███████ ████████

En ███████ █ █████████, una ███████ ████████ es una ███████ para la cual, ██████████████, ███████████ ████████ de ██████ del ███████ ████████ ███████████ ████████ en los ███████ de la ███████. ████ █████████ que no ████████ "███████ ███████" en ██████ ████████, lo que se █████████ como una ██████████████. Si la ███████ no es ████████, se ████ que es ███████████.

█████████████, una ███████ ████████ de $\mathbb {R}$ en $\mathbb {R}$ es ███████ ████ ███████ █████ █████████ sin ████████ el █████ del █████ (███ ███████████ su █████ es un ████████ ██████). ███████████, una ███████ es ████████ si se █████ █████████ que sus ███████ ██████ ███████████████ ████ a █████ de █████ ███████████████ ████████ las ██████████ entre los ██████████ ████████████. Hasta el █████ ███, los ███████████ ████████ la ███████████ ██████████████, █ ████ ██████████ con █████████ █████████. La ██████████ de ███████████ se █████████ ██████████ por █████ de la ██████████ ███████-█████ de ██████.

La ███████████ de █████████ es uno de los █████████ ███████ del ████████ ██████████ █ de la █████████ ███████. Este ████████ ████████ ██████████████ la ███████████ de █████████ ██████ de una ████████ ████, ██████ ███ █████ se █████████ ███████ las ████████████████ a ██████ █████████, ████████ ████████ █ ████████ ███████████.

███████████ o ██████████████ de una ███████ en un █████

Al ████████ una ███████:

{\begin{array}{rrcl}f:&\mathbb {R} &\longrightarrow &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &y=f(x)\end{array}}

en un █████: $x=x_{1}$ , ██████ █████ los ██████████ █████:

\mathrm {Funci{\acute {o}}n} \left\{{\begin{array}{l}\mathrm {continua} \left\{{\begin{array}{l}\mathrm {derivable} \\\mathrm {no\;derivable} \end{array}}\right.\\\\\mathrm {discontinua} \left\{{\begin{array}{l}\mathrm {evitable} \\\mathrm {esencial} \left\{{\begin{array}{l}\mathrm {de\;1^{a}\;especie} \left\{{\begin{array}{l}\mathrm {de\;salto\;finito} \\\mathrm {de\;salto\;infinito} \\\mathrm {asint{\acute {o}}tica} \end{array}}\right.\\\mathrm {de\;2^{a}\;especie} \end{array}}\right.\\\end{array}}\right.\end{array}}\right.

█████████ ██████ de una ████████ ████

█████████████ ████████, una ███████ $█$ ████████ sobre un █████████ $█$ es ████████ si la █████ que la ██████████, es █████ el ████████ de los ██████ $(x,f(x))$ , con $█$ en $█$ , está ███████████ por un █████ ████████, es █████ un █████ que no está ████, ni █████ "█████" ni "██████", como en la ██████ de la ███████.

El █████████ $█$ de $█$ es el ███████ de ██████████ de $█$ , ████████ como el ████████ de los ███████ de $█$ para los ██████ █(█) ██████.

El █████████ $█$ de $█$ es el █████ (███████ ████████ como ██████) de $█$ , el ████████ de los ███████ de $█$ , ███████ como $y=f(x)$ . Se ███████ $J=f(I)$ . █████ que en ███████, no es █████ que el █████████ (████ si la ███████ en ████████ es ████████████.)

El █████ ████████ de $█$ se █████ el ██████ ████████ de $█$ en $█$ , █ el █████ █████ de $█$ es su ██████ ████████ en el ███████ $█$ .

███████████ de una ███████

La ██████████ de ███████████ en un █████ es la █████████:

Una ███████ █ es ████████ en un █████ █_█ que ██████████ al ███████ de la ███████

si:

\forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\;

███ que para ████ █ █████████████ al ███████ de la ███████

|x-x_{0}|<\delta \quad \Rightarrow \quad |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon

La ████████ ██████████ se █████ ████ ██████████████ como █████. Un ███████ █ es ████████ en un █████ █_█ si ███████ █████ que sus ███████ █████████ la ██████ del █████, █(█_█), ███████████████ ████ ( $\forall \varepsilon >0$ $\vert f(x)-f(x_{0})\vert <\varepsilon$ ) si ████████████ ████ ██████ █ ███████████████ ████████ a █_█ (que ██████ de él █████ que una █████████ $\delta >0$ que ███████ █████ ███████████████ ███████). Es █████, las ████████ de $█$ █████████ de $x_{0}$ ██████ ███████████████ ████ si nos █████████ a $x_{0}$ lo ██████████.

