████████████ ██████████ ███████

In █████████, ██████████ ███████ are used for ██████████ █████████ of █████████ ███████ (██████████, ███████, █████, ████████, ███.) ████████ to a █████ █████████ █████, █████ on ████████ █████████ ██████ █████████ to a ████████ ████████ (█.█. the ████ ███████ and █████ to an ████████ on █████'s ███████). ██████████ ███████ in █████████ can ███████ an ██████'s ████████ ████████ in █████-███████████ █████ or ████ ██████ by ███ █████████ on a █████████ ██████, if the ██████'s ████████ is ███████ or ███████.

█████████ ███████████, █████████ on the █████████ ██████, are █████████ to the ██████████ ██████████ ██████ used on the ███████ of █████. █████ ██████ in █████ ██████ of ███████████ █████, which ███████ the █████████ ██████ into ███ █████ ███████████ along a █████ ██████. ███████████ ███████████, in ███████████ █████, have the ████ ███████████ (█, █) █████ and ███████ (█-████) █████████, ████ as an ████ of ████████. ████ ██████████ ██████ is █████ after ███ ██████ of ███████████ █████.

██████████ ███████

The following █████ █████ the ██████ ██████████ ███████ in use by the ████████████ █████████. The ███████████ █████ ███████ the █████████ ██████ into ███ █████ ███████████ and ███████ the ████████ for the ███████████ ███████████, ███████ to the ███████ in the ██████████ ██████████ ██████. The █████ are ███████ at ±██° from the ███████████ █████. The ███████ █████████ is the ████████ █████ of the ████████████ ███████████. The ██████ is the ████ ████████ █████, the "██████ of the █████████ ██████", ████████ the ██████████ of █████████ ██████ is █████████ about the ██████████ of ███ ██████ █████.

██████████ ██████

The ██████████, or ████████-███████, ██████ is █████ on the ████████ of the ████████ on █████, which ████████ around ███ ███ ████ ████ per ████████ ███ (██ █████, ██ ███████ and █.███ ███████) in ████████ to the ████ ██████████. The ███████████ of a █████████ ██████ by the ██████████ ██████ ██████ with ████, but is a ██████ ██████████ ██████ for ████████ and ████████ ███████ for █████████ on █████. It is █████ on the ████████ of █████ ████████ to an ████████'s █████ ███████.

██████████ ██████

The ██████████ ██████████ ██████ is ████████ at █████'s ██████, but █████ ████████ to the █████████ █████ and the █████ ███████. The ███████████ are █████ on the ████████ of █████ ████████ to █████'s ███████ if it were █████████ out to an ████████ ████████. The ██████████ █████████ the ███ as ████ from the █████ ██████, and ██████ ████ ████ ██████ ███████████ use ██████████ ███████████.

The ██████████ ██████ is the ██████ ██████████ ██████ for ████ ████████████ and ████ ███████ ███████████ ██████ an ██████████ █████ that ███████ the ████████ of the ███ during the █████. █████████ ███████ are █████ by █████████ the █████████'s or █████ ██████████'s ██████ ██ that they █████ the ██████████ ███████████ of the ████████ ██████ to ███████.

███████ ███████ of ████ and ███████ are the █████ █████ and the ██████ █████ ███████, but a ████ and ███████ "of ████" can ████ be used, ███████ ███ ███████████ to the ████ under █████████████, ████ as ████ a ███████████ of the ████████ of a ██████ or ██████████ is ████. There are ████ ████████████ into "████ of ████" ███████████, which ███████ out or ██████ ████████, and "████ of ████," which ███████ ████████.

████████ ██████

The ███████████ █████ is the █████ of the █████'s █████, ██████ the ████████ █████. There are ███ █████████ ████████ of the ████████ ██████████ ██████: ██████████ ████████ ███████████ ████████ on the █████ and ████████████ ████████ ███████████ ████████ on the ██████ of ████ of the █████ ██████.

The ██████████ ████████ ██████ was the █████████ ██████████ ██████ for ███████ █████████ and is █████ ██████ for █████████ the ████████ ███████ of the ███, ████, and ███████. It was used to ██████ the ██████ ████████████ █████ of the ██████, for ████████.

The ████████████ ████████ ██████ █████████ the ███████' ███████ ████████ around the ███, and ███████ on the ██████████ of the █████ ██████ (█.█. ████ █████ to the ██████ of the ███). The ██████ is █████████ used for █████████ the █████████ of ███████ and █████ █████ ██████ ██████, as ████ as ████████ █████ ███████ ████████.

