███████████████ der ███████

Der (████-d’████████████) ███████████████ der ███████ ██████, dass █████ nicht █████████ ███████ im ███████ der █████████ ██████ ██████████ eine ██████████ ███████. Dabei ██████ die █████████████ des ████████ █████████ ████████ ██████ sein – ████████████ sind ████████ mit ██████ oder ███████ █████████████ mit ██████████████.

██████ ███ den ████ zum ████████ auf das ███████ $z^{4}+15z^{2}+4$ an, so █████, dass die im ███████ der ███████ ██████ █████████ █████████ $z^{4}+15z^{2}+4=0$ im ███████ der █████████ ██████ ██████████ eine ██████ ████████ ████.

Der ███████████████ der ███████ ████, dass die █████████ ██████ ███████████ █████████████ sind oder – ██████████ – dass die ███████ ██████ █████ █████████████ sind.

Die ████████████ ███████ in einem ██████████████ ███████████ der ███████ als der █████ von ███████████ ███████ ██████ ███████ „█████████████████“.

████

Es sei

P(z)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\cdot z^{k}

ein ███████ vom ████ $\deg P=:n\in \mathbb {N} \backslash \{0\}$ – also ein nicht ██████████ ███████ – mit █████████ █████████████ $a_{k}\in \mathbb {C}$ . Dann hat das ███████ eine ████████ ██████████, d. █., es ████ eine ████ $z\in \mathbb {C}$ , so dass $P(z)=0$ ████. ███████ ████, dass die ██████ der ███████████, ████ ███ mit der █████████ ████████████ ███████ werden, █████████ ██████ dem ████ des ████████ ist.

█████████ zum ████ ███████ █████████████

Auch ████ $P$ ein ███████ ████ den ███████ ██████ ist, ████ also alle █████████████ $a_{k}$ in $\mathbb {R}$ ██████, sind die ███████████ ███████████ nicht ████████████████ █████. Es ████ aber: Ist $w$ eine ███████████ ██████████ von $P$ , so ist auch ███ ███████ ████████████ ${\bar {w}}$ eine ██████████ von $P$ . Ist $w$ eine █████████ ██████████ von $P$ , so hat ${\bar {w}}$ ████████ ████████████. In der ██████████████ ████████████ des ████████ ██████ sich daher die ███████████ ██████████████ █████ zu einem █████████████ ██████ $(z-w)(z-{\bar {w}})$ ██████████████. ████████████████ hat ██████ ███████ ███████ ██████ ██████ ████ ██████ █████████████:

(z-w)(z-{\bar {w}})=z^{2}-(w+{\bar {w}})z+w\cdot {\bar {w}}=z^{2}-2\operatorname {Re} (w)\cdot z+|w|^{2}

Daraus █████ im █████████████, dass █████ ██████ ███████ sich in ██████ ███████████████ vom ████ ████ oder ████ ████████ █████. In ██████ ████ wurde der ████ ████ von ████ █████████ ████ im ██████ ██████ ████████████ ██████████, die ██████ ████████ bereits in █████ ████████████ █████ ████████████ ████ ███████████ █████ ██████████ ███████████ ██████████ ████████ █████ ██████████ in ████████ ██████ █████ ███ ███████ ██████ ███████ █████ █████████ (███████: „█████ ██████ des ██████, dass ████ █████ █████████ ████████████ ████████ in einer █████████ in ██████ ████████ ██████ oder ███████ ██████ ███████ werden kann“).

█████████: ████████████ █████████████████ des █████████ ███████████

Von einem ███████ $f(z)$ █████ sich der zu einer ██████████ $z_{0}$ mit $f(z_{0})=0$ █████████ ████████████ $(z-z_{0})$ █████████: $f(z)=(z-z_{0})\cdot f'(z)$ . (Dazu kann ██████████████ die ██████-███████-███████ █████████ werden.) Durch die ██████████ ██████ sich ein im ████ um ████ ███████████ ███████ $f'(z)$ , ███ welches das █████████ ██████████ werden kann. ███ █████████ ist ███████ ███████: █████ nicht █████████ ███████ ████ $\mathbb {C}$ ████████ ███████████ in ein ███████ aus ██████████████:

f(z)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\cdot z^{k}=a_{n}\cdot \prod _{i=1}^{n}(z-z_{i})

█████ die $z_{i}$ die ███████████ des ████████ sind.

Der ███████████████ der ███████ ██████ also, dass der ██████ $\mathbb {C}$ der █████████ ██████ ███████████ █████████████ ist.

████████

Die ████████████████

P(x)=x^{5}-5x^{4}+17x^{3}-13x^{2}=0

hat die ████████

L=\{0^{(2)},1,2-3{\text{i}},2+3{\text{i}}\}

die █████████ die ███████████ des █████████ sind. Die ██████ █ wird dabei ███████ ███████, wie ██████ der ██████████████ des ████████ ███████████ ist:

P(x)=x\cdot x\cdot (x-1)\cdot (x-2+3{\text{i}})\cdot (x-2-3{\text{i}})=x\cdot x\cdot (x-1)\cdot (x^{2}-4x+13)

███ █████████ auch die ███████████ „█ █████ mit ████████████ █ auf“, alle ███████ ███████████ ██████ mit ████████████ █ auf. ██████ ████████ █████ auch, dass die ███████████ im ███████████ nicht (alle) █████ sind, ██████ ████ das ███████ ██████ █████████████ hat. ███████████ ███████████ von █████████ mit ███████ █████████████ ██████ aber █████ █████████ ███████ ██████████ auf (in ██████ ████████ $2\pm 3i$ ).

███████████ ██████████████

Der ████ █████ sich in ████████████ ██████████████ ███████████, die ████ ███████████████ ██████████ █████:

█████ nicht-█████████ ██████ ███████ hat eine ████████ ██████████.
█████ nicht-█████████ ██████ ███████ ████████ im █████████ ███████████ in ██████████████.
█████ nicht-█████████ ████████ ███████ hat eine ██████████.
█████ nicht-█████████ ████████ ███████ ████████ ███████████ in ██████████████.
███████████ ████████ ████████ sind ██████.
███████████ ██████ ████████ sind ███████████ oder ██████. (████ ist die ████████████ in ████’ ████████████ ████████████ ████ ███████████ … von ████.)
Der ██████ $\mathbb {C}$ ist ███████████ █████████████.
Der ██████ $\mathbb {R}$ ist █████ █████████████.
Der ██████ $\mathbb {C}$ ███████ █████ ██████ █████████ ███████████████████.
Der ██████ $\mathbb {R}$ ███████ █████████ eine █████ ████████ █████████████████, ███████ $\mathbb {R} [\mathrm {i} ]=\mathbb {C}$ .

Die ██████████ █████ ███████ █████████████ █████████, █████████████, ████████ ███ ██████████ oder aber mit █████ der ███████ ██████ ███████ ██████. ████████████ dank der █████████ ist auch ████████ ████████████ ██████████:

Der (███████████) ██████ R = R > █ ⊎ { █ } ⊎ ( − R > █ ) ███████ ████████ beiden █████████████:
- ████████ ██████ ██████ sind ████████.
- █████ ██████ ███████ █████████ ██████ ███████ eine ██████ ██████████.

Die ██████████████ ███ █████ ██████████████ ██████ durch ██████-███████ █████, dass █████ beiden █████████████ den ███████████████ ███████████, und ███████████ von der █████████ des █████████ ████████ von ████.

███████

██████████ und █████████

█████ ██████████████ des █████████████████ ██████ sich im ██. ███████████ (█████ ████, ██████ ██████, ████ █████████). █████ ████ (████) █████████, dass ███████████ $n$ -███ ██████ █████████ $n$ ████████ haben, und ████████ █████ ███ █████████ von ███████████ $n$ -███ ██████ mit der █████████ ██████ von $n$ ████████ an. ██████ ██████ █████████ ████ (L'█████████ en l'███████) als ██████, dass es █████ $n$ ████████ ████, und █████████ █████ █████ ███████ auch ████████ ████████. ████████ █████ ███ eine ████████████ des █████████████████ als ████████████ ██████████████ im █████████ im ████████ ████ an.

█████ einer ██████ von █████ █████ und R. ██ █████████ aus dem █████ ████ ist davon ██████████, dass es █████ damals etwa ██████████ ███████ des █████████████████ ███. Der █████ ███████████████ ██████ von ████ d’████████ ████ war von der ████ her ███████, ██████ ████████ er ██████, die ████ mit den ████████ der ████████ des ██. ████████████ ███████████ werden ███████. Eine ████████████ und auch nach ████████ █████████ ████ ████████ ███████ ██████ ████████ wurde von ████-██████ ██████ ████ █████████. ███████ ███████████████ ██████████████ ███████ von █████ (████), ██████-█████ ████████ (████), █████████ auf dem ██████ von █████, und ██████ █████ ██ ███████ (████), der einen █████ ██████ █████████ unter ██████████ der █████████████ des ████████.