██████████ la ██████████ ████ con la ██████████ ███████-█████ de ██████, la ███████ ████████ en ████████ de ███████ de la █████████ ██████; si █_█ es un █████ del ███████ de la ███████ que es █████ de ███████████ del █████, ████████ █ es ████████ en █_█ si █ ████ si $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$ . ██████ █_█ es un █████ del ███████ que no es de ███████████ del █████, es █████, es █████ ███████ del ███████, se ██████ ████████████ la ██████████, █████ ████ ███████ es ████████ en los ██████ ████████ de su ███████. Por ███████, las ██████████ de ███████ ██████ son un ████ de ███████ ████ de ████████ ████ ████ ███████ es el ████████ de los ███████ █████████. Como █████ los ██████ del ███████ de una ████████ son ██████ ████████ del █████, se ████████ que ████ ████████ es una ███████ ████████. Por otro ████, no █████ ███████ ██████ de si una ███████ es o no ████████ en un █████ que no ██████████ al ███████ de la █████. Por ███████, la ███████ █(█)=█/█ es ████████ en █████ los ██████ de su ███████ (█████████ que ████ no está en el ███████ de la ███████). En ████, como no está en el ███████, no ███████ ██████ ni de si es ████████ ni de si no lo es ██████ que la ██████████ de ███████████ en un █████ █, por █████, la ███████████ de ███████ sobre si una ███████ es o no ████████ en █████ █████, █████ de un █████ del ███████ de la ███████ █████ de ███████ la ███████████ en el █████. No █████████ que el ███████ de una ███████ no █████ por qué ser un █████████. Por ███████, el ███████ de la ███████ $f(x)={\sqrt {\cos(2\pi x)-1}}$ es $\mathbb {Z}$ , el ████████ de los ███████ ███████.

A █████ en la ██████████ se █████ █████████████ de █████ o █████ (█ no █████████), es █████, se ████ que $f\colon D\subseteq \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ es ████████ en $x_{0}$ si

$\forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0:\forall x\in D\quad \vert x-x_{0}\vert \leq \delta \Rightarrow \vert f(x)-f(x_{0})\vert \leq \varepsilon$ .

████ no ██████████ un ████████ ██████ █████ █████████ de la ██████████ son ████████████. En ██████, si $█$ es ████████ por la ███████ ██████████ █ ████████ ███ que lo es por la ███████, para ████ $\varepsilon >0$ █████ █████ como █████ de la ███████ ██████████ $\delta /2$ , donde $\delta >0$ es el █████ que ██ la ███████ ██████████. ████████████, ██████████ ██████ la ███████ ██████████, ███████ █████████ la ███████ ███████ $\varepsilon /2$ en la ███████.

███████████:

En el ████ de ████████████ de $\mathbb {R}$ en $\mathbb {R}$ , es █████ ███ que se ████ que una ███████ $█$ es ████████ en un █████ █_█ si ██████ █(█_█), si ██████ el ██████ de █(█) ██████ █ ██████ █████ █_█ por la ███████, si ██████ el ██████ de █(█) ██████ █ ██████ █████ █_█ por la █████████, █ ██████ █████ █████████ con █(█_█). ████ ██████████ que, ████ una ███████, si no está ████████ en un █████, ésta no es ████████ en él, ████████ a una █████████ como la █████████: La ███████ $f:(0,1)\longrightarrow \mathbb {R}$ ████████ como $f(x)=x$ no es ████████ en █ ██████ no está ████████ en █████ █████, pero ███████ es ████████ en █ ni en █. Esta ██████████, no █████████████, de ███████████ está ███ █████████, pero ███ que ████████ el █████████ █████████████ para █████ ██████ de ███████████ de que el █████ en el que se ███████ la ███████████ ██████████ al ███████. Si no está en el ███████, pero es █████ de ███████████ del █████, ███████ ██████ de si █████ o no ██████████ con ███████████ a █████ █████, pero no ███████ █████ que la ███████ es ███████████ en █████ █████ (la ███████ █████████ sí ██████ ser ███████████, ██████ que al ██████████ █████ █████ al ███████, █████ ███████ ██████████ el ███████ de la ███████████ en él).

███ ████, una ███████ █ ████████ en un █████ de su ███████ █_█ que, ██████, es █████ de ███████████ del █████, ███████ lo █████████:

{\color {Blue}(7)}\;f(x_{1})=L_{(x_{1})}\left\{{\begin{array}{l}{\color {Blue}(5)}\;L_{(x_{1})}=L_{(x_{1})}^{+}=L_{(x_{1})}^{-}\left\{{\begin{array}{l}{\color {Blue}(3)}\;\exists \;L_{(x_{1})}^{+}\land \exists \;L_{(x_{1})}^{-}\;\left\{{\begin{array}{l}{\color {Blue}(1)}\;\exists \;L_{(x_{1})}^{+}={\displaystyle \lim _{x\to {x_{1}}^{+}}f(x)}\\\\{\color {Blue}(2)}\;\exists \;L_{(x_{1})}^{-}={\displaystyle \lim _{x\to {x_{1}}^{-}}f(x)}\end{array}}\right.\\{\color {Blue}(4)}\;L_{(x_{1})}^{+}=L_{(x_{1})}^{-}\end{array}}\right.\\{\color {Blue}(6)}\;\exists f(x_{1})\end{array}}\right.

