█████████████

██ █████████████, ███ █████ ██████ ████████^?, ████████ ("███████, █████████") █ ██████, ██████ ("██████"), ██████ '██████ ███ █████████', █ ██ █████ █████ ██████████ ███ ██████ █ █████████ █ ███████ ███ ████ ██████. ██ ███████ ██████████ █████ █████████████, ████ ████ ██████ █'██████████ ███ ████, ████████ ███ █████████ ██ ██████ ███ ██████████████ ███ ████████ ██ ██ █████████ (████, ██████, ███████ ███.) ████████ ██ █████ ██████ ███ ████ (██████ ███, ██ ███ ██████ ███ █████████), ███ █████ ██ ████████ ████████. ████ ███████ █ ████████ ████ ███████████ ███ █████████. █ █████ █████████ ████████ ██ ███████ ██████████████ █████ ███████████ ██ ████████ █████████ █ ██████ ███████████ ███ █████████, ████ ████████ █ ██████ ███████████ ██████, ██ ██ █████ █████ ████ █████ ██████████.

██ ████████ ███████████████ (██ ███ ██████████ █████ █████ ████ ██ ████ █ ██ ██████), ██████████ ██ ██████ ██████, ███████ █████ █████ ██ ███████ ████████████ █████ █████████, ██████████ █████ ██ █████ █████ █████ ██████████ █ █████ ███ ████████████, ██ ███████ ██ ███████████ ███ ██ ████████ ████████████ █ ███ ██ ██████████ ██████████. ██ ████████ ███████████████ ███████ ████ █████ █████ "████████ ███████████████████" █ "████████ █████████████", ███ ███████ ████████ █████ ██ ███████████ ███████ ████ ███████████, ████ ███ ██████ █████ █████████ ████████ ████ ███ ████████ ██ █████████ █████ █████████████ █ ███ ███████, ██ ████ ████████ (██ ███████ █'████ ██ █████████████) █ ██ ████ ██████. ██ ███████, ██ ████████ ███ ████████ █████ ██████████ ███ ███████ █ █████ ██████████████ █████ █████████████.

██ █████████████ █████ █ "█████████████ █████████" █ ██ ████████ █████ █████████████ ██ ██ █████ ████████, ██████ ███ ██████████ ███ █████████ ████. █████ ████████████████ █████ █████████████ ██████ ██ ██████ ██ █████ ████ ██ █████████, ███ ███ ████ █████ █████████ ████ ████████████████ █████ █████████████ █████; ██ ████ ███████ ██ ██████ ███ █ ██ █████████ ████████ █ "█████████ █████", ██ ██'█████ █████████ ██ █████████. ██ ███████████, ███ ████████████████ ████ ██ █████████████ ███████ (██████████ ██ ███████████ █████ ██████ ███ █████████ ███████), ██ █████████████ █████████ (██ ███ ██ █████████████ ███████ █ ██ ████ ███████████), ██ █████████████ ██████████ (███████ ████████████) █████ █████ █████████████ █████ ██████ (██████ ███████ ████████████) ██████████ ███ █████████ ██████████ ██ ██████ ███ ████████, ██ █████████████ ██████████ (███ █ ███ █████ ███████ ██ █████████████ ███████████████ █████ █████ ██████████ ████████ █ ████████) ██████████ ██ ███████████ █████ ██████ ███ █████████ ██████████, ██ █████████████████ ███████████ ███ █████████████ █ ██████████ █ ██ █████████████ ████████████ ███ ██████ ███ ██████ ██ █████████ ███████.

██ ███████

███ █████ ██████, ██ █████████████ ███████ █ ████ █████████ █████ ██████████████ ███'█████ ██ ██████ █████████ █ ████████. ██ ██████████ ██ ██████ ███████ ██ ████ █ ███████ ██ █████ █ █ ███████ ███████, ████████ ███ █████████ █ ████████ ███ ██████████.██████████ ████████ ██████ █████████ █ ██████ ███████ █████ █████, ███ ████████ ████ ███ ███████ █, ███████████████, ██ ███████ █████████ █ █████ █████, ███████ █ ██████████ █ █ █████████ ███ ██████ ███████ ██████████ █ ████████ ███████, █████ ███ ██ ███ ██████ █ ██████ ███████ ██ ███████████ █ ██████████.

████████ ███████████████

█████████ ██████████████ █████ █████████████ ████ ██ ████████ ███████████████. ████ ██████ ████████ ███ █████████ █████████ ██ ██████, █ █████████.

