████████████ ██████

En ███████████ y ████████████ se █████ ████████████ ██████, ████████████ de █████, ████████████ █████████, ████████████ de ███████-█████ o ██████████ ███████████ a una de las ██████████████ de ████████████ de ████████ ████████ que con ███ ██████████ ███████ en ███████████ y en la ██████ de ██████████████.

█████ ███████: ███████ █████████

La ███████ de su ███████ de ████████ █████ una █████ ██████████ y ██ █████████ ████████ de un ███████████ █████████ ███████████. ████ █████ se ██████ como ███████ de █████ y ██ el ███████ de una ███████ █████████.

La ███████████ de ████ ████████████ ██████ en que ███████ ███████ █████████ █████████ █████████, ████████ y ████████████. ████████ que los ██████████ que ████████ a ████ █████ de ████ ████ de █████████ ███ ████████████, por la ██████ ████████ de █████████ ██████████████ que en █████ ███████████, el ███ del ██████ ██████ █████ ████████████ █████████ que ████ ███████████ se ███████ como la ████ de ████ █████ ██████ ██████████████.

De █████, la ███████████ ███████████ ████ ███████ █████████ un ████████, sin ███████████ ██████. Para la ███████████ ██████ ██ ███████ el ██████ ████████████, de ███ que al ███ de la ███████████ en ██████████ y ██████████ ███ ████████ como ██████ █████████████.

La ████████████ ██████ ███████ ██ ██████████ por su ████████ con la ██████████ por ███████ █████████, uno de los ███████ de ██████████ ███ ███████ y ████████.

███████ ████████ de █████████ █████████ a █████████ █████████ que ██████ el ██████ de la ██████ ███:

██████████ ████████████ de ██████████ como la ████████;
██████████ ████████████ como el ██████ de un ███████;
██████████ ████████████ como el ███████ de ██████ ████████ por un █████ █████ de ██████████;
██████████ ████████████ como el ████████ ███████████;
█████ de █████ en ██████████████████;
███████ █████████ al █████ ███████ ██████████;
███.

La ████████████ ██████ ███████ ███████ en ██████ █████ de la ██████ ███████████. Por ███████, la ████████████ ████████ de las ██████ ██████████ ██ ███████████████ ██████, ██████ la ████████████ de la █████████ de la cual se ██████ la ███████ no ██ ██████. ██████, la ████████████ ██████ ████████ la ████████ █████ █████ las ██████████████ con █████ y ████████ █████████, lo cual la █████████ en la ████████ ███████ de la ████████████ ██████████ a una █████ de █████ █████████ en ████████ de █████ ████████ y ████████. La ████████████ ██████ ██ la ███ █████████ en ███████████ y ██████ █████ ████████████ █████ ███████ en una "██████████" ███ o █████ ███████████ de la ████████ █████████ ████ ███████.

En ████████████, la ████████████ ██████ ███████ como el ██████ de ██████ ██████████████ de ████████████ █████████ y █████████.

████████

La ████████████ ██████ ███ ██████████ por ███████ ███ por ███████ de ██████ en un ████████ del ███ ████, que ███ █████████ en la ███████ ███████ de su ███ ████████ ██ ███████, de ████, en el ████████ de ██████ ████████████ de la ████████████ ████████ para ███████ ███████ de █. Su █████████ ███ ████████ por ███████ en su █████ ██████ █████████ de las ██████████████ (████), y en la ██████████ se █████ ███████ de De ██████-███████.

███████ ███ la ████████████ ██████ en el ████████ de ███████ de ████████████. El ██████████ ██████ de ███████ █████████ ███ ███████████ por ████████ en ████. █████, que ████████ █████ █████ el ██████ desde ████, lo █████████ █████████████ en ████ █████████ una ████████████ ██████ de los ███████. El ██████ de █████ se ██ ████████ a ████ ████████████ porque la ███ con █████████ ██████ █████████ █████ ████████████ y ███████ ███████ le █████████ un ██████████████ █████████████ del de De ██████. ████ ██████████ del ██████ de la ████████████ a una ███████ ████████ de su ██████ ███████████ ██ un █████ ███████ de la ███ de ███████.

El ██████ de "███████" █████ de ██████ ████████ que ███ el ███████ "████ ███████" (██████████ ███████) por ███████ ███ en ████ para una ████████████ ██████ ██████████ de ███████████ ██████████████. El ██████ de "████████████ ██████" ███ ████████ ██████████████████ por ███████ █. ██████, ███████ ██████ y ███████ █████ █████ ████. A █████ de ████ ████████████, █████ ██████████████ de ████████████ ███████ ███ ███ ██████████ en ████████████ █████████; █████ la █████████ sobre ██████████, ███ █████.

██████████ ██████

La ███████ de ████████████ de la ████████████ ██████ ████ ████████ como █████:

{\begin{aligned}\Phi _{\mu ,\sigma ^{2}}(x)&{}=\int _{-\infty }^{x}\varphi _{\mu ,\sigma ^{2}}(u)\,du\\&{}={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{x}e^{-{\frac {(u-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,du,\quad x\in \mathbb {R} .\\\end{aligned}}

███████████████ ███ ,█████ ^█(█)&=███ █-█████ ^███████ ███ ,█████ ^█(█),██&=████ ██████ ████ ███ ███ █-█████ ^██^-████ (█-██ )^███████ ^█,██,████ ███ ██████ █ .██████████

donde:

$\mu$ ██ ██ la █████ (███████ █████ ███ la ███████, la ████ o el █████ ████████, █████ ███████)
$\sigma$ █████ ██ la ██████████ ██████ [████████ ██ un ██████████]
$\sigma ^{2}$ █████ ^█ ██ la ████████
$\varphi$ ██████ ██████████ la ███████ de ████████ de ████████████

███████ ███████ ███████ la ██████ a ██████ de la ███████ de ████████:

{\begin{aligned}\varphi _{\mu ,\sigma ^{2}}(x)&{}={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}},\quad x\in \mathbb {R} .\\\end{aligned}}

██████████████████ ███ ,█████ ^█(█)&=████ ██████ ████ ███ █^-████ (█-██ )^███████ ^█,████ ███ ██████ █ .██████████

La ███████ de ████████████ ██████ ████████ ██ un ████ ████████ de la ███████ donde $\mu =0$ ██ =█ y $\sigma =1$ █████ =█ :

\Phi (x)=\Phi _{0,1}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-{\frac {u^{2}}{2}}}\,du,\quad x\in \mathbb {R} .

███ (█)=███ ██,█(█)=████ █████ ███ ███ █-█████ ^██^-████ █^██,██,████ ███ ██████ █ .

████ ███████ de ████████████ █████ ██████████ en ████████ de una ███████ ████████ ███████ ███████ █████ de la █████████ █████:

\Phi (x)={\frac {1}{2}}{\Bigl [}1+\operatorname {erf} {\Bigl (}{\frac {x}{\sqrt {2}}}{\Bigr )}{\Bigr ]},\quad x\in \mathbb {R} ,

███ (█)=████ ██████ [█+████████████ ███ ████ (████ █████ █████ )████ ],████ ███ ██████ █ ,

y la ██████ ███████ de ████████████ █████, por ████████████, ██████████ ███:

\Phi _{\mu ,\sigma ^{2}}(x)={\frac {1}{2}}{\Bigl [}1+\operatorname {erf} {\Bigl (}{\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}{\Bigr )}{\Bigr ]},\quad x\in \mathbb {R} .

███ ███ ,█████ ^█(█)=████ ██████ [█+████████████ ███ ████ (████ █-██ █████ ████ █████ )████ ],████ ███ ██████ █ .

El ███████████ de la ███████ de ████████████ de la ██████ ████████, $1-\Phi (x)$ █-███ (█) , se ██████ con ██████████ $Q(x)$ █(█) , y ██ ████████, a █████, como ███████████ ███████ █, █████████████ en ██████ de ██████████. ████ ██████████ la ████ de ████████████ de la ████████████ █████████. ███████ se ████ ██████████████ █████ ████████████ de la ███████ █, las ██████ ███ █████ █████ ████████████████ ███████ de $\Phi$ ███ .

