████ (███████)

████

Ein ████ ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$ ist eine █████ ${\displaystyle R}$ mit ████ ███████ █████████████ ███████████ ${\displaystyle +}$ und ${\displaystyle \cdot }$, ███ die die █████████ ███████████, ███████ ██████████, ██████:

• ${\displaystyle (R,+)}$ ist eine ████████ ██████ unter der ████████ ${\displaystyle +}$, deren █████████ ███████ als ███████████ des █████ ${\displaystyle R}$ mit ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$ ██████████ wird.
• ${\displaystyle (R,\cdot )}$ ist eine ██████████ unter der ██████████████ ${\displaystyle \cdot }$ . In der ████████ ██████████ ██████ ${\displaystyle \cdot }$ ███████ als ${\displaystyle +}$ und wird ████ ██████ █████ ███████████.
• Es ██████ die ██████████████████

${\displaystyle a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)=ab+ac}$       (█████ ███████████████)

und

${\displaystyle (a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)=ac+bc}$       (██████ ███████████████)

███ alle ${\displaystyle a,b,c\in R}$ .

Ein ████ █████ ██████████, █████ er █████████ der ██████████████ ██████████ ist, █████████ ███████ ███ von einem nicht-████████████ ████.

████ mit ████

Hat die ██████████ ${\displaystyle (R,\cdot )}$ ein (████████████) █████████ ███████ ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$, ist also ein ██████, dann █████ ███ ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$ einen ████ mit ████ oder ████████ ████ (████████ auch ████████ ████). █████ mit ███ █████- oder ███ ███████████████ ███████ ██████ in der ███████████ nicht als ██████.

██████ ███████ █████████ unter einem ████ █████████████ einen (████████████) ████ mit ████ und ████████ ███████████ von einem ██████-████, ████████ auch ███ (███!) oder ███-██████ ████.In der █████████ der █████ mit ████ ████ die ████ auch bei ██████████████████ ████████ ███████.

█████ ████ █████ sich in einen ████████ ████ █████████.

████████████ ████ mit ████

In der ████████████ ███████ werden █████ als ███████████ █████ mit ████ █████████.

Unter- und ████████

Eine ██████████ ${\displaystyle U}$ eines ██████ ${\displaystyle R}$ █████ █████████ (oder ████████) von ${\displaystyle R}$, ████ ${\displaystyle U}$ ████████ mit den beiden auf ${\displaystyle U}$ ███████████████ █████████████ von ${\displaystyle R}$ ██████ ein ████ ist. ${\displaystyle U}$ ist █████ dann ein █████████ von ${\displaystyle R}$, ████ ${\displaystyle U}$ eine ███████████ █████████ der ████████ ist und ${\displaystyle U}$ █████████████ ████. der ██████████████ ist, d. █.

${\displaystyle x\cdot y\in U}$, ████ ${\displaystyle x\in U}$ und ${\displaystyle y\in U}$.

Auch ████ ${\displaystyle R}$ ein ████ mit ████ ist, so ████ die ████ nicht ████████████████ in ${\displaystyle U}$ █████████ sein. ${\displaystyle U}$ kann auch ein ████ ohne ████ sein – etwa ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Z}}$ – oder eine ██████ ████ haben. In der █████████ der █████ mit ████ wird von einem █████████ ████████, dass er ████████ ███████████ ███████ (█████ ist es zwar █████████, aber nicht █████ ███████████, dass der █████████ ein auf ██████ ███████ █████████████ █████████ ███████ ███████).

Der ████████████ von ███████████ ist ██████ ein █████████, und der von ${\displaystyle A\subseteq R}$ ████████ █████████ wird █████████ als der ████████████ aller ${\displaystyle A}$ ███████████ ██████████ von ${\displaystyle R}$.

Ein ████ ${\displaystyle S}$ █████ ████████ oder ███████████ eines ██████ ${\displaystyle R}$, ████ ${\displaystyle R}$ ein █████████ von ${\displaystyle S}$ ist. Es ist auch ██████ von einer ███████████████ zu ████████, ████ ███ einen ████ mit einem ████████ ██████████. ████ ist ██████ zum ███████ der █████████████████.

████████ █

█████ ████ kann in einen ████ mit ███████████ ███████████ werden.

