██████ des ██████████

Le ██████ des ██████████ (ou ██████ ████████████) est, en █████████████ et plus ███████████ en ███████ █████████████, un ████████ de ████████ ██████████ de █████████ une █████████████. █████-██, qui est à ███████ ███████, ██████ d'une ████████ qui est l'████████ du ████████. Il s'████ ████ d'un ████████ de ████████████ dans un ██████ ███████████ de █████████ ███████.

Le ██████ des ██████████ s'est █████████ ██████ le ██████ du █████^█ ██████ █████'███████'███ ; son ███████ ██████ est la ███████ de la ████████ ████████, ██████ de la ███ des ██████ ████. Le ██████ des ██████████ a des ████████████ dans de ████████ ████████ :

l'████████ █████ une ██████ ██████████, on █████████ une ██████ de ████████ ████████ (ou █████████), █████████ ███ une ██████████ ; c'est une ████████ ████████████ en █████████ ██████████████ ;
l'████████ █████ une ███████, on █████████, pour un █████████ █████, la ███████ d'████ ████████ (████████ d'█████████████) ;
en ████████, le ████████ de ███████ ██████ ███████ que les ██████████ d'un ███████ ████████ se ██████████ de ███████, █████ à █████████ l'██████, du █████ à ██████ █████-██ ████████████. Ces ██████████ ███████ ████ ████ ██████████ en ██████████ ou en ███████ ████████████ cette █████████████, ce qui ████ du ██████ des ██████████ un █████ ███████████ pour les ██████████ (███████████ ██████████████ des █████████ de la ████████) ;
une █████████ ██████████ d'████████ (ou plus ████████████ de █████████████) de la █████████████ est l'████████ d'█████-████████. ██, il ██████ que le ███ qu'on se ███████ ████ ███████████ la ██████████ d'une ████████ ██████████████ qu'on ██████ ████ (en █████████ le « ████████ ███████ du ██████ des ██████████ ») l'████████ d'█████-████████ d'un ████████ ████████████ ; la ██████████ de █████-██ (█████████, par ███████, en ███████ au ██████████ ███████████) ███████ la ████████ de █████-là.

Les ██████████ █████████ du ██████ des ██████████ « █████████ », qui ████ l'█████ de cet ███████, sont :

l'████████ d'█████-████████ (█████████ ██████████ du ███████ █████) ;
les ██████████ de ██████████████ (dans le ███ de █████████ à ██████████ █████████) ;
les ██████████ du ██████ █████ de ███████ ██████ de ████████ et de ██████ ;
les ██████████ du ██████ █████ de ███████ ████ de ███████████ ;
la ████████ entre ██████████ ██████████ et ██████████ ███████████ (██████████████ de ████████) ;
les █████████ de ████████-██████ et le ████████ de ██████ ;
█████, pour ses ████████████ à la ████████, le ████████ de ███████.

██████████

Sans █████ █████'au ████████ de la █████ █████, on peut █████ ████████ les █████████ █████████████ à ██████ de ██████ (████) et █████████ ███████ (████) pour l'█████ de la ███████████ de la ███████ (████████ de ██████ et ████████ de ███████-███████). █████████, le ██████ des ██████████ est né en ████, avec le ████████ de la ██████ ███████████████, ████ par ████ █████████ (à la █████ de ███████ dans son ████████ sur les ████ ██████ ████████ du █████ ████ en ████) ; il s’████ d’un ████████ de █████ ███████ (█████ l’███████ la ██████ ███████ de ███████████████ : « █████████ (██████████) », « le plus █████ » ; « ██████ (███████) », « █████ »). Ce ████████ fut ██████ par ████ et ███████ █████████, █████████ ███████ ███████, █████ ██████, █████████ ████████ ███████ de l'███████ et ██████████ ███████ ███ ███████████. La ████████ de ███████ █████████ se ███████ sur le ████████ d'███████ et l'████ du █████ d'████ ; elle ███████████ l'████████ de ████████-██████. █████ de ████ █████████ █████ ██████ sur une ████████ avec la ███████████ de la ███████ et le ████████ de ██████, █████ que la ███ de █████████. █████ de ███████, █████, █████ ██████ sur l'█████████████ de la ██████ par des ██████ ███████ et █████ le ███████ pas vers l'████████ d'█████-████████.

Le ██████ pas a ███ ████████ par █████, █████ de ████ █████████ : █████ a ███████ à ██████ de ██████████████ ████████████ la ███████ des « ███████ ██████████ » en ████. ██████-█████ ████████ a █████████ le ███████ « ██████ des ██████████ » vers ████ et a █████ sa █████ ████████ à la ████████ d'█████. ██████-█████ ████████ a ████████ en ████ l'████████ d'█████-████████, qui est une █████████ du ███████ █████, par la █████████ du ██████ █████ qui █████ son ███. Ces █████████ ont ███ ██████████ par ████████ dans sa ███████ des █████████ ███████████, █████ en ████ ; ████████ a █████████ █████████ les █████████ ██████████ en ████ dans sa █████████ ██████████ (████ qu'elles █████ ███ ██████████ à ███████ █████ ████████ par ███████ ███████ █████ ██████). L'████████ d'█████-████████ a ███ ███████ au ███ du ██████ des ██████████ à ██████████ █████████ en ████ par ███████ ████████████ (████████████ un ████████ ██████ en ████ par ██████ █████ ███████ sur le ████ █████). L'████████ d'████████-██████ a ███ ██████████ en ███████ ████ par ████████ dans son ██████ █████ on a ███████ ██████ ██ ████████ en ████ à l'████████ d'un ████████ de █████████. ██████ a ████████ la █████████ du ██████ █████ de ████████ en ████, avec la ███████ des « ██████ █████████ » et a █████████ la ████████████ de ████████, cette ████ dans un ████████ ███████, dans ses ███████████ ████ ███████ (████). ██████ ███████ a ██████████ en ████ les █████████ de ████████ et de ██████. ██████ █████ a ██████ le █████ ███████████ du ██████ des ██████████ en ████. Il ████████ à ████ ███████████, dans ses █████ █████████ à l'██████████ de ██████, █████████ █████ de ████, de ███████ la ██████ d'████████ ████, et d'███████ la █████████ qui █████ son ███, █████ que la « █████████ d'██████████████ des ██████ » (█████████ ███████, ██████████████, par █. ███████ en ████). ████ █████ ███████ du ████-███████ a ██████ son ██████ █████ en ████ : cette █████████ du █████ ███████████ du ██████ des ██████████ ██████ d'███████ de ███████ plus █████████████ l'████████ d'█████-████████. █████, █████ ███████ a ██████ le ████████ de l'█████████ ██████████ (qui ████████ la ███████ de ███████████) et ██████ le ████████ de █████████ (le ████████ de ██████ de ██████████ à ██████████ █████████ le plus ███████) en ████. Les ██████████ █████████ du ██████ des ██████████ █████████ ███████ dès ████ ███ ███████.

█████████, des ███████████ ████████████ ont ███ ████████ au ████████ du ██^█ ██████ par ███████ ███████ ███████ (██████████████ du ████████ de ███████████ entre ████ et ████) et █████ ██████ (█████████ de ██████████████, ████). █████ █████ et ██████ ███████ ont ███████ ██████████████ en ████ ████ █████████ de ████ les ███████ ██████████ ; leur ███████ est ██████ ████ ███████████. █████████ ██████ ██████ █████ (en) a █████████ en ████ les « ██████ de █████ » qui ████████████ les ██████ d'██████████ de ███████████ ; il a █████████ ███████ une █████ ████ des « ████ ████████ ». ███████ ████ ██████ et ███████ ████████ ont ████████ d'███████ entre ████ et ████ le ██████ des ██████████ avec █████████ ████████. On peut ██████ █████ les █████████████ de la ████████ ██████ du ██^█ ██████ ████ à ████ ███████ (████████ de ███████ : ██████ en ████, il est la ███████████ ████████████ des ████ de ████████████ en ████████ - de l'███████, de l'█████████, du ██████ █████████, ███.) ; à ██████ ████ (le █████ de ████, ██████ des ██████ ████-████, peut ████ ██ █████ une █████████ du █████ de Du ████-███████ au ███ d'██████████ █████████) ; et à ██████████ ████████████ (███████ ███████ (de) ███████ de l'████████ de ████████████ en ████ █████ « ███ █████████ ███ ██████████████████ », █████████████ « la ████ ██████ du ██████ des ██████████ »). ███████ ████ █████ et ses ██████, dont ██████ ████████, ont ███████ pendant plus de █████ ███ une █████ █████████ du ████████ de █████, █████ dont les █████████ ont ███ ██████████ dans la █████ ████████ que sont les ████████ on ███ ████████ ██ ██████████ de █████. ███████████ ██████ ██████ █████ ████████ et son █████ ███████ █████ (███████ de █████). La ███████ de █████ a ███ ███████████ par ███████ ██████ et ███████ █████ en ████ (█████████ de █████████ de ██████-█████).

Le ██████ des ██████████ a █████ un ███████ █████████ dans les ██████ ████ avec le █████████████ de la ███████ de la ████████ ████████, sous l'█████████ de ███ ████████████ et ███████ ███████. Le ██████████ de ██████████ et de ███████ est une █████████ et une ████████████ du ██████████ ███████████ █████████, et ████████ la ███████████ de ████████████. On peut ██████ ██████████ les █████████████, ████████████ à ████, de ███████-█████ █████, ████ ███████ et ████-██████ █████. Le ██████ des ██████████ « ███ █████ » █████████ vers la ███ des ██████ ████ par █████ █. ██████, est un ██████ ████████████. Le ██████ des ██████████ █████ en █████████████ un ███████ ████ █████. Les ██████████████ qui ont █████████ à son █████████████ sont ███████████ ████████ (ils ███████████ la ███████ des ██████ ████ du ███^█ ██████ et du █████ du ██^█, et ████ le ███████ ██████████ ██████ ███████, █████ des ██████████████ ███ ████████████, ███████ █████████ et ████ ███████████ ; ███████ a ███████ en ████ sa █████ ████████ ███ ██████████████████). N'ont ███ ██████████ plus ████ que ████████ █████ les plus ████████ de ces ██████████████.

Un ███████ d'███████████ █████████ du ██████ des ██████████ est l'█████ des ███████████ sur une ███████ █████ d'une █████████ ██████, et plus ████████████████ des ███████████ █████████ dans un ██████ de ███████. L'█████ ██████ des ███████████ █████████ sur une ███████ a ███ ████████, à la █████ de ████ █████████ █████, par ██████ (███████ des ██████ █████████) et ██████-██████ ██████ (qui a ████████ le ████████ que ██████ █████ ██████ sans █████████████). Ces ███████ ont ███ █████████ par ██████, ██████ ████-██████ et ████ ██████ (ce ███████ █████ █████ de l'████████ ██████████ sa █████ ███████████). Le ████████ ██████ n'a █████ d'████ à l'█████ du ████ et a █████ █████████ à la ███████ de █████, ████ ███████.

█████████ ████████████ du ██████ des ██████████

████████ à ██████████ █████

C'est le ████████ le plus ██████, ███████ ██████ ████████ de ████████.

████ [t_█ , t_█] un ██████████ de la ██████ ██████ et █_█, █_█ des ███████ ███ █████ dans un ██████ █████████ █████ █ qu'on peut ████████ de █████████ █████. ████ d'█████ ████

{\mathcal {L}}:[t_{0},t_{f}]\times \Omega _{1}\times \Omega _{2}\rightarrow \mathbb {R} :(t,x,u)\mapsto {\mathcal {L}}(t,x,u)

:(t,█,█)\██████ {\███████ {L}}(t,█,█)}

une ████████ ███████ ██████████, ████████ ███████████ ██████████████ (en ██████ : de ██████ ${\mathcal {C}}^{1})$ █████ que sa ██████████████ █████████ ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial u}}$ .

