████████████████████

Die ████████████- oder ████████████████████ ist ein ████████████ ███████████ der ████████ und damit ein ██████ der ██████████. █████████ █████ der ████████████████████ ist die ██████████ ███████ █████████████ von ██████████. ███████ eine ███████ ████████ █████ █████████████ ██████████████ ███████ █████████████ ████████, wird durch die ████████████████████ █████████, wie █████ sich die ████████████ nach ████ ███████ █████████████ der ████████████ ██████. ███ ist ███ ████████ mit der ████████████████, mit der ███ █████████ unter der ███████████ █████████████████████ ███████████████ wird.

Die █████████ einer ████████ █████ der ███████████ ███████ █████████████ einer ████████ und ist ████████████ ████████████ der ████████████████████. ███████ von der █████████ ███████ ███ auch vom ██████████████████████, dessen ████████████ ████████████ die █████████████████ ist. Die █████████ ist nach der ███████████ von ███████ der ███████████████████████ zwischen ███████████████ ██████████ des █████████████ und den daraus ██████████████, █████████ ███████████████ ██████████ des ███████████████. Eine ████████ wird als ███████████████ ██████████, ████ ein ███████ ███████████████████████ █████████. ██████████ wird die █████████ in einem █████ als die ████████ derjenigen ████████ ████████ █████████, die unter allen ████████ ██████████ die ████████ der ████████ am ████████████ █████ █████ am ██████ ████████████. ████████████ wird mit der █████████ in dem █████ eine ███████ ████████ der ████████ ████████. Die ██████████████ einer ██████████████ █████████████ ████████ hat den ███████, dass eine █████████ ████████████ ████████ ████████ als die █████████████ ████████.

In ██████ ██████ ist die ████████████████████ ein ███████████████ ███████████ zur ███████ ██████████████ ███████, die die ████████████ █████████ █████ ████████ ██████, █████ zu deren █████████████ ███████.

Das █████████ von ████████████ mit nicht-████████ █████████ wird bei ███████ ████████████████ in der ████████ eines █████████████ durch ███ ████████████████████ ███████████; ██████ ███████ auf dem ███████ der ████████ an die █████████ im ███████████.
Die █████████ nach der ████ ist im ████████████ ███████████ die █████████ █████████████. So ist ██████████████ die █████████ der ████- ███████████████ ███-████-████████ eines █████████ nach der ████ █████ ███████████████████████, und die █████████ der ███████████████████████ nach der ████ ███████ die █████████ ██████████████.
In den █████████████████████████ ███████ ███ auch ██████ von ██████████ ████████ der █████████, zum ████████ ███████████ oder ██████████████████ eines ██████████████████.

In der ███████ der █████████ ist die █████████ eine ████████████████ ████████. Der ████████████ ███████ ████████ ist ████████████ ███ ███ ███████ ██████████ █████████, deren ██████████████ eine ██████ ist. Die █████████ einer ██████████ ████████ an einer ██████ $x_{0}$ kann ███ als die ████████ der ████████ im █████ $(x_{0},f(x_{0}))$ des ███████ von $f$ ██████████.

In der ███████ der ██████████ ████████ ███ $f'(x)$ ███ die █████████ einer ████████ $f$ an der ██████ $x$ . ███ ████ an, um welchen ██████ von $\Delta x$ sich $f(x)$ ████████ ██████, ████ sich $x$ um einen „███████“ ██████ $\Delta x$ ██████. ███ die ██████ ████████████ ██████ ████████████ wird der ███████ █████████ oder █████ █████████.

██████████

████████████ ██████ eines █████████

█████ ein ████ auf einer ██████, so kann ██████ ██████ ████████████ eine ███████ ████████ werden, in der zu █████ █████████ die ███████, die seit dem ██████ der ████████████ ████████████ wurde, ███████████ wird. In der ██████ ist es ██████████, eine ██████ ███████ nicht zu ██████████ zu ██████, d. █. zum ████████ in einem ████████ von █ ██████ ███ alle █ ████████ einen █████ ███████ zu ██████, ███ █████████ ██ █████████ █████████ würde. ██████ kann eine ██████ ███████ ███████████ ████████ ██████████ █████████ werden, ████ █████ █████████ ██████████████ werden ████. Dabei █████ die ███████ █████████, also mit einem ███████ ██████████, ███████████ █████ in ein █████████ ████. Die █████████ wird dann als █████████, d. █. als ein █████████ ██████ █████████████, █████████████. ████████████ hat das ████ aber zu █████ █████████ eine ███████████ ████████ ███████ ████████████, und ████ es nicht bis zum ██████████ ████████ oder gar ██████ █████, wird die ███████ ██████████████ █████████, also zu ██████ █████████ ████████ sein wie zu einem ███████.

Die ██████████ ██████ dem ███████ der █████████ einer ███-████-█████ oder -████████ ist, dass ███ █████████ werden kann, wie ███████ sich das ████ zu einem ██████████ █████████ ██████. Aus einem ███-████-███████ ████ also der ████████ ███████████████-████-███████ ██████████ werden. ███████████ ist, dass die ███████████████ ein ███ █████ ist, wie █████ sich die █████████████ ███████ im █████ der ████ ██████. Bei einer █████ ███████████████ ist ein ███████ ███████ in der █████ zu █████, ███████ eine ████████ ███████████████ zu █████ ███████████ █████. Da █████ █████████ auch eine ███████ ██████████ wurde, ██████ eine ██████ ███████ █████████████ ███████ sein, denn mit dem ██████ ████ die █████████████ ███████ $\Delta s$ █████████ eines ██████████████ $\Delta t$ ████ ███ die ███████████████

v={\frac {\Delta s}{\Delta t}}.

Sind also $t_{0}$ und $t_{1}$ ████ ████████████████ ██████████, so ██████ „die ███████████████“ des █████ im █████████████ zwischen ██████

v={\frac {s(t_{1})-s(t_{0})}{t_{1}-t_{0}}}.

Die ███████████ in ██████ und ██████ ██████ ████████ werden, da ███ sich ███ ███ die █████████ eines ██████████ ██████████████ $t_{1}-t_{0}$ █████████████ ███████ $s(t_{1})-s(t_{0})$ ████████████. ███████ ███████ ██████ ██████ ████ █████████████ ████, da ████████ ███ █████████████████ ███ ██████████████ mit ███████████ █████████ ███████- und ████████ ████████ wurden. Eine █████████ ███████████████, ████████████ mit einem ███████████, ████████ ██████ sich auf ein █████████ ██████ █████████████. Dementsprechend ist der oben ████████ ███████ „███████████████“ durch „█████████████████ ███████████████“ zu ███████████. Auch ████ mit ██████ ███████████████, also █████████ █████, ██████████ wird, ███████████ sich das ██████ ████████, als ███ ein ████ █████████ der ████████████ ██████████ █████ ████████████ ████████████ und █████ ████████████ ████████████████████████ ███████ ist. (Auch eine ████████████ ████████ ████, und zwar ██████ als die ████, in der die ██████ ██████████.) Damit ist auch in der █████████ der ███████████████ ███████████ ████████████ █████████ ohne ██████ und ohne █████ ██████████████.