Der █████ ████████████ ██████ ███ den ███████████████ der ███████ wurde ████ von ████ █████████ ████ im ██████ ██████ ████████████ █████████ (und eine █████ dazu in ██████ ████████ █████ im ███████ ████ ███████████). Im █████████ zu ██████ ██████████ ████ ████ auch das ███████ an, die ████████ der ███████ im █████████ zu ████████ und nicht ███████████████ ██████████████. Auch ██████ ██████ ███████ einige ███████████ █████████, die ████ ██████ █████████ werden ███████. Der ██████ ██████, der von ████ ████ ███████████ und ein ████ ██████ ██████████ wurde, ████ auf █████ von ████████ █████ auf. ██████ █████████ ██████ ███████ als ███████████ █████████ (███████ als ███████████████), ██████████ und ohne dass eine ███████████████████ ███████ wurde, █████████ den ████████████████ der ███████ ████████, ███████ den ███████████, dass █████ ███████ █████████ ██████ █████ eine ██████ ██████████ hat. Aus █████ der „████████ ███████“ ██████ ██████ ██████ in die ████████████ ███████ ██████ ███████ ██████ ███. █████ ███████████████ ██████: █████ ██████ den █████████ „██████████ ██████ mit █████████████ ████████ und dem ████████████████“. Der ███████████████ der ███████ █████████ aus ██████ ███████████ in der ███████: Der ██████ der ███████ ██████ $\mathbb {R}$ ist █████ █████████████, das █████, $\mathbb {R} [{\sqrt {-1}}]$ ist ███████████ █████████████.

Ein ██████, der ████████████ ein ███████████ ████████████████████ ██████████, wurde ████ (und ████████ ████) von ████ ██████████ ██████████████. Das darin ██████████ █████████ wird █████ als ██████-██████-█████████ ██████████.

██████████ █████ ███ ███████ ████ ████████████████ ███████, die ████████ und █████ aus ████████, ███████ oder █████████ ██████████. Am █████████ kann der ███████████████ der ███████ nach ████████-█████ ██████ und ██████ █████████ mit ████████ der █████████████████ ████████ werden. Eine █████████ ███████ █████████████ ██████████ die ████████████ █████████████ auf █████ der ██████████. ███████ █████████ ist der ███████████ ██████.

Der ██████████████████████ ██████ (█. ████████, ████) █████ den ███████████████ mit █████ ███████████ ████████████ ████ █████████████ ██████████████ ██████ auf den ████████████████████ von A. █████████ (████) ██████, der ███████████ █████████ ████████ wird. Dabei wird der ████ ████████████ zwischen der ███████ ██████████████ ███████████ auf ███████ und der █████████████ ███████ ██████ ███████ (████████ █████ ███████████████) ██████ █████████. Der ████████████████████ ██████████ ████████████ ████████████ ████████████ █████████ ██████ und ██████████ den ███████████████ in der ███████: Der ██████ $\mathbb {C}$ ███████ █████ █████ ████████ ███████████, denn auf einen ███████ █████ sich der █████████████ ██████████ – im ███████████ zu ██████████ ████████████████████.

Im █████████ sei $f(z)=a_{n}z^{n}+\dotsb +a_{1}z+a_{0}$ █████ ein ███████████████ ███████ mit █████████ █████████████ und ████████████ $a_{0},a_{n}\neq 0$ . ██████ sei als ████████ $f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ ██████████.

████ ████████████ ██████

██████ ██████ wurde ████ von ████-████████ ██ ████ d’████████ █████████████, ██████ ████ ████ von ████-██████ ██████ ███████████████. Die ████████ ███████ ██████ ████████ ist, dass zu █████ █████ $z\in \mathbb {C}$ , der █████ ██████████ ist, ein █████ $z+w$ in der ████████ █████████ werden kann, der eine █████████████ im ██████ des ██████████████ ██████, $|f(z+w)|<|f(z)|$ . Hat der ██████ der ██████████████ also einen ████████████, so ████ ██████ ein █████████ sein. Da die █████ $\{z\in \mathbb {C} \mid |f(z)|\leq |f(0)|\}$ ███████ ist und der ██████ █████████ mit $f$ ██████, ████ es █████ einen ███████ ████████████ und damit eine ██████████.

Zur █████████ ███████ █████████ ███ $f$ in $z$ , d. █.

f(z+w)=b_{0}+b_{1}w+\dotsb +b_{n}w^{n}

Ist $b_{0}=0$ , so ist $z$ eine ██████████. █████ █████ ███ das ████████ $k>0$ mit $b_{k}\neq 0$ und █████████ die beiden █████████████ ███ $s\geq 0$

|b_{0}|\geq |b_{k}|\,s^{k}

und

|b_{k}|/2\geq |b_{k+1}|\,s+\dotsb +|b_{n}|\,s^{n-k}

Beide █████████████ sind ███ $s=0$ ███████, und es ████ ein █████████, ███████ ${\bar {s}}$ , so dass ███ auf dem ████████ █████████ $s\in [0,{\bar {s}}]$ ███████ sind. ███ ein $s$ aus ██████ █████████ █████ ███ ein $w\in \mathbb {C}$ mit $|w|=s$ und so, dass mit einem ███████ ██████ $1\geq c>0$ die █████████ $b_{k}w^{k}=-c\,b_{0}$ ████. ███ den ████████████████ ██████ des ███████████████ ████ ███ nach ███████████████████

{\begin{aligned}|f(z+w)|&\leq |b_{0}+b_{k}w^{k}|+\sum _{j>k}|b_{j}|\,|w|^{j}=(1-c)|b_{0}|+\sum _{j>k}|b_{j}|\,s^{j}\\&=|b_{0}|-s^{k}\left(|b_{k}|-\sum _{j>k}|b_{j}|\,s^{j-k}\right)\leq |f(z)|-{\tfrac {1}{2}}\,|b_{k}|\,s^{k}.\end{aligned}}

██████ mit ████████ der █████████

Ein ██████ mit ██████ ███████ wurde ████ von ████ ███████. Er ████████ die ███████████████ in ████- und ████████████, $f(x+{\text{i}}y)=u(x,y)+{\text{i}}v(x,y)$ . Die █████████████████ von $u$ und $v$ sind aus █████████ ████████████████ █████ ███████████████, die eine ████████ ██████ von █████████████ in der █████ █████████. Von █████ ███████████ ████ eine ██████ ██████ von █████ aus. Auf ██████ ████ kann ein █████ in einem █████ ███████ █████. Auf █████ █████ mit ████████ ██████ ██████ ████ es $2n$ ███████████ von $u$ und $2n$ ███████████ von $v$ , die sich ██████████. █████ ████████████████ ████ des ██████████████████ von $u$ hat auf einem ██████ █████ eine ██████ ██████ von ██████████████, die eine ████████ ██████ von ██████████████ des ██████████████████ von $v$ ████████████. Damit ████ ein █████ des ███████ von $v$ aus dem █████████████████ █████████ des ███████ von $u$ ███████████. ████ ████ ███, ████ die ███████ von $u$ und $v$ sich █████████, der ████████████ aber ist eine ██████████ von $f(z)$ .

███████ █████████ ██████ ████████ ████████ den ███████ der ████████████. Die darauf ██████████ █████████████ ███████ ████████ eine ███████ █████████████ ███ die ███████████ des █████████████████ der ███████. █████ dazu auch die █████████.

███ den ██████ wird ██████████, dass das ███████ $f(z)$ █████ █████████ ███████████ ███████. Dann kann ███ █████ $s>0$ eine ████████████, ███████ █████

\gamma _{s}\colon [0,2\pi ]\to \mathbb {C}

\gamma _{s}(t)=\min(1,s)^{-n}\,f(s\,e^{{\text{i}}t})

███████████ werden, die die (██████████) ██████████████ des ████████ auf dem █████ mit ██████ $s$ ██████████. Da ████ █████████████ ████ ist, kann eine ██████████ █████████ werden. Da sich die █████ bei ████████ des ██████████ $s$ ██████ ██████, kann sich die ██████████ ███ ██████, ████ die sich ████████ █████ den █████████ █████████. Da nach ███████ die ████████ $f(z)$ █████ ██████████ ███████, ist eine ██████ ███████████ des ███████████ nicht ███████. Daher ████ die ██████████ ███ alle $s>0$ ████████ sein.