████████ █

████████ ███████████████ ██████ sich in E. ███████: ████████████ ██ █████████ ███████: Sei ${\displaystyle R}$ ein ████████████ ████, ${\displaystyle M}$ ein ${\displaystyle R}$-█████ und ${\displaystyle S=R\oplus M}$ die ███████ █████ der █████████ ███████. Eine ██████████████ auf ${\displaystyle S}$ sei █████████ durch

${\displaystyle (a,x)\cdot (b,y)=(ab,ay+bx).}$

(Die ██████████████ von ${\displaystyle (a,x)}$ mit ${\displaystyle a+\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}x}$ mit einem ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$, ███ das ${\displaystyle {\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}^{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}=\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$ ist, und ██████████ von ${\displaystyle (a+\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}x)(b+\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}y)}$ ██████ die ████████ ██████.) ${\displaystyle S}$ ███████ sich als ████. ███ hat die ██████ ███████

${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\to M\to S\stackrel{p}{\to }R\to \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$

mit der ██████████ ${\displaystyle p}$. █████ ist ${\displaystyle S}$ eine ███████████ von ${\displaystyle R}$ um ${\displaystyle M}$. Eine ██████ ██████████████ ███████████ ██████ ████████████ ist, dass der █████ ${\displaystyle M}$ zum █████ eines █████ ██████ ${\displaystyle S}$ wird. ██████ █████ ██████ ███████ ███████ der █████████████.

█████

Zu einem ████ ${\displaystyle R}$ █████ eine █████████ ${\displaystyle I}$ von ${\displaystyle R}$ ██████████ (███. ███████████), ████ ████:

• ${\displaystyle I}$ ist eine ███████████ von ${\displaystyle (R,+)}$.
• ███ alle ${\displaystyle a\in I}$ und ${\displaystyle x\in R}$ ist █████████ ${\displaystyle x\cdot a\in I}$ (███. ${\displaystyle a\cdot x\in I}$).

Ist ${\displaystyle I}$ ██████ █████- als auch ███████████, so █████ ${\displaystyle I}$ ████████████ █████ oder auch ███ █████.

███████ in einem ████ mit ████ ein (█████-, ██████-)█████ die ████, so ███████ es ████ ${\displaystyle R}$. Da ${\displaystyle R}$ auch ein █████ ist, ist ${\displaystyle R}$ das ███████ (█████-, ██████-)█████, das die ████ ███████. ${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle \{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\}}$ sind die ███████████ █████████ ██████.

█████████████ auf die ██████████ von ${\displaystyle R}$ ist der ███████ █████ mit dem ███████ ${\displaystyle R}$-█████ ███████, also auch ██████████ mit ${\displaystyle R}$-██████████ ███.

█████ █████ ${\displaystyle I}$ von ${\displaystyle R}$ ist auch ein █████████ von ${\displaystyle R}$, ███. ohne ████. In der █████████ der █████ mit █ ████ ${\displaystyle I}$ dann nicht als █████████.

██████████

Ist ${\displaystyle I}$ ein █████ in einem ████ ${\displaystyle R}$, dann kann ███ die █████ der ████████████

${\displaystyle R/I:=\{x+I\mid x\in R\}}$

██████. Die ███████████ ${\displaystyle +}$ █████ sich █████ █████ ██████████████ █████ auf ${\displaystyle R/I}$ ██████████; die ███████████ ${\displaystyle \cdot }$ ██████ ███, ████ ${\displaystyle I}$ ein ████████████ █████ in ${\displaystyle R}$ ist. Ist ████ der ████, dann ist ${\displaystyle R/I}$ mit den ███████████ █████████████ ein ████. Er wird ██████████ ${\displaystyle R/I}$ ███████ – ██████████: ${\displaystyle R}$ ██████ ${\displaystyle I}$.

Der ██████████████████

${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}:R\to R/I}$,

der einem ███████ ${\displaystyle x}$ █████ ███████████ ${\displaystyle x+I=:\overline{x}}$ ████████, hat ${\displaystyle I}$ zum ████.

█████████

In einem ████ ${\displaystyle R}$ mit ████ wird der von ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$ ████████ █████████ als der █████████ ██████████. Hat ██████ ████████ ███████████ ${\displaystyle k,}$ so ist ${\displaystyle k}$ die ██████████████ von ${\displaystyle R,}$ █████████: ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="4"\; class="word\; redacted">████</span>}(R)=k,}$ und ███ ████, ${\displaystyle R}$ ████ ████████ ██████████████. ███████████ wird ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="4"\; class="word\; redacted">████</span>}(R)=\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$ ███████. Damit ist im █████████ wie ███████████ ████ der ███████ ██████████████████

████████. Der █████████ ist das ████ ${\displaystyle \overline{\mathbb{Z}},}$ und █████ ██████ ████████ ist mit █████ ███████████ ████████████. Außerdem ist ███ █████ ███████████ ${\displaystyle a\in R}$