██ ███████ ██ ██████ ███████ ████████ ██ ████████ ███████████████ ███████ ████ ████ ██████████ █████████; ███ █████████ ███████████████, ██████████ ██ ████ ████████ ████ ███████████ ████████.

████████ ███████████████ ███████

████ █████ ████████ ███████████████ ███████ ██████ ███ ██ ██ ██████, ███████████ ████████ ██ ████████, █████████ ███ █████████ █ ██ ████████ ███ █████████. █ █████ ████'███████████ █████████ █████ ██████, █████ ██ ████████ ███████████████ ███████ ████ █████ ████████ ██████████ ███ ███████ $\pi$ █ $2\pi$ . █████ ████████ ███ ██ ████████ ██-, ██ ███████ "█████████████" (██ ███████████ ███'██████ █████████████).

████████ ███████████████ ███████

██ ████ ████████ ██████████████ ███████ █ █████████ █████████████████ ███ ████████ ███████. ██ ██████ ██ ████████ ███████████████ ███████ ███ ████ ████████ ███████████ ██ █████ ███ ███████ █ █████████ ████████ █████ ███████ ███████████. ████████ ██ ███████ ████████ █████ ████ ███████████, ████████ █████████████████ ███ ██ ██████ █████████, ██ ███ ███████ █ █████████ ████ ██████ ██ ████ ██ █████ ██ ███████████ █████ ████████ █ ██████ █'█████████████. ████████ ███ ██████ ███████████ ██ ██ ██████ ████ ██ ███████████ ██ ██████ "████████████" ████████ █████ ███████ █████ ████████ ███████████████ ███████. ██ ███████████, ██ █████████ █████ ████████ ██████████████ ███████ █ ██ ███████ ██ ██████ ███████ █, █████████, ██ ███████ ██ ██████ ███████ █ ██ █████████ █████ ████████ ███████.

██ ████████ ███████████████ ███████ ███████ █████ █████ "████████ ███████████████████" █ "████████ █████████████"; ██ ██████ "█████████████" █ █ ███ █████ ████████ ███ ████████ █████- ███ ██████ ██ ███████ ██████, ██████ (██ ████████████████ ██ ███████ ████████, ████████, ████████ ██ "█████████"), █ ███ ████████ -████████ ███ ██████ ██ ███████████. "█████████████" █ ███████ ██ ████████ █████████ ████ ███████████, ██ ██████████ █████ █████████ ████████ ███, ███ █ ████, ██ ████████ █████ ███████████ █████ █████ ██ █████████████. ██ ██████ ████████ "█████████████" █ ██ ████████████████ ███ "███████████████", ██ ███ ██ ████████ ██████ ██ █████████ ████ ██████ ██ ████████ █████ ███████████. ██ ████████ ███- █████ ████████ █████████████ ██████ ██████ █████ ███████████ █████ ██████ ██████ █████ ███ █████████ "████" (██ ███████████ ███████ ███'████ ██ █████████████ ████████ █████████ ██ ██ ██████).

██ ███████ ██ ████████ ████████ ██████████████ ███████ ███████████, ███'█ ███████████, ██ █████████ █████ ██████████ ████████ ███████. ██████ ██ ████████ ███████ ████, ████████, ██████████, █ ██████ ███ █████████, ███ ███████ █████████ █ ██████████ ████████████ ██ ███████ ██████████ █████████. ██ ██████ █████ ███████████ █ ████████████ ███████████ █ ██ ███████████ ████ ████████. ██ ███████████ (██████, ██ ██████ █████) █████ ████ ███ █ ██████ ███████ █████████ ████ ██████████ $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ ██████ $\left[0,\pi \right]$ , ██ ███ ██ ████████ — █ ██████ █████ ██ ████ ███████ — █████ ████████. █████ ██ ████████ ███████████ ██ █████████████ ███████ ████████ ████'██████████ █████ ████████ ███████ █████████ ██ ███ ██ ████ ██████████.

██████ ████████

█████ ███████ ███ █████ ████ ████████ █ ██████ █████ ████████ █████████████ ████, ██████, ████████ █ ██████████ █████ ██████ ████████ ████████ ███ █° █ ██°:

█████████ ████████████ █████ ███████████

█████ █████████ ████████████

\cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha =1.

██ ██████ ██ ████████

\cos \alpha =\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }},

\sin \alpha =\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha }}.

█████████ ██ ████████ ██ █████████ ██ $\alpha$ ███ ██ ██████ █████████ ███ █████.

███████ █████████ ████████████

\tan \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }},

███ ████ ████ ███ $\alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi$ ███ $k\in \mathbb {Z}$ .