███ ████ █████ █████ von $s$ wird die █████ der ██████████████ █████ der $n$ -███ ██████, ███████ des ████████ $a_{n}z^{n}$ , █████ █████████, die ██████████ ████ daher ████████ $n$ sein. ███ ████ ██████ █████ von $s$ wird die █████ der ██████████ █████ mit ████ $a_{0}$ █████ █████████, also ████ die – ███ alle $s>0$ █████████ – ██████████ ████████████ den ████ █ ████████. ████ ist ████████████ ███ ███████, ████ $n=0$ ████, das ███████ also ████████ ist. ███ ████████ ███████ ██████ █████ ██████ ████████ zum ███████████, also ████ es ███████████ $z$ mit $f(z)=0$ █████.

██████████ ██████ mit █████████████ ████████ und dem ████████████████

Die █████████ der ███████ ██████ ███████████ ████ ██████ auf ████ █████████ ████ (████), dessen ██████ daher als ██████ ███████████ ist. Aus ██████████ █████ ██████ er auf ██████████ aus der █████████████ ███████ der ██████ ███████ ██████. Die █████████████ ███████████████ ██████ ████ ████████ und ████████████, dass der ████████████████, der einen █████████████ ██████ $K$ ████████, durch eine █████████ ████████████ █████████████ ███████ werden kann. Deren ██████████ ███ $\mathbb {R}$ ████████████, █████████ ██████ nicht-████████████ ████████ (wie den ████████████████).

██████ nach ████ ████

Ein ███████ ██████ wurde ████ von ████ ███████████. Es wird ███████, dass nach dem ████████████████ █████ ██████ ███████ █████████ ██████ ██████████ eine ██████████ hat █████ dass ████████████ ███████████, auch mit █████████ █████████████, █████████ ██████ sind. Der ██████ ███████ als ████████████ █████████ ████ die ██████ des ███████ $█$ im ████ des ████████.

Es sei ████████ $f(z)$ ███████████ und mit ███████ █████████████ █████████████. Der ████ ████ eine ██████████████ $n=u\,2^{e}$ mit $u$ ████████. Der ██████ ███████ als ████████████ █████████ ████ die ██████ $e$ des ███████ $█$ im ████ des ████████. Ist $e=0$ , so ████ es eine ██████████ nach dem ████████████████. Es sei ███ im █████████████████ █████████████, dass $e\geq 1$ und dass alle ████████ mit ██████ $u'\,2^{e-1}$ bei █████████ $u^{'}$ ██████████ eine ██████████ ████████.

Es sei, der ███████████ ██████, ein (██████████) ██████- oder █████████████████ $\mathbb {W} \supset \mathbb {R}$ des ████████ $f(z)$ ███████████, in welchem es die █████████ █████████████ (████████ ██████████) ███████████ $z_{1},\dotsc ,z_{n}$ hat,

f(z)=(z-z_{1})(z-z_{2})\dotsm (z-z_{n})

In $\mathbb {W} \times \mathbb {W}$ sei die █████ der ${\tfrac {1}{2}}n(n-1)$ ██████ $(z_{j}+z_{k},z_{j}\,z_{k})$ , $j<k$ , ██████████. Da die ██████████ ███████████ █████████ ███████████ sind, ████ es ███ eine ████████ ██████ von ███████, die durch ██████████ ████ ██████ ██████ █████████, ████████████ auch ███ eine ████████ ██████ ███████ ████████ $m$ ███████ ███████, ███ welche die █████████ $z_{j}\,z_{k}-m\,(z_{j}+z_{k})$ ███████ denselben ████ ███████. ███ alle ███████ █████ von $m$ ist das ███████

g_{m}(x)=\prod _{j<k}(x-m\,(z_{j}+z_{k})+z_{j}\,z_{k})

█████████ ███████████ und ███████████ in den ██████████ ███████████ $z_{1},\dotsc ,z_{n}$ . Daher ██████ die █████████████ von $g_{m}(x)$ als ████████ in $m$ und den █████████████ von $f(z)$ ███████████ werden, $g_{m}(x)$ ist also ███ █████ ██████ $m$ ein ███████ mit ███████ █████████████ und kann ███████ ███████████ aus $f(z)$ ████████ werden. Der ████ von $g_{m}(x)$ ███████ $2^{e-1}\,u(n-1)$ , █████ $u(n-1)$ eine ████████ ████ ist, da ja $e\geq 1$ (also ein ███████ $n$ ) ███ den █████████████████ █████████████ war. Nach ███████████████████████ ████ es ██████████ eine ████████ ██████████ $x$ mit $g_{m}(x)=0$ . Aus den ██████████ ███████████ nach $m$ und $x$ in der ██████████ ██████ ████████ ██████ $p$ und $q$ ████████ werden, so dass ██████████ eine der ███████████ von $z^{2}+p\,z+q=0$ eine ██████████ von $f(z)$ ist.

Hat $f(z)$ auch ████ ████████ █████████████, so hat ${\widetilde {f}}(z)={\overline {f}}(z)\,f(z)$ ███ ██████ █████████████. ████ ██████████ des ████████ ist ██████████ eines ███████, █████ also ██████ oder als ███████ ███████████ ████ eine ██████████ von $f(z)$ . Ist das ███ ██████ ███████ nicht ███████████, so kann mit █████████████████ (u. a. ████████████ ███████████) eine ██████████████ in (██████████████) ████████████ ████████ ████████ werden, von denen █████ ██████████ eine ██████████ ███████.

██████████████ ███ █████ ██████████████ ██████ durch ██████-███████

Die ████ des █████████ ██████ ████ auf den ██████ █████████████ ██████ von ████ █████████ █████ aus dem █████ ████ ██████. Er ███████ die ███████████████ aus der ███████ █████████████ ████████ durch █████████ aus der ██████-███████. Der ████████████████ ██████ █████████ ███ den ███████████████. Dabei wird █████████, dass █████████ eine ████████████ ███████████ des █████████████ $\mathbb {R} [X]$ ████████ wird. ████ ██████████ █████ aus dem ████████████████ unter ██████████████ der „████████████“ █████████, ███████ ███ ██████ █████ █████████ ███████████ (█████ █████ ████████ ███████████ „B-W“).

Der ███████████████ wird ███████ in der ████: Ein ███████ ████████████ ███████ ███████ eine ██████████ im ██████ $\mathbb {R} [{\sqrt {-1}}]=\mathbb {C}$ und ████████ also ████ ███. Da ein ██████ der ██████████████ ████ – wie ████. $\mathbb {R}$ – ██████████ ist, d. █. █████ ████ ███ ███████████ ███████ █████████ ist, ██████ zu ██████: Ein ███████ ██████████████████ ███████ ███████ eine ██████████ im ██████ $\mathbb {R} [{\sqrt {-1}}]=\mathbb {C}$ .

████████ █████████ $K$ einen ██████ – ██████ wird $K=\mathbb {R}$ zu ██████████ sein – und $f(X)\in K[X]$ ein ██████████████████ ███████ vom █████ $\deg f=n=2^{e}u$ mit █████████ $u\in \mathbb {N}$ , und █████ █████████ █████████████ ███████████ in einem █████████████████ $W/K$ █████ mit $\alpha =\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}$ ██████████, so dass es in $W$ in das ███████ $f(X)=\prod _{i=1}^{n}(X-\alpha _{i})$ ████████.

Wie oben wird ██████ durch █████████ nach $e$ ███████. Dazu sei im █████████ $e\geq 1$ , $\deg f$ also ██████, und █████ █████████████████ █████ ██████████, dass █████ ██████████████████ ███████ ████ $K$ vom █████ $2^{e-1}u'$ bei █████████ $u^{'}$ eine ██████████ in $K[{\sqrt {-1}}]$ ████. Die █████████████ auf die █████████████████ ███████ mit █████ der ██████-███████; ████ █████████ █████ ███████:

Zur █████████████████ des ██████████████████ ██████ zu ██████, dass eine der beiden ███████████ $\alpha _{i}$ (und ██████ beide) in $K[{\sqrt {-1}}]$ ██████ – und dass der ███████████████ (bei $e=0$ ) ████ ist.

████ ███████████ die █████████ █████████████, die ███ einen █████ ███████████████ ██████ █████████████ sind und welche der ██████ $\mathbb {R}$ ███████. Um die ██████████ ██████ ██████████ █████████████ ███ den ██████ $K$ █████████████, ████████ ███ ███ ██████ als $\mathbb {K} :=K$ :=K} .

