █████ ████████ als ██████ █████████ werden.

Im ██████ der ███████████ ████████ wird davon ███████████, dass █████ ██████ zu █████ █████████ ein ███ ██████████ werden kann. Im ██████ der ███████████████ ist ████ nicht ████ ███████. ████ ██████ ███ ████ ███████████████████████████████ █████████ werden. Außerdem wird in der ███████████ ████████ davon ███████████, dass ██████ eine ████████ ████ ███████████████ █████████ ██████ und dass die ████ an █████ ███ ██████████ von der ████████ ██████ ███████ ███████. ██████ ist in der ███████████████████ nicht ███████.

██████████████████

██████████████████ ██████ zur ██████████████ ████████████ der █████████████. ████████ wird ein ████████████ █████████████████ ███████, das aus ██████ ███████, die █████████ ███████████ ██████. Besonders ████████ ist es zur ████████████ ████████████ ██████████. ███ ██████████████ in einer █████ sind ████████████████ ███ ████████, vor allem ████ der ████████ der ███████████ der ████████████ ist. Im █████████████████ ████ werden ███████████████████ oder ████████████████ ███████. ████ die ████████ eines ██████████ aus █████ des ███████ ███████████ werden ████, wird das ███████████ ████████ (██████████ ███████████) ███████. Die █████████████ ██████████████████ ██████ sich █████████ mit der █████████████████████████. Ein ██████████ ████████████ kann also durch ████████████ ██████████████████ ███████████ werden.

███

███ den ███ eines █████████████ ███████ sind ██████████ ██████████ ████████████: █████████ ████████████ ist ${\displaystyle \overrightarrow{r}}$ ███ den ██████████. ██████ █████ vom ███████████████████ zum █████ im █████████████████ an dem sich der ██████ ████████. Bei ████████████ ███████████ ist auch ${\displaystyle x}$ ██████, ████████ █████ ${\displaystyle x}$ ███ ███ die ${\displaystyle x}$-██████████ des ███████████. ████ die █████████ des ███████ ███████ ist, dann wird der ███ auch durch den ██████████████ ███ ${\displaystyle s}$ ███████ der █████████ █████████. Bei █████████████████ ███████████ ist ${\displaystyle q}$ ████████████. Da sich der ███ eines ███████ mit der ████ ${\displaystyle t}$ ██████, sind auch die █████████████ ${\displaystyle \overrightarrow{r}(t),x(t),s(t)}$ oder ${\displaystyle \overrightarrow{q}(t)}$ ████████████.

In ██████ ██████████ ist ██████████ darauf zu ██████, ob ██████████████ mit ${\displaystyle \overrightarrow{r}}$ der ███ oder das ████████, das sich bei ${\displaystyle \overrightarrow{r}}$ ████████, ███████ ist. ███████ ist ████, den ████████████ ██████████ im █████ █████████, wie in ${\displaystyle {\overrightarrow{r}}_O}$ ███ den ████████ eines █████████████ mit ████████ in ${\displaystyle O}$ und ${\displaystyle {\overrightarrow{r}}_P}$ den ██████████ eines █████████ ${\displaystyle P}$ in ██████ ████████████, █████ #█████████ des ███████ ███████. In der ██████████████████ wird ███████████ die ████████ oder █████████████████ ${\displaystyle \overrightarrow{r}=\overrightarrow{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}(P,t)}$ eines █████████ ${\displaystyle P}$ ███████, um zwischen dem ███ ${\displaystyle \overrightarrow{r}}$ und dem ████████ ${\displaystyle P}$ zu █████████████.

Die ████████ ██████ dem ████████ zu █████ █████████ einen ███ zu und ██████████ sein ███-████-██████. In ████████████ ███████████ kann ██████ mit ██████ █████████████ ████ durch die ████████ ██████████ ${\displaystyle x(t)}$, ${\displaystyle y(t)}$ und ${\displaystyle z(t)}$ ███████████ werden, die zu █████ █████████ die ███████████ des ███████████ des ████████████ █████████ ${\displaystyle P}$ ██████:

${\displaystyle t\mapsto \overrightarrow{r}(t)=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}_x(P,t)\\ {\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}_y(P,t)\\ {\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}_z(P,t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x(t)\\ y(t)\\ z(t)\end{array}\right)=x(t)\cdot {\overrightarrow{e}}_x+y(t)\cdot {\overrightarrow{e}}_y+z(t)\cdot {\overrightarrow{e}}_z}$

█████ die ████████████████ ${\displaystyle \{{\overrightarrow{e}}_x,{\overrightarrow{e}}_y,{\overrightarrow{e}}_z\}}$ die █████████████ des ████████████ ██████████████████ ██████████. Im █████████ wird ████████ ████████████ ███████.