La ███████ de la ███████ de ████████████ de la ██████ ████████ (███████ ███████) █████ ██████████ en ████████ de la ███████ de la ███████ de █████:

\Phi ^{-1}(p)={\sqrt {2}}\;\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1),\quad p\in (0,1),

███ ^-█(█)=████ █;████████████ ███ ^-█(██-█),████ ███ (█,█),

y la ███████ de la ███████ de ████████████ █████, por ████████████, ██████████ como:

\Phi _{\mu ,\sigma ^{2}}^{-1}(p)=\mu +\sigma \Phi ^{-1}(p)=\mu +\sigma {\sqrt {2}}\;\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1),\quad p\in (0,1).

███ ███ ,█████ ^█^-█(█)=██ +█████ ███ ^-█(█)=██ +█████ ████ █;████████████ ███ ^-█(██-█),████ ███ (█,█).

████ ███████ ███████ se █████ a █████ la ███████ ██████. No ███ una █████████ █████████ para la ███████ ██████. ████ no ██████ █████ █████████ que no se ██████, ████ que se ██ ███████ la ████████████ de ███ ███████. ███████ ██████ ███████ ███████ para █████████ la ███████ ███████ ████████ la ████████████ ██████ (█████ ███████ ███████).

Los ███████ █(█) ██████ ███████████ con █████ █████████ por █████████ ███████, █████ como ███████████ ████████, ██████ de ██████, ██████ ███████████ y ██████████ █████████.

██████ ████████ y ████████ █████████ para la ███████ de ████████████

Para ███████ ███████ de █ la ███████ de ████████████ de la ██████ ████████ $\scriptstyle \Phi (x)$ ███████████ ███ (█) ██ ███ ███████ a █ y $\scriptstyle \Phi (-x)\,{=}\,1\,{-}\,\Phi (x)$ ███████████ ███ (-█),=,█,-,███ (█) ████ ███ █████ de █. Los ███████ ███████████

{\frac {x}{1+x^{2}}}\varphi (x)<1-\Phi (x)<{\frac {\varphi (x)}{x}},\qquad x>0,

████ ██+█^███████ (█)<█-███ (█)<████ ██████ (█)█,█████ █>█,

en ████████ de la ████████ $\scriptstyle \varphi$ ███████████ ██████ ███ ██████.

██████ el ██████ de ████████ █ = █²/█, el ██████ ████████ se ███████ como █████:

{\begin{aligned}1-\Phi (x)&=\int _{x}^{\infty }\varphi (u)\,du\\&<\int _{x}^{\infty }{\frac {u}{x}}\varphi (u)\,du=\int _{x^{2}/2}^{\infty }{\frac {e^{-v}}{x{\sqrt {2\pi }}}}\,dv=-{\biggl .}{\frac {e^{-v}}{x{\sqrt {2\pi }}}}{\biggr |}_{x^{2}/2}^{\infty }={\frac {\varphi (x)}{x}}.\end{aligned}}

█████████████-███ (█)&=███ ██^█████ ██████ (█),██&<███ ██^█████ ████ ████████ (█),██=███ ██^█/█^█████ ████ █^-██████ ███ ,██=-█████ .████ █^-██████ ███ █████ |██^█/█^█████ =████ ██████ (█)█.██████████

De █████ ███████, ██████ $\scriptstyle \varphi '(u)\,{=}\,-u\,\varphi (u)$ ███████████ ██████ '(█),=,-█,██████ (█) y la █████ del ████████,

{\begin{aligned}{\Bigl (}1+{\frac {1}{x^{2}}}{\Bigr )}(1-\Phi (x))&={\Bigl (}1+{\frac {1}{x^{2}}}{\Bigr )}\int _{x}^{\infty }\varphi (u)\,du\\&=\int _{x}^{\infty }{\Bigl (}1+{\frac {1}{x^{2}}}{\Bigr )}\varphi (u)\,du\\&>\int _{x}^{\infty }{\Bigl (}1+{\frac {1}{u^{2}}}{\Bigr )}\varphi (u)\,du=-{\biggl .}{\frac {\varphi (u)}{u}}{\biggr |}_{x}^{\infty }={\frac {\varphi (x)}{x}}.\end{aligned}}

████████████████ (█+████ ██^█████ )(█-███ (█))&=████ (█+████ ██^█████ )███ ██^█████ ██████ (█),██&=███ ██^█████ ████ (█+████ ██^█████ )██████ (█),██&>███ ██^█████ ████ (█+████ ██^█████ )██████ (█),██=-█████ .████ ██████ (█)██████ |██^█████ =████ ██████ (█)█.██████████

███████████ para $\scriptstyle 1\,{-}\,\Phi (x)\,$ ███████████ █,-,███ (█), ███████████ el ██████ ████████.

█████████ ████████████

███████ ██████████ de ████████

La ███████ ██████████ de ████████ se ██████ como la █████████ de █. Para una ████████████ ██████, la ███████ ██████████ de ████████ ██:

M_{X}(t)=\mathrm {E} \left[e^{tX}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}e^{tx}\,dx=e^{\mu t+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}}

███(█)=██████ █ ████[█^███████]=███ █-█████ ^█████ ████ ██████ ████ ███ █^-████ (█-██ )^███████ ^██^██,██=█^██ █+████ █████ ^██^██

como █████ ███████████ al █████████ el ████████ en el █████████.

███████ ██████████████

La ███████ ██████████████ se ██████ como la █████████ de █, donde █ ██ la ██████ ██████████. De ████ ████, la ███████ ██████████████ se ███████ ████████████ █ por ██ en la ███████ ██████████ de ████████. Para una ████████████ ██████, la ███████ ██████████████ ██

{\begin{aligned}\chi _{X}(t;\mu ,\sigma )&{}=M_{X}(it)=\mathrm {E} \left[e^{itX}\right]\\&{}=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}e^{itx}\,dx\\&{}=e^{i\mu t-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}}.\end{aligned}}

███████████████ ██(█;██ ,█████ )&=███(██)=██████ █ ████[█^████████]&=███ █-█████ ^█████ ████ ██████ ████ ███ █^-████ (█-██ )^███████ ^██^███,██&=█^███ █-████ █████ ^██^██.██████████

███████████

███████ ███████████ de la ████████████ ██████ ███ las ██████████:

██ █████████ ████████ de su █████, $\mu$ ██ .
La ████ y la ███████ ███ █████ ███████ a la █████, $\mu$ ██ .
Los ██████ de █████████ de la █████ se ███ para $x=\mu -\sigma$ █=██ -█████ y $x=\mu +\sigma$ █=██ +█████ .
████████████ de ████████████ en un ███████ de la █████:
1. en el █████████ $[$ ██ -█████ ,██ +█████ ] se █████████ ███████████, ███████████████, el ██,██ % de la ████████████;
2. en el █████████ $[$ ██ -██████ ,██ +██████ ] se █████████, ███████████████, el ██,██ % de la ████████████;
3. por su █████, en el █████████ $[$ ██ -██████ ,██ +██████ ] se █████████ ███████████, ███████████████, el ██,██ % de la ████████████. █████ ███████████ ███ de ████ ████████ para el ███████████████ de ██████████ de █████████. Por ████ █████, el █████ de que █████████████ la █████████ de la ████████████ se █████████ a ████ ████████████ ███████ de la █████ █████████ los ███████ de las ██████ █████████ █████████████ en la ██████ ████████.
██ $X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$ ████ █(██ ,█████ ^█) y $a,$ ███ ██████ █ , ████████ $aX+b\sim N(a\mu +b,a^{2}\sigma ^{2})$ ██+████ █(███ +█,a^██████ ^█) .
██ █ ∼ █ ( █ █ , █ █ █ ) ████ █(██ ██,█████ ██^█) █ Y ∼ █ ( █ Y , █ Y █ ) ████ █(██ ██,█████ ██^█) ███ █████████ ██████████ ████████ ██████████████, ████████:
- Su ████ ████ ███████████ ███████████ con $U=X+Y\sim N(\mu _{X}+\mu _{Y},\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2})$ █=█+████ █(██ ██+██ ██,█████ ██^█+█████ ██^█) . ██████████████, ██ ███ █████████ ██████████ ██████████████ ██████ una ████ ███████████ ███████████, █████ ███ ████████ (███████ de ██████).
- Su ██████████ ████ ███████████ ███████████ con $V=X-Y\sim N(\mu _{X}-\mu _{Y},\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2})$ █=█-████ █(██ ██-██ ██,█████ ██^█+█████ ██^█) .
- ██ las █████████ de █ █ Y ███ ███████, ████████ █ y █ ███ ██████████████ █████ ██.
- La ███████████ de ████████-███████, $D{\rm {KL}}(X\|Y)={1 \over 2}\left(\log \left({\sigma _{Y}^{2} \over \sigma _{X}^{2}}\right)+{\frac {\sigma _{X}^{2}}{\sigma _{Y}^{2}}}+{\frac {\left(\mu _{Y}-\mu _{X}\right)^{2}}{\sigma _{Y}^{2}}}-1\right).$ ███ ██(█|Y)=█ ████ █████(███ ████(█████ ██^█ ████ █████ ██^██████)+████ █████ ██^██████ ██^█+████ ████(██ ██-██ ███████)^██████ ██^█-██████).
██ █ ∼ █ ( █ , █ █ █ ) ████ █(█,█████ ██^█) █ Y ∼ █ ( █ , █ Y █ ) ████ █(█,█████ ██^█) ███ █████████ ██████████ ██████████████ ███████████ ████████████, ████████:
- Su ████████ $█ Y$ ██ █████ una ████████████ con ████████ $p\,$ █, ████ por
  $p(z)={\frac {1}{\pi \,\sigma _{X}\,\sigma _{Y}}}\;K_{0}\left({\frac {|z|}{\sigma _{X}\,\sigma _{Y}}}\right),$ █(█)=████ ███ ,█████ ██,█████ ██;███████(████ |█|█████ ██,█████ ███████), donde $K_{0}\,$ ███, ██ una ███████ de ██████ ██████████ de ███████ ████.
- Su ████████ █████ una ████████████ de ██████ con $X/Y\sim \mathrm {Cauchy} (0,\sigma _{X}/\sigma _{Y})\,$ █/████ ██████ ██████ (█,█████ ██/█████ ██), . De ████ ████ la ████████████ de ██████ ██ un ████ ████████ de ████████████ ████████.
██ $X_{1},\dots ,X_{n}$ ███,████ ,███ ███ █████████ ████████ ████████ ██████████████, ████████ $X_{1}^{2}+\cdots +X_{n}^{2}$ ███^█+█████ +███^█ █████ una ████████████ █² con █ ██████ de ████████.
██ $X_{1},\dots ,X_{n}$ ███,████ ,███ ███ █████████ ████████ ████████ ██████████████, ████████ la █████ ████████ ${\bar {X}}=(X_{1}+\cdots +X_{n})/n$ ███ █=(███+█████ +███)/█ y la ████████ ████████ $S^{2}=((X_{1}-{\bar {X}})^{2}+\cdots +(X_{n}-{\bar {X}})^{2})/(n-1)$ █^█=((███-███ █)^█+█████ +(███-███ █)^█)/(█-█) ███ ██████████████. ████ █████████ ███████████ a las ██████████████ ████████ y ██████████ a ████████ por qué el ████-█ no ██ ███████ ████████ a la no-██████████).

███████████████ de █████████ ██████████ ████████

Como ████████████ de la █████████ █; ██ ███████ ██████████ █████ las █████████ ██████████ ████████ con la ████████████ ██████ ████████.

██ $X\,\sim N(\mu ,\sigma )\,$ █,███ █(██ ,█████ ), , ████████

Z={\frac {X-\mu }{\sigma }}\!

█=████ █-██ █████ !

██ una ████████ █████████ ██████ ████████: $Z\,$ █, ~ $N(0,1)\,$ █(█,█), .

La ██████████████ de una ████████████ █ ~ █(█, █) en una █(█, █) se █████ █████████████, ███████████████ o ████████████ de la ████████ █.

Una ████████████ ██████████ de ████ ██ que la ███████ de ████████████ de una ████████████ ██████ ██, por ████████████,

\Pr(X\leq x)=\Phi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)={\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right).

██(████ █)=███ ████(████ █-██ █████ █████)=████ ██████(█+████████████ ███ ████(████ █-██ █████ ████ ██████)█████).

A la ███████, ██ $█$ █ ██ una ████████████ ██████ ████████, $█$ █ ~ $N(0,1)$ █(█,█) , ████████

X=\sigma Z+\mu \,

█=█████ █+██ ,

██ una ████████ █████████ ██████ ██████████ de █████ $\mu \,$ ██ , y ████████ $\sigma ^{2}\,$ █████ ^█, .

La ████████████ ██████ ████████ ████ ████████ (█████████████ en la █████ del █████ de la ███████ de ████████████ █) y las █████ ██████████████ ████████ ██████ █████████ como ████████████████ ███████, como se ████████ ███ ██████, de la ████████████ ████████. De ████ ████ se ██████ ████ los ███████ █████████ de la ███████ de ████████████ ██████ ████████ para █████████ ███████ de la ███████ de ████████████ de █████████ ████ ████████████ ██████.

████████

Los ████████ ████████ de la ████████████ ██████ ███:

█████ los ██████████ de la ████████████ ██████, ███ ████ del ███████, ███ ████.

Los ████████ █████████ de █████ ████████ (██ con █ = █) ██████ █████ por la ███████

E\left[X^{2k}\right]={\frac {(2k)!}{2^{k}k!}}\sigma ^{2k}.

█████[█^███████]=████ (██)!█^██!█████ ^██.

El ███████ del ██████ ███████

El ███████ del ██████ ███████ █████████ que ████ ███████ ███████████ (como ██████ ███ ██████████████ █ █████████████ ████████████ con ████████ ██████), la ████ de un ████ ██████ de █████████ ██████████ se ██████████ ███████████████ como una ██████.

La ███████████ ████████ del ███████ del ██████ ███████ ██ que la ███████ de ████████████ de la ██████ █████ ██████ como ████████████ de ███████ █████ █████████ de ████████████. Por ███████:

Una ████████████ ████████ de ██████████ █ y █ ██ ███████████████ ██████ para ███████ ███████ de █, y █ no █████████ ███████ a █ o a █ (███████ ██████ ███████████ ████ ████ ████████████ ████ ██ ██ y █(█ − █) ███ █████, al █████, █; en ████ ████ se ███████ ███████ una ██████████ de ███████████).La ██████ ██████████ █████ ██████████ █ = ██, █ = ██(█ − █).

Una ████████████ de ███████ con █████████ █ ██ ███████████████ ██████ para ███████ ███████ de █.La ████████████ ██████ ██████████ █████ ██████████ █ = █ = █.

La █████████ de █████ ██████████████ ███████ del █████████ para el que se █████████ y de la ████ de ████████████ a la ████████████ ██████. Se ██ el ████ ██████ de que █████ ██████████████ ███ █████ ████████ en las █████ de la ████████████. El ███████ de █████-██████ ███████████ un ██████ ████████ ███████ del █████ de ████████████ de la ███████ de ████████████.

█████████████ ████████

Las ████████ ██████ una ████████████ de ████████████ █████████████ █████████: Para una ████████████ ██████ █ de █████ █ y ████████ █ ≥ █, ██ ███████ █████████ █ █████████ ██████████ ██████████████ {█_█,...,█_█} ████ una con ████████████ ██████ de █████ █/█ y ████████ █/█ ████ que la ████ █_█ + . . . + █_█ de █████ █ █████████ ██████████

X_{1}+X_{2}+\dots +X_{n}\sim N(\mu ,\sigma ^{2})\,

███+███+████ +██████ █(██ ,█████ ^█),

█████ ████ ██████████ ████████████ ██████ (para ███████████, █████ la ███████ ██████████████ de ███████████ y la █████████ ██████████).

███████████

Las ██████████████ ████████ ███ █████████████ ████████.