████ ████████ zu einem „███████ █████████“ ███████████████-████-███████ ████████████ werden, so ████ der ████████ „█████████████████ ███████████████ in einem █████████████“ durch „███████████████ zu einem █████████“ ███████ werden. Dazu ████ ████████ ein █████████ $t_{0}$ ███████ werden. Die ████ ist ███, „███████████ ██████████████“ in einem ████████████████ gegen ein █████████ ██████ █████████████ ██████ zu ██████ und zu █████████, ███ mit den ███████████ ██████████████████ █████████████████ ████████. ██████ der ██████ $t_{1}-t_{0}$ dabei gegen █ ██████, ist ████ ███████████ ████ ███████, da sich das ████ in ██████ █████████ ███████████████ bei ████████ ███████ █████ ███████ ████ ███████ kann, █████ sich ██████ und ██████ ████████████ ███████████ und im ████████████ ein ████████████ ████████ „ ${\tfrac {0}{0}}$ “ ████████. ██████ kann unter █████████ als █████████ ████ ███████, ██████████████ ███████

{\tfrac {5\ \mathrm {Meter} }{\mathrm {Sekunde} }}\ {\text{ und }}\ {\tfrac {5\ \mathrm {Millimeter} }{\mathrm {Millisekunde} }}\ {\text{ und }}\ {\tfrac {5\ \mathrm {Nanometer} }{\mathrm {Nanosekunde} }}\ {\text{ usw.}}

█████ █████████ █████████████████ aus. ███ ████ es ████ █████████████ beim ███████ der █████████████████. Entweder, ███ ██████ in dem ████████████ ████████████████ █████ ███████ ████████, sich einem ██████████ █████████ ████ ██████████. In ██████ ████ kann der ████████ des █████ █████ zum █████████ $t_{0}$ ███████ ███████████████ ██████████ werden, d. █., der ████████ „ ${\tfrac {0}{0}}$ “ hat ████ ██████ ███████████ ████. ████ es ████████ eine ██████████ ██████████████ in ████████ auf einen ██████ ████, so █████████ der █████████

{\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}(t_{0}):=\lim _{t_{1}\to t_{0}}{\frac {s(t_{1})-s(t_{0})}{t_{1}-t_{0}}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {s(t_{0}+\Delta t)-s(t_{0})}{\Delta t}}

und ██████ die █████ im █████████ $t_{0}$ ██████████ ███████████████ aus. Der ███████████ ████████ „ ${\tfrac {0}{0}}$ “ █████ in ██████ ████ einen ███████████ ████ an. Die dabei ███████████ ███████████████████████ wird auch als █████████ von $s$ an der ██████ $t_{0}$ ██████████; ███ █████ wird ██████ das ██████ $s'(t_{0})$ ███████. Mit dem █████████ wird die ███████████████████████ zu einem ██████████ █████████ █████████ als

v={\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}.

███████ der ████████████████████

Das ████████ des ███████ ██████████ ist dann besonders ███████, ████ die ███████ der ██████████████ ███████ mit der ████ ████████████, also ██████ ████████. Dann █████ ████████ eine ████████████████ zwischen der ███████████ der ███████ und der ███████████ der ████ vor. Die ████████ ███████████ der ███████, also ████ ███████ im ██████████ zur ███████ der ████, ist bei ██████ ████████ █████ ██████████████. Die ████████ ███████████████ ist zu █████ █████████ auch die █████████ ███████████████. ██████████████ ████ das ████ zwischen █ und █ ████████ eine ██████ █████ ███████ ██████ wie zwischen █ und ██ ████████ und die █████████ ███████ zwischen █ und ██ ████████. Als ███████████████████████ ████ den ██████ ███ ████ die █████████ ███████████████ $v$ , █████ ███ im ██████████████ ████ $v=2\,\mathrm {m/s}$ ███████. Die zwischen ████████ ████ ████████████████████ ███████████ $t$ und $t+\Delta t$ █████████████ ███████ ███████

\Delta s=s(t+\Delta t)-s(t)=v\cdot (t+\Delta t)-v\cdot t=v\cdot \Delta t

█████████ ██████ sich das ████ in der ██████████ $\Delta t$ um die ███████ $\Delta s=v\,\Delta t$ ████████. ████████ bei $\Delta t=5\,\mathrm {s}$ ██████ sich ein ████████ $\Delta s=v\,\Delta t=2\,\mathrm {{\tfrac {m}{s}}\cdot 5\,s=10\,m}$ .

█████ der █████████ bei $t=0$ nicht $s(0)=0$ ███████ $s(0)=c\neq 0$ ███████, ██████ ████ ██████, da sich in der █████████ $s=v\,t+c$ die █████████ $c$ durch die ████████████████ aus $\Delta s$ █████ █████████████████. Auch ███████████ ist ████ ███████: Die █████████████ des █████ ist ███████████ ███ █████ ███████████████.

Werden █████ der █████████ $t$ und $s$ █████████ die █████████ $x$ und $y$ ██████████, so █████ sich also ██████████:

███████ ██████████: Bei ██████████ hat die ███████████ ████████ die ███████ $y=f(x)=mx+c$ . (███ eine ███████ ████████ ist █████ ███████████████ ████████████!) Als █████████ ████ die ████████ ███████████, mit einem ███████ ████ der ███████████████████ ${\tfrac {\Delta y}{\Delta x}}$ . ███ hat in █████ █████ denselben ████ $m$ . Die █████████ █████ sich aus dem ████████ $mx+c$ ██████ ███████. ████████████ hat ████ █████████ ████████ $f(x)=c$ die █████████ ${\tfrac {\Delta y}{\Delta x}}=0$ , da sich mit einer ████████ des █████████████ ██████ am ███████████ ██████.

███████████ wird es, ████ eine ████████ nicht ████████████ ████████. Dann ist das ████████ der ████-████████-████████ nicht ██████████. ███ █████████ ████████ ████ der █████████████████ █████████ werden. Denn es ████ ██████ ███████████████████████, der ███████ die ██████ ████████ ███████████ █████████. Als ██████ ████████ █████████ ist die █████████ einer ████████ ████████ ███ die nicht-███████ ████████ ████████ worden, █████████ an einer ████████████████ ██████. (Im ████████ ████ ist das die ██████ $x=1$ .) Damit wird das ███████ auf eine ██████████ an ██████ ██████ ███████ ████████ █████████████. Die ███████ der ██████████████ ist die █████████ ███ den ████████████ ██████ der ████████████████████. ███ ist in der ████████ von ████ ██████ █████████, da ███ dabei █████, ████████████ ████████ █████ auf ████████ █████████████ ████████, ███████ ███████ ████████, zu ██████████.