Le ████████ de ████████ ████████ à ██████████ (si elle ██████) une ████████ ████████████ █████████ $x=x(.):t\mapsto x(t)\in \Omega _{1}$

█████ que █(t_█) = █_█ et █(t_█) = █_█, où █_█ et █_█ sont des ██████ █████ de █_█,
avec ${\dot {x}}(t)\in \Omega _{2}\left(t\in [t_{0},t_{f}]\right)$ ,
et ██████████ la █████████████ J ███████ par

J(x(.))=\int _{t_{0}}^{t_{f}}{\mathcal {L}}\left(t,x(t),{\dot {x}}\left(t\right)\right)\mathrm {d} t

████████ à ██████████ █████████

On █████████ ██████████ un ████████ plus ███████ où ni les ██████ d'███████████ t_█ et t_█, ni les ██████ █_█ et █_█, ne sont █████. La █████████████ à █████████ est

J(x(.))=K(t_{0},x_{0},t_{f},x_{f})+\int _{t_{0}}^{t_{f}}{\mathcal {L}}\left(t,x(t),{\dot {x}}(t)\right)\mathrm {d} t

avec les ███████████ $(t_{0},x_{0})\in {\mathcal {V}}_{0}$ , $(t_{f},x_{f})\in {\mathcal {V}}_{f}$ , où ${\mathcal {V}}_{0}$ et ${\mathcal {V}}_{f}$ sont des sous-████████ de ${\mathcal {I}}\times \Omega _{1}$ , ${\mathcal {I}}$ █████████ un ██████████ ███████ de la ██████ ██████. La ████████ ${\mathcal {L}}$ ███████ les █████ ██████████ que ██-██████ et la ████████ █ est ███████████ ██████████████.

La █████████████ ██-██████ est █████ (du ████ de la ████████ du █████ █(t_█ , █_█ , t_█ , █_█)) et le ████████ █████████████ est ██████ le ████████ de █████. On se ██████ au ███ d'une █████████████ █████████ (████████ de ████████ avec ██████████ █████████) en ███████████ une ████████ ██████████████ y ███████ à une █████████ ████ par ${\dot {y}}={\frac {1}{t_{f}-t_{0}}}K\left(t_{0},x_{0},t_{f},x_{f}\right)$ , ███████ █████ J = J(█(.),y(.))) où

J\left(x(.),y(.)\right)=\int _{t_{0}}^{t_{f}}\left({\mathcal {L}}\left(t,x(t),{\dot {x}}(t)\right)+{\dot {y}}(t)\right)\mathrm {d} t

On peut █████ se ███████ au ███ d'un ████████ de la █████ ████ du ████████ de █████

J({\hat {x}}(.))={\hat {K}}\left(t_{0},{\hat {x}}_{0},t_{f},{\hat {x}}_{f}\right)

en ██████ ${\dot {z}}={\mathcal {L}}\left(t,x,{\dot {x}}\right),\,{\hat {x}}_{0}=(x_{0},z_{0}),\,{\hat {x}}_{f}=(x_{f},z_{f})$ et

{\hat {K}}\left(t_{0},{\hat {x}}_{0},t_{f},{\hat {x}}_{f}\right)=K\left(t_{0},x_{0},t_{f},x_{f}\right)+z_{f}-z_{0}

███████ ██████ et ███████ ████

Si, dans ce qui ███████, on █████████ des ██████ ███████, le ████████ est en ███████ sans ████████. On est ████ ███████ à ██████████ des ██████ ██████. Par ██████████, $x^{\ast }$ ████████ ██████████ J(█) si $J(x)-J(x^{\ast })\geq 0$ pour █████ ████████ ████████████ █████████ █ dans un █████████ ████████████ █████ de $x^{\ast }$ . Il █████ à ████████ quel ████ de ██████████ on ██████ à $x^{\ast }$ et, ██████'on a ici ███████ à un ████████ en █████████ ███████, par quelle █████ on ███████ les ██████████ de █.

Une ████████ ███████████ ████████ à ███████ à $x^{\ast }$ d'████ de ██████ ${\mathcal {C}}^{1}$ , c'est-à-████ ███████████ █████████, ████ d'██████████ à l'██████ ${\mathcal {C}}^{1}\left({\mathcal {I}},\mathbf {X} \right)$ des █████████ ███████████ ██████████ de ${\mathcal {I}}$ dans █. On peut █████ cet ██████ de la █████

\left\Vert x\right\Vert _{1}=\sup \limits _{t\in {\mathcal {I}}}\left(\left\Vert x(t)\right\Vert +\left\Vert {\dot {x}}(t)\right\Vert \right)

qui en ████ un ██████ de ██████ qu'on ██████ ${\mathcal {E}}^{1}$ .

Une █████ ███████████ ████████ à ███████ █████████ à $x^{\ast }$ d'████ ███████████ █████████ par ████████, c'est-à-████ ████████, et █████ une ███████ ████████ ████ en un ██████ ████ de ██████, et █████ en ces ██████ une ███████ à ██████ et une ███████ à ██████. ████ $K{\mathcal {C}}^{1}\left({\mathcal {I}},\mathbf {X} \right)$ l'██████ des █████████ ███████████ ██████████ par ████████ par ████████ de ${\mathcal {I}}$ dans █. On peut █████ cet ██████ de la █████

\Vert x\Vert _{0}=\sup \limits _{t\in {\mathcal {I}}}\left(\Vert x(t)\Vert \right)

qui en ████ un ██████ █████████ █████, ███ ███████, qu'on ██████ ${\mathcal {E}}^{0}$ .

██████████ — Un ███████ █████ de J sur ${\mathcal {E}}^{1}$ (████. ${\mathcal {E}}^{0}$ ) est ██████ un ███████ █████ ██████ (████. ████).

On ██████ que, sous les ██████████ qui ont ███ █████████, la ████████ $J:x\mapsto J(x)$ est ██████████████ sur ${\mathcal {E}}^{1}$ , mais ███ sur ${\mathcal {E}}^{0}$ . Il s'██████ que la ████████████ ██████ ██████ du ██████ ████████████ █████████ dans un ██████ de ██████, ce qui n'est pas le ███ de la ████████████ █████.

████████ sur la ██████ de ███████ ████

Pour la ███████████ de la ██████ de ███████ ████, d'██████ ███████ ████████████ que $K{\mathcal {C}}^{1}\left({\mathcal {I}},\mathbf {X} \right)$ sont █████████ : on peut █████████ le █████████ par $W^{1,1}\left({\mathcal {I}},\mathbf {X} \right)$ , l'██████ des █████████ ██████████ █████████ de ${\mathcal {I}}$ dans █ (on a $W^{1,1}\left({\mathcal {I}},\mathbf {X} \right)\supset K{\mathcal {C}}^{1}\left({\mathcal {I}},\mathbf {X} \right)$ ) ; dans ████████ ███, J(█(.)) █████ un ███████ sur $W^{1,1}\left({\mathcal {I}},\mathbf {X} \right)$ mais ███ sur $K{\mathcal {C}}^{1}\left({\mathcal {I}},\mathbf {X} \right)$ █████ l'a ██████ ███████ ███████ en ████. █████████, on se ████████ dans ce qui ████ à la ██████████ ██████ plus ████ qui ██████ d'██████ ████████ ███████████.

On peut █████████ qu'une ████████ ███████████ █████████ qui ███████ un ███████ █████ ████ ███████ ██████████████ un ███████ █████ ██████. Par █████, pour une ████████ ███████████ █████████, une █████████ ██████████ de ███████ █████ ██████ (████, ██-███████, la ██████ (A) du ████████ de ██████-███████████) est █████████ une █████████ ██████████ de ███████ █████ ████. Au █████████, une █████████ ██████████ de ███████ █████ ████ (████, ██-███████, la █████████ ██████████ de ███████ ████ de ███████████) est █████████ une █████████ ██████████ de ███████ █████ ██████, ██████ ████ du ██████ ███████, ██████ pour une ████████ de ██████ ${\mathcal {C}}^{1}$ :

█████████ ██████████ de ███████ ████ ⇒ ███████ ████ ⇒ ███████ ██████ ⇒ █████████ ██████████ de ███████ ██████

█████████ ████████████████

Ces █████████ ██████████ à █████████ une █████████████ J_█(█(.)) sous les ███████████ $J_{i}(x(.))=0\,(i=1,\dots ,m)$ avec

J_{i}(x(.))=\int _{t_{0}}^{t_{f}}{\mathcal {L}}_{i}\left(t,x(t),{\dot {x}}(t)\right)\mathrm {d} t

██████ les █████████ ${\mathcal {L}}_{i}(i=0,\dots ,m)$ █████████ les █████ ██████████ que la ████████ ${\mathcal {L}}$ ██-██████.

█████████ à █████████ ████████

████ D une ███████ de █████████ n, ██████████████ à ████, et

J\left(u(.)\right)=\int _{D}{\mathcal {L}}\left(x,u,{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)\mathrm {d} x

█ █████ la ████████ (plus ████ █████ t), █ = █(.) : D → █ la ████████ ████████ (plus ████ █████ █), où █ est un ██████ █████████ █████, ${\frac {\partial u}{\partial x}}$ sa ██████████████, et d█ = d█_█ ... d█_n la ██████ de ████████. On ███████ ${\mathcal {L}}$ de ██████ ${\mathcal {C}}^{2}$ . Le ████████ █████████ ici ████████ à ██████████, si elle ██████, une ████████ $u:x\mapsto u(x)$ de ██████ ${\mathcal {C}}^{2}$ qui ████████ J(█).

██████████ ██████████

█████████ du ███████ █████

████████ █████████

On █████████ le ████████ de ████████ à ██████████ █████ (le ████████ à ██████████ █████████ ███████ à ███████ les ██████████ de ██████████████ : ████, █████, le § ██████-███████████ et ████████ du ███████ ; ██████████ de ██████████████). ████ ██ un █████████████ de █, où █ est une ████████ ███████████ █████████ █████ que █(t_█) = █(t_█) = █ (on ██████ ██-███████ ${\mathcal {A}}$ l'██████ █████████ █████ des █ █████████ ces ██████████) et █ est un ██████ ████. Il en ███████ un █████████████ █ ██(█ ; █) de J(█), en ██████████ les ██████ du ██████ █████ en █ pour █ ███████ vers █. En █████, un █████████████ ██████ au ███████ █████ █████

J(x+\varepsilon h)=J(x)+\varepsilon \delta J(x;h)+o(\varepsilon )

où ██(█ ; █) est la « ████████ █████████ » de J.

███████ de ███████ et █████████ d'█████

█████ ████████ J, ███████ dans un █████████ de █, et pour ████████ un ███ █████████████ ██████ ██████ est ████ « █████████ au ████ de ███████ dans la █████████ de █ », et par ██████████

D_{G}J(x)(h)=\delta J\left(x;h\right)=\lim _{t\to 0 \atop t\neq 0}{\frac {J(x+th)-J(x)}{t}}

est la « ███████ de ███████ » de J au █████ █ dans la █████████ de █. L'███████████ $D_{G}J(x):{\mathcal {A}}\ni h\mapsto \delta J(x;h)$ est ████████ (c.-à-d. D_█J(█)(██) = █D_█J(█)(█) pour ████ ████ █) mais n'est pas ████████ en ███████.