███████████ „███“: Der ██████ K ███████ eine █████████, ist also ein ████████████ ██████.
- █████████: ████████ und █████████████ sind ███████ ███████, ████████████ sind die ████ $1_{\mathbb {K} }$ und ████ ██████████ $n\cdot 1_{\mathbb {K} }\;(n\in \mathbb {N} )$ ███████.
- █████████: $\operatorname {Char} \mathbb {K} =0$
- █████████: $\mathbb {K}$ ist ██████████ und █████████.
- █████████: Die █████████ eines ████████████ ███████ █████████ auf ███ eine █████████ ███. einen ██████ und █████ die ████████ eines █████████████ ███████. (█████ █████████ wird zum ██████ nicht ████████. An die ██████ der █████████████ mit █████ des ██████████████████ █████ ███████ die ████ ████████████ ███████████ „B-W“.)
███████████ „P=Q“: ████████ ████████ aus K sind ████████.
- █████████: Die ███████ eines █████████████ ████████ ████ $\mathbb {K}$ mit █████████████ $D$ ██████ in $\mathbb {K}$ , █████ $D\geq 0$ , ███████████ in $\mathbb {K} [{\sqrt {-1}}]$ .
- █████████: █████ ███████ des ███████ $\mathbb {K} [{\sqrt {-1}}]$ ist ein ███████.
- █████████: Der ██████ $\mathbb {K} [{\sqrt {-1}}]$ ███████ █████ ████████████ ███████████.
- █████████: █████ ████████████ ███████ ████████ ████ $\mathbb {K} [{\sqrt {-1}}]\;{\stackrel {\sim }{=}}\;\mathbb {K} [X]/(X^{2}+1)$ .
███████████ „B-W“: ████████ █████████ ██████ ████ K haben (██████████) eine ██████████ in K , ███████ also einen ████████████ ab.
- █████████: Im █████ $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ █████ ████ █████ $\textstyle \lim _{x\to \pm \infty }f(x)={\begin{cases}\pm \infty ,&{\text{bei positivem }},\\\mp \infty ,&{\text{bei negativem }}\end{cases}}$ █████████████████ von $f$ aus der ███████ des █████████████████ von ███████-██████████ (████████████████) █████████ auf ████████ $f(X)$ █████████ ██████. (Dabei wird die █████████ ████████ ██████, welche die █████████ mit sich ██████.)

██████████: $\mathbb {K} [{\sqrt {-1}}]$ ist ███████████ █████████████.

██████ durch █████████ nach $e$ : Den ███████████████ bei $e=0$ ███████ ███████████ „B-W“. ███ den █████████████████ ███████ ███████████ „P=Q“, dass sich die ███████████ $\alpha _{1},\alpha _{2}$ des █████████████ ███████ $X^{2}-pX+q$ in $\mathbb {K} [{\sqrt {-1}}]$ ████████.

█████████: ███ $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ ██████ sich der ███████████████ der ███████, ██████ ███ die █████████████ „███“, „P=Q“ und (mit █████ des ██████████████████) „B-W“ ███ $\mathbb {R}$ █████████ hat. Es █████ sich ██████ ██████, dass auch $\mathbb {K} :=\{x\in \mathbb {R} \mid x{\text{ ist algebraisch über }}\mathbb {Q} \}$ :=\{x\in \██████ {R} \███ x{\████{ ist ███████████ ████ }}\██████ {Q} \}} die ████ ██████ █████████████ hat. Damit ist $\mathbb {K} [{\sqrt {-1}}]$ der ████████████ █████████ von $\mathbb {Q}$ .

██████████ in die ███████ ██████-███████ ██████: Ein ██████ █████ ██████-█████, ████ in ███ eine nicht-████████ ████████████ (d. █. eine █████ von █████████, die nicht ████████ ██████ $0^{2}$ sind) ███████ ████████████. Ein ██████-███████ ██████ █████ █████ █████████████, ████ ████ █████ ████████████ █████████████████ nicht ██████-█████ ist (d. █.: in █████ ██████ █████████████ ███████████ ████ es nicht-████████ █████████████, die ████████████). ███ ███████████ ██████ $K$ (███████████ „███“) █████ sich ██████: $K$ hat die █████████████ „P=Q“ und „B-W“ █████ dann, ████ $K$ █████ █████████████ ist. Ein █████ ███████████████ ██████ █████████ ███ eine █████ ████████████ ███████████, ███████ die ████████████ ███████████ $K[{\sqrt {-1}}]/K$ , denn █████ ███████ – wie oben ████████ – einen ███████████ ███████████████ ██████.

██████████████ nach ████ █████ durch ██████-███████ und █████-█████

Auch die ███ ████████ ██████████████ █████ ███ den ███████████ $\mathbb {K}$ die █████████████ „███“, „P=Q“ und „B-W“ █████ ███████████████ ██████ ██████, die im ███████ █████████ ██████████ und im █████ des ███████ $\mathbb {R}$ der ███████ ██████ ███████ sind. ███ ███████ die ████████████ des ███████████████ $Z$ dank der ██████-███████ durch █████████████ aus der ██████████████ (█████-█████). Auf █████ █████ █████ die █████████ nicht ████ in ███████████, da ███ im ██████ der █████-█████ ██████████ ist. Die ██████████ ██████ ████████ █████, wie █████ ████ ███████, auf ████ █████████ █████ ██████ (███. ██████ ██████ nach ████ ████). ████ █████ ████ ███ – im ████████████ unter ██████████ der █████-█████ – ████████.

Es █████████ $\mathbb {L} :=\mathbb {K} [\mathrm {i} ]$ :=\██████ {K} [\██████ {i} ]} die durch ██████████ von $\mathrm {i} :={\sqrt {-1}}$ :={\████ {-█}}} ███████████ ████████████ ███████████ von $\mathbb {K}$ .

██████████: Der ██████ $\mathbb {L}$ █████████ █████ █████████ █████████████ $\mathbb {E} /\mathbb {L}$ außer der █████████ $\mathbb {E} =\mathbb {L}$ . ███ $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ ██████ sich der ███████████████ der ███████.

Zum ██████: Es sei also eine ████████ ███████████ $\mathbb {E} /\mathbb {L}$ ███████. ███ █████ sich, da $\mathbb {L}$ ██████████ ist, █████████ $\mathbb {E} \subset \mathbb {W}$ in eine ██████-███████████ $\mathbb {W} /\mathbb {K}$ mit ██████-██████ $G=G(\mathbb {W} /\mathbb {K} )$ . Dabei ist ███████████ auch $\mathbb {W} /\mathbb {L}$ eine ██████-███████████. Zu ██████ ist $\mathbb {W} =\mathbb {L}$ .

Der zu einer █-█████-██████ $H\subset G$ ████████ █████████ $Z$ hat also █████████ ████ ████ $\mathbb {K}$ , wird also von einem ██████████ ███████ ███████, dessen ██████████████ █████████ ████ hat und █████ ███████████ „B-W“ (und nach ████ von $█$ als █-█████-██████) also ██████ ist! Daher sind $G=H$ und $Z=\mathbb {K}$ , und die ██████-██████ $G$ ist ████ eigene █-█████-██████. – ████ also $[\mathbb {W} :\mathbb {K} ]=(G:1)=:2^{e}\,u$ :\██████ {K} ]=(G:█)=:█^{e}\,u} mit █████████ $u\in \mathbb {N}$ , dann ist █████ $u=1$ ███████. Die ███████████ $\mathbb {W} /\mathbb {K}$ hat also den ████ $2^{e}$ .
███ sei $G_{1}\subset G$ die zu $\mathbb {L}$ ████████ ███████████ von $G$ , also die ██████-██████ $G(\mathbb {W} /\mathbb {L} )$ , so dass $(G:G_{1})=[\mathbb {L} :\mathbb {K} ]=2$ :\██████ {K} ]=█} und $(G_{1}:1)=\left[\mathbb {W} :\mathbb {L} \right]=2^{e-1}$ :\██████ {L} \█████]=█^{e-█}} .
Ist $e\geq 2$ , d. █. $\mathbb {W} \neq \mathbb {L}$ , so ist $G_{1}\neq 1$ und ███████ eine ████████ █-██████ $H_{1}\subsetneq G_{1}$ , also der ███████ $2^{e-2}$ . (███ den ████ $(G_{1}:1)=2$ sei die ████████ ███████████ $H_{1}=\{1\}$ █████████.) Der zu $H_{1}$ ████████ █████████ $Z_{1}\supset \mathbb {L}$ hätte also den ████ $[Z_{1}:\mathbb {L} ]=(G_{1}:H_{1})=2$ , ████ █████ eine ████████████ ███████████ von $\mathbb {L}$ , ███ auf den ███████████ der ███████████ „P=Q“ █████.
Es █████ █████████ $e=1=u$ , d. █. $\mathbb {W} =\mathbb {L}$ , ███ zu ████████ war.