Die █████████ ████ ████████████ an der nicht-████████ ████████ $f(x)=x^{2}$ █████████ werden. Die ███████ █████ █████ ███ █████ ████████ und ███ ████ █████████████████ an der ██████ $x=1$ , das ist $g(x)=2x-1$ . Darunter ███████ die ███████ die ██████████ der ████████ von der ██████████████ ████████. (Die █████ sind ███████, weil in ██████ ████ die ██████ █████ unter der █████ █████ – außer im ███████████.) In der ███████ █████ █████ der ██████ der █████████ ██████████, das ist die ██████████ ███████ auf die ██████████ der ██████ $x$ vom ███████████ bei $x=1$ . █████ kann am ███████████ nicht █████████ werden. Aber die █████ in der ████████ ██████, wie sich die ████████ ██████████ einem █████████ ██████, ████ dem ████ ████. █████ ████ ████████: ██████ ████ sich $x$ ein █████ (█████████████) vom ███████████ ████████, ████████ ████ ████ ███████████ zwischen $g(x)$ und $f(x)$ .

Die ███████ ████████ $g(x)$ ████ das █████████ von $f(x)$ ████ der ██████ $x=1$ ███ nach (██████ als ████ ██████ ███████ ████████). Die ████████ ███████████ ${\tfrac {\Delta g}{\Delta x}}$ hat ███████ den ████ $m=2$ . Die nicht so ███████ zu ███████████ ████████ ███████████ ${\tfrac {\Delta f}{\Delta x}}$ ██████ aber im ███████████ mit dem ████ $m=2$ ███████.

Es █████ sich also ██████████:

Nicht-███████ ██████████: ████ die ████████ ███████████ einer nicht-████████ ████████ in einem ██████████ █████ █████████ werden, so wird ███ (████ ███████) ████ ██████ ████████. Die ████████ der ████████ █████████████████ ist die an ██████ ██████ ███████████ ████████ der ████████████ nicht-████████ ████████, und es ████ ████████ ██████████ wie bei ███████████ ████████ ██████████. Dabei ist ███ zu ████████, dass sich die ████████ ███████████ einer nicht-████████ ████████ von █████ zu █████ ██████.

███████ im ████████ oben (████████████████) ███ die █████████████████ ███████████████ die ██████████

\Delta t

██████████ ███████████ ███████ werden kann, ist die █████████ ███████████████, ████ ███ ████████████ ist, ███ ███ ██████

\Delta t

████████. Wie █████

\Delta t

███████ werden ████, █████ ab von der ███████████ an die ████████ der ████████. In ██████████████ ██████████ wird ███ █████████████. Bei ██████ wird ███ die ████████ ███████████ (wie █████ oben █████████) ████████ des █████████████████████

{\tfrac {\Delta y}{\Delta x}}

der ████████████████████

{\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}

███████████ (in █████████████ ████████████

y^{'}

oder

f^{'}

Die █████████ der ████████ ████████ einer nicht-████████ ████████ an einer ██████████ ██████ ist ████████ ███████ des ███████ der ████████████████████. Bei einer ████████████ ██████████ ████████ (im ████████ war das $f(x)=x^{2}$ ) ██████ sich die █████████ ██████████ ██████. Im █████████ ist █████ ██████████ █████ so █████████, dass ███ auf alle ██████ des ███████████████████ ██████████ werden kann. Im █████ von $f(x)=x^{2}$ ███████ ████ ██████ $x$ als █████ ███████ ████████ die ████████ $m=2x$ . Mit der █████████████████, dass die ███████ ████████ mit der █████ im █████ $(x_{0},f(x_{0}))$ ██████████████ ████, kann dann die ████████████ ██████████████████ der ████████ █████████████████ ███████████ werden.

Der ██████ zur ██████████ des ██████████████████████ █████ in der ██████████ des ██████████ (wie oben bei der ██████████ ███████████████):

\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}=f'(x_{0})\quad

oder in ███████ ████████████

\quad \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=f'(x).

Bei einigen ███████████ ██████████ wie ██████████████, ███████████████████, ███████████████████ oder █████████████ ist ███████ der ████████████████ ████████████ worden. Dabei ██████ sich ███████ eine ██████████████████. Darauf █████████ sind ████████████████ ███ die ███████████ und auch ███ ███████ ██████████ wie ██████, ████████ oder ████████████ ███████████ ██████████ ███████████ worden.

Damit werden die ██████████████ nicht in █████ █████████ ███ █████████, ███████ ███ die ████████████ werden ████████████████ ██████████. Die „█████“ der ████████████████████ ███████ „███“ darin, ██████████████ ██████████ zu █████████████ und auf die ████████████████ die ███████ ███████████ ███████████████ ██████████. Ein ████████ █████ ██████ ██████.

██████████ von ███████████

█████ ████████████████████ an einer ████████████ ██████ █████████ als ████████████ ████████ vom ███ „ ${\tfrac {0}{0}}$ “. Zu ██████ ██████████ wird vom ███████████████████ ███████████, und dessen █████████ in der ████████ der ████████████ ██████ wird ███████████ ██████████, ob er die ███████ hat, einen ██████████ ████ ██████████. Einige ██████████, die ███ ████████████████ ████████ werden, werden ███████████ ███████████. ██████████████████ ██████ dazu █████ ██████ der ████████████████████ █████████ werden, da █████ ████ nach der ████████ der ██████████ ███████████ werden ██████.

Ein █████████ ████ █ $\quad f(x)=x^{2}$

█████████████ ist der ███████████████████ ███ die ███████████ ████████.

{\frac {\Delta f}{\Delta x}}={\frac {f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}}={\frac {(x+h)^{2}-x^{2}}{h}}

Wird die ██████████ ██████ $(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}$ ██████████, so █████ sich ein ███████ ██████.

{\frac {\Delta f}{\Delta x}}={\frac {x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}}{h}}={\frac {2xh+h^{2}}{h}}

███ $h=0$ ist ██████ █████ ██████████. Aber ███ $h\neq 0$ (dann und ███ dann!) ██████ ██████ und ██████ durch $█$ █████████ werden.

{\frac {\Delta f}{\Delta x}}=2x+h

███ █████ $h\neq 0$ ist ██████ ████████ ████████, auch ████ ███ dem ████ $h=0$ ████ █████. Er ██████ im █████████████ gegen

\lim _{h\to 0}{\frac {\Delta f}{\Delta x}}=2x

Im ████████ werden ████ ███ ██████████ █████████, und ████ ██████████ in █████████████████████ ███████ ██████ █████ im █████████ ████████████████████.

████ █ $\quad {\frac {\sin h}{h}}$

███ $h=0$ ist ██████ █████ ██████████. Zur ██████████ bei $h>0$ wird die ██████ eines ████████████ mit dem █████ $█$ ██████████ mit den ███████ eines █████ █████████ und eines █████ █████████ ████████ █████ der █████████. Im █████████ ██████████ ████ ██████████████

{\frac {1}{2}}\sin h\cdot \cos h<\pi \cdot {\frac {h}{2\pi }}<{\frac {1}{2}}\tan h\cdot 1

Bei $\sin h\neq 0$ kann █████ ███████████ mit ${\frac {2}{\sin h}}$ █████████████ werden.