█████████ d'█████ — ████ █ un ██████ d'un ██████ █████████ █████ (ou, plus ████████████, d'un ██████ █████████ ███████████) et J une ████████ █████████ au ████ de ███████ dans ██████ les ██████████ en un █████

x^{\ast }\in \Omega

. Pour que █^* ████████ J(█) dans █, il est ██████████ que ████ ████████ la █████████ d'█████ (█████████ du ███████ █████, ou de █████████████ de █^* pour J) :

D_{G}J(x^{\ast })=0

█████████████

On ███████ que █^* ████████ J(█) dans █. █████, pour ████ █, la ████████ ██████ $t\mapsto J(x^{\ast }+th)$ (███████ au █████████ de █) a un ████████ █████ en █. D'█████ le ████████ de ██████ sur les ██████ █████████████, sa ███████ en █ est ████ █████, c.-à-d. : D_█J(█^*)(█) = █.

████████ d'█████-████████

On a d'█████ ████

\delta J\left(x;h\right)=\int _{t_{0}}^{t_{f}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}}h+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}{\dot {h}}\right)\mathrm {d} t

et on en ██████ le ████████ ███████ :

████████ d'█████-████████ — ████ █^* une ████████ de ██████ ${\mathcal {C}}^{1}$ . La █████████ de █████████████ D_█ J(█^*) = █ est ██████████ si, et █████████ si █^* est une █████████, c'est-à-████ est ████████ de l'████████ d'█████-████████

{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}}\left(t,x^{\ast }(t),{\dot {x}}^{\ast }(t)\right)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}\left(t,x^{\ast }(t),{\dot {x}}^{\ast }(t)\right)\right)=0

(██) .

Il s'████ ████ d'une █████████ ██████████ pour que J(█^*) ████ un ███████ (ou ███████) █████ ██████ de J

█████████████

Il ██████ d'██████ la █████████ d'█████, ████ d'█████████ le █████ de Du ████-███████.

████████████ : ████ #███████████ d'une ███████ ████████████. L'████████ d'█████-████████ ██████ █████ de ██████████ la ██████ ███████████████.

█████████ sur l'████████ d'█████-████████

Une █████████████ █████████ de cette ████████ (█████████ dans l'███████ ███) ███████ une ███████████ par ███████ et le █████ ███████████ du ██████ des ██████████, mais n'est ██████ que si ${\dot {x}}^{\ast }$ et ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}$ sont de ██████ C^█. C'est ████████ l'███████████ du █████ de du ████-███████, pour ██████ il ██████ de ████████ █^* et ${\mathcal {L}}$ de ██████ C^█, est ██████████.
Pour que la ████████ $x^{\ast }\in {\mathcal {E}}^{0}$ █████████ un ███████ █████ ████, il est ██████ ██████████, █████ on le █████ plus ████ (#██████-███████████ et ████████ du ███████ ; ██████████ de ██████████████), qu'elle ████ ████████ de l'████████ d'█████-████████ dans ██████ ██████████ dans ██████ elle est ███████████ █████████. Si █^* est █████████ ████████ ██████████ ████████, l'████████ d'█████-████████ ████ ████ ████████ ███████ ███████.

███ des █████████ ████████████████

On █████████ des ███████████████ de ████████ $\lambda _{i}(i=0,1,...,n)$ où $\lambda _{0}\in \left\{0,1\right\}$ , et on █████ la ████████ (███████ ██████████, mais dans un ████ qui n'est pas à █████████ avec le █████████, d'où la █████████ ████████)

J\left(x\right)=\sum \limits _{i=0}^{m}\lambda _{i}J_{i}(x)=\int _{t_{0}}^{t_{f}}{\mathcal {L}}\left(t,x(t),{\dot {x}}(t)\right)\mathrm {d} t

avec

{\mathcal {L}}(t,x,u)=\sum \limits _{i=0}^{m}\lambda _{i}{\mathcal {L}}_{i}(t,x,u)

Une █████████ ██████████ pour que █^* ████ ████████ du ████████ ███████████ est qu'il ██████ des ███████████████ de ████████ █████ ██-██████, ███ ████ ████, ████ que █^* █████ ████████████ J(█). Cette █████████████ ████████ à la ████████████ de la ████ ████████ d'█████-████████ que plus ████.

███████████ : ████ #████████ de █████.

████████ sur les ███████████████ de ████████

Si les ███████████████ ██_█(█^*) (█ = █,...,m) sont ████████████ █████████████, on a ██████████████ █_█ = █ : c'est █████ la ███████████ █████████ du ████████ des ███████████████ de ████████.

███ des █████████ à █████████ ████████

Avec les █████████ ███████████ ████ de la ████████ du ████████ (§ █████████ à █████████ ████████), une █████████ ██████████ de █████████████, si l'on se █████████ aux ██████████ de ██████ $C^{2}$ (pour les ██████████ de ██████ $C^{1}$ , on █████████ le █████ de ████) est ██████ par l'████████ d'████████████ (██████████████ de l'████████ d'█████-████████) :

{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial u}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)}}\right)=0

où ${\frac {\partial u}{\partial x}}$ ███████ la ██████████████ de █ ; on peut █████████ █████ cette ██████████████ $du:D\rightarrow L(\mathbb {R} ^{n},\mathbf {X} )$ , où $L(\mathbb {R} ^{n},\mathbf {X} )$ est l'██████ des ████████████ █████████ de $\mathbb {R} ^{n}$ dans █. ███████ $\mathbf {X} =\mathbb {R} ^{m}$ , l'████████ d'████████████ peut s'██████████ █████ ████ :

{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial u_{j}}}-\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \left({\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)}}\right)=0\ (j=1,...,m).

Les █████████ █ █████████ ces ██████████ sont de ███████ ████████ ██████████.

█████████████

████ $h\in C^{2}(D)$ et █ > █. On a

\delta J(u;h):=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\left(J(u+\varepsilon h)-J(u)\right)/\varepsilon =\int _{D}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial u}}\cdot h+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)}}\cdot {\frac {\partial h}{\partial x}}\right)\mathrm {d} x

On a

{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)}}\cdot {\frac {\partial h}{\partial x}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)}}\cdot h\right)-{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)}}\right)\cdot h

et par ██████████

\delta J(u;h)=\int _{D}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial u}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)}}\right)\right)\cdot h\mathrm {d} x+\int _{D}{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)}}\cdot h\right)\mathrm {d} x

D'█████ le ████████ de la ██████████ (ou d'████████████), dans sa ███████ à n █████████, la ███████ █████████ est █████ à l'█████████ de ███████

\int _{\partial D}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)}}\cdot h\cdot {\overrightarrow {n}}d\sigma

où ${\overrightarrow {n}}$ est le ███████ ████████ ███████ de D de la ███████ à ∂D et d█ est la ██████ █████████████. Cette ███████ █████████ est █████ si l'on █████ █ s'████████ sur ∂D, et il █████ █████

\delta J\left(u;h\right)=\int _{D}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial u}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)}}\right)\right)\cdot h\cdot \mathrm {d} x

La █████████ de █████████████ ████████ que ██(█^* ; █) = █ pour █████ ████████ $h\in C^{2}(D)$ s'████████ sur ∂D, et le ████████ ██████ est ██████████ une ███████████ du █████ ███████████ du ██████ des ██████████.

███████████ : ████ le § ████████ de █████████.

██████████ du ██████ █████ de ███████ ██████

On █████████ █████████ le ████████ de ████████, pour ██████ on ███████ ${\mathcal {L}}$ de ██████ ${\mathcal {C}}^{2}$ , █████ que ses ███████████████ ██████████ ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}}$ et ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}$ , et █. On █████████ dans ce ██████████ une des ██████████ du ██████ █████ de ███████ █████ ██████.

███████ █████████

████ █^* une █████████, pour ████████ on a ████, par ██████████, ██(█^*) = █, et ███████ un █████████████ ██████ au ██████ █████ de J(█^* + ██). Sous l'█████████ ██-██████, la ██████████████ ███████ $D^{2}J(x^{\ast })\in L_{2}({\mathcal {E}}^{1};\mathbb {R} )$ de J ██████ au █████ █^* (où $L_{2}({\mathcal {E}}^{1};\mathbb {R} )$ est l'██████ des ██████ ███████████ █████████ sur ${\mathcal {E}}^{1}\times {\mathcal {E}}^{1}$ ) et

J(x^{\ast }+\varepsilon h)=J(x^{\ast })+\varepsilon ^{2}\delta ^{2}J(x^{\ast };h)+o(\varepsilon ^{2})

où █^█J(█^* ; █) = █/█D^█J(█^*)•(█, █). La ████████ █^█J(█^* ; █) est ███████ la ███████ █████████ de J au █████ █^*. Il █████

\delta ^{2}J(x^{\ast };h)={\frac {1}{2}}\int _{t_{0}}^{t_{f}}\left({\frac {\partial ^{2}{\mathcal {L}}}{\partial x^{2}}}\cdot (h,h)+2{\frac {\partial ^{2}{\mathcal {L}}}{\partial x\partial {\dot {x}}}}\left({\dot {h}},h\right)+{\frac {\partial ^{2}{\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}^{2}}}\cdot \left({\dot {h}},{\dot {h}}\right)\right)\mathrm {d} t

où pour ███████ on a █████ ${\frac {\partial ^{2}{\mathcal {L}}}{\partial x^{2}}}$ pour ${\frac {\partial ^{2}{\mathcal {L}}}{\partial x^{2}}}(t,x^{\ast }(t),{\dot {x}}^{\ast }(t))$ , ███. En █████████ les ██████ █████ par ███████ on ███████

\delta ^{2}J(x^{\ast };h)={\frac {1}{2}}\int _{t_{0}}^{t_{f}}\left({\frac {\partial ^{2}{\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}^{2}}}\cdot \left({\dot {h}},{\dot {h}}\right)+\left({\frac {\partial ^{2}{\mathcal {L}}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial ^{2}{\mathcal {L}}}{\partial x\partial {\dot {x}}}}\right)\right)(h,h)\right)\mathrm {d} t

████ ████

\delta ^{2}J(x^{\ast };h)={\frac {1}{2}}\int _{t_{0}}^{t_{f}}\left(P(t)\cdot \left({\dot {h}},{\dot {h}}\right)+Q(t)\cdot (h,h)\right)\mathrm {d} t

avec

P(t)={\frac {\partial ^{2}{\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}^{2}}}\left(t,x^{\ast }(t),{\dot {x}}^{\ast }(t)\right)

Q(t)={\frac {\partial ^{2}{\mathcal {L}}}{\partial x^{2}}}\left(t,x^{\ast }(t),{\dot {x}}^{\ast }(t)\right)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial ^{2}{\mathcal {L}}}{\partial x\partial {\dot {x}}}}\left(t,x^{\ast }(t),{\dot {x}}^{\ast }(t)\right)\right)

█████████ de ████████

La ████████ █^█J(█^* ; █) ████ ████ ███ ████████ pour ████ █████████████ █ de ██████ ${\mathcal {C}}^{1}$ ███ que █(t_█) = █(t_█) = █. On ██████ qu'une █████████ ██████████ pour qu'il en ████ █████ est que la █████ ██████████ ██████████ █(t) (███████████ le ███████ █████ de l'█████████ ██-██████) ████ ████-███████ ████████, ce qu'on ██████ sous la █████ $P(t)\geq 0$ : c'est la █████████ ██████ de ████████ (ou de ████████-███████). En █████, dans l'█████████ █^█J(█^* ; █), le █████

{\frac {1}{2}}\int _{t_{0}}^{t_{f}}\left(P(t)\cdot \left({\dot {h}},{\dot {h}}\right)\right)\mathrm {d} t

« █████████ », dans le ████ où l'on peut ██████████ des █████████ ███████, ████████ dans [t_█ , t_█], ██████ en t_█ et t_█, de ██████ █████████ et dont la ███████ est de ██████ █████████ (█████ qu'une ████████ █████ en t_█ et t_█, dont la ███████ est de ██████ █████████ sur [t_█ , t_█], est ██████████████ de ██████ █████████).