${\displaystyle (-\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>})\cdot a=a\cdot (-\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>})=-a}$

das ████████ ███████ von ${\displaystyle a.}$

███████████

Ist ${\displaystyle R}$ ein ████████████ ████ mit ████, so kann der ███████████ ${\displaystyle R[X]}$ ████████ werden. ██████ ███████ aus █████████ mit █████████████ aus ${\displaystyle R}$ und der █████████ ${\displaystyle X}$ ████████ mit der ████████ ████████ und ██████████████ ███ ████████. █████████████ von ${\displaystyle R}$ ██████████ sich zum ████ auf den ███████████. Ist ${\displaystyle R}$ ██████████████, ██████████ oder ██████████, so ██████ ████ auch auf ${\displaystyle R[X]}$ zu.

████████████

Ist ${\displaystyle R}$ ein ████ mit ████, so kann zu █████████ ${\displaystyle n\in \mathbb{N}}$ der ████████████ ${\displaystyle R^{n\times n}}$ ████████ werden. ██████ ███████ aus den █████████████ ████████ mit █████████ aus ${\displaystyle R}$ mit der ████████ ████████ und ██████████████ ███ ████████. Der ████████████ ist ████████ ein ████ mit ████. ██████ ist der ████████████ ███ ${\displaystyle n>\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$ █████ ██████████ ████ ██████████████, ██████ ████ ${\displaystyle R}$ █████ █████████████ hat.

████████ ███████

Sind ${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle S}$ █████, dann kann das █████████████ ${\displaystyle R\times S}$ auf ██████████ █████ mit einer ████████████ ████████████ werden:

• ${\displaystyle (r_{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}},s_{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}})+(r_{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}},s_{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}):=(r_{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}+r_{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}},s_{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}+s_{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}})}$
• ${\displaystyle (r_{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}},s_{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}})\cdot (r_{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}},s_{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}):=(r_{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}\cdot r_{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}},s_{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}\cdot s_{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}})}$

Denn die ██████████ des ███████████████████ in █████ ██████████ █████████ sich ███████████ auf das █████████████.

Sind beide █████ ${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle S}$ ██████, dann ist auch ${\displaystyle R\times S}$ ██████ mit ${\displaystyle ({\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}_R,{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}_S)}$ als dem ███████████.

████████ ████████████ ist ███████ mit einer ██████████ ███████ von ██████: Sind ${\displaystyle (R_i{)}_{i\in I}}$ █████ ████ einer ██████████ ${\displaystyle I}$, dann ist ${\displaystyle \prod _{i\in I}{R}_i}$ ein ████, ███████ das ███████ ███████ der ${\displaystyle R_i.}$ Ein █████████ des ████████ ████████ ist die ███████ █████, bei der ███ endlich █████ ███████████ von █ ███████████ sind.

██████████████████

███ ████ █████ ${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle S}$ █████ eine █████████

${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}:R\to S}$

██████████████████ (████ ██████████████), █████ ███ alle ${\displaystyle x,y\in R}$ ████:

${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}(x+y)=\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}(x)+\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}(y)}$       und

${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}(x\cdot y)=\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}(x)\cdot \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}(y).}$

Der ████ ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="3"\; class="word\; redacted">███</span>}\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}:=\{x\in R\mid \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}(x)=\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\}}$ :=\██████ x\in R\███ \██████ (x)=█\██████ } des ██████████████████ ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$ ist ein ████████████ █████ in ${\displaystyle R}$.

Ein ██████████ ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$ von ██████ mit ████ ████ außerdem ████ die █████████ ████████, dass das ███████████ auf das ███████████ ██████████ wird:

${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}({\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}_R)={\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}_S}$

█████████████

Ein █████████████ ist ein ██████████ ██████████████. Die █████ ${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle S}$ ██████ ████████, ████ es einen █████████████ von ${\displaystyle R}$ nach ${\displaystyle S}$ ████. In ██████ ████ ist auch die ███████████████ ein █████████████; die █████ haben dann ████████ ████████.

████████

████████████ mit der █████████████████ ████████ und ██████████████ ist das ███████ ███████ ${\displaystyle \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}}$ ein ████. Dann ist mit ${\displaystyle r,s\in \mathbb{Z}}$ die █████████

ein ██████████████ von ██████; ein ██████████████ von ██████ mit ████ aber ███, ████ ${\displaystyle (r,s)=(\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>},\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}).}$

██████ und ██████████

Von ████ █████████ ${\displaystyle a,b\in R}$ █████ ${\displaystyle a}$ ██████ ██████ (███████████) von ${\displaystyle b}$, █████ ein ${\displaystyle x\in R}$ mit ${\displaystyle b=a\cdot x}$ █████████. Dann ist auch ${\displaystyle b}$ ███████ ██████████ von ${\displaystyle a}$. ████████████ █████████ ███ ███████ ██████ (████████████) und ██████ ██████████.

