█████████████████

Unter einer █████████████████ ████████ ███ in der ████████ ███████ einen ██████, der sich durch ████████ ████████ unter ██████████ der ██████████████ und der ████████ ██████████████ ██████████ █████.

███████████████████ endlich ██████ ████████

██████████

Ist $V$ ein ██████████ ████ einem ██████ $K$ , so █████ eine aus den ████████ $v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ████████ $a_{1},\ldots a_{n}$ █████████ █████ der ████

a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+\dotsb +a_{n}v_{n}

eine █████████████████ von $v_{1},\dotsc ,v_{n}$ . Die ████████ $a_{1},\dotsc ,a_{n}$ ██████ █████████████ der █████████████████.

███ ███████, dass der ███████ █████████████████ in ████ ███████████ █████████ wird: ██████████ ████████ ███ darunter den ██████ ██████████████. ████████████ ██████████ ███ damit das ████████ ██████ █████; dabei ███████ es sich um einen ██████, der ████████ der █████████████████ von ████████████ ██████ in $V$ █████.

██████████████████

Aus der ██████████ ██████ sich ████ ███████████████ ████████:

Es sind ████████ und █████████████ ███████ und ███ ██████ den ██████████████ █████████. Dazu ██████ ███ die ██████████ der ██████████████ und der ████████ ██████████████ an.
- ████████: Sind $v_{1}=\left(\!{\begin{smallmatrix}2\\5\end{smallmatrix}}\!\right),v_{2}=\left(\!{\begin{smallmatrix}3\\0\end{smallmatrix}}\!\right)$ ████████ des $\mathbb {R^{2}}$ █████ $a_{1}=2,a_{2}=-3$ , so ist die ██████████ █████████████████ $v=2{\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}}-3{\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-5\\10\end{pmatrix}}$ .

Es ist eine █████ von ████████ ███████ und ███ ██████ ██████, ob einer ██████ ████████ eine █████████████████ der ███████ ████████ ist. Dazu ████ ███ entweder █████████████ █████████████ an oder ███ █████ nach, dass es ██████ █████████████ nicht █████ kann. ████ █████ █████████████ auf das █████ eines ████████ █████████████████ ██████.
- ████████: Um ██████████████, ob im ██████████ $\mathbb {R} ^{3}$ der ██████ $v=\left(\!{\begin{smallmatrix}16\\-4\\3\end{smallmatrix}}\!\right)$ eine █████████████████ der ████████ $v_{1}=\left(\!{\begin{smallmatrix}3\\-2\\4\end{smallmatrix}}\!\right)$ und $v_{2}=\left(\!{\begin{smallmatrix}2\\0\\-1\end{smallmatrix}}\!\right)$ ist, █████ ███ $v=a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}$ . ███████ ███████ es sich um ein ████████ ████████████████ in den ███████████ $a_{1}$ und $a_{2}$ . ██████ ██████ hat $a_{1}=2$ und $a_{2}=5$ als (███████) ██████, d. █. es ist $v=2v_{1}+5v_{2}$ . Also ist $v$ eine █████████████████ von $v_{1}$ und $v_{2}$ .

███████████████████ einer █████ von ████████ ██████ ████████

Es ist ████████, auch von ███████████████████ einer ███████████ █████ von ████████ zu ████████. Da ████████████ ███ ███ endlich █████ ████████ ███████ sind, █████ sich die ██████████ des ███████ ██████████ ██████ nicht ohne ████████ auf █████████ █████ ████████ ██████████. ████████ wird der ███████ der █████████████████ einer ██████████ (██████████████ ███████████) █████ von ████████ auf den ████ einer (█████████) █████████████████ █████████████:

Sei $V$ ein ██████████ ████ einem ██████ $K$ . ██████ sei $(v_{i})_{i\in I}$ eine durch die ██████████ $I$ ██████████ ███████ von ████████ $v_{i}\in V$ . Dann wird ein ██████ $v$ █████████████████ der ███████ $(v_{i})_{i\in I}$ ███████, ████ es eine ████████ █████████ von $(v_{i})_{i\in I}$ ████, so dass $v$ eine █████████████████ ██████ █████████ ist.

