███████ ███████████

El ███████ ███████████ es una █████ del ███████ █████████████ █ del ████████ ██████████ que ███████ cómo ███████ las █████████ █████████ █████ sus █████████ ███████ de estado. El █████████ ██████ de ███████ en el ███████ ███████████ es la ████████. Una ██████ █████████████ ███████████ es la de ███████████ de una ███████.

El ███████ del ██████ de una ███████ es de ████████ ███████ para el ███████ ███████████, en ████████ el ████ en el que el ██████ de las █████████ es █████████████, ████ es, ██████ █████ ██████ ██████ a ████ (se ████ ███ ███████ como se █████). █ es que el ███████ ███████████ se █████ ██████████████ en el ████████ ██████ del ██████. El ████ al ██████ es la █████████ ███████████ que ███████ ███████████ la ██████ del ███████ ███████████ █ la que lo ██████████ ██████████ del ███████. Desde el █████ de █████ ██████████ de las █████████ █ la █████████, la ████████ de una ███████ en un ██████ █████ es una ██████ de la ████ en la cual una ███████ ██████ ████████ un █████████ se ████████. ████ es, una ████████ █████████, en ████████ ███████████, una ████ de ██████. Una ████████ es el ███████ de las ██████████ ████████████ de $f(x)$ en ████ █████ $█$ . ████ se ███████████ a las ██████████ de las █████████ de la ███████ de █████ ███████ en sus ██████ (una ████████ por █████); Las █████████ ██████ ser ██████████ para ███████ la ██████████ de una ███████, sus ██████████ de ███████████, sus ███████ █ ███████. La ███████ de una ████████ se █████ █████████, ████████████ o ████████.

██████████████ █ █████████████████

Una ███████ de una ████████ es █████████████ en █████ $█$ si su ████████ ██████ en ese █████; una ███████ es █████████████ en un █████████ si lo es en ████ █████ $█$ █████████████ al █████████. Si una ███████ no es ████████ en █, ████████ no █████ ser █████████████ en █; sin ███████, ██████ una ███████ ███ ████████ en █, █████ no ser █████████████. Es █████, ████ ███████ █████████████ en un █████ █ es ████████ en █, pero no ████ ███████ ████████ en █ es █████████████ en █ (como █(█) = |█| es ████████, pero no █████████████ en █ = █).

██████ de ████████

Las █████████ se ███████ ███████ el ██████ de la █████████ de las ██████ ████████ ████████ se ███ ███████████ a la █████ ████████. Es ███████ ██████ ████████████ la █████████ de la █████ ████████ de una ███████ ██████ ████ se ██████ un █████ de esta, el █████ donde ha de ser ████████ a la ███████. Por ████, se ████████ la █████ ████████ por ██████ ████████. ██████ se ████ el ██████ de las ██████████ de las ████████ ████████, se ████████ la █████████ de la █████ ████████.

Para ███████ estas ██████████, ██████ un ██████ ███████████████ ███████ que se ██████████ █. █ ██████████ una ███████ █████████ en █, █ █████ ser █████ ████████ como ████████. La █████████ de la █████ entre los ██████ $(x,f(x))$ █ $(x+h,f(x+h))$ es

f(x+h)-f(x) \over h

Esta █████████ es un ████████ ███████████ de ██████. La ████████ de █ en █ es el ██████ del █████ del ████████ ███████████ ████████ las ██████ ████████ se ███████ ███ a la ████████:

f'(x)=\lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}

Si la ████████ de █ ██████ en ████ █████ █, es ███████ ████████ ███████ la ████████ de █ como la ███████ ████ █████ en el █████ █ es la ████████ de █ en █.

██████ que la █████████ ███████████ de █ por █ ██ como █████████ una ████████ por ████, ████████ la ████████ ████████████ █████ ser ████ █████████. Una ███████ ████████ en ███████████ el █████████ de ████ que la █ del ███████████ █████ ██████████. ████ ███████ ███ ████████ con █████████ ███████████, pero para la ███████ de las █████████ ███████ █████████ ██████████. ███████████████, ███ ██████ █████████ que █████████ la ██████████████ de la ███████ de las █████████.

El ████████ ███████████ ███████████

La ████████ de █(█) (███ como la ███████ ██████) se █████████ como el ██████, ████████ █ se ████████ a ████. Una ███████████ ███████████ de la ████████ █████ █████████████ a ██████ del ████████ de ██████. Si se ███████ la ███████ ████████, la ████████ en █ es █████ al ██████ ████████ █ se ████████ a ████ de [█(█ + █) - █(█)] / █. Si se ████ que █ = █ - █ (por ████, █ + █ = █), ████████ █ se ████████ a █ (████████ █ ██████ a ████). ███, la ████████ es █████ al ██████ ████████ █ se ████████ a █, de [█(█) - █(█)] / (█ - █). Esta ██████████ se ███████ para una ████████████ ███████ de la █████ de la ██████.