(█). ██████ el ██████ por la ███████:

\exists \lim _{x\to x_{1}^{+}}f(x)\in \mathbb {R}

(█). ██████ el ██████ por la █████████:

\exists \lim _{x\to x_{1}^{-}}f(x)\in \mathbb {R}

(█). ██████ el ██████ por la ███████ █ por la █████████:

\exists \lim _{x\to x_{1}^{+}}f(x)\in \mathbb {R} \quad \land \quad \exists \lim _{x\to x_{1}^{-}}f(x)\in \mathbb {R}

(█). El ██████ por la ███████ █ el ██████ por la █████████ █████████:

\lim _{x\to x_{1}^{-}}f(x)=\lim _{x\to x_{1}^{+}}f(x)

(█). Si ███████ el ██████ por la ███████ █ por la █████████ █ sus ███████ █████████, la ███████ █████ ██████ en este █████:

\lim _{x\to x_{1}}f(x)=\lim _{x\to x_{1}^{-}}f(x)=\lim _{x\to x_{1}^{+}}f(x)

(█). ██████ █(█_█):

\exists f(x_{1})

(█). El ██████ █ el █████ de la ███████ █████████:

\lim _{x\to x_{1}}f(x)=f(x_{1})

Se ████ que una ███████ es ████████ en un █████████ si es ████████ en █████ sus ██████.

Si █(█_█)= █_█, la ███████████ en █_█ se ███████ ███:

\lim _{x\to x_{1}}f(x)=y_{1}

█████████████, ██████ █ se ████████ a █_█, █(█) se ████████ a █_█. Por ██████████ de los ███████, ████ █████████ que para ████ █████████ ███████ █, ████████ en █_█, ██████ un █████████ ███████ █, ████████ en █_█, ███ que $f(I)\in J$ .

Si █ no es ████████ en un █████, el ███████ ███ en █████. En ██████, no ████ █████████ █ █████████ de █_█ █████ su ██████ en un █████████ █ ████████ en █_█, con un █████ ████████ al █████ de █, no ███████ lo ███████ que este █████████ ███, ███ ███████ de █ del █████████ █ █████████ de █_█ que █████ su ██████ en un █████████ █ ████████ en █_█, ██████ █_█ █ █_█ ███████ █████████, ████ es: █ █████ ████████ que se █████ de █.

La ███████ de esta ██████████ es que se █████ ███████████ a █████████ ███████ ██████████.

███████████ ███████

Una ███████ $█$ es ████████ por la █████████ en el █████ $x_{1}$ si el ██████ ███████ por la █████████ █ el █████ de la ███████ en el █████ son ███████. Es █████:

\lim _{x\to x_{1}^{-}}f(x)=f(x_{1})

como en la ██████.

Una ███████ $█$ es ████████ por la ███████ en el █████ $x_{1}$ si su ██████ ███████ por la ███████ █ el █████ de la ███████ en el █████ son ███████. Es █████:

\lim _{x\to x_{1}^{+}}f(x)=f(x_{1})

Una ███████ $█$ es ████████ en un █████ si es ████████ por la █████████ █ es ████████ por la ███████. ████ es:

\lim _{x\to x_{1}^{-}}f(x)=\lim _{x\to x_{1}^{+}}f(x)=f(x_{1})

███████████ de una ███████ en un █████████ ███████: (a,█)

Un █████ █, █████████ a un █████████ ███████ █, de ███████ █████████ a █ ███████ ███████ █, ████████████ █= (a,█) si:

a<c<b\;

Una ███████, █ es ████████ en un █████████ ███████ █= (a,█), si █ ████ si la ███████ es ████████ en █████ los ██████ del █████████, es █████:

\forall c\in I=(a,b):\quad \lim _{x\to c}f(x)=f(c)

███████████ de una ███████ en un █████████ ███████: [a,█]

Un █████ █, █████████ a un █████████ ███████ █, de ███████ █████████ a █ ███████ ███████ █, ████████████ █= [a,█] si:

a\leq c\leq b\;

Una ███████ █ es ████████ en un █████████ ███████ [a, █] si la ███████ es ████████ en el █████████ ███████ (a,█) █ es ████████ por la ███████ de a █ ████████ por la █████████ de █:

\forall c\in I=[a,b]:\quad \lim _{x\to c}f(x)=f(c)\quad \land \quad \lim _{x\to a^{+}}f(x)=f(a)\quad \land \quad \lim _{x\to b^{-}}f(x)=f(b)

███████ █████████ █████████ ███████████

Las █████████ ████████████, ███████████████: ████ █ ██████, las █████████████ █ los ██████████ son █████████ en sus ███████████ ████████ de ██████████.