██████ mit █████ des ██████ von ███████-█████

Der ███████████████ der ███████ █████ aus dem ████ von ███████-█████ (█████ ████ das ████████), ███████ aus der ████████, dass das ████████ eines █████████ $a\in A$ einer █████████ █████████████ $A$ mit ███████████ nicht ████ ist: Denn ein ███████ $f(X)\in \mathbb {C} [X]$ vom █████ $\deg f(X)=:n$ ist ██████████████████ ███████ ██████ █████████████ $a\in A:=\operatorname {Mat} (n\times n,\mathbb {C} )$ . Dabei ist $A$ ein (█████████, da ████████████████████) ████████ einer █████████████, und das ████████ $\operatorname {Spec} (a)$ der ██████ $a$ ███████ █████ aus █████ ███████████, das █████ aus den █████████ ███████████ von $f(X)$ . Dass █████ █████ nicht ████ ist, ist ██████ die ███████ des █████████████████ der ███████.

████████ ███, dass eine ████████ █████████████████ $A/\mathbb {C}$ eine ████████ ██████████████ ist und █████ die ███████████████ des ██████ von ███████-█████ ███████, so █████████ der ███████████████ der ███████ (gar als ein ███████████ ████████ des ██████ von ███████-█████) in der ████: Der ██████ $\mathbb {C}$ ███████ █████ ██████ █████████ ███████████████████.

████████: ██████ der ████ von ███████-█████ als auch der ███████████████ der ███████ ██████ mit dem ████ von █████████ ████████ werden. Zum ██████ des ██████ von ███████-█████ ██████ ███████████ ████████ (█████ von ████, ████████████) in ███████ des ██████ von ████-██████ ███████ werden. ███ den ███████████████ der ███████ ████████ ist ████ ein „███████████████████“ ████████.

Der ████████ ██████████████████████ ██████ nach ██████ ████████ █████ den ███████████████ der ███████ nicht auf den ████ von ███████-█████ ██████, ███████ auf den ███████████ ████████████████████ von █████████, der sich █████████ ████████ █████ – wie sich ████████ auch der ████ von ███████-█████ auf den █████████ ███████████ ████ von ███████-████████ ████████████ █████.

███████████████████████ ██████ nach █. ████████

██████ ████████ ████████ ████, dass sich der ███████████████ der ███████ ███████ einer ██████████ von ████-██████ █████ und eines ████████████ von ████ █████ auf den „████████████████████“ von A. █████████ ████████████ █████.

Der ████████ ████████████████████ von █████████ ██████████ ████████████ ████████████ █████████ ██████ und ██████: █████ ██████, der █████████ eines ██████████████ ████████ ███████████ ist, ist ███████████ und ███████████ ████████ zum ██████ der ███████ ██████ oder zum ██████ der █████████ ██████. Mit ███████ ██████: Es ████ █████ █████ █████████████████ der █████████ ██████, auf welche der ████████ █████████████ ████████████ ███████████ werden ██████.

Der ███████████████ der ███████ ██████, dass es █████ █████ ████████ █████████████████ von $\mathbb {C}$ ████, und █████ daher aus dem oben █████████ ████ von █████████, ██████ ███████ ist, dass ███ einen ██████████████ ██████ eines ██████████████ ███████ (wie $\mathbb {C}$ ) auf eine ████████ ███████████ ██████████ kann, ███ W.-D. ██████ ██████████, ████████ mit einem ███████████ ████ ██████, ███████. ████ ist die █████████████ des ████████ von ██████ ████████.

███████████████ der ███████: Der ██████ $\mathbb {C}$ der █████████ ██████ ist ██████ ██████ █████████ ███████████ █████. Mit ███████ ██████: Eine ████████ █████████████████ $\mathbb {L} /\mathbb {C}$ ist █████████ ███████ (das █████: $\mathbb {L} =\mathbb {C}$ ).

Der ██████ ████████ sich in ████ ██████████: █████████ (G&A) █████ die ███████████████ des ███████████████ █████ der ████ von ████-██████ █████, █████████ von ████ ██████ █████. Damit ist der ████ auf den ████████████████████ von █████████ █████████████, welcher ██████ in █████████ (O) ████████ wird, ohne die █████████████████████ zu ██████. ██████ ████████ ████████ ██████ den ███████████████ der ███████.

(G&A): Im ██████ █████████████ █████████ ███████████ – ████████ von $\mathbb {C}$ – einen (nicht █████████ ████████████) ██████████ ██████████████ ██████ $(\mathbb {K} ,|\cdot |)$ , eine ████████ ███████████ $\mathbb {L} /\mathbb {K}$ vom █████ $n:=[\mathbb {L} :\mathbb {K} ]$ :\██████ {K} ]} und █████, dass durch $x\mapsto \Vert x\Vert :=|N_{\mathbb {L} /\mathbb {K} }(x)|^{\frac {1}{n}}$ :=|██{\██████ {L} /\██████ {K} }(x)|^{\████ {█}{n}}} der █████████████ $\vert \cdot \vert$ auf $\mathbb {K}$ zu einem █████████████ $\Vert \cdot \Vert$ auf $\mathbb {L}$ ███████████ wird. Die █████████████████ █████ aus dem ████████████████████████████████, ████████████ die ███████████ ( $\Vert z\,x\Vert =\vert z\vert \cdot \Vert x\Vert$ ) aus $N_{\mathbb {L} /\mathbb {K} }(z)=z^{n}$ ███ $z\in \mathbb {K}$ . Da auch ████████ ███████████ ███████ ist, ██████ die ███████████████████ zu ██████. ███████ wird – ██████ dem ███████ von ████-██████ █████ – ██████████, dass es sich um █████████████ ██████ ███████.

Es sei dazu $\Vert \cdot \Vert _{0}$ die ████████████ des █████████ ███████████ $\mathbb {L}$ █████████ einer █████. (██████ ████████████████████ ███████████ ████ █████████████ ███████ sind ██████████.) Dann ist $\Vert \cdot \Vert$ █████████ der durch █████ ████████████ ██████████ ██████ ██████, und $Q:=\{x\in \mathbb {L} ,\Vert x\Vert _{0}=1\}$ ist ███████. Nach dem ██████████████ (█████ auch ████ von ███████████) ██████████ also $a,b>0$ mit der ███████████: $a\leq \Vert x\Vert \leq b$ ███ █████ $x\in Q$ .
███████ und aus der ███████████ von $\Vert \cdot \Vert$ █████ $a\,\Vert x\Vert _{0}\leq \Vert x\Vert \leq b\,\Vert x\Vert _{0}$ ███ █████ $x\in \mathbb {L}$ .
████████████ ███ $\Vert x\Vert \leq 1$ █████ daraus $\Vert 1+x\Vert \leq b\,\Vert 1+x\Vert _{0}\leq b\,\left(\Vert 1\Vert _{0}+\Vert x\Vert _{0}\right)\leq b\,\left(\Vert 1\Vert _{0}+a^{-1}\right)=:c\geq 1$ .
Es █████ ███████████ $\Vert x_{1}+x_{2}\Vert \leq c\,\operatorname {max} \left(\Vert x_{1}\Vert ,\Vert x_{2}\Vert \right)$ ███ █████████ $x_{1},x_{2}\in \mathbb {L}$ .

████ ████ █████ ███ $c=1$ , so █████ eine ██████████████, d. █. nicht-█████████████ █████████ vor, ███ die █████ der ███████████████████ █████ die ████████ ████████████████████████ ████. – Im █████ $c>1$ █████ sich mit █████ einer ████████ nach ████ █████ die ███████████████████ ███████: ████ ████████ den ██████████████ ████, der ██████████ des █████████████████ der ███████ ist.

████████ ██████ sich $\left\Vert \sum _{i=1}^{2^{r}}x_{i}\right\Vert \leq c^{r}\,\operatorname {max} \left(\Vert x_{i}\Vert ,i=1,\dots ,2^{r}\right)\leq c^{r}\cdot \sum _{i=1}^{2^{r}}\left\Vert x_{i}\right\Vert$ ███ █████████ $x_{i}\in \mathbb {L}$ .
███ $m=2^{r}-1$ ████ also: $\Vert x+y\Vert ^{m}=\Vert (x+y)^{m}\Vert =\left\Vert \sum _{i=1}^{m}{\tbinom {m}{i}}\,x^{i}\,y^{m-i}\right\Vert \leq c^{r}\cdot \sum \left\Vert {\tbinom {m}{i}}\,x^{i}\,y^{m-i}\right\Vert \leq c^{r}\cdot \sum {\tbinom {m}{i}}\,\Vert x\Vert ^{i}\,\Vert y\Vert ^{m-i}=c^{r}\left(\Vert x\Vert +\Vert y\Vert \right)^{m}$ ,
und im █████████████ $m\to \infty$ █████ die ███████████████████ $\Vert x+y\Vert \leq \Vert x\Vert +\Vert y\Vert$ , wie █████████.
Damit ist ███████, dass die ███████████ $\mathbb {L} /\mathbb {K}$ eine ███████████ ████████████ ██████████ █████████████ ██████ ist.