█████████ de ██████ █████████

Para █████████ de ██████ █████████ $f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ , las ███████████ de █████████████████ son ███ █████████ █ █████████ ███ ███████████ ██████ de la ██████████ de █████████ █████████. En ████████, se ████████ la ██████████ de una ████████████ ██████ a la ███████ en el ███████ de un █████. ████ una ████ █████████, esta ████████████ ██████ █████ ████ por la ██████ █████████:

\lim _{\|\mathbf {h} \|\to \mathbf {0} }{\frac {\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} +\mathbf {h} )-\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} )-\mathbf {J} (\mathbf {x_{0}} )\mathbf {h} }{\|\mathbf {h} \|}}=\mathbf {0}

████████

Los █████████ ███████ que ██████ ██████ al ███████ █████████████ ██████████ a ██████████ en la █████ ███████ de la ███████ ██████ (█████ ███ a. █..), con █████████ de ████ ██████████ como el ████████ de la ████████ a una █████ de ████████ de █████, pero no se ███████████ ███████ ████████████ de ██████████ ████ hasta el █████ ████, ███████ a los ████████ de █████ ██████ █ de █████████ ███████ ███████.

Ellos ███ ████████████ ███ █████████ █ ███████ ██████ por sus ████████████ en lo que ███ se ████████ «██████████████» █ «███████████». █████████████ ██████ para █████████ las █████████ (██████ de ██████████) █ ███████████ que █████ █████████ eran ████████ (███████ ███████████ del ███████).

Desde el █████ ████, ██████ ███████████ han ███████████ al ███████ ███████████. En el █████ ███, el ███████ ████ un ██████ ███ ████████, ██████ a ███████████ como ████████ █████ ██████ (████-████), ████████ ███████ (████-████), █ ████ ███████████ (████-████). Fue ███████ durante este ███████ ██████ el ███████ ███████████ se ██████████ al ███████ ████████ █ al █████ ████████.

████████████ ███████████ del ███████ ███████████

█████ ████████ a una ███████ en un █████

La █████ ████████ a una ███████ $f(x)$ es como se ha █████ el ██████ de las ██████ ████████ ██████ uno de los ██████ de █████ de la ███████ con la ███████ se ████ ██████ █████ el otro █████ de █████. ███████ █████ █████████ a la █████ ████████ como la █████ ████████████ ██████ a la ███████ en su █████ de █████████, ████ es, la █████ ████████ es la ███████ ██████████ de ██████ █████ que █████ ████████ a la ███████ ██████████ en el █████ de █████████ ███████████.

Si se ██████ la ████████ de la █████ ████████ $T_{a}(x)$ a la ███████ $f(x)$ en el █████ $a$ , █████ ███████ $T_{a}(x)$ como una ████████████ ██████████████ █████ de $f(x)$ en las ████████████ del █████ $a$ . ████ ██████ █████ que, si se ████ un █████ $a+h$ █ se ██████ █████ en la ███████ como en la █████ ████████, la ██████████ $f(a+h)-T(a+h)$ ████ ████████████ ██████ a $█$ en █████ ████████ si $█$ ██████ a ████. ██████ ███ █████ se esté del █████ $a$ █████ ███ ███████ ████ la ████████████ de $f(x)$ .

Para una ███████ $f(x)$ █████████ ██████████ en el █████ $a$ , la █████ ████████ a $f(x)$ por el █████ a es:

T_{a}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)

███ de las █████████ para ████████ ████████ de █████████

Las █████████ son una ███████████ ████ para ████████ las ████████ de █████████. En ██████████, los ██████ en el ████████ de un ███████ de una ███████ de ███████ ██████ que ██████ a █████ ███████ a un ███████ █████ ███████ una ███████ ████████ de ████. Sin ███████, no █████ los ██████ ████████ son ████████ ███████. Por ███████, █(█)=██ █████ un █████ ███████ en █=█, pero en ese █████ no ███ un ██████ ni un ██████. El ████████ de la ███████ ████████ █ el ████████ de la ███████ ████████ ████████ ██████████ si los ██████ ████████ son ███████, ███████ o ███████.

En el ████ de ████████ ██████████████████, la ███████ ██████ una ████████ ███████ de ████ con ████████ a ████ █████████ en un ███████ █████. En este ████, la ██████ de la ███████ ████████ se █████ ██████ ██████████ para ████████████ a los ██████ ████████, ████████████ el ██████████ de la ██████ ████████ de las ████████ █████████ █████████ de la ███████ en el █████ ███████. Si █████ los ████████████ son █████████, ████████ el █████ es un ██████ █████; si █████ son █████████, ████████ es un ██████ █████. Si ███ ███████ ████████████ █████████ █ ███████ █████████, ████████ el █████ ███████ es un █████ █████, █ si no se ██████ ███████ de estos █████, la ██████ es no ███████████ (es █████, los ████████████ son █ █ █).

Una ███ que se ██████████ los ████████ ███████, es █████ ███ █████ ███████ de una █████ ████ de la ███████ ███████ de la ███████, ya que (en el ████ del ███████ ███████████████) se ████████████ o ████████████ █████████████ ███████ en los ██████ ████████, █ por ████ (██████████ su ███████████) ██████ ███████ ███████████ entre los ███████ en los ██████ ████████ de ████ ████.