███████████████

Die █████████ ████████ des █████ ist die ███████████████ ${\displaystyle v}$. ████ sich der ███ eines ███████ ███████ eines ██████████ ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}t}$ um den ███ ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}s}$ ██████, dann hat er ███████ ██████ ██████████ die ████████ ███████████████

${\displaystyle v=\frac{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}s}{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}t}}$.

Die ███████████████ ${\displaystyle \overrightarrow{v}(t)}$ zu █████ ██████████ █████████, die ███████████████████████, ██████ sich aus der █████████████ ███████ ████████ ${\displaystyle \mathrm{d}\overrightarrow{r}}$ des ███████████ ███████ des █████████████ ███████ ██████████ ${\displaystyle \mathrm{d}t}$:

${\displaystyle \overrightarrow{v}(t)=\underset{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}t\to \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}{<span\; word-length="3"\; class="word\; redacted">███</span>}\frac{\overrightarrow{r}(t+\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}t)-\overrightarrow{r}(t)}{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}t}=\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{r}(t)}{\mathrm{d}t}=\dot{\overrightarrow{r}}(t)}$.

Die ███████████████ ist also die █████████ des █████ nach der ████ und wird mit einem █████ ████ dem ██████████ ██████████████. In ████████████ ███████████ hat der ██████████████████████ die ███████████ ${\displaystyle v_x}$, ${\displaystyle v_y}$ und ${\displaystyle v_z}$, die den ██████████ ███████████ der ███████████████ ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ und ${\displaystyle z}$ ███████████:

${\displaystyle \overrightarrow{v}(t)=\left(\begin{array}{c}{v}_x(t)\\ v_y(t)\\ v_z(t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t)\\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}(t)\\ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}(t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\dot{x}(t)\\ \dot{y}(t)\\ \dot{z}(t)\end{array}\right)}$

Der ██████████████████████ ${\displaystyle \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{v}|\cdot {\overrightarrow{e}}_{\parallel }}$ █████ sich ████████ aus ██████ ██████ ${\displaystyle |\overrightarrow{v}|=\sqrt{v_x^{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}+v_y^{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}+v_z^{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}}}$ und dem ██████████ ███████████████ ${\displaystyle {\overrightarrow{e}}_{\parallel }}$. ██████ ███████████████ ██████ dabei einen ██████████ ████████████████ zur █████████ ${\displaystyle \overrightarrow{r}(t)}$ des █████████ ███.

██████████████

Die █████████ ████████ der ███████████████ ist die ██████████████ ${\displaystyle a}$. ████ sich die ███████████████ eines ███████ ███████ eines ██████████ ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}t}$ um den ████ ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}v}$ ██████, dann hat er die ████████ ██████████████

${\displaystyle a=\frac{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}v}{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}t}}$

Die ██████████████ ${\displaystyle \overrightarrow{a}(t)}$ zu █████ ██████████ █████████ ██████ sich aus der █████████████ ███████ ████████ ${\displaystyle \mathrm{d}\overrightarrow{v}}$ des ███████████████████████ ███████ des █████████████ ███████ ██████████ ${\displaystyle \mathrm{d}t}$:

${\displaystyle \overrightarrow{a}(t)=\underset{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}t\to \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}{<span\; word-length="3"\; class="word\; redacted">███</span>}\frac{\overrightarrow{v}(t+\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}t)-\overrightarrow{v}(t)}{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}t}=\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{v}(t)}{\mathrm{d}t}=\dot{\overrightarrow{v}}(t)=\ddot{\overrightarrow{r}}(t)}$.

Die ██████████████ ist also die █████ █████████ der ███████████████ nach der ████ und wird mit einem █████ ████ dem ██████████████████████ ██████████████, █████ die ██████ █████████ des █████ nach der ████ und wird mit ████ ███████ ████ dem ██████████ ██████████████. In ████████████ ███████████ wird die ██████████████ durch ████ ███████████ ${\displaystyle a_x(t)}$, ${\displaystyle a_y(t)}$ und ${\displaystyle a_z(t)}$ ███████████, die sich als ██████ █████████████ der ███████████████ ${\displaystyle x(t)}$, ${\displaystyle y(t)}$ und ${\displaystyle z(t)}$ ███████:

${\displaystyle \overrightarrow{a}(t)=\left(\begin{array}{c}{a}_x(t)\\ a_y(t)\\ a_z(t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}x}{\mathrm{d}{t}^{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}}(t)\\ \frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}y}{\mathrm{d}{t}^{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}}(t)\\ \frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}z}{\mathrm{d}{t}^{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}}(t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\ddot{x}(t)\\ \ddot{y}(t)\\ \ddot{z}(t)\end{array}\right)}$