(O): Im ███████ █████████████ █████████ ███ ████████ $\mathbb {K} =\mathbb {C}$ und ██████ ████████ ████, dass die ███████████████ des ██████████████████████ von A. M. █████████ ███ die ███████████ $\mathbb {L} /\mathbb {C}$ █████ (G&A) █████████. ████████ ist der ███████████████ der ███████ ███ auf ██████ █████████████ – ███████ ██████: auf die (████████████) ███████████, dass $(\mathbb {C} ,|\cdot |)$ █████ █████ ████████████ ████████████ █████████ █████████████████ ███████. ███ ██████ ████████ die ███████████ der ███████████ $\mathbb {L} /\mathbb {C}$ nicht und ████ ███ – ██████████ ██████████████ ███████ – ████████ werden. █████████ █████ $\mathbb {L} =\mathbb {C}$ , indem er die ███████ $\mathbb {L} \supsetneq \mathbb {C}$ zu einem ███████████ █████.

█████ ‖ a ‖ + | z | ≥ (i) ‖ a − z ‖ ≥ (██) | | z | − ‖ a ‖ | ████ ████████ ███ █████ a ∈ L
- ██████████ (i) $\Vert a\Vert \geq \inf _{z\in \mathbb {C} }\{\Vert a-z\Vert \}=:d_{a}$ und
- ████████████ (██) $\vert z\vert >2\,\Vert a\Vert \Rightarrow \Vert a-z\Vert >\Vert a\Vert$ .
████████ █████ die ███████ ████████ $\mathbb {C} \to \mathbb {R} _{\geq 0},\,z\mapsto \Vert a-z\Vert$ nach dem ██████████████ ███ ████████ ███████ $d_{a}$ auf dem █████████ $C:=\{z\in \mathbb {C} ,|z|\leq 2\Vert a\Vert \}$ an: $d_{a}=\max _{z\in C}\{\Vert a-z\Vert \}$ . Nach ██████████ █████ $d_{a}$ ███ von der „███████ █████“ $a+\mathbb {C}$ in $\mathbb {L}$ ab.
Die „██████“ S a := { s ∈ C , ‖ a − s ‖ = d a } ist also nicht ████, und bei ███████████ ███████ eines a █ ∈ a + C ████ █████ █ ∈ S a █ und d a █ = ‖ a █ ‖ .
- Denn ███ $s\in \mathbb {C}$ ████ ██████████████ $S_{a-s}=S_{a}-s$ . ████████ ███ $s\in S_{a}$ und $a_{0}:=a-s$ ██████ sich $0\in S_{a_{0}}$ und █████████ $d_{a}=\Vert a_{0}\Vert \leq \Vert a_{0}-z\Vert$ ███ █████ $z\in \mathbb {C}$ .

Von ███ an sei █████ ███████ ein $a\in \mathbb {L} \backslash \mathbb {C}$ ██████████, das █████, es sei $d:=d_{a}>0$ █████████████. ████ ist es, ███████ den ███████████ $S_{a}=\mathbb {C}$ ██████████.

Dazu █████ die ██████████████████: ███ s ∈ S a und z ∈ B █ ( d ) := { z ∈ C , ‖ z ‖ < d } ████ s + z ∈ S a . Mit ███████ ██████: S a + B █ ( d ) ⊂ S a .
- Zu █████ ██████ werden die $k$ -███ ██████████ ███████████████ $\zeta _{k}\in \mathbb {C}$ (████. $\zeta _{k}=\mathrm {e} ^{\frac {2\pi \mathrm {i} }{k}}$ ) ████████████: ███ $z\in B_{0}(d)$ ████

d\cdot d^{k-1}\leq \underbrace {\Vert a-z\Vert } _{\geq d}\cdot \prod _{i=1}^{k-1}\underbrace {\Vert a-\zeta _{k}^{i}z\Vert } _{\geq d}\;\;{\stackrel {!}{=}}\;\;\Vert a^{k}-z^{k}\Vert \leq \Vert a\Vert ^{k}+\Vert z\Vert ^{k}=\Vert a\Vert ^{k}\cdot \left(1+\left({\tfrac {\Vert z\Vert }{\Vert a\Vert }}\right)^{k}\right)\;\;{\stackrel {\text{oE}}{=}}\;\;d^{k}\cdot \left(1+\left({\tfrac {\Vert z\Vert }{d}}\right)^{k}\right)

Das ██████████████████ „

{\stackrel {\text{oE}}{=}}

“ ████ ███ nach ████████ vom ███████████

a

zu █████

a_{0}=a-s

mit

d=\Vert a_{0}\Vert

, der ohne ███████ des █████████████ ███████ ist, wie █████ █████████.

██████ ist █████ █████████ (

d\neq 0

) die ████████ durch

d^{k-1}

███████. ████████ ███ dabei die ███████ von

z\in B_{0}(d)

, so ██████ ███ █████████ die ███████████ mit ██████████

d\leq \Vert a_{0}-z\Vert \leq d\left(1+\left({\tfrac {\Vert z\Vert }{d}}\right)^{k}\right)\;\;{\stackrel {k\to \infty }{\longrightarrow }}\;\;\ d

Der █████████████ ████████ die ██████████

d=\Vert a_{0}-z\Vert =\Vert a-(s+z)\Vert

, also

s+z\in S_{a}

(███.

z\in S_{a_{0}}

), wie █████████.

Aus ██████ ██████████ █████ ████████ $\Vert a_{0}-mz\Vert =\Vert a-s-mz\Vert =d$ ███ ██████████ $m\in \mathbb {N}$ und $z\in B_{0}(d)$ , das █████ $S_{a}+m\cdot B_{0}(d)\subset S_{a}$ und ██████ $\mathbb {C} =S_{a}$ .
████ █████ ██████ im ███████████ zur ████████, dass $\Vert \cdot \Vert$ ein ██████████████ ██████ ist, ███ den ████: $\Vert a_{0}-mz\Vert \geq {\Big \vert }\Vert a_{0}\Vert -m\Vert z\Vert {\Big \vert }\;\;{\stackrel {m\to \infty }{\longrightarrow }}\;\;\infty$ , ██████ ███ $z\neq 0$ .

█████ ist die ███████ $d>0$ █████████ und der ██████ des █████████████████ der ███████ ████████.

█████████: Es kann ██████ ███████ werden, dass die in (G&A) ██████████ ███████████ des ███████████████ die ██████ ████████ ist.

████████████████████ von █████████ und █████ ██████████████ ██████

Der ████████████████████ von █████████ ██████, dass ein █████████████ ████████████ ██████████ ██████ $\mathbb {L}$ entweder mit $\mathbb {R}$ oder mit $\mathbb {C}$ ███████████ und ███████████ █████████████ werden kann. Um also den ██████ ██████ ██████ zu █████████, ████ ████████ █████████ werden, dass █████████ $\mathbb {R} \subset \mathbb {L}$ , da $\mathbb {R}$ der ████████████ █████████ (█████████████████) des ███████████ $\mathbb {Q}$ eines ████████████ ██████████ ███████ ist. Also █████ ███ als ███████████ $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ und █████ sich ████, dass ███ die ███████████ $\mathbb {L}$ ███ entweder (██████████████) $\mathbb {R}$ oder (nach dem ██████ ██████) $\mathbb {C}$ in █████ ██████, denn:

Ist $X^{2}+1$ ████ $\mathbb {L}$ █████████, so ███████ der bereits █████████ ████ „(O)“ des ██████████████████████ $\mathbb {C} =\mathbb {L}$ .
Ist ██████ X █ + █ ████ L ███████████, so █████████ die ████████████ ███████████ L [ − █ ] / L :
- Auf ███ █████ sich die █████████ $\Vert \cdot \Vert$ von $\mathbb {L}$ ██████████. Zur ██████████ sei auf den ██████████ „(G&A)“ █████████ oder aber auf einen ███████████ █████████ ███ ████████████ █████████████ █████████████ ██████, der sich in ██████████ ██████ von ████ ████████.
- Also ███████ der bereits █████████ ████ „(O)“ des ██████████████████████ $\mathbb {C} =\mathbb {L} [{\sqrt {-1}}]$ .
- Die ███████████ $\mathbb {C} =\mathbb {L} [{\sqrt {-1}}]\supset \mathbb {R}$ ██████ aus ███████████ ██████ █████ ███ einen ██████ ██████████████ $\mathbb {L}$ , so dass in ██████ █████ $\mathbb {L} =\mathbb {R}$ █████.
Damit ist █████████ also $\mathbb {L} \in \{\mathbb {C} ,\mathbb {R} \}$ und der ████████████████████ von █████████ ████ ████████████ ████████████ █████████ ██████ ████████.