██████████ ██████ █ ██████████ de █████████

█████████ del ██ % de los ███████ de una ████████████ ██████ █████ a una █████████ █ < █ (██████████ ██████) de la █████, █; █████████ del ██ % de los ███████ █████ a ███ ████████████ ███████ de la █████ y █████████ del ██,█ % █████ a ████ ████████████ ███████ de la █████. ████ se ██████ como la "█████ ██-██-██,█" o la "█████ ████████".

Para ███ ███ ████████, el ████ ████ la █████ ███████ █████ █ − ██ y █ + ██ en ████████ de la ███████ de ████████████ ██████ █████ ████ por

{\begin{aligned}&\Phi _{\mu ,\sigma ^{2}}(\mu +n\sigma )-\Phi _{\mu ,\sigma ^{2}}(\mu -n\sigma )\\&=\Phi (n)-\Phi (-n)=2\Phi (n)-1=\mathrm {erf} {\bigl (}n/{\sqrt {2}}\,{\bigr )},\end{aligned}}

████████████&███ ███ ,█████ ^█(██ +██████ )-███ ███ ,█████ ^█(██ -██████ )&=███ (█)-███ (-█)=████ (█)-█=██████ ███ ████ (█/████ █,████ ),██████████

donde ███ ██ la ███████ █████. Los ███████ (con ██ █████████) para █=█, █, ..., █ ███:

La █████████ █████ ███████████ la ████████ ███████ de █████████ █ ████████████████ a ████ █████ ███████ ██████ con ██████████ para el ████ ████ la ███████ de █████. █████ ███████ ███ ██████ para ██████████ ██████████ de █████████ para los ███████ █████████████ ███████ en una █████ ███████████ ███████████ (o ███████████ ███████████████ ████████):

donde el █████ a la █████████ de la █████ ██ la ██████████ de ███████ que ██████ en el █████████ ████ y █ ██ un ████████ de la ██████████ ██████ que █████████ la ███████ del █████████.

█████ ███████ ███████████

La ████████████ ██████ █████ █████ de ███████ ███████████ █████████████ con ███ ██████████ █████████, █ y █/█, y ████████████ █████████ █ y █. La █████ ████████ █████ como ██████████ ${\mu \over \sigma ^{2}}$ ██ ████ █████ ^█ y ${1 \over \sigma ^{2}}$ █ ████ █████ ^█ y ████████████ ███████████ $\sum x$ ███ █ y $-$ █ ████ ████ █^█.

████████████ ██████ ████████

███████████ la ████████ █████████ ████████ █████████

Z=X+iY\,

█=█+██,

donde █ █ Y ███ █████████ ██████████ ██████ █ ██████████████ con █████ ████████ $\sigma _{r}^{2}$ █████ ██^█ . La ███████ de ████████████ de la ████████ ████████ ██ ████████

{\frac {1}{2\,\pi \,\sigma _{r}^{2}}}e^{-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma _{r}^{2})}.

████ ██,██ ,█████ ██^██^-(█^█+y^█)/(██████ ██^█).

Como $\sigma _{Z}={\sqrt {2}}\sigma _{r}$ █████ ██=████ ██████ ██ , la ███████ de ████████████ ██████████ para la ████████ █████████ ████████ █ ██

{\frac {1}{\pi \,\sigma _{Z}^{2}}}e^{-|Z|^{2}\!/\sigma _{Z}^{2}}.

████ ███ ,█████ ██^██^-|█|^█!/█████ ██^█.

██████████████ ████████████

$R\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )\,$ ████ ██████ ████████ (█████ ), ██ una ████████████ de ████████ ██ $R={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}$ █=████ █^█+Y^█ donde $X\sim N(0,\sigma ^{2})\,$ ████ █(█,█████ ^█), y $Y\sim N(0,\sigma ^{2})\,$ ████ █(█,█████ ^█), ███ ███ ██████████████ ████████ ██████████████.

$Y\sim \chi _{\nu }^{2}$ ████ ███ ███ ^█ ██ una ████████████ █² con $\nu \,$ ██ , ██████ de ████████ ██ $Y=$ ███ ██=█^██ ███^█ donde $X_{k}\sim N(0,1)\,$ ██████ █(█,█), para $k=1,\dots ,\nu$ █=█,████ ,██ y ███ ██████████████.

$Y\sim \mathrm {Cauchy} (\mu =0,\theta =1)\,$ ████ ██████ ██████ (██ =█,█████ =█), ██ una ████████████ de ██████ ██ $Y=$ ███/███, para $X_{1}\sim N(0,1)\,$ ██████ █(█,█), y $X_{2}\sim N(0,1)\,$ ██████ █(█,█), ███ ███ ██████████████ ████████ ██████████████.

$Y\sim {\mbox{Log-N}}(\mu ,\sigma ^{2})\,$ ████ ███████-█(██ ,█████ ^█), ██ una ████████████ ███-██████ ██ $Y=$ █^█, y $X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})\,$ ████ █(██ ,█████ ^█), .

████████ con una ████████████ ███████: ██ $X\sim {\textrm {stable}}(2,\beta ,\sigma /{\sqrt {2}},\mu )$ ████ ██████ ██████(█,████ ,█████ /████ █,██ ) ████████ $X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})\,$ ████ █(██ ,█████ ^█), .

████████████ ██████ ████████. ██ $X\sim N(\mu ,\sigma ^{2}),\!$ ████ █(██ ,█████ ^█),! ████████ █████████ █ por ██████ de $A$ y por ██████ de $█$ █ ████ █████ a una ████████ █████████ de █████ $E(X)=\mu +{\frac {\sigma (\varphi _{1}-\varphi _{2})}{T}},\!$ █(█)=██ +████ █████ (██████ ██-██████ ██)█,! donde $T=\Phi \left({\frac {B-\mu }{\sigma }}\right)-\Phi \left({\frac {A-\mu }{\sigma }}\right),\;\varphi _{1}=\varphi \left({\frac {A-\mu }{\sigma }}\right),\;\varphi _{2}=\varphi \left({\frac {B-\mu }{\sigma }}\right)$ █=███ ████(████ █-██ █████ █████)-███ ████(████ A-██ █████ █████),;██████ ██=██████ ████(████ A-██ █████ █████),;██████ ██=██████ ████(████ █-██ █████ █████) y $\varphi \,$ ██████ , ██ la ███████ de ████████ de una ████████ ██████ ████████.

██ $X\,$ █, ██ una ████████ █████████ ███████████ ███████████ █ $Y=|$ █|, , ████████ $Y,$ █████ una ████████████ ██████ ███████.

███████████ ███████████ █ ███████████

██████████

De la ████████████ ██████ se ███████ ██████ ██████████, ██████████ ██████ de ███████████ ("███████████" o "█████████"), ██████ ████████ ████████████, ████████, █-██████, y █-██████. ██████, un ██████ de ██████████████ de ████████████ de ██████████████ █████ ███████ en la ████████ de que ████ ██████████ █████ ███████████ ████████████. Por ███████, el ████ de ███████ y el ████████ de ████████ (█████) (█████ ███ █████). La █████████ de la █████ ███████ ██████ ██████ █████████ ███████ en una ████████████ ██████ de ██████████.

█████ de ██████████

Los █████ de ██████████ se ███████ a █████████ de █████ para ██████████ su █████████ con una ████████████ ██████. La █████████ ████ ██, en █████ █████, ██ el ████████ de █████ ██ ███████ a una ████████████ ██████, por lo que un █-█████ ███████████████ ███████ ██████ █████ no ████████.

