███████ ████████

In der ██████████ ist eine ███████ █████████ oder ███████ ████████ eine ████████, bei der ███████████ ██████ ██████████ des █████████ ███ ████████ ██████ ██████████ des ██████████████ nach sich ██████. █████████████ kann ███ █████ ███████████ mit der ████████████████ der ████████ mit ███████████ oder mit dem $\varepsilon$ - $\delta$ -█████████.

█████ in der ██████ der ███████ ████████ ██████████ ██████████ sind ██████, ████████████ ist das ███ alle █████████████████ ██████████ der ████. ███████████ ist das ███████ der ██████████ von ███████████ in der ██████████ vor allem in den ████████████ der ████████ und der █████████ von █████████ █████████. Es ist ███████, ██████████ durch eine █████████ zu ████████████████, die ███ ████████ der █████████ ███████. █████ kann der ███████ der ██████████ auch auf ██████████ zwischen █████████████ ██████ ██████████ werden. █████ ██████████ ██████████ ███████ sich aus ██████████████ █████ als der „████████████“ ██████ zum ██████████████████: ███████ ██████████ sind diejenigen ██████████ zwischen █████████████ ██████, die mit deren ██████████ „███████████“ sind. ███████ ██████████ ███████ also in █████████ und ████████ eine ████████ █████ wie ██████████████ in der ███████.

███ ███████ ██████████ ██████ eine █████ ██████████ █████████████ ████████ werden. ████████████ █████ der ████████████████, der ████ vom ███████ und ███████ und der ███████████████ der ████████ ███████.

██████████

Die ████████

f(x)={\begin{cases}x,&{\text{wenn }}x\leq 1\\x+1,&{\text{wenn }}x>1\end{cases}}

„███████“ an der ██████ $x=1$ vom █████████████ █ auf den █████████████ █. ██████ die ████████ einen ████████████ aus der █████ oder der ███████ ███, so █████████ ein ███████ █████████ als ██████████ (██████ ███ █████ ██████). ██████████ die ████████ zum ████████ den ████████████ zwischen der beim █████████ █████████████ ███████ und der ██████████ ███████████████, so ████ es ████████████, ████ eine ████████ ██████████ der ████████████ ███████ an einer ██████ ██████████ zur ████████████ der ███████████████ ██████.

Der █████████████ ███████ der ██████████ ████████ die ██████████ █████ zu ███████████, die ein ███████ „█████████████“ █████████ nicht haben. Die ██████████ ████████ $f$ ist also nicht ██████, █████ sich die ████████████ auf den █████ $x=1$ ████████████ █████. In allen ███████ ███████ ist die ████████ ██████.

███████████ wird ██████████ ███ damit ██████████, den ███████ einer ████████ in einem ███ ohne ████████ ████████ zu ██████. █████ ██████████ █████ an ███████ ███████, besonders ████ ███ ██████████ mit ███████ ████████████████████ als der ████████ ███████ ████████████ ██████████. Deshalb werden ████████████ ██████ ████████████ ████████.

██████████████ ist die durch

g(x)={\begin{cases}x\cdot \sin {\frac {1}{x}},&{\text{wenn }}x\not =0\\0,&{\text{wenn }}x=0\end{cases}}

████████ ████████ ███████████ ██████, denn außer bei $x=0$ ist ███ █████ eine ████████████ █████, und bei $x=0$ hat er ██████ █████, „███████“ zu ██████. Ob er sich aber bis zum █████████ „ohne ████████ ████████ █████“, kann ███ nicht ohne eine ████████ ██████████ dessen ███████████, ███ eine ████████ █████████ sein ████. Da ist es █████████, eine ██████████ von „██████“ ohne den ███████ „████████“ zu ██████████, nach der █████ ████████ als ██████ ████████████ werden kann. Dann ██████ durchaus die eben █████████ ██████ zum ██████ █████████.

██████████ ███████ ██████████

██████████

Sei $f$ eine ██████ ████████, also eine ████████ $f\colon D_{f}\to \mathbb {R}$ , deren ██████████████ ██████ ██████ sind und deren ██████████████████ $D_{f}\subset \mathbb {R}$ █████████ aus ███████ ██████ ███████. In der ███████ ████████ ████ es ███████ █████████████ █████████████, die ██████████ von $f$ in einem ${\displaystyle x_{0}\in D_{f}}$ zu ██████████. Die ████████████████ sind das ███████-█████-█████████ und die ██████████ ███████ ███████████.

██████████ ███████ ███████-█████-█████████

$f$ █████ ██████ in $x_{0}$ , ████ zu █████ $\varepsilon >0$ ein $\delta >0$ █████████, so dass ███ alle $x\in D_{f}$ mit

|x-x_{0}|<\delta

████:

|f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon

████████ ████████ die █████████ der ██████████, dass zu █████ ████████ $\varepsilon$ des ███████████████, die ███ zu ███████████ ██████ ist, eine ████████ ████████ $\delta$ im ████████ ████████ werden kann, die █████ ███████ ████████████.