█████ ███████████ ██ $\tan \alpha$ █ █████ █████ █████████ ████████████ ██ ██████ ███

\cos ^{2}\alpha ={\frac {1}{1+\tan ^{2}\alpha }},

███ ████ ████ ███ $\alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi$ ███ $k\in \mathbb {Z}$ .

██ ██████ ██ ██████

\cos \alpha =\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\alpha }}}.

█████ █████████ ████████████

\cot \alpha ={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }},

███ ████ ████ ███ $\alpha \neq k\pi$ ███ $k\in \mathbb {Z}$ .

██████ █████████ ████████████

\sec \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha }},

███ ████ ████ ███ $\alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi$ ███ $k\in \mathbb {Z}$ .

██████ █████████ ████████████

\csc \alpha ={\frac {1}{\sin \alpha }},

███ ████ ████ ███ $\alpha \neq k\pi$ ███ $k\in \mathbb {Z}$ .

███████ █████ ██████ █████████

█████ █████████████ ████████████ █████████ ██████ █████████ ███ ██████ $\alpha$ , $\pi -\alpha$ , $\pi +\alpha$ █ $2\pi -\alpha$ . ████ ██████ █████ ██ ██████ ████████ ██████ ████ █ ██████ ██████.

███████ █████ ██████ █████████ ███ ███████ █████████

\cos(\pi -\alpha )=-\cos \alpha ;

;}

\sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha ;

;}

\tan(\pi -\alpha )=-\tan \alpha .

███████ █████ ██████ █████████ ███ █████ █████████

\cos(\pi +\alpha )=-\cos \alpha ;

;}

\sin(\pi +\alpha )=-\sin \alpha ;

;}

\tan(\pi +\alpha )=\tan \alpha .

███████ █████ ██████ █████████ ██ ██████ █████████

\cos(2\pi -\alpha )=\cos \alpha ;

;}

\sin(2\pi -\alpha )=-\sin \alpha ;

;}

\tan(2\pi -\alpha )=-\tan \alpha .

███████ █████ ██████ ███████

\cos(-\alpha )=\cos \alpha ;

;}

\sin(-\alpha )=-\sin \alpha ;

;}

\tan(-\alpha )=-\tan \alpha .

██ ████ ███ $\cos \alpha$ █ ███ ████████ ████, ██████ $\sin \alpha$ █ $\tan \alpha$ ████ ███████.

███████ █████ ██████ █████████████ (██ ████ █████ █ ██ ██████ █████)

\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\sin \alpha ;

;}

\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\cos \alpha ;

;}

\tan \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\cot \alpha .

███████ █████ ██████ ███ ████████████ ██ ██ ██████ █████

\cos \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\sin \alpha ;

;}

\sin \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=\cos \alpha ;

;}

\tan \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\cot \alpha .

███████ █████████████

██ █████████████, ██ ███████ ██ █████████ █ ███████████ ██████████ ██ ███████████ ██ ████████ ███████████████ █████ █████ █ ██████████ ██ ███ ██████ ██ ██'███████████ ████████ ██ ████████ ███████████████ ███ ███ ██████.

███████ ██ █████████

$\sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta ;$ ;}
$\cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta ;$ ;}
$\tan(\alpha +\beta )={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }};$
$\cot(\alpha +\beta )={\frac {\cot \alpha \cot \beta -1}{\cot \alpha +\cot \beta }}.$

██ ███████ █████ ████████ ████ ███ $\alpha ,\beta ,\alpha +\beta \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi$ ███ $k\in \mathbb {Z} .$

██ ███████ █████ ██████████ ████ ███ $\alpha ,\beta ,\alpha +\beta \neq k\pi$ ███ $k\in \mathbb {Z} .$

███████ ██ ███████████

$\sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \,\sin \beta ;$ ;}
$\cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta ;$ ;}
$\tan(\alpha -\beta )={\frac {\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }};$
$\cot(\alpha -\beta )={\frac {\cot \alpha \cot \beta +1}{\cot \beta -\cot \alpha }}.$

██ ███████ █████ ████████ ████ ███ $\alpha ,\beta ,\alpha -\beta \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi$ ███ $k\in \mathbb {Z} .$

██ ███████ █████ ██████████ ████ ███ $\alpha ,\beta ,\alpha -\beta \neq k\pi$ ███ $k\in \mathbb {Z} .$