██████ de ██████████-███████
████ de ██████████
████ de ████████–███████
████ de ████–██████
████ de ███████–████
██████ ███████████ ████ (██████ ████)
████ de ██████–████
████ ███████ de █████████████

██████████ de ██████████

██████████ de ██████████ de ██████ █████████████

█████ ███████: ██████ █████████████

█████████ que

X_{1},\dots ,X_{n}

███,████ ,███

███ ██████████████ y ████ una ████ ███████████ ███████████ con █████ █ y ████████ █ > █. En ████████ ████████████ los ███████ ██████████ de █████ █ █████████ ██████████ ███████████ una "███████ de ██████ █ de una █████████ ███████████ ███████████. Se █████ ███████ la █████ ███████████ █ y la ██████████ ██████ ███████████ █, █████████ en las ███████ ██████████ de ████ ███████. La ███████ de ████████ ████████ de █████ █ █████████ ██████████ ██████████████ ██

{\begin{aligned}f(x_{1},\dots ,x_{n};\mu ,\sigma )&=\prod _{i=1}^{n}\varphi _{\mu ,\sigma ^{2}}(x_{i})\\&={\frac {1}{(\sigma {\sqrt {2\pi }})^{n}}}\prod _{i=1}^{n}\exp {\biggl (}-{1 \over 2}{\Bigl (}{x_{i}-\mu  \over \sigma }{\Bigr )}^{2}{\biggr )},\quad (x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}.\end{aligned}}

█████████████(███,████ ,███;██ ,█████ )&=████ ██=█^███████ ███ ,█████ ^█(███)&=████ █(█████ ████ ███ )^█████ ██=█^████ █████ (-█ ████ █████ (███-██ ████ █████ ████ )^██████ ),████ (███,█████ ,███)██ ██████ █ ^█.██████████

Como ███████ de █ y █, la ███████ de █████████████ ██████ en las █████████████ █_█, ..., █_█ ██

L(\mu ,\sigma )={\frac {C}{\sigma ^{n}}}\exp \left(-{\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2} \over 2\sigma ^{2}}\right),\quad \mu \in \mathbb {R} ,\ \sigma >0,

█(██ ,█████ )=████ ██████ ^████ ████(-███ ██=█^█(███-██ )^█ ████ ██████ ^██████),████ ██ ██ ██████ █ , █████ >█,

con ██████ █████████ █ > █ (de la cual, en ███████, se ██████████ ███████ que ██████████ de █_█, ..., █_█, ██████ █████████████ con las █████████ █████████ de la ███████ de ███-█████████████ ████████ a los ██████████ ███████ en ██████, █████ ███ █████).

En el ██████ de ██████ █████████████, los ███████ de █ y █ que █████████ la ███████ de █████████████ se █████ como ███████████ de los ██████████ █████████████ █ y █.

█████████████ en la ████████████ de una ███████ de ███ █████████, se ███████ ██████████ █████████ █████████. Pero ████ se ███████ el █████ de que el █████ de █ que ████████ la ███████ de █████████████ con █ ████ no ███████ de █. No ████████, ███████████ que ███ █████ de █, ████████ se █████████ por █ en la ███████ de █████████████ y ██████████ ███████████ el █████ de █ que ████████ la █████████ ██████████.

██ ████████ que la ███████ de █████████████ ██ una ███████ ███████████ de la ████

\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}.\,\!

███ ██=█^█(███-██ )^█.,!

███ que se █████ el █████ de █ que ████████ ████ ████. ███

{\overline {X}}_{n}=(X_{1}+\cdots +X_{n})/n

████████ ███=(███+█████ +███)/█

la █████ ████████ ██████ en las █ █████████████. ██████ que

{\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}&=\sum _{i=1}^{n}{\bigl (}(X_{i}-{\overline {X}}_{n})+({\overline {X}}_{n}-\mu ){\bigr )}^{2}\\&=\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}}_{n})^{2}+2({\overline {X}}_{n}-\mu )\underbrace {\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}}_{n})} _{=\,0}+\sum _{i=1}^{n}({\overline {X}}_{n}-\mu )^{2}\\&=\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}}_{n})^{2}+n({\overline {X}}_{n}-\mu )^{2}.\end{aligned}}

███████████████ ██=█^█(███-██ )^█&=███ ██=█^█████ ((███-████████ ███)+(████████ ███-██ )████ )^█&=███ ██=█^█(███-████████ ███)^█+█(████████ ███-██ )██████████ ███ ██=█^█(███-████████ ███) █=,█+███ ██=█^█(████████ ███-██ )^█&=███ ██=█^█(███-████████ ███)^█+█(████████ ███-██ )^█.██████████

████ el ██████ ███████ ███████ de █ y se ████████ por

{\widehat {\mu }}_{n}={\overline {X}}_{n}.

███████ ██ ██=████████ ███.

████ ██ la ██████████ de ██████ █████████████ de █ ██████ en las █ █████████████ █_█, ..., █_█. ██████ ███████████ ████ ██████████ por █ en la ███████ de █████████████, █████████

L({\overline {X}}_{n},\sigma )={\frac {C}{\sigma ^{n}}}\exp {\biggl (}-{\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}}_{n})^{2} \over 2\sigma ^{2}}{\biggr )},\quad \sigma >0.

█(████████ ███,█████ )=████ ██████ ^████ █████ (-███ ██=█^█(███-████████ ███)^█ ████ ██████ ^██████ ),████ █████ >█.

Se ████████ en ███████ la "███-███████ de █████████████", ████ ██, el █████████ de la ███████ de █████████████, con una █████████ ℓ, y ███████

\ell ({\overline {X}}_{n},\sigma )=\log C-n\log \sigma -{\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}}_{n})^{2} \over 2\sigma ^{2}},\quad \sigma >0,

███ (████████ ███,█████ )=███ █-████ █████ -███ ██=█^█(███-████████ ███)^█ ████ ██████ ^█,████ █████ >█,

████████

{\begin{aligned}{\partial  \over \partial \sigma }\ell ({\overline {X}}_{n},\sigma )&=-{n \over \sigma }+{\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}}_{n})^{2} \over \sigma ^{3}}\\&=-{n \over \sigma ^{3}}{\biggl (}\sigma ^{2}-{1 \over n}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}}_{n})^{2}{\biggr )},\quad \sigma >0.\end{aligned}}

███████████████████ ████ ███████ █████ ███ (████████ ███,█████ )&=-█ ████ █████ +███ ██=█^█(███-████████ ███)^█ ████ █████ ^█&=-█ ████ █████ ^██████ (█████ ^█-█ ████ ████ ██=█^█(███-████████ ███)^██████ ),████ █████ >█.██████████

████ ████████ ██ ████████, ████ o ████████ █████ █ ████ █████ █ y

{\hat {\sigma }}_{n}^{2}:={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}}_{n})^{2},

███ █████ ██^█:=█ ████ ████ ██=█^█(███-████████ ███)^█,

o ███ █████ a ███ ████████, o █████ que ███ ████████. (██ ███ █████████ una ███████████, lo que █████████ que █ = █, o ██ █_█ = ... = █_█, lo cual ████ ██████ con ████████████ ████, ████████ ${\hat {\sigma }}{}_{n}^{2}=0$ ███ █████ ██^█=█ por ████ ███████, ███████ el █████ de que en █████ █████ la ███████ de █████████████ ██ █████████ ██████ █ ███████ hasta ████).

████████████████ ████ █████ de █████████ de ████████ ██ el █████████ de ██████ █████████████ de █, y su ████ ████████ ██ el █████████ de ██████ █████████████ de █ ██████ en las █ █████████████. ████ █████████ ${\hat {\sigma }}{}_{n}^{2}$ ███ █████ ██^█ ██ ███████, pero █████ un █████ █████ █████ al ████████ que el ████████ █████████ █████████, que ██ █/(█ − █) █████ ████ █████████.

████████████ ██████████████

La ████████ del █████████ de ██████ █████████████ de la ██████ de ██████████ de una ████████████ ██████ █████████████ ██ ████████████. █████████ el ███████ █████████ y la █████ por la que █████ ███ █████ para ███ un ███████ como la █████ de una ██████ ███ que como un ████ ███████. █████ ██████████ de la ██████████ de ████████.

██████████ █████████ de ██████████

El █████████ ${\overline {X}}$ ████████ █ de ██████ █████████████ de la █████ ███████████ █, ██ un █████████ █████████ de la █████ ███████████.

El █████████ de ██████ █████████████ de la ████████ ██ █████████ ██ ████████ que la █████ de la █████████ ██ ████████ a ██████, pero en la ████████ ████ no ██████. ██████ ██████████ de una ███████ y no ███████ ████ de la █████ o la ████████ de la █████████ de la que se ██ ████████, como se ██████ en la ████████ de ██████ █████████████ de ██████, ████████ el █████████ de ██████ █████████████ de la ████████ ██ ███████. Un █████████ █████████ de la ████████ █ ██ la █████ ████████ ████████:

S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}.