██████████ ███████ ███████████

Bei ██████ ██████████ ███████ ███ die ████████████████ von ███████████████████ und ████████████████. ███████ kann ███ sich █████████ auf den ████████████████ ███ ██████████ oder ███ ██████ ███████. Im ██████ ████ ██████████ ███: $f$ █████ ██████ in $x_{0}$ , ████ der █████████ $\lim _{x\to x_{0}}f(x)$ █████████ und mit dem █████████████ $f(x_{0})$ █████████████, ████ also ████:

\lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})

Im ███████ ████ ██████████ ███: $f$ █████ ██████ in $x_{0}$ , ████ ███ ████ gegen $x_{0}$ ███████████ █████ $(a_{n})$ mit █████████ $a_{n}\in D_{f}$ , die █████ ${\bigl (}f(a_{n}){\bigr )}$ gegen $f(x_{0})$ ███████████. Die ██████ █████████ wird auch als ███████████████ ██████████.

█████ von ██████████ in $x_{0}$ ███████ ███ ███ auch von ██████████ im █████ $x_{0}$ oder ██████████ an der ██████ $x_{0}$ . Ist █████ █████████ nicht ███████, so █████ ███ $f$ ████████ in (im █████/an der ██████) $x_{0}$ , ███. ██████████ $x_{0}$ als ███████████████████ von $f$ .

███ ███████ von einer ████████ oder ███████ ████████ ████████, ████ █████ ████████ in █████ █████ █████ ████████████████████ ██████ ist.

█████████ ████████ und ██████████ ██████████

Ist eine ████████ an einer ██████ ███████████████, so ist ███ ████ auch ██████. Damit █████ ████████████ die ██████████

aller █████████████████ (wie etwa $x\mapsto x^{3}+4x^{2}-6x+9$ )
aller █████████-██████████ ██████████ (wie $x\mapsto {\frac {2x-1}{x+2}}$ )
der █████████████████████ $x\mapsto a^{x}$ , ███ ██████ $a\in \mathbb {R} ^{>0}$
der █████████████████ ██████████ (also █████, ███████, ███████,…)
der █████████████████████

Die ██████████ der █████████ ██████████ █████ sich aber auch ██████ – etwa ███████ ██████████ – und ohne ████████████ █████ ███████████████████ ████████. In ██████ ████████████ ist nicht ███████ die ██████ ███████████████ █████████████, welche zwar ███████ ██████, ██████ im ████████ $0\in \mathbb {R}$ nicht ███████████████ ist.

█████████ ██████ sind alle ████████████████ (etwa $x\mapsto x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}$ ), ██████ ███ ███ einen ██████████ ███████ █ im █████ █ █████████ nicht ███████████████ sind. ███████████ sind alle ███████████ ██████████ ██████ (zum ████████ $x\mapsto {\sqrt {1+\cos ^{2}(x-5)}}$ ).

Bei der ███████████ der ███████████ ██████████ ist allerdings zu ████████, dass einige ██████████ ██████████ als ██████████████████ ███ eine █████ █████████ der ███████ ██████ haben. Bei der █████████████████████ werden z. B. alle █████████ ██████ ███████████, bei der ███████████████ alle ███████████ des ███████. ████ ist die █████ nach einer ████████ ███████████ der ████████ an einer ████████████████ zu ███████. ██████████████ ist die ████████

x\mapsto f(x):={\frac {2x-1}{x+2}}

█████████ ███ alle ███████ ██████ $x\in D_{f}=\mathbb {R} \setminus \{-2\}$ und ███ ist in █████ █████ des ████████████████████ $D_{f}$ ██████ und damit eine ███████ ████████. Die █████ der ██████████ im █████ $x_{0}=-2$ ██████ sich nicht, weil ██████ █████ nicht zum ██████████████████ ██████. Eine ███████ ███████████ der ████████ an ██████ ████████████████ ist ████ █████ $\textstyle \lim _{x\to x_{0}}|f(x)|=+\infty$ nicht ███████.

Die ███████- und die ██████████████ sind █████████ ████████ ██████████, die an █████████ ███████ des ███████████████████ nicht ███████████████ sind. Die █████████████ ████████ ████ ████ ██████ des ██. ████████████ an, dass eine ███████ ████████ █████████ „an den ███████“ ███████ ███████████████ sein █████. ███████ ███████ ████████████ dann als ██████ ████████████ eine ████████, die ███████ ██████, aber ████████ ███████████████ ist, die ███████████████. Er ███████████████ sein ████████ allerdings nicht. ████ ██████████ ████ dann in den ██████ ██████ █████████ eine █████████, als ██████████-████████ ████████ ████████, █████ er in der ██████████████ ████████ ████████ ███████. Der █████ der ██████████-████████ kann ████████ nicht ██████████ werden.