████████ : ███ du ██████ des ██████████ à █████████ ████████

(████ les §§ █████████ à █████████ ████████ et ███ des █████████ à █████████ ████████). La █████████ ██████ de ████████, qui █████ █████ le ███ de █████████ de ████████-████████, s'█████ $P(x)\geq 0$ où

P\left(x\right)={\frac {\partial ^{2}{\mathcal {L}}}{\partial v^{2}}}\left(x,u^{\ast }(x),v^{\ast }(x)\right)\ {\textrm {avec}}\ v={\frac {\partial u}{\partial x}}

█████████ de ██████

█████ que les ████ ██████ de l'█████████ $\delta ^{2}J(x^{\ast };h)$ ███████ ████ ██████████ █████████████. Si █ est la ████████ █████, il est █████ que █^█J(█^* ; █) = █. Par ██████████, cette ████████ █████ ████ █████████ █^█J(█^* ; █), avec les ██████████ aux ███████ █(t_█) = █(t_█) = █, dans un █████████ de █ dans ${\mathcal {E}}^{1}$ (« ████████ de ████████████ ██████████ »). Ceci ███████ à ███████ l'████████ d'█████-████████ (██) ████████ à ce ████████ ██████████. Il s'████ de l'████████ de ██████

Q(t)\cdot h-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(P(t)\cdot {\dot {h}}\right)=0\qquad (\mathrm {J} )

██████████ — Un █████ █ ∈ ]t_█ , t_█] est ███ ████████ à t_█ (ou : █^*(█) est ███ ████████ à █^*(t_█)) si l'████████ de ██████ (J) █████ une ████████ ${\bar {h}}$ █████ que ${\bar {h}}(t_{0})={\bar {h}}(\tau )=0$ et $P(\tau ){\dot {\bar {h}}}(\tau )\neq 0$ .

Dans le ███ █████ (et █████████ ████████ par ██████), où ███ █(█) ≠ █, cette ████████ █████████ ████████ à ${\dot {\bar {h}}}(\tau )\neq 0$ .

S'il ██████ un █████ ████████ à t_█ dans l'██████████ ]t_█ , t_█[, il ██████ une ████████ ███ █████ █ ███████ ████████████ █^█J(█^* ; █). █████ pour ████ █ > █, █ █ ████ ████████████ █^█J(█^* ; █).

On ██████ le ████████ ███████ dans le ███ où la █████████ █████ de ████████ █(t) > █, t ∈ [t_█ , t_█], est ████████ :

L'█████████████ ███ █ = █ █████ un ███████ █████ ██████ ██████ pour █^█J(█^* ; █) █████ les ██████████████ █ de ██████ ${\mathcal {C}}^{1}$ ████ que █(t_█) = █(t_█) = █, si et █████████ si la █████████ █████ de ██████ est ██████████ : il n'██████ pas de █████ ████████ à t_█ dans l'██████████ [t_█ , t_█].

███████████ a ██████ en ████ le ████████ ███████ :

████████ de ██████-███████████ — (A) Une █████████ ██████████ pour que █^* █████ un ███████ █████ ██████ pour le ████████ de ████████ à ██████████ █████ est que

(█) L'████████ d'█████-████████ (██) ████ ████████, █████ que les ██████████ aux ███████ █^*(t_█) = █_█, █^*(t_█) = █_█ ;

(██) La █████████ ██████ de ████████ █(t) ≥ █, ∀ t ∈ [t_█ , t_█] ████ ████████ ;

(███) La █████████ ██████ de ██████ ████ ██████████ : « Il n'y a pas de █████ ████████ à t_█ dans l'██████████ ]t_█ , t_█[ ».

(█) Une █████████ ██████████ pour que █^* █████ un ███████ █████ ██████ ██████ pour le ████████ de ████████ à ██████████ █████ est que

(█') : █████████ █████████ à (█) ;

(██') La █████████ █████ de ████████ █(t) > █, ∀ t ∈ [t_█ , t_█] (où █(t) > █ ████████ que la █████ ██████████ ██████████ █(t) est ███████ ████████) ████ ████████ ;

(███') La █████████ █████ de ██████ ████ ██████████ : « Il n'y a pas de █████ ████████ à t_█ dans l'██████████ [t_█ , t_█] ».

███████████ : ████ #████████ d'██████ ████████████ de ████████.

████████ : ███ d'un ██████████ ne █████████ pas de l'████████

On ███████ que ${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}(t,{\dot {x}})$ . La █████████ █████ de ██████ ███████ █████ ████████ si la █████████ █████ de ████████ est ████████. Par █████, une █████████ ██████████ pour que █^* █████ un ███████ █████ ██████ ██████ est que la █████████ d'█████-████████ et la █████████ █████ de ████████ ██████ ██████ ████ ███████████.

Ce ████████ est ██████ ███████ dans le ███ des █████████ à █████████ ████████ (§§ █████████ à █████████ ████████ et ███ des █████████ à █████████ ████████) ███████ ${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}(x,{\frac {\partial u}{\partial x}})$ . █████ ███████████, ████ le § ████████ de █████████.

████████ : ███ ███████

On ███████ que la █████████ █████ de ████████ ████ ██████████ (█(t) > █) et que de plus █(t) ≥ █, ceci pour ████ t ∈ [t_█ , t_█]. █████ il est █████ que █^█J(█^* ; █) > █ pour ████ █ ≠ █ de ██████ ${\mathcal {C}}^{1}$ ███ que █(t_█) = █(t_█) = █. Par █████, il n'y a pas de █████ ████████ à t_█ dans l'██████████ [t_█ , t_█], et un ███████ █████ ██████ ██████ de J est ███████ au █████ █^*. Ceci ██████████ la ████████ ██████████.

████████ : ███ ███████ avec █████████ ████████

Dans le ███ d'un ████████ à █████████ ████████, on █████████ la █████ ██████████ ██████████

\left(\upsilon ,\xi \right)\mapsto {\frac {\partial ^{2}{\mathcal {L}}}{\partial u^{2}}}\left(x,u^{\ast }(x),v^{\ast }(x)\right)\cdot (\upsilon ,\upsilon )+2{\frac {\partial ^{2}{\mathcal {L}}}{\partial u\partial v}}\left(x,u^{\ast }(x),v^{\ast }(x)\right)\cdot (\upsilon ,\xi )+{\frac {\partial ^{2}{\mathcal {L}}}{\partial v^{2}}}\left(x,u^{\ast }(x),v^{\ast }(x)\right)\cdot (\xi ,\xi )

avec les █████████ ████ ███████████ dans ce ███ (█.█. $v={\frac {\partial u}{\partial x}}$ ). On ███████ cette █████ ███████ ████████ pour ████ $x\in D$ . █████ la █████████ ███████ de J est ███████████ ████████ pour ████ █████████████ ███ ███ et ████████████ █████ █ de █^* dans ${\mathcal {C}}^{1}(D)$ , s'████████ sur la █████████ de D, et par ██████████ un ███████ █████ ██████ ██████ est ██████ pour █ = █^*.

██████████ de ███████ ████

████████ de ███████████

On █████████ de ███████ le ████████ de ████████ à ██████████ █████, en █████████ ${\mathcal {L}}$ de ██████ $C^{2}$ , mais █████████ cette ████ un ███████ █████ ████. On ███████ en ████████ du ██████████ ${\mathcal {L}}(t,x,u)$ la ████████ de ███████████ ou « ████████ »

{\mathcal {E}}(t,x,u;w)={\mathcal {L}}(t,x,w)-{\mathcal {L}}(t,x,u)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial u}}(t,x,u)\cdot (w-u)

La █████████ ██████████ de ███████████ peut s'███████ ████ ███████████, █████ aux « ██████████ en ████████ » ███████████ par ███████████, ████, █████ on ██ le ████ plus ████, █████ une ███████████ du ████████ du ███████ de la ████████ ████████.

█████████ ██████████ de ███████ ████ — Pour que $x^{\ast }\in {\mathcal {C}}^{1}\left(\left[t_{0},t_{f}\right],\Omega \right)$ █████████ un ███████ █████ ████, il ████ que les ██████████ ███████████ (█), (██), (███) de ███████ ██████ du ████████ de ██████ ██████ ███████████, █████ que la █████████ ██████ de ███████████ (██) : pour ████ t ∈ [t_█ , t_█],

{\mathcal {E}}\left(t,x^{\ast }(t),{\dot {x}}^{\ast }(t);w\right)\geq 0,\forall w\in \mathbf {X}

La █████████ ██████████ de ███████████ est une ███████████ ███████ sa ███████ █████████, ██████████ et █████████ plus ███ en █████████ les ███████ de ███████, de ████████ et de █. ██████. Cette ████████ ████████████ ███████ au ████████ ███████ :

█████████ ██████████ de ███████ ████ (███████████, ████) — ████ $x^{\ast }\in {\mathcal {C}}^{1}\left(\left[t_{0},t_{f}\right],\Omega \right)$ une ██████ ██████████, $\Gamma =\left\{t,x^{\ast }(t),{\dot {x}}^{\ast }(t):t\in [t_{0},t_{f}]\right\}$ , et █ un █████████ de █ dans ${\mathcal {I}}\times \mathbf {X} \times \mathbf {X}$ . Pour que █^* █████████ un ███████ █████ ████, il ██████ que les ██████████ ███████████ (█), (██'), (███') de ███████ ██████ du ████████ de ██████-███████████ ██████ ██████████, █████ que la █████████ █████ de ███████████ (██') :

{\mathcal {E}}(t,x,u;w)\geq 0,\forall (t,x,u,w):(t,x,u)\in V,(t,x,w)\in V.

Si de plus ${\mathcal {E}}(t,x,u;w)>0$ pour $w\neq u$ , ce ███████ est ██████.

████████ sur la █████████ ██████████ de ███████ ████

La ███████ de ██████ d'█████ █ avec █████ de ████████ s'█████

{\mathcal {L}}(t,x,u+h)={\mathcal {L}}(t,x,u)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial u}}(t,x,u)\cdot h+{\frac {\partial ^{2}{\mathcal {L}}}{\partial u^{2}}}(t,x,u+\theta h)\cdot (h,h)

où █ ∈ ]█ ; █[.

En ███████ █ = █ – █, on ████ ████ que la █████████ █████ de ███████████ est ██████████ si

{\frac {\partial ^{2}{\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}^{2}}}(t,x,u)\geq 0,\forall (t,x,u)\in V.

(█████████ ██████████ de ███████ ████). De plus, ${\mathcal {E}}(t,x,u;w)>0(w\neq u)$ si

{\frac {\partial ^{2}{\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}^{2}}}(t,x,u)>0,\forall (t,x,u)\in V.

(█████████ ██████████ de ███████ ████ ██████).

██████████ ███████████

On █████████ à ███████ le ████████ à ██████████ █████████. Il ██████, █████ on l'a ██, de ██████████ le ████████ de ████████, ███████ █████ de █████ s'y ██████ (cela █████████ les ██████████ de ██████████████ ██-███████). Les █████████ ${\mathcal {L}}$ et ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}$ sont █████████ ███████████ ███████████████ et █ est ███████ de █████████ █████.

██████-███████████ et ████████ du ███████ ; ██████████ de ██████████████

On ███████ ██████-███████████ la ████████

{\mathcal {H}}:{\mathcal {I}}\times \Omega \times \mathbf {X} \times \mathbf {X} ^{\prime }\rightarrow \mathbb {R}

(où █' est le ████ de █) ███████ par

{\mathcal {H}}\left(t,x,u,p^{\prime }\right)=\left\langle p^{\prime }|u\right\rangle -{\mathcal {L}}(t,x,u)

(où $\left\langle .|.\right\rangle$ est le ███████ de ███████).