\cos h<{\frac {h}{\sin h}}<{\frac {1}{\cos h}}

███ $h\to 0$ ███████ ██████ der █████ als auch der ██████ ████████ gegen ████. Damit ████ auch der dazwischen ████████ ████████ gegen ████ ███████. ███ ██████ ████████ ████ das █████████. ███ $h>0$ ██████ er im █████████████ nach

\lim _{h\to 0}{\frac {\sin h}{h}}=1

██████████████████ $\quad \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

Der ███████████ ██████ █████████, das ist $n\cdot \log(1+{\frac {1}{n}})$ , ██████ ███ $n\to \infty$ gegen „ $\infty \cdot 0$ “. ██████ ███████████ ist ████ ██████████ und damit auch der ████████ ██████. Es ist aber ████████, dass

\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}

einen ██████████ █████████ ████ ███████, der als █████████ ████ $\mathrm {e}$ ██████████ wird. ██████ wird unter dem ██████████ █████████ █████████ und ████ als ███████ █████████████.

████ █ $\quad {\frac {a^{h}-1}{h}}$

███ $h=0$ ist ██████ █████ ██████████. Aber ███ $a>1$ und $h>0$ ist die ████████████

a^{h}-1={\frac {1}{z}}

\quad a^{h}=1+{\frac {1}{z}}

████████. █████████ nach $█$ unter ██████████ des ███████████ ███████████ ██████ das

h={\frac {\ln(1+{\frac {1}{z}})}{\ln a}}

{\frac {a^{h}-1}{h}}={\frac {\ln a}{z\,\ln(1+{\frac {1}{z}})}}={\frac {\ln a}{\ln \left(1+{\frac {1}{z}}\right)^{z}}}

███ $h\to 0$ ███████ $z\to \infty$ und der ██████ gegen $\ln \mathrm {e} =1$ . ███ █████ $h>0$ ist ██████ ████████ ████████, auch ████ ███ dem ████ $h=0$ ████ █████. Er ██████ im █████████████ nach

\lim _{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}=\ln a

Als █████████████ ███ █████ ██████████ ████ $z$ ███████ sein. ███ $0<a<1$ ist ██████ ███████ mit █████████ $█$ . ██████ ███ sich bei $0<a<1$ dem ████ $h=0$ von der █████ $h<0$ her, so ████ derselbe █████████████.

████ █ $\quad {\frac {\log(1+h)}{h}}$

███ $h=0$ ist ██████ █████ ██████████. Aber ███ $h>0$ ist die ████████████ $h={\frac {1}{z}}$ ████████.

{\frac {\log(1+h)}{h}}=z\,\log \left(1+{\frac {1}{z}}\right)=\log \left(1+{\frac {1}{z}}\right)^{z}

███ $h\to 0$ ██████ $z\to \infty$ . ███ █████ $h>0$ ist ██████ ████████ ████████, auch ████ ███ dem ████ $h=0$ ████ █████. Er ██████ im █████████████ nach

\lim _{h\to 0}{\frac {\log(1+h)}{h}}=\log \mathrm {e}

██████████ der ███████████████████████

██████████████████

Eine ████████ █████████ der ████████████████████ ███████ darin, dass mit █████ der █████████ ██████ ███████████ einer █████ ████████ werden ██████. ███████ also ██████ einer ████████████ ██████████ nach ████- oder ███████████ ██████ zu ██████, ███████ der ██████ in einigen ██████ eine ███████ ███████. █████ ein ████- oder █████████ vor, so ███████ die █████ an ██████ ██████ ██████ „██████“ ███████, ███████ die ████████ ██████████████ eine ████████ von █ ███████. ███ die ██████ ███████████████ eines ████████████ sind ██████ ███████ ██████ █████ der █████ █████████, denn eine ████████ von █ ist nicht ███████████ ███ die ████████ eines ████████████ (██████████ denn eines ████- oder ███████████).

In der ██████ ██████ ██████████████████ ██████████████ dann auf, ████ ████████, zum ████████ in der ██████████, █████████ werden ██████. ███ ██████ an den ██████████ ███████ ██████████ ██████████, in ████████ „█████“ █████ es aber zu einer ████████ ██████████, die dann ████████ ███████ werden ████. Zum ████████ die ████████ ████ eines ███████████████: Bei einem zu ████████ █████ ist die █████████ nach einem ███████ zwar ████ ████, aber die ██████████ kann nicht ██████████ werden. Ist er ████████████ zu ████, so wird es im ██████████ gar nicht ████ ███████. Daher █████ ein ███████ ████████ „in der █████“. █████████████ dabei ist, dass der ████████████ in ████ einer (██████) █████████████████ ████████ █████████████ werden kann.

Die ████████████ einer ████████ auf █████████████ ist ████ einer ████████████████. Die ██████████████ ████████████ sind im █████████ █████████ ███████ ███████████ ██████████████.

█████████████ ████████████

In der ██████████████ ████████████ ██████ ████████ ████████ in ██████████████ ███████ ███████ und ██████████ werden. Je nach █████████████ sind das ███████████ von █████████████ oder ████████████ oder auch das █████ von █████████ im ██████ ██████ ███████ ███████████.

Besonders im ██████ ███. ███████████████████████ ist die ████████████████████ █████████ ████████ bei der ████████████. █████ ███████████ ██████ zum ████████ auf, ████ es eine ███████ █████████ zwischen dem ███████ einer █████ und deren ██████████ ███████████ ████. Ein ████████████ ████████ ██████ sein:

Je ████ █████████ eine █████ ███████, █████ ████ █████ ██████ ████ █████████.

█████ █████████ ██████ ████ zum ████████ ██████, dass bei $1\,000\,000$ ████████ ██████████ ████████████████ $1\,000\,000$ ████████ in den █████████ ██ ██████ ████████ werden, bei $1\,000\,001$ ██████████ ████████████████ $1\,000\,001$ ████████ in den █████████ ██ ██████ ███. – um nicht alle ██████ ███████ █████████ zu ██████: █████ $n$ ████████ in der █████, so ██████ so █████ ████████ ███████████, dass nach ██ ██████ ███████ $n$ ███████████ würden. ███████ eine █████████ ██████████ zwischen ███████ und ██████████ ███████████, so kann ███████ werden, ob aus ██████ █████ eine ████████ ███ die █████████████ nach ██ ██████ ██████████ werden kann, ████ die █████ im ████ ████ zum ████████ $1\,000\,000$ █████████ hatte. Es ████ dabei ██████ zu ███████, dass ████ $2\,000\,000$ sein werden, da sich mit ██████████ █████████████ auch die █████████ nach ████████ ████████ █████████ ████████ wird. Der ██████████ zum ███████████ des █████████████ ist ███████ ██████ dessen █████████: ███████ die █████ $1\,000\,000$ █████████, so ██████ zu ██████ █████████ $1\,000\,000$ ████████ ███ ██ █████ ███████████. Aber einen ██████ ██████████ ██████, ████ ███████ ████████ ████████████ sind, █████ die ████ ██████ ██████ aus. Wird ██████ ████████ ████████ ████████ ██████████ ███████, ██████ sich ein „███████████████“ ████████████. Allerdings ██████ sich die ███████████████ ████████████████ in ██████ ██████ auch bei █████████ █████████████████.