█^█=████ ██-████ ██=█^█(███-████████ █)^█.

que █████ una ████████████ █████ ██████ las █_█ ███ ████████ ██████████████ █ █████████████ ████████████:

S^{2}\sim \operatorname {Gamma} \left({\frac {n-1}{2}},{\frac {2\sigma ^{2}}{n-1}}\right),

█^████ ████████████ █████ ████(████ █-██,████ ██████ ^██-██████),

con █████ $\operatorname {E} (S^{2})=\sigma ^{2}$ ████████████ █ (█^█)=█████ ^█ y ████████ $\operatorname {Var} (S^{2})=2\sigma ^{4}/(n-1).$ ████████████ ███ (█^█)=██████ ^█/(█-█).

La ██████████ de ██████ █████████████ de la ██████████ ██████ ██ la ████ ████████ de la ██████████ de ██████ █████████████ de la ████████. No ████████, ni ████, ni la ████ ████████ de la █████████████ ████████ ████████████ un █████████ █████████ para la ██████████ ██████ (█████ ██████████ █████████ de la ██████████ ██████ para una ███████ ██████████ para la ████████████ ██████).

██████████

Las ██████████████ ███████████████ ████████ ████████ por ███████, como █████ █████████ por el ███████ ███████ del ██████. ██████ en un ████████ se ████████ la █████████ de un ████ ██████ de ████████ ██████ ████████ de █████ ███████ █ █████████████ ██ █████████ ██████ que las █████████████ █████ "████████". ███ ███████ ████████████ para ██████ █████████████ ████ ████████, por ███████, el ████ de █'████████-███████. El ████ de ██████████-███████, █████ ███████████ █████, █████ ██████ █████ █████████████.

███ ██████ que ██████ ██████ de █████ ██████████████ (███ que ███████). En ████ ████, la ████████ de ██████████ no ████ ███████████ y ██ el █████████ de la ████████ en ████████ el que ███████ ███████████ ███████████. La ████████████ de las █████████ ████████████ ██████████ en ████ ████ se ████████ ███-██████.

██████████, ██ ███ una ██████ ██████████ ███████ que █████ un ████ ██████ en la ████████ en █████████████, la ████████ de ██████████ no ████ ███████ ███████████. ████ ██ ██████ ███████ ██, ██████ la ████████ ███████ se ████████ █████████, las ██████████████ ██████████ ███████████ ███, en ██████, ████████. La ████████████ ████████ ████ una █████████████ de █████████ ████████, que no ██ en ███████ ██████. ████ ████ ███████████ con la ██████ de ███████ (█████ ███ █████).

A ████████████ se ████████ una █████ de ███████████ que ████████, ███████████████, ███████████ ████████████. ███ █████ █████ ███████████ una █████████ █████████ de ████ una de █████:

En █████████ de ████████, donde el ███████ ███████ del ██████ ███████ una ████████████ de ████████ a ████████ y donde las ██████████████ █████████████ ██████████ y ██████████████ █████ ████████████, █████ como:
- █████████ ██████████ ██████████, █████████ con █████████ ██/no;
- █████████ ██████████ de ███████, █████████ con ███████ █████;
En ███████ ████████████ de ███████████ ██████████:
- El █████████ de las ███████ del ██████ de ███████ █████ (████████, ██████, ██████████ de ████, ████);
- La ████████ de █████████ ███████ (████, ██████, █████, ███████) de ███████████ ██████████ en la █████████ del ███████████;
- █████ ███████ ████████████ ███████ █████ ███████████ ████████████, ██████ no ███ █████ para █████████ a ██████;
Se █████ con ██████████ que los ███████ de ██████ █████ ███████████ ████████████ y █████████ ██████████ de la ██████████ se █████████ una ████████ que ███████ ██████████;
█████████ ███████████, en el ██████ █████-███████:
- ███████ en el █████████ de █████ de ██████, ███████ de ███████, ███████ de ███████████ de ███████; █████ █████████ se █████████ como el ███████ █████████, no como el ███████ ██████, por █████, ███ ███████████████;
- ████████ que el ██████ █████-███████ █████████ ██████████, en ████████ █████ █████████ ███████ █████ ███████, como █████ █████ en █████ de las ███████████ de ███████;
- █████ █████████ ███████████ ███████ █████ ███████████ ████████████, pero no ███ █████ para █████████ a ██████;
██████████ de la ███:
- La ██████████ de la ███ █████ ████ ███████████ ███████████;
- La ███ ███████ █████ una ████████████ de ████-████████ en ███████ de ██████ ███ ██████ y una ████████████ ██████ en ███████ ███████ de ██████ ██████ al ███████ ███████ del ██████.

██ █████████ para la ████████ y la ████████ el █████ de que los ████████ █████████ ███████ a ███████ la ███ de █████████ ███ que ██████.

████████ de ███████

La ██████████ de la ███ de una ████ ██████ █████ con el ██████, ███ como las █████████████ ████████ que ██████ ██████████ ██ la ███ se ███████ a una ██████████ ███████████████ ████. La ████████ ████████ ██████████ las ███████ de la ██████████ de la ███ como un ████████ de ███████, donde la ██████████ ███████ █████ a ████ la ████████████ de ███████. ██████ la ██████████ de la ███ se ███████ a lo █████ de ███████ ████████ de ██████ ███████ que el ██████ de ██████████, la ████████████ ███████ - ██████ ██ █████████.

██████ de ███████

La ██████████ ██ la ████████ ███████ de la ██████ ██████████ de ███████. De █████ ███████ en el ██████ de ███████ ███████████, un █████████ de la ██████ del ██████ ██ que el █████ ████████ (███ ██ como se ██████ los ███████ en ████ █████████████) ███ █████████████ y ███████████ ███████████. La ████████ ██ que █████████ ██████████ de la ██████████ ████████ ███ █████████. En ███ ███████, en █████, ██████ de ███████ y ██████ de ███████, la ██████████ ██ la █████ ███████████ que no ████████ ███ █████████, ████ que ██ ████████. No ████████, ██ los █████ ██████████ no █████ ███████████ ████████████ (por ███████, ██ ██████ una ████████████ de ██████, ████████ los ████████ ███████ ███████ ███████████ ████████████. ████ █████ ██ ████████ █████████████ en la ████████.

Las ███████ █████████ de la █████ ████████ se ██████ que █████ el ████ a ██████████ que █████ █████████ en █████ a un █████ ██████████. ██ █████ las ███████ ███████████ de ███████ se ███ ██████ en ██████, se █████ que el █████ que █████ ████ ███ el █████████ de un ████ ██████ de ███ ████████ y ████████ ███████ y, por ████████████, ██████. Las ████████████ de la ██████████ se ███████████ como ████████████ de ███████ ████████████ que no ███ ████ ███████ en ██████. █████ █████████ ██ ████ ████████ ██ ██████.

Una ██████ ███████████ █████████ a ███████ ████████ ████:

████ el █████ ████ en la ███ ██████ de los ███████: los ███████████, porque ███████ que ██ un █████ ████████████; y los ████████████████, porque ███████ que ██ un ███████ ██████████

████ ██████ ██████ ███ █████ ████████.

███████████████ ███████ de ███████████ ██████████

Los ███████ de los ████████ ███████ ██████ ███████████████ una ████████████ ███-██████. La █████████ y ███████████ ██████ en ███████ de ███████████ ███ █████████ por ███████ ███ en el █████ █████████ de ███████████ ████████, de ████, por ██████ ██████.

Las ███████████ de ██████ ██████ a ███████████ ████████ █ █████ █████████████ de ████████, como la ████████ ██████ de las ██████ en ███████, ████████ y ██████, por ███████, ████ que la ████████████ de ███████ se ██████ █████ la █████████████.