Le ████ de $\mathbb {R} \times \mathbf {X}$ est █████████ avec $\mathbb {R} \times \mathbf {X} ^{\prime }$ . ████ les ████ █████████ ██████████ de ████████

{\dot {x}}^{\ast }={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p^{\prime }}}\left(t,x^{\ast },u^{\ast },p^{\prime \ast }\right)

{\dot {p}}^{\prime \ast }=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial x}}\left(t,x^{\ast },u^{\ast },p^{\prime \ast }\right)

On ████ $T_{\left(t_{f}^{\ast },x_{f}^{\ast }\right)}\left({\mathcal {V}}_{f}\right)$ l'██████ ███████ à la ███████ ${\mathcal {V}}_{f}$ au █████ $\left(t_{f}^{\ast },x_{f}^{\ast }\right)$ et $N_{\left(t_{f}^{\ast },x_{f}^{\ast }\right)}\left({\mathcal {V}}_{f}\right)$ l'██████████ de $T_{\left(t_{f}^{\ast },x_{f}^{\ast }\right)}\left({\mathcal {V}}_{f}\right)$ dans $\mathbb {R} \times \mathbf {X} ^{\prime }$ , c'est-à-████ l'████████ des ██████ █████████ █████████ $k^{\prime }\in \mathbb {R} \times \mathbf {X} ^{\prime }$ ██████ que $\left\langle k^{\prime }|h\right\rangle =0,\forall h\in T_{\left(t_{f}^{\ast },x_{f}^{\ast }\right)}\left({\mathcal {V}}_{f}\right)$ . On ███████ de ████ $T_{\left(t_{0}^{\ast },x_{0}^{\ast }\right)}\left({\mathcal {V}}_{0}\right)$ et $N_{\left(t_{0}^{\ast },x_{0}^{\ast }\right)}\left({\mathcal {V}}_{0}\right)$

On ███████ ██████████ de ██████████████ les █████████

\left(-{\mathcal {H}}\left(t_{f}^{\ast },x_{f}^{\ast },u^{\ast }(t_{f}^{\ast }),p^{\prime \ast }\left(t_{f}^{\ast }\right)\right),p^{\prime \ast }\left(t_{f}^{\ast }\right)\right)\in N_{\left(t_{f}^{\ast },x_{f}^{\ast }\right)}\left({\mathcal {V}}_{f}\right)

\left(-{\mathcal {H}}\left(t_{0}^{\ast },x_{0}^{\ast },u^{\ast }(t_{0}^{\ast }),p^{\prime \ast }\left(t_{0}^{\ast }\right)\right),p^{\prime \ast }\left(t_{0}^{\ast }\right)\right)\in N_{\left(t_{0}^{\ast },x_{0}^{\ast }\right)}\left({\mathcal {V}}_{0}\right)

La ████████ d'entre elles est █████████ plus ████. Le ████████ ███████ est une ███████████ du ████████ du ███████ de la ████████ ████████ :

████████ du ███████ du ██████ des ██████████ — Pour que █* (████████ ███████████ █████████ par ████████) █████████ un ███████ █████ ████, il est ██████████ qu'il ██████ un ███████ ███████ $p^{\prime \ast }\in KC^{1}\left({\mathcal {I}};\mathbf {X} ^{\prime }\right)$ pour ██████ les ████ █████████ ██████████ et les ██████████ de ██████████████ ██████ ███████████, que la ████████ $t\mapsto {\mathcal {H}}\left(t,x^{\ast }(t),u^{\ast }(t),p^{\prime \ast }(t)\right)$ ████ ████████, et que le ████████ du ███████

{\mathcal {H}}\left(t,x^{\ast }(t),{\dot {x}}^{\ast }(t),p^{\prime \ast }(t)\right)\geq {\mathcal {H}}\left(t,x^{\ast }(t),u,p^{\prime \ast }(t)\right),\forall u\in \mathbf {X}

████ ███████ en ████ █████ $t\in \left[t_{0}^{\ast },t_{f}^{\ast }\right]$ ██████ █* est ███████████ █████████. On a en ████ █████ où ${\dot {x}}^{\ast }$ et █'* sont █████████ (████ ████ en un ██████ ████ de ██████) l'███████ (█) :

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\mathcal {H}}\left(t,x^{\ast }(t),{\dot {x}}^{\ast }\left(t\right),\lambda ^{\ast },p^{\prime \ast }(t)\right)={\frac {\partial }{\partial t}}{\mathcal {H}}\left(t,x^{\ast }(t),{\dot {x}}^{\ast }(t),p^{\prime \ast }(t)\right)

et en ███████████, si le ██████-███████████ ${\mathcal {H}}$ ne ██████ pas █████████████ du █████,

{\mathcal {H}}\left(x^{\ast }(t),{\dot {x}}^{\ast }(t),p^{\prime \ast }(t)\right)=C^{te}

███ ████████████ des ██████████ de ██████████████

On ███████ ██████████ que la ███████ ${\mathcal {V}}_{f}$ ████ de la █████ ${\mathcal {T}}_{f}\times {\mathcal {X}}_{f}$ où ${\mathcal {T}}_{f}$ et ${\mathcal {X}}_{f}$ sont des sous-████████ de ${\mathcal {\mathbb {R} }}$ et de █, ██████████████. L'████████ de ██████████████ s'█████ ████

(a)

{\mathcal {H}}\left(t_{f}^{\ast },x_{f}^{\ast },{\dot {x}}^{\ast }\left(t_{f}^{\ast }\right),p^{\prime \ast }\left(t_{f}^{\ast }\right)\right)\in N_{t_{f}^{\ast }}\left({\mathcal {T}}_{f}\right)

(█)

p^{\prime \ast }\left(t_{f}^{\ast }\right)\in N_{t_{f}^{\ast }}\left({\mathcal {X}}_{f}\right)

Dans le ███ d'un ███████ █████ █████, on a ${\mathcal {T}}_{f}={\mathcal {\mathbb {R} }}$ , par ██████████ $N_{t_{f}^{\ast }}\left({\mathcal {T}}_{f}\right)=0$ et (a) ███████

(a')

{\mathcal {H}}\left(t_{f}^{\ast },x_{f}^{\ast },{\dot {x}}^{\ast }\left(t_{f}^{\ast }\right),p^{\prime \ast }\left(t_{f}^{\ast }\right)\right)=0

█████ que dans le ███ d'un ███████ █████ ████, ${\mathcal {T}}_{f}=\left\{t_{f}\right\}$ et $N_{t_{f}^{\ast }}\left({\mathcal {T}}_{f}\right)=\{0\}$ , ████ (a) est ████████████ ████████. Dans les ████ ███ on a une ████████: (a') dans le ███████, t_█* = t_█ dans le ██████.

Dans le ███ d'un ████ █████ █████, on a ${\mathcal {X}}_{f}=\mathbf {X}$ , par ██████████ $N_{x_{f}^{\ast }}\left({\mathcal {X}}_{f}\right)=0$ et (█) ███████

(█')

p^{\prime \ast }\left(t_{f}^{\ast }\right)=0

Dans le ███ d'un ████ █████ ████, ${\mathcal {X}}_{f}=\left\{x_{f}\right\}$ et $N_{x_{f}^{\ast }}\left({\mathcal {X}}_{f}\right)=\left\{0\right\}$ , ████ (█) est ████████████ ████████. Dans les ████ ███ on a n █████████, si █ est de █████████ n : (█') dans le ███████, █^█* = █_█ dans le ██████.

Le ████ ████████████ s'████████ ██████████ pour la █████████ ████████.

████████ d'█████-████████, ██████████ de ████████ et de ███████████

On ██████ que les ██████████ ███████████ de ███████ █████ ████ ███████ plus ████, à l'█████████ de la █████████ de ██████, sont des ████████████ du ████████ du ███████ du ██████ des ██████████, et ceci ████ qu'on se █████ ici dans le ████████ plus ███████ d'██████████ ██████████████ █████████ (la █████████ de ██████ █████████ n'est ██████ que dans le ███ d'██████████ █████ ████████ plus ████ ; █████████ une █████████ ████████, ███████ ██████████ la ██████ de █████ █████, ███ à ██████, a ███ ███████ dans le ███ d'une █████████ ██████ █████).

Les █████████ ██████████ s'████████ ██████

{\dot {x}}^{\ast }(t)=u^{\ast }(t)

{\dot {p}}^{\ast }(t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}}\left(t,x^{\ast }(t),u^{\ast }(t)\right)

Le ████████ du ███████ ████████ au ███████ █████ l'████████ d'█████ (ou de █████████████)

{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial u}}\left(t,x^{\ast }(t),u^{\ast }(t),p^{\prime \ast }(t)\right)=0

█████████ ███, en █████████ la ████████ ████████ █████████,

p^{\prime \ast }(t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}\left(t,x^{\ast }(t),{\dot {x}}^{\ast }(t)\right)

La ███████ ████████ █████████ ████████ ████ ██████████ l'████████ d'█████-████████ (██) en ██████ █████ ██████ █* est ███████████ █████████. D'█████ ████, on a

{\mathcal {H}}(t,x,u,p^{\prime })-{\mathcal {H}}(t,x,w,p^{\prime })={\mathcal {L}}(t,x,w)-{\mathcal {L}}(t,x,u)-\left\langle p^{\prime }|w-u\right\rangle

Par ██████████, en █████████ l'██████████ de █'*(t) qui █████ d'████ ███████, on ████ que le ████████ du ███████ ████████ la █████████ ██████ de ███████████. █████-██ à son ████ ████████ la █████████ ██████ de ████████.

██████████ d'██████████████ des ██████ de ███████████-███████

Le ████████ du ███████ ████████ que les █████████

t\mapsto p^{\prime \ast }(t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}\left(t,x^{\ast }(t),{\dot {x}}^{\ast }(t)\right)

t\mapsto {\mathcal {H}}(t,x^{\ast }(t),{\dot {x}}^{\ast }(t),p^{\prime \ast }(t))={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}}\left(t,x^{\ast }(t),u^{\ast }(t)\right)\cdot {\dot {x}}^{\ast }(t)-{\mathcal {L}}\left(t,x^{\ast }(t),{\dot {x}}^{\ast }\left(t\right)\right)

sont █████████. Ce sont les ████ ██████████ d'██████████████ des ██████ de ███████████–███████ (en).

On ███ que le ██████████ est ████████ (au ████ de ███████) si

\det \left({\frac {\partial ^{2}{\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}^{2}}}(t,x,u)\right)\neq 0\left((t,x,u)\in {\mathcal {I}}\times \Omega \times \mathbf {X} \right).

██████████ — On ███████ $\mathbf {X} =\mathbb {R}$ et le ██████████ ████████. █████ █████ ████████ █* (████████ ███████████ █████████ par ████████) ███████ un ███████ ████ est ███████████ █████████.

█████████████

On ███████ qu'en un █████ t ∈ ]t_█ , t_█[, ${\dot {x}}^{\ast }$ ███████ une ██████ à ██████ █_█ ██████████ de sa ██████ à ██████ █_█. Pour █████ les █████, on ███████ █_█ < █_█. ████ $\varphi (u)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}\left(t,x^{\ast }(t),u\right)$ . Cette ████████ █████ une ███████ ${\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} u}}(w)={\frac {\partial ^{2}{\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}^{2}}}\left(t,x^{\ast }(t),w\right)$ . La ████████ █████████ d'██████████████ des ██████ ████████ █(█_█) = █(█_█), par ██████████ il ██████ $w\in ]u_{1},u_{2}[$ █████ que ${\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} u}}(w)=0$ , ce qui est ██████████. Par ██████████, █_█ = █_█.