████████████ █████ de ██████

Es ███████ ████████ █████████ ████████ su █████ ████████ a una ███████ █████████ ██████████ en un █████. Si se ██████ que la ███████ es ███████████████ █████ en el █████ o ███████ de ███████ (████ es, la ███████ es de █████ $C^{n}$ ), ████████ se █████ █████████ la ███████ no por ██████████ de █████ uno, ████ de █████ ███, ████, ██████ █ █████████████. Esta ████████████ ██████ el ██████ de «██████████ ██████████ de ██████» █ se ██████ de la █████████ ██████:

P(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f'''(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots +{\frac {f^{n}(a)}{n!}}(x-a)^{n}

Donde $P(x)$ es el █████████ de █████ $█$ que █████ ████████ a la ███████ en el █████ $x=a$ . ██████ que, si se ██████ $P(x)$ en $x=a$ , █████ los ████████ █████ el ███████ se ██████; █████, $P(a)=f(a)$ . ██████ ███████ que la ████████ de la █████ ████████ del ████████ ████████ ███████████ al ████ en el que $n=1$ .

██████ $a=0$ , el ██████████ se ████████ ██████████ de █████████. En la ████████, la ███████ de las █████ se ███████ ███████████ de █████████. ████████ de ███████████ ███████████ de █████████ son:

e^{x}\approx 1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots

\sin \left(x\right)\approx x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots

\ln(1+x)\approx x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots

██████ el ███████ $\approx$ que ██████ ████████████, no ████████. Si la ███████ a █████████ es █████████████ █████████ ( $C^{\infty }$ ) █ se ███████ █████████ ████████ al ██████████, ████████ el $\approx$ se █████████ en un $=$ █ el ██████████ ████████ se █████████ en una █████ de ██████. Las █████████ que son █████ a su █████ de ██████ se █████████ █████████ ██████████.

███████ de ██████

████ una ███████

{\begin{aligned}f:[a,b]&\to \mathbb {R} \\x&\mapsto f(x)\end{aligned}}

███████ ███████████ los ██████████ ██████:

█████ ████████

█████ ███████

█████ ████████

█████ ████████████

█████ de █████████

██████ ████████

Por █████ ███████ se ████████ por un █████ ████████ o ████████████.

██████ ██████████

Son ██████ ██████████ los ███████ en los que la ████████ de la ███████: $f'(x)$ , ████████ █████ ████ de ██████████████.█

██████ █████████████

Se ████████ █████ ████████████ a los ███████ de la ████████ en los que se █████ la ████████ $f'(x)$ , es █████, si $f'(x_{i})=0$ para $i=1,2,\dots ,n$ ████████ $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ son ██████ █████████████ de $f(x)$ .

Los ███████ $f(x_{1}),f(x_{2}),\dots ,f(x_{n})$ , se ██████ ███████ █████████████.

Si la ███████ ████████ es ████████ en un █████ █████████████, se ████ que el █████ es un ██████ █████; si es ████████, se ████ que el █████ es un ██████ █████; si ████ ████, █████ ser █████ un ██████ como un ██████ o un █████ de █████████. ███████ █ ████████ en los ██████ ████████ █████ ser una █████ ██████ de █████████ ███████ █ ███████ ███████, que ██████ █████████ en ████████████. No ████████, █████ ███ que ██████████ los ████████ en ██████ █████████.

██████████████ del ███████ ███████████

██████ una ███████ ███████ de ███ de una ████████, se ███████ el ████████ de ████████ ███████. Las █████████ █████████ se ██████ ██████ █████████████ como █████ la ████████ de una ███████ con ████████ a una de ellas, ███████████ las █████ █████████ ██████████. Las █████████ █████████ se ███████████ como:

∂ ∂ █

En donde $\partial$ es una '█' ██████████ ████████ como '███████ de la ████████ ███████'.

El ████████ de ████████ █████ ██████████ de █████ ███ ███████. El ████ █████ es que la ████████ en un █████ █████ como una ████████████ ██████ a la ███████ en █████ █████. █████ la █████████ ███ ███████ es que las █████████ ████ ██████████████ en las ██████████. La ████████ en un ██████ █████ ████████ se █████████ en una ██████████████ ██████ entre los ████████████████ ████████ █████████, █ la ████████ de la ███████ se █████████ en un █████ entre los ██████ █████████.

Para ███████████ █████ las █████████ █████████ █ █████ ███, se █████ ███████ el ████████ de ████████████. Para las █████████ █████████ de una ████████ ████████, la █████████████████ es una █████████ █████ ███ ██████ que la ██████ █████ ████ █ ██████████ de la ███████ ████████████ con ████████ a la █████ ████ █ ██████████ del █████████. Por ███████, la ███████ $f(x+{\mathrm {i} }y)=x+2{\mathrm {i} }y$ █████████ lo ███████, pero no lo ███████. █████ ███████ la ███████ ███████████.

█████ ███████: █████████████.