███████ ██ ████████████

$\sin(2\alpha )=2\sin \alpha \cos \alpha ;$ ;}
$\cos(2\alpha )=\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =1-2\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1;$
$\tan(2\alpha )={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }}.$

█'██████ ███████ ████ ███ $\alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi$ █ $\alpha \neq \pm {\frac {\pi }{4}}+k\pi$ ███ $k\in \mathbb {Z} .$

███████ ██ █████████

$\cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos(2\alpha )}{2}};$
$\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos(2\alpha )}{2}};$
$\tan ^{2}\alpha ={\frac {\sin ^{2}\alpha }{\cos ^{2}\alpha }}={\frac {1-\cos(2\alpha )}{1+\cos(2\alpha )}}.$

█'██████ ███████ ████ ███ $\alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi$ ███ $k\in \mathbb {Z} .$

███████ ██ █████████

██████████: █ ██████████ ████████ ██ █████ █████████ ████ ${\frac {\alpha }{2}}$ ███ █████ █████████ █ █████ █████████ █████ ████████ ███████:

$\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}};$
$\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}};$
$\tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}}.$

█'██████ ███████ ████ ███ $\alpha \neq \pi +2k\pi$ .

███████ ████████████

$\cos \alpha ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},$
$\sin \alpha ={\frac {2t}{1+t^{2}}},$
$\tan \alpha ={\frac {2t}{1-t^{2}}},$

████ $t=\tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)$ ███ $\alpha \neq \pi +2k\pi$ .

███████ ██ ████████████

$\sin p+\sin q=2\sin \left({\frac {p+q}{2}}\right)\cos \left({\frac {p-q}{2}}\right);$
$\sin p-\sin q=2\cos \left({\frac {p+q}{2}}\right)\sin \left({\frac {p-q}{2}}\right);$
$\cos p+\cos q=2\cos \left({\frac {p+q}{2}}\right)\cos \left({\frac {p-q}{2}}\right);$
$\cos p-\cos q=-2\sin \left({\frac {p+q}{2}}\right)\sin \left({\frac {p-q}{2}}\right).$

██ ███████ ██ ████████████ ███████████ █████ ██ ████████ █████████████ ██ ████████.

███████ ██ ██████ (███████ █████ ███████ ██ ████████████)

$\sin \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}\left[\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )\right];$
$\cos \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}\left[\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )\right];$
$\sin \alpha \sin \beta =-{\frac {1}{2}}\left[\cos(\alpha +\beta )-\cos(\alpha -\beta )\right].$

██ ███████ ██ ██████ ███████████ ████████ ██ ████████ █████████████ ██ █████.

███████ ████'██████ ████████

$a\sin x+b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin(x+\phi ),$

████ █'██████ $\phi$ █ ██ █████████ ██████ ███ ████████

{\begin{cases}\cos \phi ={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\\\sin \phi ={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.\end{cases}}

██ ██ ███████ █'██████ $\phi$ ████'██████████ $(-\pi ,\pi ]$ , ██ ███ ███████████ ███ ████████ ████:

\phi ={\begin{cases}\arctan({\frac {b}{a}}),&{\text{se }}a>0,\\\arctan({\frac {b}{a}})+\pi ,&{\text{se }}a<0{\text{ e }}b\geq 0,\\\arctan({\frac {b}{a}})-\pi ,&{\text{se }}a<0{\text{ e }}b<0,\\{\frac {\pi }{2}},&{\text{se }}a=0{\text{ e }}b>0,\\-{\frac {\pi }{2}},&{\text{se }}a=0{\text{ e }}b<0.\end{cases}}

█'██████ $\phi$ ███ █ ████████ ██ $a=b=0,$ ██ ███ ████ █'███████████ ████████ ██ ██████ ███'████████ $0=0.$

███████████ ███ █████████ ██████████

███ █████ ██████████, "█████████ ██ █████████ ██████████" █████████ █████████ ██ ██████ ███ ████ █ █████ ██████ ███ █████████. ███ ███████████ ██████ ███ ████████████ ███ █████████ ██████████ ███ ██ ███ ██████ ██ ██████.

██ ███████ ███:

$\alpha =90^{o}$ █ $\beta +\gamma =90^{o};$
██ ██████ █ █████████ ██ ██ ██████ ██ ██ ██████ ███████ ██████ ███ ███ ████ ████'██████ ██ █████████;
██ ██████ █ ███████ ██ ██ ██████ ██ ██ ██████ ███ █ ███ ███ ████ ████'██████ ██ █████████.

██ ███████ $\beta$ █ ███████ ██ ██████ $█$ █ █████████ ██ ██████ $█$ .