Mit █████ der ████████████████████ kann aus so einem ████████ ████████████ zwischen ███████ und ███████████ in ██████ ██████ ein ██████ ███████████ werden, ███ den █████████ ████████████ ███████, und zwar in dem █████, dass zum ███████ eine ████████████████ ████████ █████████ werden kann. █████ ███ in █████ ████████ dann zum ████████ den ████ ██ █████ ein, so ██████ sich eine ████████ ███ die ███████████████████ im ████ ████. Im █████ ██████ ███████ wird eine ████████████████ $B$ ███████ mit $B(t)=B'(t)$ , $t$ in ██ ██████ und $B(0)=1\,000\,000$ . Die ██████ ist dann

B(t)=1\,000\,000\,e^{t}

mit der ███████████ ███████████████████ (█████████ ████████, dass der ███████████████████████ zwischen ███████ und ███████████ ███████ ██████ █ ist) und ███ das ████ ████ ██████ die ██████████ ████████ $B(1)\approx 2{,}718$ ███. █████████. Die ████████████████ zwischen ███████ und █████████████ █████ also zu ██████████████ ████████ und ist ███████████ ████████ eines ███████████████████ ████████. ███████ ███████ █████████████ beim ███████████████████ (Je ████ ██████████, █████ ████ ████████) oder der ███████████ einer ████████████ █████████ (Je ████ █████████, █████ ████ ████████████). In ██████ ██████ ██████ █████ ███████ ██████ an eine ██████, ████ sich der ███████ ████████ ███████████ ██████████████ (wie eine ██████████ der █████████████████) nicht ████████ ██████████ █████. In ██████ ██████ sind ████████ ███████, wie das ███████████ ████████, ██████████.

██████████ █████████

Die ███████████ einer ████████, ███████████████ zu sein, ist bei ██████ ███████████ von ███████, da ████ der ████████ ████ ████████ ████████. Ein ████████ ist das █████ von ███████████. Bei einigen ██████████████ ███████████ ist es █████████, den ████ einer (oder ████████) ███████████ $x$ zu ██████, die ██████████ einer ████████ $f$ ist. Es ist dann $f(x)=0$ . Je nach ██████████████ von $f$ ██████ ██████████ ██████████ werden, eine ██████████ █████████ ██████████████ █████████, ███ in der ██████ █████ ██████████ █████████. Ist $f$ in █████ █████ ███████████████ mit █████████ $f^{'}$ , so kann in ██████ ██████ das ██████-█████████ ██████. Bei ██████ ██████ die ████████████████████ ████████ eine ███████ █████, als beim █████████████ ████████ █████ ██████ eine █████████ ████████ █████████ werden ████.

Ein ████████ ███████ der ████████████████████ ist, dass in ██████ ██████ ████████████ ██████████, wie ███████ oder auch █████ und ███████, ██████ █████████ ████████████ wie ████████ und ██████████████ ███ ██████████ werden ██████. Ist die ████████ an einem ████████████ ████ ██████ ███████████, ist ████ von ██████ ██████. Wird zum ████████ nach einem █████████████ ███ die ████ ${\sqrt {26}}$ ███████, so ███████ die ████████████████████ ███ $f(x)={\sqrt {x}}$ die ██████████████

f(25+h)\approx f(25)+hf'(25)={\sqrt {25}}+{\frac {h}{2{\sqrt {25}}}}=5+{\frac {h}{10}},

denn es ████ ████████████ $f'(x)={\tfrac {1}{2{\sqrt {x}}}}$ . ██████ ████████ als auch █████ █████████ ███████ an der ██████ $██$ ███ █████████ werden, weil es sich dabei um eine ███████████ ███████. █████████ von $h=1$ ██████ ${\sqrt {26}}\approx 5+{\tfrac {1}{10}}=5{,}1$ , ███ mit dem ███████ ████████ ${\sqrt {26}}=5{,}09901\dots$ bis auf einen ██████ ███████ als ${\tfrac {1}{1000}}$ █████████████. Unter ████████ ███████ ███████████ kann die ███████████ ███████ ███████████████ ██████████ ██████████ werden, da dann nicht ███ ██████, ███████ ███████████, ███████ ███. ██████████ wird, █████ auch ██████-█████.

█████ ██████████

Auch in der ██████ ██████████ ██████ die ████████████████████ als ein ████ der ████████ eine ██████████ █████. Ein ████████ ist die █████████████████████, die sich mit ███████ ███████████, die eine ████████████████ ██████████ (ohne ██████ ███.) haben. Zum ████████ kann auf eine ███████████████ in █████ █████ ██████████ eine █████ █████████ werden. ███████████: █████ ███ an einem ████████, so hat ███ das ██████, die ████ sei █████, ████ ███ ██████ █████ in der ███████████████ █████████ █████. In ████████ ist die ████ ██████ ███ █████ █████: Die █████████ █████ █████ der (durch ██████████████) █████████████ ███████████ der ███████████████ ████████. ██████ hat ███ als ███████████████ eine ██████ ██████ ███████.

Die ████████ der █████████████████████ sind ███████ █████████ ███ die ████████████ ██████. So ██████ █████████ wie ████████ oder ████████ ████ ████████ der ████████████████████ ███████████ werden. Auch die █████, ███ der ████████ ███████ zwischen ████ ███████ auf einer ██████████ ██████ (zum ████████ der █████████████) ist, kann mit ██████ █████████ ██████████ und ███ auch ███████████ werden.

Auch bei der ███████████ von ██████ als ███████, also im ██████ der █████████████, hat sich die ████████████████████ in der ████████████ █████████████ ███████. Die ████████████ ████ der ████████████ █████████████ ist die ██████████ von ██████████ ██████, ████ die ███ █████ ██████ ██████, in ██████████. Haben █████ ██████████ „████ █████████████“ wie etwa ███████████████████, so █████ ███, ████ die damit ██████████████ ██████████ ████████████ auf die ██████████████ ██████ ██████ zu ██████. Es hat sich dabei ██████ ███████, zur ████████████████ der ████████ von den ███████ zu den █████████ ██████ ███████████ (█████ auch ████████ ████████), also die ██████████ ████ einem ████████ █████████████ zu █████████. Ein ████████ ist die ███████ der █████████-██████ $0,1,1,2,3,5,8,13,21,\dots$ , deren ██████████████ ███████████, dass eine ████ ████ █████ aus der █████ der beiden █████████████ █████████ ████. ██████ der ████████████ █████████████ ist die ███████ der ███████████ ████████

F(x)=0+1x+1x^{2}+2x^{3}+3x^{4}+5x^{5}+8x^{6}+13x^{7}+\dotsb ,

also eines „█████████ ██████“ ████████ (einer ███. ███████████), dessen █████████████ █████ die █████████-██████ sind. ███ ███████████ ██████ ██████ $x$ ist ██████ ████████ ████████, weil die ████████ $x^{n}$ dann ████ █████████ gegen █ █████ als die █████████-██████ gegen █████████, █████ sich ███████████ alles bei einem █████████ ████ ██████████. Es ist ███ █████ █████ ███████, die ████████ $F$ ████████ zu █████████ durch

F(x)={\frac {x}{1-x-x^{2}}}.