█████████████████ des ██████████

███████ a ██████ le ████████ ███████ en █████████ le ████████ des █████████ ██████████ : si ${\mathcal {L}}$ de ██████ ${\mathcal {C}}^{n}(n\geq 2)$ et le ██████████ est ████████, █████ une █████████ █* de ██████ ${\mathcal {C}}^{1}$ sur un ██████████ est de ██████ ${\mathcal {C}}^{n}$ sur cet ██████████. Par ██████████, dans les ██████████ du ██████████ ██-██████, █* est de ██████ ${\mathcal {C}}^{n}$ .

██████████ ███████████ █████████

On ███████ de ███████ le ██████████ ████████. La ████████████ du ██████-███████████ ████████ la █████████ d'█████

{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial u}}\left(t,x,u,p^{\prime }\right)=0\Leftrightarrow p^{\prime }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial u}}\left(t,x,u\right)

On peut ██████ cette ████████ sous la █████ $G\left(z,u\right)=0$ avec

z=\left(t,x,p^{\prime }\right)

G\left(z,u\right)=p^{\prime }-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial u}}\left(t,x,u\right)

███████ le ██████████ est ████████, le ████████ des █████████ ██████████ ████████ que █ est (██████████) une ████████ de ██████ ${\mathcal {C}}^{1}$ de █, qu'on peut ██████ $u^{0}\left(z\right)$ .

████ █████ l'███████████

{\mathfrak {H}}(t,x,p^{\prime })={\mathcal {H}}\left(t,x,u^{0}(t,x,p^{\prime }),p^{\prime }\right)

Les ████ █████████ ██████████ s'████████ ██████████

{\dot {x}}^{\ast }(t)={\frac {\partial {\mathfrak {H}}}{\partial p^{\prime }}}(t,x^{\ast }(t),p^{\prime \ast }(t))

{\dot {p}}^{\prime }(t)=-{\frac {\partial {\mathfrak {H}}}{\partial x}}(t,x^{\ast }(t),p^{\prime \ast }(t))

où l'on a ██████ le ███████ ███████ par la ████████ $p^{\prime }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}\left(t,x,{\dot {x}}\right)$ .

Le ███████ des █████████ $(t,x,{\dot {x}})$ aux « █████████ ██████████ » (t , █ ,█') est la ██████████████ de ████████.

███████ ${\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial u}}\left(t,x,u^{0}(t,x,p^{\prime }),p^{\prime }\right)=0$ , l'███████ (█) du ████████ du ███████ ████████, en ████ █████ ██████ █* et █'* sont ███████████ ██████████ (████ ████ en un ██████ ████ de ██████)

{\frac {\partial {\mathfrak {H}}}{\partial t}}\left(t,x^{\ast }(t),p^{\prime \ast }(t)\right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\mathfrak {H}}\left(t,x^{\ast }(t),p^{\prime \ast }(t)\right)

█████████ ██████████ d'██████████ (███████)

On █████████ de ███████ le ████████ de ████████, mais à █████████ ████████ █████ : ${\mathcal {V}}_{0}=\left\{\left(t_{0},x_{0}\right)\right\}$ . Le ██████████ est ███████ ████████.

████████ d'██████████ du ██████ des ██████████

D'█████ le ████████ ███████ de la █████████████ █████████ de ███████, ██████████████ du ████████ d'████████-███████, une ████████ █* ████████ J(█), si, et █████████ si pour ████ (█ , █) ∈ [t_█ , t_█[ × █, █* ████████ le ███████

J_{\tau }(x)=\int _{\tau }^{t_{f}}{\mathcal {L}}\left(t,x(t),{\dot {x}}(t)\right)\mathrm {d} t

avec

x(\tau )=\xi

█████████ par -S(█ , █) la ██████ ████████ de ce ███████ et on █████████ de ███████ le ██████-███████████ ${\mathcal {H}}(t,x,u,p^{\prime })$ . L'████████ de ████████-██████-███████ du ██████ des ██████████ est l'████████ aux ████████ ██████████

(███):: ${\frac {\partial S}{\partial t}}(\tau ,\xi )+\max _{u\in \mathbf {X} }{\mathcal {H}}\left(\tau ,\xi ,u,{\frac {\partial S}{\partial \xi }}(\tau ,\xi )\right)=0$

avec pour █████████ aux ███████ (██):: $S(t_{f},x_{f})=0,\forall (t_{f},x_{f})\in {\mathcal {V}}_{f}$ .

████████████ █████ plus ████ la ████████ █^█(█ , █ , █'), █████████ de la ████████████ du ██████-███████████ (dans (███)) et du ████████ des █████████ ██████████ et ██████, pour ███████ les █████████, ${\hat {u}}(t,x)=u^{0}\left(t,x,{\frac {\partial S}{\partial \xi }}(t,x)\right)$ . On a le ████████ ███████ :

████████ de ███████ — Pour que █*, █████████ les ██████████ ████████ et ██████, ████████ J(█), il est █████████ qu'il ██████ une ████████ ███████████ ██████████████ S : (█ , █) → S(█ , █) à l'████████ de ████████-██████-███████ (███), avec la █████████ aux ███████ (██), et (██) ${\dot {x}}^{\ast }(t)={\hat {u}}\left(t,x^{\ast }(t)\right)$ . La ██████ ████████ du ███████ est █████ J(█*) = -S(t_█ , █(t_█)).

█████████████

█████████ de l'████████ de ████████-██████-███████ et de la █████████ aux ███████ :

████ ██ ███ que █ < █ + ██ ≤ t_█. On a

${\begin{array}{cc}-S(\tau ,\xi )&=\min \limits _{u\in \mathbf {X} }\left\{\int _{\tau }^{\tau +\Delta \tau }{\mathcal {L}}\left(t,x(t),u(t)\right)\mathrm {d} t+\int _{\tau +\Delta \tau }^{t_{f}}{\mathcal {L}}(t,x(t),u(t))\mathrm {d} t\right\}\\&=\min \limits _{u\in \mathbf {X} }\left\{{\mathcal {L}}(\tau ,\xi ,u)\Delta \tau -S(\tau +\Delta \tau ,\xi +\Delta \xi )+o\left(\Delta \tau \right)\right\}\\&=\min \limits _{u\in \mathbf {X} }\left\{{\mathcal {L}}(\tau ,\xi ,u)\Delta \tau -S(\tau ,\xi )-{\frac {\partial S}{\partial t}}(\tau ,\xi )\Delta t-{\frac {\partial S}{\partial \xi }}(\tau ,\xi )\Delta \xi +o(\Delta \tau )\right\}\end{array}}$

avec $\Delta \xi =u\Delta \tau +o(\Delta \tau )$ . Par ██████████, en ████████ S(█ , █) aux ████ ███████, en ████████ par ██ et en ███████ ██████ ██ vers █, on ███████

0=\min \limits _{u\in \mathbf {X} }\left\{{\mathcal {L}}(\tau ,\xi ,u)-{\frac {\partial S}{\partial t}}(\tau ,\xi )-{\frac {\partial S}{\partial \xi }}(\tau ,\xi )u\right\}

ce qui ████████ à l'████████ de ████████-██████-███████. La █████████ aux ███████ et la ██████ ████████ du ███████ █████████ de la ██████████ de S(█ , █).

█████████████ de la █████████ ██████████ d'██████████ :

On ███████ que ${\hat {u}}(\tau ,\xi )$ ████████ par ███████ à $w\in \mathbf {X}$ la ████████ █(█ , █ ; █) ██-███████ :

Q(\tau ,\xi ;w)={\mathcal {L}}(\tau ,\xi ,w)-{\frac {\partial S}{\partial t}}(\tau ,\xi )-{\frac {\partial S}{\partial \xi }}(\tau ,\xi )w

████ █_█ la ████████ ██████████ par l'████████ ██████████████ ${\dot {x}}_{u}=u$ et la █████████ ████████ █_█(t_█) = █_█. On a █████

-{\frac {\partial S}{\partial t}}(t,x_{u}(t))-{\frac {\partial S}{\partial \xi }}(t,x_{u}(t))u(t)=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}S(t,x_{u}(t))

et en ███████████

{\begin{array}{cc}\int _{t_{0}}^{t_{f}}Q\left(t,x_{u}(t);{\hat {u}}(t,x_{u}(t))\right)\mathrm {d} t&=\int _{t_{0}}^{t_{f}}{\mathcal {L}}(t,x_{u}(t),u(t))\mathrm {d} t-S(t_{f},x_{f})+S(t_{0},x_{0})\\&=J(x_{u})+S(t_{0},x_{0})\end{array}}

██████ ████ de la █████████ aux ███████. ███████ $x_{0}$ et $t_{0}$ sont █████, $S\left(t_{0},x_{0}\right)$ l'est █████, et $J(x_{u})$ est ███████ pour $u={\hat {u}}(t,x)$ .

███████████ de ████████████

La ███████████ de ████████████ est ███████████ au ████████ de ███████ dans le ████████ du ██████ des ██████████. Elle peut s'████████ sous la █████ ████████ : on ███████ qu'il ██████ une ████████ ███████████ ██████████████ $S:(t,x)\mapsto S(t,x)$ █████ que, en ██████, █████ on l'a ████ ████ plus ████,

u^{0}\left(t,x,p^{\prime }\right)={\underset {u\in \mathbf {X} }{\arg \max }}{\mathcal {H}}\left(t,x,u,p^{\prime }\right)

(à ████████ que le ███████ ██████ et ████ ██████), S ████ ████████ de l'████████ aux ████████ ██████████ « de ████████████ »

{\frac {\partial S}{\partial t}}(t,x)+{\mathcal {H}}(t,x,u^{0}(t,x,{\frac {\partial S}{\partial x}}(t,x)),{\frac {\partial S}{\partial x}}(t,x))=0

█████ la ████████ ████████ █* est ████████ de l'████████ ██████████████

{\dot {x}}^{\ast }(t)=u^{o}\left(t,x^{\ast }(t),{\frac {\partial S}{\partial x}}\left(t,x^{\ast }(t)\right)\right)

███████ de ██████

████████ de ████████-██████

En █████████ l'████████ de ████████████ à l'████ de l'███████████ ${\mathfrak {H}}$ , on ███████ l'████████ d'████████-██████

{\frac {\partial S}{\partial t}}+{\mathfrak {H}}(t,x,{\frac {\partial S}{\partial x}})=0

████████ de ██████

████ n = ███(█), de █████ que, par ██████████████, $\mathbf {X} =\mathbb {R} ^{n}$ et que ses ████████ sont ███████████ par des ████████ ███████. La ████████ S ██████ d'un ███████ █ de n ██████████. On ███████ ████ que l'████████ de ████████-██████ ███████ une ████████ S(t , █ , █), de ██████ ${\mathcal {C}}^{2}$ . ██████

(██):: $p^{\prime }={\frac {\partial S}{\partial x}}(t,x,\alpha )$

et on █████████ l'████████

(███):: ${\frac {\partial S}{\partial \alpha }}(t,x,\alpha )=\beta ^{\prime }$

où $\beta ^{\prime }$ est une █████ de n ████████. En █████████ que

d'█████ le ████████ des █████████ ██████████, cette ████████ █████████ (██████████) █ en ████████ de t, █ et $\beta ^{\prime }$ :

(███):: $x=x^{0}(t,\alpha ,\beta ^{\prime })$

de █████ que l'on a

(██):: ${\frac {\partial S}{\partial \alpha }}(t,x^{0}(t,\alpha ,\beta ^{\prime }),\alpha )=\beta ^{\prime }$

████████ par ███████ à t l'████████ (██). Il █████

{\frac {\partial ^{2}S}{\partial \alpha \partial t}}\left(t,x^{0}(t,\alpha ,\beta ^{\prime }),\alpha \right)+{\frac {\partial ^{2}S}{\partial \alpha \partial x}}(t,x^{0}(t,\alpha ,\beta ^{\prime }),\alpha ){\frac {\partial x^{0}}{\partial t}}(t,\alpha ,\beta ^{\prime })=0

D'█████ ████, en █████████████ l'████████ de ████████-██████ par ███████ à █, il █████

{\frac {\partial ^{2}S}{\partial \alpha \partial t}}(t,x,\alpha )+{\frac {\partial ^{2}S}{\partial \alpha \partial x}}(t,x,\alpha ){\frac {\partial {\mathfrak {H}}}{\partial p^{\prime }}}\left(t,x,{\frac {\partial S}{\partial x}}(t,x,\alpha )\right)=0

(En █████, on a l'███████

{\frac {\partial {\mathfrak {H}}}{\partial p^{\prime }}}\left(t,x,{\frac {\partial S}{\partial x}}\left(t,x,\alpha \right)\right){\frac {\partial ^{2}S}{\partial \alpha \partial x}}\left(t,x,\alpha \right)={\frac {\partial ^{2}S}{\partial \alpha \partial x}}\left(t,x,\alpha \right){\frac {\partial {\mathfrak {H}}}{\partial p^{\prime }}}\left(t,x,{\frac {\partial S}{\partial x}}(t,x,\alpha )\right)

qu'on peut ████████ en ███████████ les ████ ███████ dans la ████ █████████ de $\mathbb {R} ^{n}$ et sa ████ █████. La ██████ de ceci est ██████ au § █████████████ du ████████ de ████████████-██████████ de l'███████ ████████ ████████.)