Welcher der beiden █████ $\mathbb {L} =\mathbb {R}$ oder $\mathbb {L} =\mathbb {C}$ ████████, ███████████ sich █████ an der █████, ob eine (und damit ████) der █████████, ███ den ████ ████████████ (█████████████ ████████████ ██████████) ██████ $\mathbb {L}$ ████████████ ███████████ ███████ ist oder nicht:

Der ██████ $\mathbb {L}$ ███████ nicht ████ ██████████████.
Das ███████ $-1$ ist in $\mathbb {L}$ ████ ███████.
Das ███████ $-1$ ist in $\mathbb {L}$ █████ ████████████.
In $\mathbb {L}$ ████████████ eine ████████████ ███ dann, ████ █████ ███████ ████████████.
Das ███████ $X^{2}+1$ ist ████ $\mathbb {L}$ ███████████.
Es ████ ein nicht-████████, ████ $\mathbb {L}$ ████████████ ███████.
Der ██████ $\mathbb {L}$ ist ██████ █████.
Der ██████ $\mathbb {L}$ ist █████ █████████████.
Der ██████ $\mathbb {L}$ ███████ ████ eine █████████.
Der ██████ $\Vert \cdot \Vert$ auf $\mathbb {L}$ wird von einer █████████ auf $\mathbb {L}$ █████████.
Die „████████-██████“ $\mathbb {S_{L}} :=\{y\in \mathbb {L} ;\Vert y\Vert =1\}$ :=\{y\in \██████ {L} ;\████ y\████ =█\}} ███████ ███ ████ ████████.
███████ auf die (█████ █████████) ████████████ █████████ auf L ██████ die beiden █████████████:
- ███████████ „P=Q“: ████████ ████████ sind ████████ in $\mathbb {L}$ .
- ███████████ „B-W“: ████████ █████████ ██████ ████ $\mathbb {L}$ haben eine ██████████ in $\mathbb {L}$ , ███████ also einen ████████████ ab.
Es ████ eine ██████████ $\mathbb {L} \hookrightarrow \mathbb {R}$ █████████████ (████████████) ██████.

██████ wird ████████, wie ███ der ██████████████████████ ██████ nach █. ████████ und der ████████████████████ von █████████ mit der ███████ ██████ ███████ ██████ und der ██████ ██████████████ ███ █████ ██████████████ ██████ durch ██████-███████ ██████████████ – und █████████ auch mit dem ██████ von ████ von ████, der auf ███████████ von █████, ███████ und ████████ ██████ und █████ █████ █████████ ██████████.

████████████ mit dem ████ von ███████-█████

Der ████████ ████████████████████ von █████████ █████ in █████ ████████████ mit dem ████ von ███████-█████ ████ die █████████,

dass das ████████ einer █████████ ██████-███████ mit ███████████ nicht ████ ist und
dass eine ████████ ██████-███████, die ein ████████████ ist, mit dem ██████ $\mathbb {C}$ █████████████ werden kann.

Beide █████, ██████ der ████ von ███████-█████ als auch der ███████████████ der ███████, ██████ sich mit dem ████ von █████████ ████████. Der ███████████████ der ███████ ist eine ██████████ █████████ des ██████ von ███████-█████, der ██████████████ ██████████ █████████ ██████████ und daher zu ██████ ██████ ███████████ ████████ (████ von ████-██████) ████████.

Der ████ von ███████-█████ ███████████████ den █████████ ████████████████████ von █████████ auf ████████ ██████████████ und ███████ █████ eine █████████████████ in █████████ ████████: ██████████████ ██████ nicht ██████████ sein, und ████ ██████ ███████████ ███████████ █████████████ als ██████████████ von ███████.

██████ mit ████████ der █████████████████

██████████ ██████ mit dem ████ von █████████

█████ $\textstyle \lim _{s\to \infty }\inf _{|z|=s}\left|f(z)\right|=\infty$ █████████ ein $R>0$ , so dass $\left|f(0)\right|\leq \left|f(z)\right|$ ███ alle $z\in \mathbb {C}$ mit $|z|>R$ ████. Weil ██████ $f$ und damit auch der ██████ $|f|$ ██████ sind, als auch die ████████████ ${\overline {U_{R}(0)}}$ ███████ ist, █████████ nach dem ████ von ███████████ eine ██████ $z_{0}\in {\overline {U_{R}(0)}}$ mit █████████ ██████ des ███████████████, $C:=\left|f(z_{0})\right|\leq \left|f(z)\right|$ ███ alle $z\in {\overline {U_{R}(0)}}$ . Nach ████████████ ist $C=\left|f(z_{0})\right|$ █████ ein ████████ ███████. ████ $C$ ███████, so ████ die █████████ ████████ $z\mapsto {\tfrac {1}{f(z)}}$ █████████ auf $\mathbb {C}$ und durch ${\tfrac {1}{C}}$ ██████████, also nach dem ████ von █████████ ████████. █████ ████ auch $f(z)$ ████████, ███ der █████████████ ████████████. Da $C\geq 0$ █████ $C=\left|f(z_{0})\right|=0$ , also █████████ eine ██████████ (in $z_{0}$ ).

████████ ██████ ███████ des ███████████ ██████████████

Der ███████████████ der ███████ ist mit █████ ███████████ █████████████ █████ ██████ aus dem ███████████ ████████████ █████████, und zwar wie █████:

Das ███████ $f$ █████ sich in der ████ $f(z)=z\cdot g(z)+a_{0}$ ██████████, █████ $g$ ein ████████ ███████ ist.

██████████, $f(z)$ hätte █████ ██████████, so █████ sich ███ $z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ █████ █████████

{\frac {1}{z}}={\frac {f(z)}{z\cdot f(z)}}={\frac {g(z)}{f(z)}}+{\frac {a_{0}}{z\cdot f(z)}}

███ ██████ ███ ███ █████ $R\in \mathbb {N}$ das ███████████ der auf $\mathbb {C} \setminus \{0\}$ ██████████ ████████████████ $z\mapsto {\tfrac {1}{z}}$ ████ den ██████████████ ${\gamma _{R}}(t)=R\cdot \exp(i\cdot t)(t\in [0,2\pi ])$ und ██████:

2\pi i=\int \limits _{\gamma _{R}}{\frac {1}{z}}\,\mathrm {d} z=\int \limits _{\gamma _{R}}{\frac {g(z)}{f(z)}}\,\mathrm {d} z+a_{0}\cdot \int \limits _{\gamma _{R}}{\frac {1}{z\cdot f(z)}}\,\mathrm {d} z

████████ der ████████████ ███████████████████ von $f(z)$ ist

z\mapsto {\frac {g(z)}{f(z)}}

█████████, █████ sich ███████ des ███████████ ██████████████ ██████ ██████:

2\pi i=0+a_{0}\cdot \int \limits _{\gamma _{R}}{\tfrac {1}{z\cdot f(z)}}\,\mathrm {d} z

und daraus:

2\pi \leq |a_{0}|\cdot \operatorname {L} ({\gamma _{R}})\cdot \max _{|z|=R}{\frac {1}{|z\cdot f(z)|}}=|a_{0}|\cdot 2\pi R\cdot \max _{|z|=R}{\frac {1}{|z|\cdot |f(z)|}}=|a_{0}|\cdot 2\pi \cdot \max _{|z|=R}{\frac {1}{|f(z)|}}

████ ████ ███ █████ █████████ $R\in \mathbb {R} ^{>0}$ .

███ ist ██████ $\textstyle \lim _{|z|\to \infty }\ |f(z)|=\infty$ und damit █████ aus der ███████ ███████████ ███████████:

2\pi \leq 0

███ ██████ ██████ ist.

Damit ist die ███████████ ███████████████████ von $f(z)$ zum ███████████ ███████ und $f(z)$ ████ eine ██████████ haben.