████████ █████████ ██████████ ██████████ sind:

die ██████████████████ (████████ ███ in █)
die █████████-████████ (in █████ █████ ████████)
die ██████████ ████████ (████████ █████ in allen ██████████ ██████).

██████████ █████████████████ ██████████

███████ wie die ███████████████████ ist die ██████████ eine ███████████, die sich bei ██████ ███████████ von den █████████████ auf die daraus █████████████████ ██████████ █████████. Bei den █████████ ███████ sei die ██████████ von $f$ in $x_{0}$ bereits ███████.

████████████████████████: Ist $g$ eine ███████ ██████ ████████, deren ██████████████████ den ████████████ von $f$ ███████ und die in $f(x_{0})$ ██████ ist, dann ist die ███████████ $g\circ f$ ██████ in $x_{0}$ .
████████████ ███████████: Ist $g$ eine ███████ ██████ ████████ mit demselben ██████████████████ wie $f$ , die █████████ in $x_{0}$ ██████ ist, dann sind die ██████████ ███████████ ██████████ $f+g$ , $f-g$ und $f\cdot g$ █████████ ██████. █████ $g(x_{0})\neq 0$ ████, ist auch die ██████████████████ ${\tfrac {f}{g}}$ ██████ in $x_{0}$ .
███████/███████: Unter den ████████ ███████████████ wie im ██████████ █████ sind die ██████████ ███████████ ██████████ $\max(f,g)$ und $\min(f,g)$ ██████ in $x_{0}$ .

Unter ██████████ ███████████████ █████████ sich ██████████ auch auf die ██████████████:

Ist der ██████████████████ der ██████████, ████████ ███████ ████████

f

ein █████████, so ist die ████████ ██████ ███████ (████████ oder ███████). Die auf dem ████████████ von

f

██████████ ██████████████

f^{-1}

ist █████████ ██████.

Mit █████ ██████ █████████████ der ██████████ ███████ ██████████ kann ███ zum ████████ die ██████████ der oben ███████████ ███████████ ████████ $x\mapsto {\sqrt {1+\cos ^{2}(x-5)}}$ aus der ██████████ der ███████████ ████████, der ███████████████, der █████████████ ████████, der ██████████ ████████ und der █████████████████████ █████████.

██████████ ████ ███████ ██████ ██████████

Es ████ eine █████ █████████ █████, die ███ ███████ ██████ ██████████ $f$ ██████. █████ ██████ sich am ███████████ ███████████, ████ ███ ███████, dass $D_{f}=[a,b]$ mit $a,b\in \mathbb {R} ,a<b$ ein ███████████████, ████████████ █████████ ist:

████████████████: Die ████████ █████ █████ ████ zwischen $f(a)$ und $f(b)$ an.

████ vom ███████ und ███████: $f$ ist ██████████, und ███████ und ████████ ██████ ██████████████ werden auch als █████████████ ██████████. Es ███████ sich also ███████████ um ███████ und ███████. ██████ von ██████████ █████████ ████, █████████ auch ██████████████ ███████, ███████ ███ die ████████ ██████ ███████████. ███ ███ ███████████ █████████ sind ██████ ████████ aus der ████████████████████ █████.

███████████████ der ████████

f

ist ███████-████████████ und die ████████████████

F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,{\rm {d}}t

ist eine █████████████ von

f

████ von █████: $f$ ███████ eine █████████ ███████ des ███████-█████-██████████. Die █████████████ ███████████ wird ████████████ ██████████ ███████.

Aus ████████████████ und ████ vom ███████ und ███████ ████████ █████, dass das ████ von $f$ █████████ ein ███████████████, ████████████ █████████ (███. im ████ einer ██████████ ████████ eine ████████████ █████) ist.

██████ ███████████████████

██████████████ des ████████ der ██████████ sind z. B. ████████████ ██████████, (██████) █████████-██████████, ██████-██████████ █████ die ████████ ██████████ und die ████████████ ██████████. Die ███████████ ██████████ wird ████████ auch als ██████████ ██████████ ██████████, um ███ █████████ der █████████████ ██████████ ███████████. ███████████ der █████████-██████████ ██████ sich z. B. in ████████- und ████████████████████ (z. B. ████ von ██████-████████) ███ ███████████████████ ████████████ ███████████████████████ und in der █████████████ ██████████. Die ████████ ██████████ ██████ ██████████ in der ██████████ und der ██████████, die ████████████ ██████████ in der █████████████ ████████████.

Eine ███████████, die eine █████ von ██████████ ████████ kann, ist die █████████████ ██████████. ███ ██████ eine █████ im ██████ ███████████ ████ von ██████-██████.

██████████ ███ ██████████ ████████ █████████

Eine ████████