In ████████████ ██████ ist ein ██████ ██████ auch ein ███████ und █████████. ███ ████████ ████ auch ${\displaystyle a\mid b}$, █████ ${\displaystyle a}$ ein ██████ von ${\displaystyle b}$ ist.

Alle ████████ von ${\displaystyle R}$ sind (██████- ███. █████-) ██████ der ████. Der ███████ des (██████- ███. █████-) ███████████ hat eine ██████ ██████████. ████ ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$ nach ██████ als ██████████ █████, ████ der ████: Ein ███████ ist █████ dann (██████- ███. █████-) ██████████, ████ es nicht (██████- ███. █████-) ███████ ist.

████████████████, ███████

█████████ in einem ████ ${\displaystyle R}$ mit ████ zu einem ███████ ${\displaystyle u}$ ein ███████ ${\displaystyle x}$, so dass ${\displaystyle xu=\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$ (███. ${\displaystyle ux=\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$) ████, so █████ ███ ${\displaystyle x}$ ein █████████████ (███. ██████████████) von ${\displaystyle u}$. ███████ ${\displaystyle u}$ ██████ █████- als auch ██████████████, so █████ ███ ${\displaystyle u}$ ████████████ oder ███████ des ██████. Die █████ der █████████ eines ██████ ${\displaystyle R}$ mit ████ wird ██████████ mit ${\displaystyle R^{\ast }}$ oder ${\displaystyle R^{\times }}$ ██████████. ${\displaystyle R^{\ast }}$ ██████ █████████ der ██████████████████ eine ██████ – die ███████████████ des ██████. Ist ${\displaystyle R^{\ast }=R\mathrm{\setminus }\left\{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\right\}}$, so ist ${\displaystyle R}$ ein ████████████, ist ${\displaystyle R}$ ███████ ██████ ██████████, so ist ${\displaystyle R}$ ein ██████.

In ████████████ ██████ mit ████ (████████████ █████████████████) werden die █████████ ███ als diejenigen ████████ █████████, die die ████ ██████. ████ ist in ██████ ████ zur ██████ ██████████ ██████████, da ${\displaystyle u}$ █████ dann die ████ █████, ████ es ein ${\displaystyle x}$ ████ mit ${\displaystyle xu=ux=\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$.

███████████ ████████

████ ████████ ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ sind █████ dann ██████ ██████████, ████ es eine █████████████ ${\displaystyle u}$ ████, ██████ ${\displaystyle au=b}$. █████ ██████████ bei ${\displaystyle ua=b}$ mit einer ████████████ ${\displaystyle u}$.

████ in einem ████████████ ████ mit ████ die ████████ ${\displaystyle a,b}$ in der █████████ ${\displaystyle a\mid b}$ und ${\displaystyle b\mid a}$ ██████, dann sind ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ ██████████ ██████████. Die ██████████ (█████, ██████) kann also ███████████ werden.

██████████████ ist eine ██████████████████.

███████████████

Ein von █ █████████████ ███████ ${\displaystyle q}$ █████ ███████████, ████ es █████ ████████████ ████ █████████████ ist und es █████ Nicht-████████████ ${\displaystyle a}$ und █████ Nicht-█████████████ ${\displaystyle b}$ mit ${\displaystyle q=ab}$ ████, ████ also aus der █████████ █████, dass ${\displaystyle a}$ ████████████ oder ${\displaystyle b}$ █████████████ ist.

In einem ████████████ ████ ██████ es zu ███████, dass ${\displaystyle q}$ von █ ███████████ ist, █████ ███████ ist und aus ${\displaystyle q=ab}$ █████, dass ${\displaystyle a}$ oder ${\displaystyle b}$ eine ███████ ist.

███████████

███ ███████████ ███████ █████ █████████ ███: Ein ███████ ${\displaystyle p}$ █████ ████ oder ███████████, ████ es █████ ███████ und ████████ █ ist und aus ${\displaystyle p\mid ab}$ █████ ${\displaystyle p\mid a}$ oder ${\displaystyle p\mid b}$ (█████ auch ████████████: ███████████).

In einem ████████████████ ████ ist █████ ███████████ ███████████. In einem ████████████ ████ ist █████████ auch █████ ███████████ ███████ ein ███████████.