Das █████████████ $1-x-x^{2}$ „████████“ dabei █████ das █████████ $f_{n}-f_{n-1}-f_{n-2}=0$ der █████████-██████ $f_{n}$ „█████“ – es ██████ sich in der ███ $F(x)-xF(x)-x^{2}F(x)=x$ durch ██████████ ██████████. Mit █████ der ████████████████████ █████ sich ████████████ ██████, dass die ████████ $F$ █████████, um die █████████-██████ (████ █████████████) █████████ zu ████████████████. Da es sich aber um eine █████████ █████████ ████████ ███████, █████ sich dadurch die ███ ████ █████████-████ $f_{n}$ ███████ ██████ ██████

f_{n}={\frac {\Phi ^{n}-\left(-{\frac {1}{\Phi }}\right)^{n}}{\sqrt {5}}}

mit dem ████████ ███████ $\Phi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ █████████, ████ $f_{0}=0,f_{1}=1$ und $f_{n}=f_{n-1}+f_{n-2}$ ███████ wird. Die ██████ ██████ ██████ eine █████████-████ zu █████████, ohne die ██████████ zu ██████. Der ███████ wird ████ einen ███. ██████████████████████ ███████ und █████ aus, dass das ███████ $x^{2}+x-1$ als ███████████ $-\Phi$ und ${\tfrac {1}{\Phi }}$ ███████.

Der █████████████████ ████

Die ████████████████████ kann auf den ████ „██████████████████ ██████████“ ███████████████ werden. Damit ist ███████, dass ██████ ███████- als auch ████████████ der ████████ nicht ████ ████ des ████████████████ ███████ █████████████, ███████ auch ██████ eines ██████████████████ █████ sind. Ein ████████ ist die ██████████

\left({x \atop y}\right)\mapsto \left({x^{2}+y^{2} \atop x^{2}-2y}\right)

zwischen ███████ █████████████████ ██████. Das ████████████████████ als ███████ ██████ ████ █████████, ███ dass █████ mit „████ ███████“ $(x,y,x^{2}+y^{2},x^{2}-2y)$ „████████ ████“ ████████ ███████. Auch ████████████████ ███████████ ██████ in ███████ ██████ an einem █████ ████████████ werden. Allerdings ist dabei ███ ██████████ zu ████████, dass es ██████ ███████ ██████████████████ als auch ███████ ██████████████████ █████ kann: Der ████████ █████████████████████ █████ darin, dass die ██████████████ in █████ ██████████ der ███████ ████ ████████ auf ███████ █████ ██████████████. Das █████ ███ █████ ████████████████ eine █████████████ der ████

f(x,y):=\left({x^{2}+y^{2} \atop x^{2}-2y}\right)\approx \left({m_{1}(x-x_{0})+m_{2}(y-y_{0})+c_{1} \atop m_{3}(x-x_{0})+m_{4}(y-y_{0})+c_{2}}\right)

nach sich. █████ ████ dann die ███████ ████████ in der ████ der ███████ $(x_{0},y_{0})$ ████ ███ nach. In █████ ██████████ wird ███████ ███ ████ ████████ eine „████████“ █████████ – █████ wird dann das ██████ █████████ der ███████████████████ bei ███████ ████████ in ██████ █████████ ██████. █████ ████████ wird auch als █████████ █████████ ██████████. Die █████████ ██████████ ██████████ $c_{1},c_{2}$ █████████ sich ████████████ durch $c_{1}=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}$ ███. $c_{2}=x_{0}^{2}-2y_{0}$ . Wie auch im ████████████████ ████ ██████ die ██████████ (████ $m_{1},m_{2},m_{3},m_{4}$ ) █████ von der ████ des ███████ (████ $(x_{0},y_{0})$ ) ab, an dem ██████████ wird. Die █████████ ist ███████ █████ ████ ████, ███████ ein ███████ aus ████████ ██████ – in ██████ ████████ sind es ████ – und █████ ██████ sind im █████████ bei allen ████████ ███████████████. Es wird █████████ ███ die █████████ auch

f'(x_{0},y_{0})={\begin{pmatrix}m_{1}&m_{2}\\m_{3}&m_{4}\end{pmatrix}}

███████████, █████ alle „██████████“ in einer ███. ██████ ██████████ sind. ███ ██████████ ██████ ████ auch als ██████-██████ oder ████████████████.

████████: Wird oben $(x_{0},y_{0})=(1,0)$ ███████, so kann ███ ██████, dass ████████ ███████ █████████████ bei ████ ███████ ██████████ von $x$ und $y$ ████ ███ ist:

f(x,y)=\left({x^{2}+y^{2} \atop x^{2}-2y}\right)\approx \left({2x-1 \atop 2x-2y-1}\right).

Zum ████████ ████

f(1{,}003;0{,}002)=\left({1{,}006013 \atop 1{,}002009}\right)

und

\left({2\cdot 1{,}003-1 \atop 2\cdot 1{,}003-2\cdot 0{,}002-1}\right)=\left({1{,}006 \atop 1{,}002}\right).

Hat ███ im ████ ███████████ ████ $n$ █████████ und $m$ ██████████████████, so ████ es ██████████████ ███████ █████████ $n\cdot m$ „██████████“, also █████████ ███████████. Im ███████████ ████ $n=m=1$ ████ es █████ $1\cdot 1=1$ eine ████████ $f'(x_{0})$ und im ██████ ████████ $n=m=2$ sind es $2\cdot 2=4$ „██████████“.

██████████

Die ████████████████ der ████████████████████ ███████ sich als ████████████████ ab dem ██. ███████████ ██████. █████████ ████████ ███ die ███████, bei einer ██████████ █████ in einem ██████████ █████ die ████████ zu █████████. Ein █████████████ █████████████ ███████ darin, die ████████ an eine █████ durch ████ ███████ ████ einem █████████ (endlich █████ ████: ██████ als ████), aber ████████ ███████ █████████ zu █████████████. Dabei war die ██████████ █████████████ zu ██████████, mit einer ███████ █████████████ ███████ ███████████████ zu ███████. Die ██████ ███████ der ████████████████████ █████ auf ██████ ██ ██████ ██████. Er ███████████ um ████ eine ███████, █████████████ █████████████ █████ zu █████████ und █████████ an █████████████ und ██████ ██████ zu █████████. █████ „███████“ war ████ ███████████. ██████ ███████████ █████ ██████████████ und █████ gar █████ ███████████. ██████████ █████ sich █████ „███████“ mit ████████ ███████ der ████████ ██████████████ und █████████████, und ███ hat ████████████ wie ██████ und ███████ ████████████ ██████████. Einige █████ ██████ ██████ ████ █████████ einen ███████ █████████████ ██████, indem er an eine █████ einen █████ ███████. ██████ █████████ die █████ in ████ ████ ████████████████████ ███████; es sei denn, er ███████ die █████. ██████ ██████ ███████████ es ███, ███ █████████ ██████ die ████████ der ████████ zu █████████.