████████ ██████

The ████████ ██████████ ██████ uses the ███████████ █████ of the █████ ███ ██████ as ███ ███████████ █████. The █████ ██████ is █████ the ██████ of the ██████████ ██████, and the ████ █████ is ███████ as the █████████ ███████ the ████████ ██████. ████████ ████████ █████████ the █████████ above the ████████ █████ and ████████ █████████ ██████████ █████████ ████████ to the ██████ of the ██████.

█████████████ ██████

The █████████████ ██████████ ██████ ███████████ to a ███████████ █████ that ████████ a ██████ than ███████ ██████ of █████ ████████ in the ███ as ████ from █████.

██████████ ███████████

███████████ between the ███████ ██████████ ███████ are █████. ███ the █████ before using █████ █████████.

████████

██████████ ███████████
- A, ███████
- a, ████████
██████████ ███████████
- █, █████ █████████
- █, ███████████
- █, ████ █████
████████ ███████████
- █, ████████ █████████
- █, ████████ ████████
████████ ███████████
- █, ████████ █████████
- █, ████████ ████████
█████████████
- █_█, ████████'s █████████
- █_█, ████████'s ████████
- █, █████████ of the ████████ (about ██.█°)
- █_█, █████ ████████ ████
- █_█, █████████ ████████ ████

████ █████ ↔ █████ █████████

{\begin{aligned}h&=\theta _{\text{L}}-\alpha &&{\mbox{or}}&h&=\theta _{\text{G}}+\lambda _{\text{o}}-\alpha \\\alpha &=\theta _{\text{L}}-h&&{\mbox{or}}&\alpha &=\theta _{\text{G}}+\lambda _{\text{o}}-h\end{aligned}}

██████████ ↔ ████████

The █████████ █████████, ███████ from █████████ ████████████, for the ████████████ ██████████ are █████████ to the █████ of a ███████; ████████ the █████ ████████ by the ██████ █████ the ██████████ ███████ ████████ ████ on the ████. The ████████ ██████ ██████████ is █████ beneath ████ ████. This ████████ is █████████ because ███ has a ██████ of ███° (█) ███████ ███ and ███ have ███████ of ███° (██).

{\begin{aligned}\tan \left(\lambda \right)&={\sin \left(\alpha \right)\cos \left(\varepsilon \right)+\tan \left(\delta \right)\sin \left(\varepsilon \right) \over \cos \left(\alpha \right)};\qquad {\begin{cases}\cos \left(\beta \right)\sin \left(\lambda \right)=\cos \left(\delta \right)\sin \left(\alpha \right)\cos \left(\varepsilon \right)+\sin \left(\delta \right)\sin \left(\varepsilon \right);\\\cos \left(\beta \right)\cos \left(\lambda \right)=\cos \left(\delta \right)\cos \left(\alpha \right).\end{cases}}\\\sin \left(\beta \right)&=\sin \left(\delta \right)\cos \left(\varepsilon \right)-\cos \left(\delta \right)\sin \left(\varepsilon \right)\sin \left(\alpha \right)\\[3pt]{\begin{bmatrix}\cos \left(\beta \right)\cos \left(\lambda \right)\\\cos \left(\beta \right)\sin \left(\lambda \right)\\\sin \left(\beta \right)\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \left(\varepsilon \right)&\sin \left(\varepsilon \right)\\0&-\sin \left(\varepsilon \right)&\cos \left(\varepsilon \right)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \left(\delta \right)\cos \left(\alpha \right)\\\cos \left(\delta \right)\sin \left(\alpha \right)\\\sin \left(\delta \right)\end{bmatrix}}\\[6pt]\tan \left(\alpha \right)&={\sin \left(\lambda \right)\cos \left(\varepsilon \right)-\tan \left(\beta \right)\sin \left(\varepsilon \right) \over \cos \left(\lambda \right)};\qquad {\begin{cases}\cos \left(\delta \right)\sin \left(\alpha \right)=\cos \left(\beta \right)\sin \left(\lambda \right)\cos \left(\varepsilon \right)-\sin \left(\beta \right)\sin \left(\varepsilon \right);\\\cos \left(\delta \right)\cos \left(\alpha \right)=\cos \left(\beta \right)\cos \left(\lambda \right).\end{cases}}\\[3pt]\sin \left(\delta \right)&=\sin \left(\beta \right)\cos \left(\varepsilon \right)+\cos \left(\beta \right)\sin \left(\varepsilon \right)\sin \left(\lambda \right).\\[6pt]{\begin{bmatrix}\cos \left(\delta \right)\cos \left(\alpha \right)\\\cos \left(\delta \right)\sin \left(\alpha \right)\\\sin \left(\delta \right)\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \left(\varepsilon \right)&-\sin \left(\varepsilon \right)\\0&\sin \left(\varepsilon \right)&\cos \left(\varepsilon \right)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \left(\beta \right)\cos \left(\lambda \right)\\\cos \left(\beta \right)\sin \left(\lambda \right)\\\sin \left(\beta \right)\end{bmatrix}}.\end{aligned}}