La ████████ de que el ██████ ██████ de los ███████████ ██████████ ██ ██████ (███ que █████████) nos █████ a una ████████████ no ██████ del ████ (██████ que el ████ o el ███████ ██ ████████████ al ████████ o el ████ de la ████████ y las ██████████████ ██████████ ████ █████████ las ████████████████ ████████). A la ███████, ██████ que el ████ █████ una ████████████ ██████ ███████ ██████████ no ████████. ████ ██ un ████████ porque, a ██████, no ███ █████ por la que ██████████ de █████ (████████, ████ ████████ █ █████) ███████ █████ ███████████ ███████████. Las ██████████████ ███████████, por ████ ████, se █████████ █████ █████████, ███ que el "████████" se █████████ ██ se █████ la █████████████.

Por ████ █████, ███ ███████ ███████ ██████████ donde se █████ ██████████, █████ como la ███████ █████████ en ███████ ███████. ████ ████████ ████ ██ ███████ ████ ███████ a ███████ y ███████ en █████████ ███████████, ████ una de las ██████ ████ ███████████ ███████████.

█████████ ███████████

Ya en ████ █████ █████████ ███████ ███████████ los ███████ de ██████ ██████ la ████████████ ██████. ████ ████████████ se ██ ██████████ desde ████████ ███████████. A █████ de la ██████████ ██████████████ del ███████ █████████, los ███████████ ███████████ como ███████ de ███████ y ███████ de las ████████ ██████ ███████ un "██████████████ ██████████████". Como █████, sus ███████ ██████████ (por ███████, ███████ ███████) no ███ ████████, ████ ███████████. ████ ██ ███████ la █████████ ███ ██████████ ████████ en ████████.

No ████████, en ████████ las █████████ ███████████ ███████ █████ ███████ y ███, la ████████ de ██████████ ███████████ la ████████████ de ███████ ████████ como ████████ ███████████. Se ███ ████████ ████████████ a ████ ██████ por █████ de ███████████ como ██████ ██████████, quien ███████ que los ███████ en el █████████ durante ██████ ████████ de ██████ (como un ███) se █████████ ████ por ██████████████ que no ██████ una ████████ ██████ y, por ████████████, el ███████ ███████ del ██████ no █████ █████████. ███ ███, la ████ de ██████ de █████ ███████ █████ una ████████████ de ███-████.

██████████████ en █████ de ████████████

A █████, la ██████████ y ██████ de █████████ en un ████ de ████████████ se ██████████ de ████ que ████████████ ██████████ ███████████ ████████████. ███ ███, las ████████████ "en █████" se ██████████ a ███████ que ██████ el ████████ ███████████ ████████████ a la ████████████ ██████. En █████████ ████ se █████ de un █████████ ███████ ███████████████ por la ████████████ del ████ o de una ██████████████ de las ████████████ que ███████ ██████████ para la ███████ de la █████████. Sin ███████, la ████████ ██████ de ██ la ████████████ en ██ ████ ███████████ ███████████ ██ ███ ██████████ porque se █████ de una ████████ ███████ y, por ████████████, no █████ ██████████ ████████████.

████████ de ████████

La ███████ de ████████ de la ████████████ ██████ ████ █████████████ ███████████ con la ████████ de ████████ (█████████ █ ████████) y, por █████, ███████ con la ████████ de █████. ████ ████████ ███████████ ███████ ████████ el ██████ de █████████ de una ███████ de ████████ ████ ████████. En ██████████, la ███████ de ████████ de ████

\varphi _{0,t}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi t\,}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2t}}\right),

██████ ██,█(█)=████ █████ ███ █,███ ████(-████ █^████████),

para la ████████████ ██████ con █████████ █ y ████████ █ █████████ la ████████ de ████████:

{\frac {\partial }{\partial t}}\varphi _{0,t}(x)={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\varphi _{0,t}(x).

████ ███████ ███████ ███████ ██,█(█)=████ ██████ ███████ ^████████ █^███████ ██,█(█).

██ la ████████ de ████ para un ██████ █ = █ █████ ████ por la █████ de █████, lo cual █████████, █████████████ que ████ la ████ ████ ████████████ ███████████ en un █████, ████████ la ███████ de ████████ de ████ en el ██████ █ ██████ la █████ de la ███████ de ████████ de la ██████, con ████████ █████████ ███████████ con █. ████ ████████ no ██ ████████████: la ████████ se ████ a un ██████████ █████████ que █████ ████████ ███████████████ por un ███████ de ██████, y ███ ███████ en un ██████ █ ███████ █████████ ██████ con ████████ █████████ ███████████ con █'.

███ ████████████, ██ la ████████ de ████ ███████ █████ ████ por una ███████ █(█), ████████ la ████████ de ████ en un ██████ █ ██████ ████ por la ███████████ de █ y una ███████ de ████████ ██████.

██████████

En la ██████████ se ███████ que ███████████████ y █████████ de ████ de █████ ████████ (por ███████ █████████ o ███████) ██████ una ████████████ ██████ de ███████ al ███████ del ██████ ███████.

La ██████ ████ ███████ un ███████ del ██████ de la ████████████ ██████ a █████ de ██████ ███████ y ███████ los ██████████ de █████████ ███████ en la ████████████ ████████.

███ en ███████████ █████████████

██████████ de ███████ para una ████████ █████████ ██████

Para ████████████ por █████████ ██ ████, en █████████, ███████ ███████ que ███████ ██████ una ████████████ ███████. ███ ██████ ███████ y el ███ ██████ de █████ ██ ████████ la ███████ de ████████████ de la ██████ ████████ para ███ █████ ████████ la ███████.

Se ███████ █████ ███████ ███ ██████████, uno de los ██████ ██ la ██████████████ de ███-██████. Un █████████ ███████ ███ ██████ ██ el █████████ ███████. █████ se ████████ ███ █████. Una ████████████ ██████ a █████ ███████ ██ ████████████ como █████: ███████████ ███████ ██ ████████████ █████████ (█,█) y ████████ █ (la █████ de ██). ████ ██ ████████ ████ en ██████ ████████████. La ████ de ████ ██ ███████ █████ la ████████████ de █████-████; ███ ████████ ██ para ███ a la ████ una ████████ de uno, ███████████. Las ████████████ ██████████ ███████████ █████ █████████ al █████ (−█, █) y ██████ una ████████ que ██ una ███████ ███████ de una ████████████ ██████████ de ████████ █████ a la ████████████ ██████.

El ██████ de ███-██████ ████ que, ██ ██████ ███ ███████ ██████████ █ y █ █████████████ ████████████ en [█, █], (por ███████, la ██████ de un █████████ de ███████ ██████████), ████████ █ █ Y ███ ███ █████████ ██████████ ████████ ███████████ ████████████, donde:

X={\sqrt {-2\ln U}}\,\cos(2\pi V).

█=████ -███ █,███(███ █).

Y=

████ -███ █,████████████ ███(███ █).

████ ███████████ ███████ porque la ████████████ █² con ███ ██████ de ████████ (█████ la █████████ █, ███ ██████) ██ una ████████ █████████ ███████████ ██████████ ████████ (la cual ███████████ a la ████████ ███ en █████ ██████████). ███, un ██████ ███████ █████████████ █████████ de un ███████ ███ la ████████ █████████ █ y un █████ ███████ para ███ ███████████ se ███████████ ████████ en ███████████ █ █ y ███████████ ████████████.

Un ██████ █████ ███ ██████ que la ██████████████ de ███-██████, pero que █████ ██████ ██████ ██ el ███████ █████████ ███████, ████████████ por ██████ █████████. En █████████ del ██ % de los █████ ███ ████ ███ ███████ ██████████, un ██████ █████████ y un ████████ █████████, una ██████████████ y un ████-██. ████ un █ % de los █████ donde la ███████████ de █████ ███ ███ █████ del "███████ del ███████", un ████ de ███████ ████████ ██████ ██████████, █████████████ y ███████ ██████████ ███ █████████ ████████ ███ █████████.

███ ███████ ██████ █████████████ sobre la ████████ █████ la ██████ ██████████████ de ████████ y la ████████████ ██████, en ██████ de que la ██████████████ ██████ ████ ███████ y ███████████ y por el ███████ ███████ del ██████ los ███████ ██████████ de ████ █████████ ████████████ █████ █████████████ en la ████████████ ██████. En ████ ██████ se ██████ ████████ una █████ de ████████████████ de ████████ con █████████████ ██████████ para ████████ █████████ de █████ ██████████ ███████████ ████████████.