En ███████████ ces ████ █████████ avec $x=x^{0}(t,\alpha ,\beta ^{\prime })$ on ███████, en ██████ ${\dot {x}}={\frac {\partial x^{0}}{\partial t}}\left(t,\alpha ,\beta ^{\prime }\right)$

{\frac {\partial ^{2}S}{\partial \alpha \partial x}}\left(t,x,\alpha \right){\dot {x}}-{\frac {\partial ^{2}S}{\partial \alpha \partial x}}\left(t,x,\alpha \right){\frac {\partial {\mathfrak {H}}}{\partial p^{\prime }}}\left(t,x,{\frac {\partial S}{\partial x}}\left(t,x,\alpha \right)\right)=0

qui █████ en ███████████ à ██████ par l'███████ de ${\frac {\partial ^{2}S}{\partial \alpha \partial x}}\left(t,x,\alpha \right)$ la ████████ ████████ █████████

{\dot {x}}={\frac {\partial {\mathfrak {H}}}{\partial p^{\prime }}}\left(t,x,p^{\prime }\right)

En █████████████ l'████████ de ████████-██████ par ███████ à █,

{\frac {\partial ^{2}S}{\partial t\partial x}}+{\frac {\partial {\mathfrak {H}}}{\partial x}}\left(t,x,{\frac {\partial S}{\partial x}}\right)=0

ce qui █████ la ███████ ████████ █████████

{\dot {p}}^{\prime }=-{\frac {\partial {\mathfrak {H}}}{\partial x}}\left(t,x,p^{\prime }\right)

On a ████ ██████ le ████████ ███████ :

████████ de ██████ — ████ $S(t,x,\alpha )$ , de ██████ ${\mathcal {C}}^{2}$ , une █████████ ████████ de l'████████ de ████████-██████ pour ████████ la █████████ (C) est ████████. █████ les █████████ $x=x^{0}(t,\alpha ,\beta ^{\prime })$ de (███) ███████████ par (███), █████ que les █████████ $p^{\prime }$ de (██), ███████████ une ████████ ████████ des ████ █████████ ██████████. Ces █████████ ███████ un ███████ ███████████████ de l'████████ de ████████-██████.

████████ : █████ d'une █████████

On ██████ que ███████ $p^{\prime }={\frac {\partial S}{\partial x}}\left(t,x,\alpha \right)$ est ███████████ de $\beta ^{\prime }$ , il en ██ de ████ de ${\dot {x}}={\frac {\partial x^{0}}{\partial t}}\left(t,\alpha ,\beta ^{\prime }\right)$ d'█████ la ████████ ████████ █████████ ; on peut ████ █████████ $\beta ^{\prime }$ de ses █████████ et ██████

{\dot {x}}=\zeta (t,\alpha )

où $\zeta (t,\alpha )={\frac {\partial x^{0}}{\partial t}}(t,\alpha ,\beta ^{\prime })$ .

Il s'██████ que les ███████████ $\beta _{1},...,\beta _{n}$ du ███████ █████ (ou █████████) $\beta ^{\prime }$ sont des ██████████ d'███████████ de la ████████ █ █████ que ${\dot {x}}=\zeta (t,\alpha )$ . Par █████, en ██████ $\beta$ le ███████ ███████ de ███████████ $\beta _{1},...,\beta _{n}$ , on peut ██████

x^{0}(t,\alpha ,\beta ^{\prime })={\hat {x}}(t,\alpha )+\beta

On ███████ $\zeta (t,\alpha )={\frac {\partial {\hat {x}}}{\partial t}}(t,\alpha )$ la █████ de l'█████████ ${\hat {x}}\left(t,\alpha \right)+\beta$ .

█████████████ de la █████████ de ██████████████

L'████████ de ████████-██████ s'███████ avec la █████████ ${\mathcal {S}}(t_{f},x(t_{f}))=0$ pour $(t_{f},x(t_{f}))\in {\mathcal {V}}_{f}$ . Pour ████ █████████████ ██████████ ██████████ █████ $(\delta t_{f},\delta x_{f})\in T_{\left(t_{f}^{\ast },x_{f}^{\ast }\right)}{\mathcal {V}}_{f}$ on a ████ ██████████████

{\frac {\partial S}{\partial t}}\left(t_{f}^{\ast },x_{f}^{\ast }\right)\delta t_{f}+{\frac {\partial S}{\partial x}}\left(t_{f}^{\ast },x_{f}^{\ast }\right)\delta x_{f}=0

██, d'█████ l'████████ de ████████-██████, ${\frac {\partial S}{\partial t}}=-{\mathfrak {H}}$ , et d'█████ (██), ${\frac {\partial S}{\partial x}}=p^{\prime }$ , d'où la █████████ de ██████████████ sur la ███████ ${\mathcal {V}}_{f}$ .

███████ de ███████████ (███████ █████████)

████████ au ████████ de ████████ à ████████ ███████ et █████ █████. Le ████████ de ██████ a ██████ d'███████ la ████████ ████████ des █████████ ██████████ (████ ██████ les ██████████ ${\hat {x}}(t,\alpha )+\beta$ , de █████ █(t , █)) à ██████ de la ████████ S(t , █ , █).

█████ d'██████████

██████████████, ████ $x^{*}(.)={\hat {x}}(.,\alpha _{0})+\beta _{0}$ une █████████. ████ █ > █ et

{\mathfrak {E}}_{\varepsilon }=\left\{\left(t,{\hat {x}}(t,\alpha )+\beta _{0}\right):\left\Vert \alpha -\alpha _{0}\right\Vert <\varepsilon ,t\in \left[t_{0},t_{f}\right]\right\}

█████ ${\mathfrak {E}}_{\varepsilon }$ est ██████ un █████ d'██████████ ██████ de █* si par ████ █████ $(t,x)\in {\mathfrak {E}}_{\varepsilon }$ █████ une █████████ et une █████ ${\hat {x}}(t,\alpha )+\beta _{0}$ , █_█ █████ ████, pour ████████ $\left\Vert \alpha -\alpha _{0}\right\Vert <\varepsilon$ . Cette ██████ est ███ à ███████████. Si un ███ █████ ██████, on peut ████████ en █ l'████████ ${\hat {x}}(t,\alpha )+\beta _{0}=x$ , et on ███████ ████ une ████████ █ = █(t , █). En ███████████, la █████ █ de l'█████████ ${\hat {x}}$ s'███████ elle █████ █████ une ████████ ${\hat {\zeta }}(t,x)$ qu'on █████████ de ██████ ${\mathcal {C}}^{2}$ .

On ██████ que si les ██████████ (██') et (███') sont ███████████, l'█████████ $x^{*}={\hat {x}}(.,\alpha _{0})+\beta _{0}$ , où $\beta _{0}$ est ████, peut ████ ████████ d'un █████ d'██████████ █████ une ████████ de █████ $(t,x)\mapsto {\hat {\zeta }}(t,x)$ de ██████ ${\mathcal {C}}^{2}$ .

█████ de ████████-██████

On ███████ que l'█████████ $x^{*}$ ████ ████████ d'un █████ d'██████████ de █████ ${\hat {\zeta }}(t,x)$ et ██████

{\mathfrak {H}}\left(t,x,p'\right)=\langle p^{\prime }|{\hat {\zeta }}(t,x)\rangle -{\mathcal {L}}\left(t,x,{\hat {\zeta }}(t,x\right)

La « ████████ ████████ » est ███████ par

p^{\prime }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}\left(t,x,{\hat {\zeta }}\left(t,x\right)\right)

En ████████ ${\mathfrak {H}}$ par ███████ à █, on ███████

{\frac {\partial {\mathfrak {H}}}{\partial x}}\left(t,x,p^{\prime }\right)=p^{\prime }{\frac {\partial {\hat {\xi }}}{\partial x}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}{\frac {\partial {\hat {\zeta }}}{\partial x}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}}

Mais ███████ ${\hat {\zeta }}(t,x)$ est la █████ d'une █████████, on a l'████████ d'█████-████████

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}\left(t,x,{\hat {\zeta }}(t,x)\right)\right)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}}\left(t,x,{\hat {\zeta }}(t,x)\right)

et par █████ $p^{\prime }$ ███████ la ███████ ████████ █████████

{\dot {p}}^{\prime }=-{\frac {\partial {\mathfrak {H}}}{\partial x}}

La █████ ██████████████, ████ █████ de ████████-██████

\omega =-{\mathfrak {H}}.\mathrm {d} t+p^{\prime }.\mathrm {d} x

est ████ une ██████████████ ██████ $d S$ avec $p^{\prime }={\frac {\partial S}{\partial x}}$ et $-{\mathfrak {H}}={\frac {\partial S}{\partial t}}$ (████████ de ████████-██████).