██████████ ↔ ██████████

███████ (A) is ████████ from the █████ █████, ███████ ████████ to the ████. ██████ ████████, the ███████ ████████ along the █████ ██████ from the ██████ to a █████████ ██████, is ██████ the █████████████ █████ of the ████████: ██° − a.

{\begin{aligned}\tan \left(A\right)&={\sin \left(h\right) \over \cos \left(h\right)\sin \left(\phi _{\text{o}}\right)-\tan \left(\delta \right)\cos \left(\phi _{\text{o}}\right)};\qquad {\begin{cases}\cos \left(a\right)\sin \left(A\right)=\cos \left(\delta \right)\sin \left(h\right);\\\cos \left(a\right)\cos \left(A\right)=\cos \left(\delta \right)\cos \left(h\right)\sin \left(\phi _{\text{o}}\right)-\sin \left(\delta \right)\cos \left(\phi _{\text{o}}\right)\end{cases}}\\[3pt]\sin \left(a\right)&=\sin \left(\phi _{\text{o}}\right)\sin \left(\delta \right)+\cos \left(\phi _{\text{o}}\right)\cos \left(\delta \right)\cos \left(h\right);\end{aligned}}

In ███████ the ███(A) ████████ for A, in █████ to █████ the █████████ of the ██████████, use of the ███-████████ ██████████, ███████ █████(█,█), is ███████████. The ███-████████ ██████████ ████████ the ██████████ of ⁠█/█⁠, and ████████ for the ████████ in which it is being ████████. ████, ██████████ with the ██████████ of ███████ being ████████ from the █████ and ███████ ████████ to the ████,

A=-\operatorname {atan2} (y,x)

█████

{\begin{aligned}x&=-\sin \left(\phi _{\text{o}}\right)\cos \left(\delta \right)\cos \left(h\right)+\cos \left(\phi _{\text{o}}\right)\sin \left(\delta \right)\\y&=\cos \left(\delta \right)\sin \left(h\right)\end{aligned}}

If the above ███████ ████████ a ████████ █████ for A, it can be ████████ ████████ by ██████ ██████ ███°.

{\begin{aligned}{\begin{bmatrix}\cos \left(a\right)\cos \left(A\right)\\\cos \left(a\right)\sin \left(A\right)\\\sin \left(a\right)\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\sin \left(\phi _{\text{o}}\right)&0&-\cos \left(\phi _{\text{o}}\right)\\0&1&0\\\cos \left(\phi _{\text{o}}\right)&0&\sin \left(\phi _{\text{o}}\right)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \left(\delta \right)\cos \left(h\right)\\\cos \left(\delta \right)\sin \left(h\right)\\\sin \left(\delta \right)\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\sin \left(\phi _{\text{o}}\right)&0&-\cos \left(\phi _{\text{o}}\right)\\0&1&0\\\cos \left(\phi _{\text{o}}\right)&0&\sin \left(\phi _{\text{o}}\right)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \left(\theta _{L}\right)&\sin \left(\theta _{L}\right)&0\\\sin \left(\theta _{L}\right)&-\cos \left(\theta _{L}\right)&0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \left(\delta \right)\cos \left(\alpha \right)\\\cos \left(\delta \right)\sin \left(\alpha \right)\\\sin \left(\delta \right)\end{bmatrix}};\\[6pt]\tan \left(h\right)&={\sin \left(A\right) \over \cos \left(A\right)\sin \left(\phi _{\text{o}}\right)+\tan \left(a\right)\cos \left(\phi _{\text{o}}\right)};\qquad {\begin{cases}\cos \left(\delta \right)\sin \left(h\right)=\cos \left(a\right)\sin \left(A\right);\\\cos \left(\delta \right)\cos \left(h\right)=\sin \left(a\right)\cos \left(\phi _{\text{o}}\right)+\cos \left(a\right)\cos \left(A\right)\sin \left(\phi _{\text{o}}\right)\end{cases}}\\[3pt]\sin \left(\delta \right)&=\sin \left(\phi _{\text{o}}\right)\sin \left(a\right)-\cos \left(\phi _{\text{o}}\right)\cos \left(a\right)\cos \left(A\right);\end{aligned}}