Ende des ██. ████████████ ██████ es █████ ██████ und █████████ ███████ ███████ mit █████████████████ ████████ ██████████ ███████████, ████████████████ ███████████████ ███████ zu ██████████. ███████ ██████ das ███████ ████████████ ████ das ███████████████████████████████ ██████, █████ es ███████ ███████████ ████ das ████████████████. ████ ████████ █████████ das ████████████ von ████ █████████████ ███████████ und werden deshalb als ██████ der ████████ ██████████. ███████ wurden ███ vor allem durch das ████ ███████ des ██████████ ██████ ████ l’████████████ des ██████ ███████ des ███████ █████████ ████████ ███████, ███████ ██ L’████████, der bei ██████ I █████████ ████████████████ ████ und dessen █████████ zur ████████ so ███████████. Darin █████ es:

„Die ██████████ ██████ ███████ ist ████████████: Er █████ sich ██████ auf ███████████ als auch ████████████ ██████ ████████; █████████████ ████████ ███ █████ ███████████████ und sind ███████ █████ ████████ im ██████; er █████ sich auf so █████ █████████ █████████, wie ███ sich ███ ████████ kann; der █████████ █████████ ███████ ██████ aller ███ ███████ ███████. Und er ███████ eine ██████████ ████ an ██████████████ ████████████ ████ █████████ wie ███████████ █████████, ██████ ██ ███████ & ███████, ███████████ und ███████ von ██████, ████████, ███████████- und ██████████████████, &c. wie ███ in ██████ ████ █████ werden.“

Die █████ █████████ ████████████████ ████████ vor allem auf den ██████ von ████████ █████, der den ████████████████ ██████.

██████ und ███████ ██████████ mit ████████ ███████ █████████ ██████. ████ wurde bereits von ████████████ als █████████ ██████████, ██████████████ von ██████ ████████ in der ███████████ ███████ ███ ███████; ██, a █████████ █████████ ██ an ███████ █████████████. ████ in den ███████ ██████ ███████ ████████ █████ ██████████ ███████████████ ██████ mit der ███████████ der █████████████████████ auf ein ████████████-███████████ ████████ █████████ ███████. █████ der ████████████ ████████████ wurde die ████████████████████ aber ██████████ ████████████████, in ██████ █████ █████ █████ ███████████ ███████████ in der ██████ und in ███████ ████████ der ██████████. █████████████ ███ die ████████ ████ war das von der ███████████ ████████ der ██████████████ ████ ███████████████ █████████████████:

„[…] Die ██████ █████████ ███████ ██████ █████████ █████ und █████████ ██████ ██████; ██████ haben die █████ █████████ das ██████████ ██████████ █████████, und einige ████████ █████████ ███████ ████ ████████, dass die ██████ ██████████ █████ ████████████████ sind. Die ████████ ████████ also, dass ███ ███████, wie aus einer ████████████████ ███████ so █████ ████████ █████ ██████████ sind, und dass ███ einen ████████ und ██████ ████████████ ██████, welcher das ██████████ ████████ ██████, ohne die ████████ zu █████████ oder zu ████ zu ██████ […]“

████ zum ██████ des ██. ████████████ ██████ es ████████-█████ ██████, der ████████████████████ die █████ ███████ ████████ ███████ zu █████, indem er von den ███████████████ ██████ ██████ und die █████████ als █████████ von ██████████████████ (█████████████████████) ██████████. Die █████ ████████ ██████████ des ██████████ wurde ███████████ von ████ ██████████ im ████ ████ ██████████.

██████████

████████- und █████████████████

█████████████ ███ die ██████████ der █████████ ist die ████████ der █████████████████ durch eine ████████████████ (████████ auch ██████████████ ███████). ███████ sei die ████████ einer ████████ $f$ in einem █████ $(x_{0},f(x_{0}))$ . ███ █████████ ████████ die ████████ der ███████ an $f$ ████ einem █████████ █████████ $[x_{0},x_{0}+\Delta x]$ der █████ $\Delta x$ :

████████████████ =

{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{(x_{0}+\Delta x)-x_{0}}}={\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}

Die ████████████████ ist also der ████████ ██████ ███████████; ███ wird deshalb auch ███████████████████ ███████. Mit der ████████████ $\Delta y$ ███ $f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$ kann ███ die ████████████████ █████████ als ${\tfrac {\Delta y}{\Delta x}}$ █████████. Der ████████ $\Delta x$ ████████████ also die ████████ █████ ████████ █████████ zwischen der ██████, an der ██████████ werden ████, und einem ████████████ █████. In der █████████ wird ██████, wie auch im █████████, in ██████ ██████ aus ███████ der ███████████ das ██████ $█$ █████ $\Delta x$ █████████.

Um eine █████████████████ zu █████████, ████ ███ die beiden ██████, durch die die ███████ ███████ wird, █████ ██████ ██████████ ██████. Dabei █████ ██████ $\Delta x$ als auch $\Delta y$ gegen ████. Der ████████ ${\tfrac {\Delta y}{\Delta x}}$ ██████ aber in ██████ ██████ endlich. Auf ██████ █████████████ ██████ die ████████ ██████████.

███████████████████

Eine ████████ $f\colon U\to \mathbb {R}$ , die ein ███████ █████████ $U$ in die ███████ ██████ ████████, █████ ███████████████ an der ██████ $x_{0}\in U$ , █████ der █████████

\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}

(mit

h=x-x_{0}

)

█████████. ██████ █████████ █████ ████████████████████ oder █████████ von $f$ nach $x$ an der ██████ $x_{0}$ und wird als

f'(x_{0})

oder

\left.{\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}\right|_{x=x_{0}}

oder

{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(x_{0})

oder

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x_{0})

███████. ██████████ werden █████ ██████████ als „f ██████ von x ████“, „d f von x nach d x an der ██████ x ██████ x ████“, „d f nach d x von x ████“ ██████████ „d nach d x von f von x ████“. Im ██████ █████████ █████████ ██████████ werden ████ ███████ █████████ █████████, um die █████████ einer ████████ zu ████████.

Im █████ der ████ wurde ████████ █████████████ ██████████ ████████, die sich im █████████████ ███████ █████████ oder █████████████████ ██████████ als ████████████████ ████████ hat: Eine ████████ █████ an einer ██████ $x_{0}$ ███████████████, █████ eine █████████ $L$ █████████, ██████

\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})-Lh}{h}}=0.

Der ███████ der ████████ $f$ , ████ ███ sich von $x_{0}$ ███ █████ ████████, etwa um den ████ $█$ , █████ sich also durch $L █$ ████ ███ █████████████. ███ █████ deshalb die ███████ ████████ $g\colon x\mapsto f(x_{0})+L(x-x_{0})$ , ███ die also $g(x_{0}+h)=f(x_{0})+Lh$ ███ alle $█$ ████, auch die ██████████████ von $f$ an der ██████ $x_{0}$ .