Der █████████████████████ ${\displaystyle \overrightarrow{a}={\overrightarrow{a}}_{\parallel }+{\overrightarrow{a}}_{\perp }}$ kann in ████ ███████████ ███████████ werden, die ███████ ██████████ und ██████ zur █████████ █████████ sind. Die ████████████████████████ ${\displaystyle {\overrightarrow{a}}_{\parallel }}$ ██████████ dabei die █████████ ████████ der ████████████████████████ ${\displaystyle |\overrightarrow{v}|}$ und ██████ eine ████████ zur █████████:

${\displaystyle {\overrightarrow{a}}_{\parallel }=\frac{\mathrm{d}|\overrightarrow{v}|}{\mathrm{d}t}\cdot {\overrightarrow{e}}_{\parallel }}$

Die ████████████████████ ${\displaystyle {\overrightarrow{a}}_{\perp }}$ ████████ ██████████ die █████████ ████████ der ████████████████████████ ${\displaystyle {\overrightarrow{e}}_{\parallel }}$ und ███████ ein ███ ███ die ████████ der █████████:

${\displaystyle {\overrightarrow{a}}_{\perp }=|\overrightarrow{v}|\cdot \frac{\mathrm{d}{\overrightarrow{e}}_{\parallel }}{\mathrm{d}t}=\frac{|\overrightarrow{v}{|}^{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}}{R}\cdot {\overrightarrow{e}}_{\perp }}$

█████ ${\displaystyle {\overrightarrow{e}}_{\perp }}$ ein ██████████ ██████████████ der █████████ ist und ${\displaystyle R}$ den ███████████████ der █████████ ██████████.

████

Die █████████ ████████ der ██████████████ ist der ████ ${\displaystyle j}$. ████ sich die ██████████████ eines █████████████ ███████ ███████ eines ██████████ ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}t}$ um den ████ ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}a}$ ██████, dann hat er den █████████ ████

${\displaystyle j=\frac{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}a}{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}t}}$

Der ████ ${\displaystyle \overrightarrow{j}(t)}$ zu █████ ██████████ █████████ ██████ sich aus der █████████████ ███████ ████████ ${\displaystyle \mathrm{d}\overrightarrow{a}}$ des ██████████████████████ ███████ des █████████████ ███████ ██████████ ${\displaystyle \mathrm{d}t}$:

${\displaystyle \overrightarrow{j}(t)=\underset{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}t\to \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}{<span\; word-length="3"\; class="word\; redacted">███</span>}\frac{\overrightarrow{a}(t+\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}t)-\overrightarrow{a}(t)}{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}t}=\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{a}}{\mathrm{d}t}=\dot{\overrightarrow{a}}(t)=\ddot{\overrightarrow{v}}(t)=\stackrel{...}{\overrightarrow{r}}(t)}$.

Der ████ ist also die █████ █████████ der ██████████████ nach der ████ und wird mit ████ ███████ ████ dem ██████████████████████ ██████████████, █████ die ██████ █████████ des █████ nach der ████ und wird mit ████ ███████ ████ dem ██████████ ██████████████. In ████████████ ███████████ wird der ████ durch die ███████████ ${\displaystyle j_x(t)}$, ${\displaystyle j_y(t)}$ und ${\displaystyle j_z(t)}$ ███████████:

${\displaystyle \overrightarrow{j}(t)=\left(\begin{array}{c}{j}_x(t)\\ j_y(t)\\ j_z(t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\dot{a}}_x(t)\\ {\dot{a}}_y(t)\\ {\dot{a}}_z(t)\end{array}\right)}$

Nach ██████ ██████████, die █████████████ in der ██████ ███████ wird, ████ eine █████████████ █████████████ eine ████████ mit ██████████ ████. Im ███████████ ██████████████ und bei ███████████ in der ███████ ist das aber eine █████████ ████████. Der █████████████████████ wird daher in ein ████████████ █████████████████ █████████████ und die █████████ in ██████ ██████ ████████████. ███ ██████ ███ den ████ im ████████████ ██████:

${\displaystyle {\overrightarrow{j}}^{\prime }(t)=\frac{{\mathrm{d}}^{\prime }{\overrightarrow{a}}^{\prime }}{\mathrm{d}t}}$,

mit ${\displaystyle {\overrightarrow{a}}^{\prime }=(T_{K^{\prime }}^I{)}^{-\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}\cdot \overrightarrow{a}}$ und ${\displaystyle T_{K^{\prime }}^I}$ der █████████████████████ vom ████████████ ██████ ins ██████████████.

In ██████ ██████████ ist z. B. der ████████, der bei ██████████████████ eine █████ █████ ██████, ████████████ zur █████████████████. Bei den ███████████ █████████████████████ ist █████ ██████████ als ████████ des ████ ███████ und kann ███ eine ████████ ███████████████ in den ████████ ███████████ werden.