█████, in ███████ the ███(█) ████████ for █, use of the ███-████████ ██████████ that ████████ for the ████████ is ███████████. ████, █████ ██████████ with the ██████████ of ███████ being ████████ from the █████ and ███████ ████████ to the ████,

h=\operatorname {atan2} (y,x)

█████

{\begin{aligned}x&=\sin \left(\phi _{\text{o}}\right)\cos \left(a\right)\cos \left(A\right)+\cos \left(\phi _{\text{o}}\right)\sin \left(a\right)\\y&=\cos \left(a\right)\sin \left(A\right)\\[3pt]{\begin{bmatrix}\cos \left(\delta \right)\cos \left(h\right)\\\cos \left(\delta \right)\sin \left(h\right)\\\sin \left(\delta \right)\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\sin \left(\phi _{\text{o}}\right)&0&\cos \left(\phi _{\text{o}}\right)\\0&1&0\\-\cos \left(\phi _{\text{o}}\right)&0&\sin \left(\phi _{\text{o}}\right)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \left(a\right)\cos \left(A\right)\\\cos \left(a\right)\sin \left(A\right)\\\sin \left(a\right)\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}\cos \left(\delta \right)\cos \left(\alpha \right)\\\cos \left(\delta \right)\sin \left(\alpha \right)\\\sin \left(\delta \right)\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\cos \left(\theta _{L}\right)&\sin \left(\theta _{L}\right)&0\\\sin \left(\theta _{L}\right)&-\cos \left(\theta _{L}\right)&0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sin \left(\phi _{\text{o}}\right)&0&\cos \left(\phi _{\text{o}}\right)\\0&1&0\\-\cos \left(\phi _{\text{o}}\right)&0&\sin \left(\phi _{\text{o}}\right)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \left(a\right)\cos \left(A\right)\\\cos \left(a\right)\sin \left(A\right)\\\sin \left(a\right)\end{bmatrix}}.\end{aligned}}

██████████ ↔ ████████

█████ █████████ are for ██████████ ██████████ ███████████ to ████████ ███████████.

{\begin{aligned}\cos \left(l_{\text{NCP}}-l\right)\cos(b)&=\sin \left(\delta \right)\cos \left(\delta _{\text{G}}\right)-\cos \left(\delta \right)\sin \left(\delta _{\text{G}}\right)\cos \left(\alpha -\alpha _{\text{G}}\right)\\\sin \left(l_{\text{NCP}}-l\right)\cos(b)&=\cos(\delta )\sin \left(\alpha -\alpha _{\text{G}}\right)\\\sin \left(b\right)&=\sin \left(\delta \right)\sin \left(\delta _{\text{G}}\right)+\cos \left(\delta \right)\cos \left(\delta _{\text{G}}\right)\cos \left(\alpha -\alpha _{\text{G}}\right)\end{aligned}}

$\alpha _{\text{G}},\delta _{\text{G}}$ are the ██████████ ███████████ of the █████ ████████ ████ and $l_{\text{NCP}}$ is the ████████ █████████ of the █████ █████████ ████. ████████ to █████.█ the ██████ of █████ ██████████ are:

\alpha _{G}=192.85948^{\circ }\qquad \delta _{G}=27.12825^{\circ }\qquad l_{\text{NCP}}=122.93192^{\circ }

If the ██████████ ███████████ are ████████ to ███████ ███████, they ████ be █████████ to █████ █████ at █████.█ before ████████ █████ ████████.

█████ █████████ ███████ to ██████████ ███████████ ████████ to █████.█.