███████████████████ in ███████████

In einer ██████ ████████ █████████████████ ██████ der ███████ der █████████████████ bereits ████, ████ ███ █████ █████ ███████ und ███████████ █████ ████████████ ██████████. █████ der aus der ████████ ███████ █████████, █████████ ███████████ ██████ sich auch in ██████ █████████████ ███████████, █████████ das ████████ nach einem ██████ aus einer █████████████████ kann ██████████, denn dazu ████ ███ mit dem ████████ des █████████████ vor ██████ ██████ ██████████████ und der ████ ███████ █████ ████████ in der █████ nicht.

███████████

Die █████ aller ███████████████████ einer █████ von ████████ wird ████ ███████ █████ ███████; ███ ist █████ ein ███████████████ von $V$ . ██████ sich alle ████████ in $V$ als █████████████████ aus einer █████ $M$ ██████████, dann ist $M$ ein █████████████████ von $V$ .

Der ██████████ eines ███████████ █████ sich █████ als █████████████████ einer █████████ █████ von ████████ ██████████; dazu █████ ███ ███████ alle █████████████ ██████ █ (███████████ des █████████████████ ███████). ███ ███████ ███████ auch von der █████████ ███████████ des ███████████ oder der █████████ █████████████████. Sind die █████████ ████████ ██████ ████████, so ████ es ██████████ eine ███████ █████████████████ des ███████████ aus ██████ ████████, das █████ eine █████████████████, bei der nicht alle █████████████ █ sind (eine ██████████ nicht-████████ █████████████████). █████████ sind die █████████████ einer █████████████████ von ████████ █████ dann █████████ ████████, ████ die ████████ ██████ ██████████ sind.

███████████████████, deren █████████████ nicht █████████ ██████ oder ████████ ██████, ███████ █████ ██████ sind (███ ███████ dann auch von einer ████████████ █████████████████), ███████ beim ███████████ ████████████ ███████████ eine ████████ █████; er ███████ eine ███████████ des ███████ ███████████ ███████ ██████ ██████ ██████ $a, b$ als █████████████████ von $a$ und $b$ :

\operatorname {ggT} (a,b)=s\cdot a+t\cdot b

████████████

Die ████ ████████████ ██████████ ███████████████████ █████████ eine ███████ auf dem ███████████████████, ███ ███████████ sich daher auf $\mathbb {R}$ - oder $\mathbb {Q}$ -███████████.

████████ █████████████

Sind die █████████████ $a_{i}$ der █████████████████ alle ██████ oder ██████ ████, so ███████ ███ von einer █████████ █████████████████. Sind die █████████████ der █████████████████ alle ████ ██████ als ████, so ███████ ███ von einer ██████████████████.

██████ ███████████

Ist die █████ der █████████████ ██████ █, so ███████ es sich um eine ████████████████. █████ ██████████ ist ███ █████████ ███████████ ███████.

█████████████████

In ███████ ██████ █████ ███ eine █████████████████ █████████████████, ████ alle █████████████ aus dem █████████████████ [█,█] ███████ und deren █████ █ ██████:

v=a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+\dotsb +a_{n}v_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i},\quad 0\leq a_{i}\leq 1,\quad \sum _{i=1}^{n}a_{i}=1

Dabei kann die █████████ $a_{i}\leq 1$ █████████, denn ███ ██████ sich ███████████ aus der ███████████████ und der ████████████████ der █████████████. Mit ██████ █████████████ ████ daher in ███████ ██████: Eine █████████████████ ist █████ dann eine █████████████████, ████ ███ ███████ und █████ ist.

███████████████████ von ███████████████████ sind ██████ ███████████████████. Die █████ aller ███████████████████ einer ████████████ █████ von ████████ █████ deren ███████ █████.

█████████

████ ███████: ███████ ███████. ██., █████████████ ███████. ████████, █████████ ████, ████ ███-█-███-█████-█.

███████████████

[█]
█████ ████: ████████████ ██ ██████ ███████. █. ███████. ████████, ███ ████ ████, ████ ███-█-████-████-█, S. ██.
[█]
████████ █████████████: ███████ ███████. Eine ██████████ in die ████████████ der ████████, ███████████ und ████████. █. ███████. ████████, █████████ ████, ████ ███-█-███-█████-█, S. ██.
[█]
████ ███████: ███████ ███████. █████████ ████, S. ███.