█████████ ██████████ de ███████

████ ██████████ $x(.):t\mapsto x(t)$ une ██████ ██████████ ██████████ (ne █████████ ████ pas a ██████ la ████████ ████████ █████████) et $x^{*}(.):t\mapsto x^{*}(t)$ une █████████ ██████████ (qui, sous █████████ ██████████, ████ ██████). On a d'█████ ce qui ███████

\int _{x(.)}\omega =\int _{x^{*}(.)}\omega =S\left(t_{f},x_{f}\right)-S\left(t_{0},x_{0}\right)

Cette ████████ est ███████ l'█████████ de ███████ ; elle est ██████████, c'est-à-████ ████████████ de la ██████ ██████████ ██████████ $x(.)$ . On peut ██████ l'█████████ de ██████ sous la █████

\int _{x\left(.\right)}\omega =\int _{x(.)}\left\{{\mathcal {L}}\left(t,x,{\hat {\zeta }}(t,x)\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}\left(t,x,{\hat {\zeta }}(t,x)\right).\left({\dot {x}}-{\hat {\zeta }}(t,x)\right)\right\}\mathrm {d} t

Si $x(.)=x^{*}(.)$ , on a ${\dot {x}}={\hat {\zeta }}\left(t,x\right)$ , ████

\int _{x^{*}\left(.\right)}\omega =\int _{t_{0}}^{t_{f}}{\mathcal {L}}\left(t,x^{*}(t),{\dot {x}}^{*}(t)\right)\mathrm {d} t=J(x^{*})

Par ██████████, par l'██████████ de l'█████████ de ███████,

J(x^{*})=\int _{x\left(.\right)}\omega =\int _{x(.)}\left\{{\mathcal {L}}\left(t,x,{\hat {\zeta }}(t,x)\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}\left(t,x,{\hat {\zeta }}(t,x)\right).\left({\dot {x}}-{\hat {\zeta }}(t,x)\right)\right\}\mathrm {d} t

███████ █████████ de ███████████

On a par ██████████,

J(x)=\int _{t_{0}}^{t_{f}}{\mathcal {L}}\left(t,x,{\dot {x}}\right)\mathrm {d} t=\int _{x(.)}{\mathcal {L}}\left(t,x,{\dot {x}}\right)\mathrm {d} t

et par ██████████

J\left(x\right)-J\left(x^{\ast }\right)=\int _{x\left(.\right)}\left\{{\mathcal {L}}\left(t,x,{\dot {x}}\right)-{\mathcal {L}}\left(t,x,{\hat {\zeta }}(t,x)\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}\left(t,x,{\hat {\zeta }}(t,x)\right).\left({\dot {x}}-{\hat {\zeta }}(t,x)\right)\right\}\mathrm {d} t

La ████████ de ███████████ ██████ d'██████ ce ████████ sous la █████ ████████ :

███████ █████████ de ███████████ (████) — On ███████ que l'█████████ $x^{*}$ ██████ ████ ████████ d'un █████ d'██████████ (ce qui est le ███ si les ██████████ (██'), (███') sont ███████████). █████ la █████████ ██████ de l'█████████ $\Delta J=J\left(x\right)-J\left(x^{\ast }\right)$ est ██████ par la ███████ de ███████████

\Delta J=\int _{x\left(.\right)}{\mathcal {E}}\left(t,x(t),{\hat {\zeta }}(t,x(t));{\dot {x}}(t)\right)\mathrm {d} t

où ${\hat {\zeta }}(t,x)$ est la █████ du █████ d'██████████.

████████ de ███████

On █████████ une ███████ d'████████████ ${\mathfrak {S}}_{\alpha }:\mathbb {R} \times X\rightarrow \mathbb {R} \times X,\vert \alpha \vert <\varepsilon _{0}$ ,

{\mathfrak {S}}_{\alpha }=\left({\mathfrak {T}}(t,x,\alpha ),{\mathfrak {X}}(t,x,\alpha )\right)

où ${\mathfrak {T}}$ et ${\mathfrak {X}}$ sont de ██████ ${\mathcal {C}}^{1}$ ,

{\mathfrak {T}}(t,x,0)=t,{\mathfrak {X}}(t,x,0)=x

et plus ███████████ pour $\alpha \rightarrow 0$

{\mathfrak {T}}(t,x,\alpha )=t+T(t,x)+o(\alpha ),\ {\mathfrak {X}}(t,x,\alpha )=x+X(t,x)+o(\alpha )

████ $x:[t_{0},t_{f}]\ni t\mapsto x(t)\in \Omega _{1}\subset X$ . L'█████ du ██████ de cette ████████ par ${\mathfrak {S}}_{\alpha }$ est le ██████ d'une ████████

\xi (\alpha ):[\tau _{0}(\alpha ),\tau _{f}(\alpha )]\ni \tau \mapsto \xi (\alpha ,\tau )\in X

On █████████ ██████████ le ████████ de ████████ et ████████

J\left(x(\cdot ),t_{0},t_{f}\right)=\int _{t_{0}}^{t_{f}}{\mathcal {L}}\left(t,x(t),{\dot {x}}(t)\right)\mathrm {d} t

où ${\mathcal {L}},{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}}$ et ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}$ sont █████████ dans [t_█ , t_█] × █_█ × █_█ (avec les █████████ ████ ███████████).

██████████ — La █████████████ █████████ J est ████ ██████████ ████████████ à la ███████ de ███████████████ $\left({\mathfrak {S}}_{\alpha }\right)$ si pour █████ ████████ $x:[t_{0},t_{f}]\ni t\mapsto x(t)\in \Omega _{1}$ , de ██████ ${\mathcal {C}}^{2}$ et █████ que ${\dot {x}}\in \Omega _{2}(t\in [t_{0},t_{f}])$ ,

J\left(\xi (.,\alpha ),\tau _{0}(\alpha ),\tau _{f}(\alpha )\right)=J\left(x(.),t_{0},t_{f}\right)

dès que $\vert \alpha \vert$ est ████████████ █████.

L'████████ des ████████ de ██████████████ ████████ ██████████ J █████ un ██████ de ███ ${\mathfrak {G}}$ , le ██████ des █████████ de J. ██████ $\left({\mathfrak {S}}_{\alpha }\right)$ █████ un sous-██████ de ███ à un █████████ de ${\mathfrak {G}}$ , dont le █████ de ████████ (T , █) est un ██████████ █████████████, ████ un ███████ de l'███████ de ███ ${\mathfrak {g}}$ de ${\mathfrak {G}}$ .

On █████████ la █████ de ████████-██████ $\omega =-{\mathfrak {H}}\mathrm {d} t+p^{\prime }\mathrm {d} x$ et ███████ la ████████

\psi (t,x,p^{\prime })=\langle p^{\prime }|X(t,x)\rangle -{\mathfrak {H}}(t,x,p^{\prime })T(t,x)

████████ de ███████ — Si J est ██████████ ████████████ à la ███████ de ███████████████ $\left({\mathfrak {S}}_{\alpha }\right)$ , █████ █(t , █ █') est █████████ sur ██████ ████████ des █████████ ██████████.

███████ █ : ████████████ de l'███████ ██████

On ███████ que ${\mathcal {L}}$ ne ███████ pas █████████████ de t. █████ J est ██████████ par la ███████ de ███████████████ $x\mapsto x$ , $t\mapsto t+C^{te}$ , d'où █(t , █) = █, T(t , █) = █. Par █████, $\psi (t,x,p^{\prime })=-{\mathfrak {H}}(t,x,p^{\prime })$ et le ████████ de ███████ se ███████ par

{\mathfrak {H}}(t,x,p^{\prime })=C^{te}

En █████████, J est l'██████, dont le ██████████ est ${\mathcal {L}}={\mathcal {T}}({\dot {x}},x)-{\mathcal {U}}(x)$ où ${\mathcal {T}}({\dot {x}},x)={\frac {1}{2}}{\dot {x}}^{T}M(x){\dot {x}}$ (la « █████ ███████████ » M(█) est une ███████ ██████████ ██████ ███████ ████████) est l'███████ █████████ et ${\mathcal {U}}(x)$ est l'███████ ███████████. La « ████████ ████████ », à ██████ le █████████

p'={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}={\dot {x}}^{T}M(x)

s'█████████ dans l'██████ █████████ au █████████ du ███████ ███████ $p=M(x){\dot {x}}$ qui est la ████████ de █████████. █████

{\mathfrak {H}}\left(t,x,{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}\right)=\left\langle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}{\Bigg |}{\dot {x}}\right\rangle -{\mathcal {L}}={\dot {x}}^{T}M(x){\dot {x}}-{\frac {1}{2}}\left({\dot {x}}^{T}M(x){\dot {x}}-{\mathcal {U}}(x)\right)={\mathcal {T}}({\dot {x}},x)+{\mathcal {U}}(x)

est l'███████ ██████. Le ████████ de ███████ ███████ ████ le ████████ █████ de ████████████ de l'███████ ██████.

███████ █ : ████████████ de la ████████ de █████████

On ███████ que le ██████████ de ███████ pas █████████████ de la ████████ █_█. █████ J est ██████████ par la ███████ de ███████████████ $x_{1}\mapsto x_{1}+C^{te}$ , $x_{i}\mapsto x_{i}(i=2,...,n)$ , $t\mapsto t$ ████ █_█(t , █) = █, █_█(t , █) = █ (█ = █,...,n), T(t , █) = █, et par █████ █(t , █ , █') = █_█.

On a ██ que dans le █████ de la █████████, █_█ s'██████████ █████ la ████████ de █████████ ███████ la █████████ █_█ (s'il y a m ██████████, $\sum _{1\leq j\leq m}p_{j1}$ se ████████).

███████ █ : ████████████ du ██████ █████████

On ███████ le ██████████ █████████ par ████████ de █ ██████, par ███████, de l'███ █_█ dans l'██████ █████ à █ ██████████. █████ J est █████████ ████████████ à la ███████ de ███████████████

\xi _{1}(\alpha )=x_{1}\cos \alpha +x_{2}\sin \alpha

\xi _{2}(\alpha )=-x_{1}\sin \alpha +x_{2}\cos \alpha

\xi _{3}=x_{3}

On a

{\frac {\partial \xi _{1}}{\partial \alpha }}(0)=x_{2}

{\frac {\partial \xi _{2}}{\partial \alpha }}(0)=-x_{1}

{\frac {\partial \xi _{3}}{\partial \alpha }}(0)=0

par ██████████

\psi (t,x,p^{\prime })=p_{1}x_{2}-p_{2}x_{1}

Dans le █████ de la █████████, cette ████████ s'██████████ █████ le ██████ █████████ (s'il y a m ██████████, $\sum _{1\leq i\leq m}p_{i1}x_{i2}-p_{i2}x_{i1}$ se ████████).

██████ des ██████████ sur une ███████

████ █ une ███████ ██████████████. Une ██████ $x:I\rightarrow X$ de ██████ ${\mathcal {C}}^{1}$ ██████ sur █ (où █ est un ██████████ de $\mathbb {R}$ ) a pour ███████ au █████ $t\in I$ le ███████ ███████ ${\dot {x}}(t)\in T_{x(t)}(X)$ , et $\left(x(t),{\dot {x}}(t)\right)\in T(X)$ où T(█) est le █████ ███████ de █. ████ █████ ${\mathcal {L}}:T(X)\rightarrow \mathbb {R}$ une ████████ de ██████ ${\mathcal {C}}^{1}$ (on ███████ ici, pour ██████████, que ce ██████████ ne ██████ pas █████████████ du █████ ; █████ on █████ █████████ █ par █ × █). La █████████████ ██████████ dans le ████████ de ████████ est de ███████

J(x(.))=\int _{t_{0}}^{t_{f}}{\mathcal {L}}\left(x(t),{\dot {x}}(t)\right)\mathrm {d} t

La ████████ ████████ █', ou plus ██████████ le ██████ (█ , █'), ██████████ au █████ █████████ T(█)*. La ██████████████ de ████████ est

T(x)\ni \left(x,{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial u}}(x,u)\right)\mapsto (x,p^{\prime })\in T(X)^{*}

en █████████ qu'il s'██████ d'un ███████████████, dont l'███████████ ███████ est $(x,p^{\prime })\mapsto \left(x,u^{0}(x,p^{\prime })\right)$ . L'███████████ est

{\mathfrak {H}}:I\times T(X)^{*}\ni (x,p^{\prime })\mapsto \langle p^{\prime }|u^{0}(x,p^{\prime })\rangle -{\mathcal {L}}(x,u^{0}(x,p^{\prime }))\in \mathbb {R}

L'████████ d'█████-████████ est █████████, et $t\mapsto x^{*}(t)$ est ████████ de cette ████████ si, et █████████ si █* et $p^{\prime *}:={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}(x^{*},{\dot {x}}^{*})$ sont █████████ des ████ █████████ ██████████ de ████████.

████████████

On a ██████████ ██████ plus ████ ████████ ████████████ du ████████ de ███████ à la █████████. ██████ ██████████ d'██████ ████████████.