{\begin{aligned}\sin \left(\alpha -\alpha _{\text{G}}\right)\cos \left(\delta \right)&=\cos \left(b\right)\sin \left(l_{\text{NCP}}-l\right)\\\cos \left(\alpha -\alpha _{\text{G}}\right)\cos \left(\delta \right)&=\sin \left(b\right)\cos \left(\delta _{\text{G}}\right)-\cos \left(b\right)\sin \left(\delta _{\text{G}}\right)\cos \left(l_{\text{NCP}}-l\right)\\\sin \left(\delta \right)&=\sin \left(b\right)\sin \left(\delta _{\text{G}}\right)+\cos \left(b\right)\cos \left(\delta _{\text{G}}\right)\cos \left(l_{\text{NCP}}-l\right)\end{aligned}}

█████ on ██████████

██████ in the ███████ ( ° ), ███████ ( ′ ), and ███████ ( ″ ) of ███████████ ███████ ████ be █████████ to ███████ before ████████████ are █████████. ███████ they are █████████ to ███████ ███████ or ███████ ███████ upon the ██████████ ███████████ ███████ or ███████. ████████ ██████ ████ be █████████ ███████; −██° ██′ ██″ ████ be █████████ as −██° −██′ −██″.
██████ in the █████ ( ^█ ), ███████ ( ^█ ), and ███████ ( ^█ ) of ████ ███████ ████ be █████████ to ███████ ███████ or ███████ before ████████████ are █████████. █^█ = ██°; █^█ = ██′; █^█ = ██″
██████ ███████ than ███° (██) or ████ than █° ███ ████ to be ███████ to the █████ █°–███° (█–██) █████████ upon the ██████████ ███████████ ███████ or ███████.
The ██████ of a ████████ (███████████, ████████ and ████████ ████████, and ████████) are █████ ████████ by ██████████, since the ████████ ██████ between −██° and +██°.
███████ █████████████ █████████ ███████, █████████ and ██████████ are ████████-█████████, and ███████ ██████ be █████████ █████████. Use of the ██████ ██████████ ████████ (███████ in █████████ as ████(█,█) or █████(█,█), which ██████████ the ██████████ of ⁠█/█⁠ using the ████ of ████ █████████ to █████████ the █████ ████████) is ███████████ ████ ███████████ █████████/█████ █████████/███████. An ████████ which █████ the ████, ████████ by the ██████ ████████, is ███████████ ████ ███████████ ████████/███████████/████████.
███████ (A) is ████████ ████ to the █████ █████ of the ███████, the ██████ ████████████ █████████. An ██████ on the ████████ to the █████ of the ████████ has A = █ = █° with this █████. ███████, █ ███████'s █████, in the █████ █████████ █████████ ████ ████ ██████████, in ██████, in the ███ ███████ █████████ of ███████████ █████████ and ███████ █ of the ████████████ ███████ for ███████, the ███████ is ████ of █████. In ██████████ and some █████ ███████████, ███████ is ███████ from the █████.
The █████████ for ████████ (a) do not ███████ for ███████████ ██████████.
The █████████ for ██████████ ███████████ do not ███████ for ███████ ████████, that is, the █████ ██████ in the ████████ of a █████████ ██████ ██████ by the ████████ of the ████████ on the █████'s ███████. This ██████ is ███████████ for the ████, ████ ██ for the ███████, ██████ for █████ or ████ ███████ ███████.
████████'s █████████ (█_█) ████ is ████████ ██████████ ████████ from the █████ ████████, ███████████ to ███████ ███ █████████.

███ ████

████████ █████████
███████ – ██████████ █████ from █████ or █████ █████████ ████████ █████████
███████████ and ██████████ █████████ █████████ ███████ – █████████ ██████████ ██████
█████████ ██████ – ██████████ ████ in █████████
█████████████ █████████ █████████ ██████ and ███ ████████████ – ███████ ████████ █████████ █████████ ██████ and █████
███████ ████████ – ██████████ that ██████ a ████████ █████
█████████ ██████████ ██████ – ██████████ ██████ for ███████
███████████ █████████ █████ – █████████ █████ for █████████ █████████████ ██████████ █████ ████████████ of ████████ ███████

█████, the ██████ ██████ █████ ███████████'s ██████ ██████████ ████████, an ██████████ ███████ of ███████████ and █████████ for █████████ ███████ ████████ ██████ ██████████ in ██████████ █████████.
██████████ a ██████████ ████ of █████ █ █.█ with ███ █████, ████████████, ███ ████████, and ██████ █████████████.
████, the ███'s █████████ of ███████████ █████████, an ██████████ and █████████████ ███ of ██████████ and ██████████ that █████████ ████████ ██████ used in ███████████ █████████.
This ███████ was ██████████ █████ on █████ ██████' █████████, which is ███████████ by ██████, a ███ ███████ ███████████ for █████/███.