Eine ███████ ██████████ ist: Es ████ eine an der ██████ $x_{0}$ ███████ ████████ $r$ mit $r(x_{0})=0$ und eine █████████ $L$ , ██████ ███ alle $x$ ████

f(x)=f(x_{0})+L(x-x_{0})+r(x)(x-x_{0})

Die ███████████ $r(x_{0})=0$ und dass $r$ an der ██████ $x_{0}$ ██████ ist, ████████ ██████, dass das „█████████“ $r(x)$ ███ $x$ gegen $x_{0}$ gegen $█$ ███████████.

In beiden ██████ ist die █████████ $L$ █████████ ████████ und es ████ $f'(x_{0})=L$ . Der ███████ ██████ ████████████ ist, dass ███████ █████████ zu ██████ sind, da ████ ████████ ██████████ werden ████. █████ ███████████ der ██████ ████████ █████████████ wurde █████ von ████ ██████████, █████ ██████ und ████ █████████ ██████████ █████████ und wird auch ██████████████ ████████████████ ███████.

██████████ ███ eine ████████ als ███████████████, ohne sich auf eine █████████ ██████ zu ████████, dann ████████ ████ die ███████████████████ an █████ ██████ des ████████████████████, also die ████████ einer ███████████ ████████ ███ █████ █████ des ███████.

████ ████████████████ ████████ ist ██████, die █████████ ████ ██████ nicht. ████ ██████ des ██. ████████████ war ███ █████████, dass eine ███████ ████████ █████████ an ███████ ███████ nicht ███████████████ sein █████ (wie die ███████████████). ███████ ███████ ████████████ dann als ██████ ████████████ ███████████ eine ████████, die ██████ ███████████████ ███████ wurde, die ███████ ██████, aber ████████ ███████████████ ist, ███ in der ████████ allerdings nicht ███████ wurde. ████ ██████████ ████ dann in den ██████ ██████ █████████ eine █████████ ████████ (█████ ██████████-████████), ███ ███████ unter █████████████ ██████ ██████. Ein █████████ █████████████████ ████████ ███ eine ███████, nicht ████████████████ ████████ ist die von █████ von ████ ████ ████████████ ████-█████.

██████████████████

Die █████████ der ████████ $f\colon U\to \mathbb {R}$ an der ██████ $x_{0}$ , ██████████ mit $f'(x_{0})$ , ██████████ █████ das █████████ der ████████ in der ████████ der ████████████ ██████ $x_{0}$ . ██████ ist es ███████, an █████ █████ des ████████████████ eine ██████████████ ███████████. ████ ███████ die ██████████ einer ██████████████████ (oder ████ █████████) $f'\colon U\to \mathbb {R}$ , die █████ ███████ des ███████████████████ $U$ der ████████████████ $f$ die ████████ der ████████ ██████████████ ████████. ███ ████ in ██████ █████, „ $f$ ist in $U$ ███████████████“.

██████████████ hat die ███████████████ $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ mit $f(x)=x^{2}$ an einer ██████████ ██████ $x_{0}$ die █████████ $f'(x_{0})=2x_{0},$ die ███████████████ ist also auf der █████ der ███████ ██████ ███████████████. Die ██████████ ██████████████████ $f^{'}$ ist ███████ durch $f'\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ mit $f'(x)=2x$ .

Die ██████████████████ ist im ██████████ eine ██████ ████████ als die ████████████ ███████████. ███████ ████████ sind die ██████████ $x\mapsto k\cdot e^{x}$ der ███████████ ███████████████████ mit ██████████ $k\in \mathbb {R}$ – unter denen, wie die ████ $k=e^{-a}$ █████, auch alle ██████████ $x\mapsto e^{x-a}$ mit ██████████ $a\in \mathbb {R}$ █████████ sind (deren █████ aus dem der ███████████████████ $x\mapsto e^{x}$ durch „█████████“ ████████████ um $a$ ████████ und zu ██████ daher █████████ ist).

Ist die █████████ ██████, dann █████ $f$ ██████ ███████████████. In █████████ an die ███████████ $C(U)$ ███ die ██████████ (den ████) der ████████ ██████████ mit ████████████████ $U$ wird der ████ der auf $U$ ██████ █████████████████ ██████████ mit $C^{1}(U)$ █████████.

██████████

█████████████ ███████ ████ es ████████████████ ██████████, um die █████████ einer ████████ ████████████.

████████-████████

In ██████ ███████ wurde bisher █████████████ die ████████ $f^{'}$ ███ die █████████ von $f$ █████████. █████ ████████ ████ auf den ████████████ ██████-█████ ████████ ██████, der ███ ████ █████████. Bei ██████ ████████ wird die ██████ █████████ von $f$ mit $f^{″}$ und die $n$ -██ █████████ ███████ $f^{(n)}$ ██████████.

██████-████████

█████ ██████ – █████ ███████ der █████████ der ████████████████████ – ████████ die █████ █████████ von $x$ mit ${\dot {x}}$ , ████████████ ████████ er die ██████ █████████ durch ${\ddot {x}}$ . ██████████ wird █████ ████████████ ██████ in der ██████, ████████████ in der ████████, ███ die █████████ nach der ████ █████████.

███████-████████

█████████ ███████ ███████ ██████ ███ die █████ █████████ von $f$ (nach der █████████ $x$ ) die ████████ ${\tfrac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}$ ein. ███████ wird ██████ ████████ als „d f von x nach d x“. ███ die ██████ █████████ ████████ ███████ ${\tfrac {\mathrm {d} ^{2}f(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}$ und die $n$ -██ █████████ wird ███████ ${\tfrac {\mathrm {d} ^{n}f(x)}{\mathrm {d} x^{n}}}$ ██████████. Bei der ████████████ von ███████ ███████ es sich nicht um einen █████. Die ███████ $\mathrm {d} f(x)$ und $\mathrm {d} x$ werden „█████████████“ ███████, haben aber in der ████████ ████████████████████ (█████████ von der ███████ der ██████████████████ oder in der █████████████████████) eine █████████ ███████████ █████████, im ██████████████████████. In ███████ ███████████ (███████████, ███████████ ███████ ███████████████████████, ███████████ durch ████████████) ███████ ███ mit █████ aber so, als wären ███ ███████████ █████.

█████-████████

Die ████████ $\mathrm {D} f$ oder $\mathrm {D} _{x}f(x)$ ███ die █████ █████████ von $f$ ████ auf ████████ █████ ██████. Dabei wird die █████████ als ████████ – also als eine █████████ ████████, die ██████ auf ██████████ ████████, ██████████. █████ ████ ████ auf den ████████████ █████ ████████ ███████ ████████ ██████. Die ██████ █████████ wird in ██████ ████████ ███████ $\mathrm {D} ^{2}f$ oder $\mathrm {D} _{x}^{2}f(x)$ und die $n$ -██ █████████ durch $\mathrm {D} ^{n}f$ oder $\mathrm {D} _{x}^{n}f(x)$ ███████████.

████████████████████

Das █████████ der █████████ einer ████████ wird ███████████████ oder ███████████████ ███████; ██████, ███ █████████████ █████ ████████.