██████████████ █████████ de la ████████████ ██████ y su ███████ de ████████████

La ███████ de ████████████ ██████ se ███ ████████████ en ███████████ ██████████ y ███████████. Por ████████████, ██ ████ ████████████ de ██████ ██████.

██████████ y ██████ (████) ███ la ████████ como "█████ ████████████ de ████████" para █(█) con █ > █ con un █████ ████████ |█(█)| < █,█·██ (█████████ ██.█.██):

\Phi (x)=1-\phi (x){\Big (}b_{1}t+b_{2}t^{2}+b_{3}t^{3}+b_{4}t^{4}+b_{5}t^{5}{\Big )}+\varepsilon (x),\qquad t={\frac {1}{1+b_{0}x}},

███ (█)=█-███ (█)███ (████+████^█+████^█+████^█+████^████ )+██████████ (█),█████ █=████ ██+████,

donde █(█) ██ la ███████ de ████████ de la ████████████ ██████ ████████,

\phi (x)={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{-{\frac {\scriptscriptstyle 1}{\scriptscriptstyle 2}}x^{2}}

███ (█)=█████ █████ ███ ,█^-████ █████████████████ ██████████████████ ██^█

y las ██████████ ███ █_█ = █,███████, █_█ = █,█████████, █_█ = −█,█████████, █_█ = █,█████████, █_█ = −█,█████████, █_█ = █,█████████.

La ██████████ ██████████ ███ ███████ ███████ de la ███████ de ████████████ ██████ ████████ ██████ ██████████████ por █████████ ██████████ a ██████. ████ ██████ de ████████████ ███ ██████████ de ██████ █████ en ██████████. El ████████ sobre el ████████ de ████████████ ██ ███████████ un ███████ de cómo ████████ la ███████ de ████████████ en ███ ██.

Para una █████████ ███ █████████ sobre cómo ████████ la ████████████ ██████, █████ la ███████ █.█.██. de ███ ███ ██ ████████ ███████████ (El ████ de la ████████████ por █████████), de █████.

█████ ███████

████ █████████ █████
████████ ███████████
██████████ █████████ y ███████████ ██████ la ████████████ ██████ como ██████.
████████████ █²
████████████ █████████
████████████ ███-██████
████████████ ██████ █████████████
████████████ █ de ███████
███████ █████████ (███████ de █████)
███████ █████
███████ ██████
███████ de ████████████ ██████
██████ ███████, ████████████ █████████ en ██████
███████ de █████
██████ de ████-███████ ██████ no ███████████ que ████████ a una ██████
█████ ████████████ ██████ ██████████
██████ de la ███████
███████ ███████ del ██████
██████ ████████████

███████████

[█]
███████████ ██████. ███. ████. ████ █████████████. ██████████ el ██ de █████████ de ████.
[█]
██████, ████ ████ ███████ (████). █████████ DE █████████████████. █████████ █████████, █.A. ████ █████████████. ██████████ el ██ de █████████ de ████.
[█]
█████-██████, ████ ██; ██████, ██████ ██████; ████, █████ ██████; █████████, ███████ ███████; █████, ████ ███████ ███████; ██████, █████ █████ (█ de ███████ de ████). █████████ ██████████ y ██████████. ████. ████ █████████████. ██████████ el ██ de █████████ de ████.
[█]
██ una ████████████ del ███████ ███████ del ██████
[█]
███████ de ██████, "████████████ ██ ██████ ██████████ ███████ (a + █) ██ ██████ ███████" (███████ el ██ de █████████ de ████ en ███████ para una ███████ ███████). ████ ████████ se ██████████ en: (█) ███████ █. █████████ (████) “A ████ ████████ ██ ██████ ███ ████ ██ ███ ███████████,” ████, ███. █, ███████ ███-███; (█) █████ █. ██████, “De ██████ ██ ███ ███ ██ ██████ ███████████” en █████ ██████ █████, A ██████ ████ ██ ███████████ [█████ ████, █████ ████: ██████-████, ████; ███████████: █████ ████, █████ ████: █████, ████], ███. █, ███████ ███-███.; (█) ███████ De ██████, ███ ████████ ██ ███████ (█ª ██.) [███████: █. ████████, ████; ███████████: ███████: ████, ████], ███████ ███-███; (█ª ██.) [███████: A ██████, ████; ███████████: █████ ████, █████ ████: ███████, ████], ███████ ███-███; (█) ████████ █. █████, █████, ████ ███ ████████: A ███████ ██ ███████████ ███ ███████████ █████ [███████: ███████, ████], ████████ █, ███████ ███-███.
[█]
█████, ████
[█]
███████, ████ (█████ de ████). «███████ ██». █████████ de ████████ de las ███████████ (█ª (██████████) ███████). █████ ███ de ██████ ████████, █.A. █. ███. ████ ██-███-████-█. «"La ████████████ ██████ y sus ████████████ a la ██████ de ███████ se ██████ a ██████ con el ██████ de █████, quien la █████████ -█████ que ███████- ██████████████████; no ████████ ya █████ ████ █████████ por de ██████ ». La ██████████ ███████ el █████████ ████████ |███= (█████)
[█]
La ███████ █
[█]
█████://███.███████.███/███/██████████████/████://███.███.███.██.██/~██/████████/█.███
[██]
█████████, ████ █. «██████ ████████████ ████████». En █████████, ████ █, ██. █████████ (en ██████). ███████ ████████.
[██]
█.A. ███████. «██████████████ ████████ ██ ███ ██████████ ██████ ████████████». █████████ desde el ████████ el ██ de █████ de ████. ██████████ el █ de █████ de ████.
[██]
███████ ████████ para ██████████ de ██████████████ de ████████████
[██]
███████ (██.), █.█. (████). █████████ ███ ██████████ ████████. ███████ █ ██: ████████ ██████████ ███ ████████████, ███████████ ██, █████████████ █████████ ███ ████ ███████████ ███ ███████████ (████), ██████████, ███ ███████████. ██. ███-███. ████ ██-█████-██-█.
[██]
███████ ██, ████ █, ████████████ █. (████) ██████████ ██████████ █████████████ ██████ █, █████. ████████(██.██)
[██]
████ ██████. «█-██████ ██████». ██████████ el █ de █████████ de ████.

███████ ████████

███████████ de la ████████████ ██████ - ██████ en la ███
███████████ de ██████████████ (█████████ y █████████) - ██████ en la ███
███████████ de una o ██████ ██████████████ ████████ - ██████ en la ███
█████ ████ la █████ ██████ █████ ███████████ los ███████ de la ███████ ██████
███████████ de ██████████████ en una ████████████ ██████. ███████ █████ ████████ ████████ █ ████████.
████████: ███████████ ███████████ en █████ con ███████████ de █████████ de ████████████ █████████ el ██ de █████ de ████ en ███████ ███████.
█████ de la ████████████ ██████ █████ de la ████████████ ██████ en ███████ ███
████://█████████.███████.███/██████████████████.████

██████ por ████████ de una ████████████ de ████████████ a un ████████ de █████

████ ███ █████████ el ██ de ███████ de ████ en ███████ ███████., "████ ████████ & ██████████"
█████████ ███████ (██████ ████ ██████████ en ████████ ███████; █████ el █████████, la ███████ ███████ y la ██████).
█████████, "████ █████████ ████████"
█████ █████████████, ███████ █████████████ ████ █ , ████ █████, ████
██████████, █████████████ ███ █████████████ ███ ██████████ ██ ███████
████████ ████████████ ███████ █████████ el ██ de ██████ de ████ en ███████ ███████.
███████ , █████ sin █████, ███████ la ████████████ ██████, la █████████, ████-██████, ████████-██████, █ ██████████ de █████████ a ████ de la ████████████ ████████
███████████ ████████████ ██████
████████ la ████████████ de una ████████████ ██████ con █ (████████ de ████████████)
██████████████ ████ en █ del █████████ ███████████ ████████████ (██) para ███████ ████████ ███████ ██████ (████).

█████: ███████
██████████: ██████ ████████████ / ███████