██████████████ ███████ des ███████████ ██████████████

Eine ██████████████ unter ██████████ des ███████████ ██████████████ ██████ sich bei ██████ ████████ ███ der ███████:

Unter der ███████, dass $f(z)\neq 0\;\forall z\in \mathbb {C}$ ███ die ███████████████ $f$ █████, █████ $\phi (z):={\tfrac {1}{f(z)}}$ und █████████ $\psi \colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ █████████ durch $\psi (z):={\tfrac {\phi (z)-\phi (0)}{z}}$ ███ $z\neq 0$ und ██████ ███████████ bei $z=0$ dank $\lim _{z\to 0}\psi (z)={\tfrac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} z}}(0)$ . Mit $f$ sind – █████ ███████ – auch $\phi$ und $\psi$ auf der ████████ █████ $\mathbb {C}$ █████████, das █████ █████ ██████████. Also ████████████ nach dem ███████████ ████████████ das ███-████████ ████ eine ██████████ $\mathrm {K} =\mathrm {K} (R)$ mit ██████ $R$ um den █████████, und ███████ ███████████████████████████ █████:

0=\oint _{\mathrm {K} }\psi (z)\;\mathrm {d} z=\int _{0}^{2\pi }\phi (Re^{i\theta })\,i\;\mathrm {d} \theta -\underbrace {\int _{0}^{2\pi }\phi (0)\,i\;\mathrm {d} \theta } _{=2\pi i\,\phi (0)}

███ ████ es zu █████ ████████ █████████ $\epsilon >0$ einen ████████ ██████ ██████ $R$ , so dass ███ den ███████████ $|\phi (Re^{i\theta })|<\epsilon$ auf $\mathrm {K}$ ████, und ███ das ████████ ████████ $\left|2\pi i\,\phi (0)\right|=\left|\int _{0}^{2\pi }\phi (Re^{i\theta })\,i\;\mathrm {d} \theta \right|<2\pi \epsilon$ . ███████ █████ $\phi (0)=0$ , ███ auf den ███████████ $1{\stackrel {{\text{Def }}\phi }{=}}f(0)\,\phi (0)=0$ █████.

██████ mit ████████ der █████████ █████████

███ ██████ $f$ als █████████ des █████████ ███████████ █████ $\mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}\to \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}$ auf, d. █. $\mathbb {C} \ni z\mapsto f(z)\in \mathbb {C}$ , $\infty \mapsto \infty$ . Die so ██████████ nicht-█████████ █████████ █████████ ██████████████████ ist █████████ und damit █████ (d. █., das ████ █████ ███████ █████████ ist █████) nach dem █████████████████. Da $\mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}$ ███████ und $f$ ██████ ist, ist das ████ $f(\mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1})$ auch ███████, ████████████ █████████████ in $\mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}$ . Damit ist das ████ bereits ████ $\mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}$ , denn $\mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}$ ist ███████████████. ████████████ ████ es ein $z\in \mathbb {C}$ , welches auf $█$ ██████████ wird, d. █. eine ██████████ von $f$ .

██████ mit ████████ der █████████████████████

███████ wie im ██████ ██████ aus der █████████ █████████ ██████ ███ $f$ als ███████████████ der ██████ $\mathbb {S} ^{2}$ auf. So ist $f\colon \mathbb {S} ^{2}\to \mathbb {S} ^{2}$ (█████) ███████████████ und die █████ der ██████████ ██████ ist als ████████████████ der █████████ endlich, █████ die █████ der █████████ █████ ███████████████ ist. Die ████████████ $|f^{-1}(y)|$ des ███████ eines █████████ ██████ $y\in \mathbb {S} ^{2}$ ist außerdem █████ ████████ als ████████ in $y$ ( $f$ ist ████████ auf ██████████ von ███████ in $f^{-1}(y)$ ). ████ █████, dass $f$ █████████ ist, denn ████████ █████ werden █████ █████ ██████████ und █████████ █████ werden nach ██████████ ██████████.

██████ ███████ des ██████ von ██████ ███ ██████████ ██████████

Die ████████ $F(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\dotsb +a_{1}z+a_{0}$ wird ███████████ als $F(z)=f(z)+\phi (z)$ . █████ $f(z)=a_{n}z^{n}$ und $\phi (z)=a_{n-1}z^{n-1}+\dotsb +a_{1}z+a_{0}$ . Dann ██████████ ███ die ████████ ${\frac {\phi (z)}{f(z)}}={\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}z^{-1}+\dotsb +{\frac {a_{1}}{a_{n}}}z^{-(n-1)}+{\frac {a_{0}}{a_{n}}}z^{-n}$ . Es ist ██████████████, dass ein $M>0$ █████████, ██████ ███ alle $|z|=R>M$ ████:

0<\left|{\frac {\phi (z)}{f(z)}}\right|_{|z|=R}<1

Daher █████ aus dem ████ von ██████, dass die ██████ der ███████████ der ████████ $F(z)$ in dem █████ $|z|=R$ ██████ der ██████ der ███████████ der ████████ $f(z)=a_{n}z^{n}$ ist. Aber die ████████ $f(z)=a_{n}z^{n}$ ███████ ███ eine $n$ -█████ ██████████ in $z=0$ . Da $R>M$ ████████ ███████ wurde, █████ die ██████████ des █████████████████.

█████████████████ des █████████████████

Der ███████████████ der ███████ █████ sich mit █████ █████████████ ████████ unter █████████ der ████████████████ und des ████████████████ ██████ ███████████████:

████ ███████ ████████ $f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ , ███ die eine ██████████ ████ $n>0$ und ██████ eine ████████ ████ $c\neq 0$ ██████████ ██████, dass $\textstyle \lim _{z\to \infty }\ {\tfrac {f(z)}{z^{n}}}=c$ ███████ ist, hat eine ██████████.

███████ █████ der ███████████████, indem ███ zu einer █████████ ███████████████ $z\mapsto f(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\dotsb +a_{1}z+a_{0}$ $(z\in \mathbb {C} )$ vom ████ $n>0$ den █████████████████ als █████████, also $c=a_{n}$ █████.

█████████

█████████████████ und █████████ vor ████

████ █████████ ████: ████████ ████ ███████████ ███████ ███ ███████████████ ██████████. █████████, █████████ ████, (███████ ███ █████ ██ ███ ███████ ████ █████ ████████ ████████ █████████ ████████ ██ ███ ████████ can ██ ████████ ████ ████ ███████ ██ ███ █████ ██ ██████ ██████. (███; ███ ██) (████. ███████████ des █████████)). ████████████ ████: ███ bei ███████.███.██, █████████ am ██. ███ ████. █████ auch █████████ im ███████ zur ████-█████████.
████ ██████████: █████ ██████ des ██████, dass ████ █████ █████████ ████████ einer ██████████████ ███████████ werden kann als ein ███████ aus ████████ ██████████ derselben ██████████████. In: ████████████████ der █████████ ████████████ ████████ der ██████████████ zu ██████. ████ (████ bis ████████), S. ████–████, ████.██. ███████████, ████████ █████: ███████.████.██, ██.██████████.██, ███.███████████████████.███, ███-███████.██/█████.█████, ████████ █████████ am ██. ███ ████.
████████ █████: ████████ der ███████ I. █████████ ██████ und ████, ████████████, ████, ███ bei ████████.███.███-██████████.██, █████████ am ██. ███ ████. ███████ des █████████████████ in § ██ (████ ████████████ ██████, ███. den █████████ „████ ████████████ ██████“) und in § ██ █████’ ██████ ██████ (mit █████ des ██████████ ██████████).
█████ ████████ ███████ ██████: █████ d'███████, ████ I (██████ ████████████). ███ ███████, ████████-███████, ████. ████████████: ████ ████████ ███████ █████, ████ █-█████-███-█. █████ ███ bei ███████.███.██, █████████ am ██. ███ ████.
███████ ████: ███████████████ zu ██████████████ der ██████████. In: ██████████████ ███████████, ██. ██, (████), ab █████ ███. █████ ███ bei ███.███.███-██████████.██, █████████ am ██. ███ ████. Darin ab █████ ███ ein ██████████████████ ██████ des █████████████████ (█████████ ██ ███████████████ der ███████ und ██████████ der ██████████).
█████████ M. █████████: ████ einige ████████ der ███████████████████ $\varphi (x).\varphi (y)=\varphi (xy)$ . In: ████ ███████████ ██ (████). █████ ████, S. ███–███, █████████ am █. ██████ ████.
- █████ auch ███:██.████/██████████ oder ██████ im ███████ ██████
████████ ████ (█████) und ██████ █████ (███████): ████████████ und █████████ █████████████ ███████████. In: ███████ ███ die █████ und ██████████ ██████████ (██████-███████), ████ ███ (████). █. ███ ████, S. ██–██, █████████ am █. ██████ ████.

█████████ nach ████

██████ ██████, ██████ M. ███████: Das ████ der ███████. Mit ███████████ von ████ █. ███████. █. ███████. ████████-██████, ██████, ██████████ ████, ████ ███-█-███-█████-█, ███:██.████/███-█-███-█████-█.
███████ ████, ███████ ███████, █████-█████████ ███: ██████████ in ████ █████████ ████████ (= ██████████ ███ ███████████ in ███████████. ████ ██). █. ███████. ████████, ██████ u. a. ████, ████ █-███-█████-█.
████████ ███████, ████ █████: █████████████████ █. █., ███ ███████████ und ██████████ ███████. ████████-██████, ██████ u. a. ████, ████ █-███-█████-█.
██████ ████████: ██████████ in die ███████████████ █████████ (= Die ██████████. ████████████ in ██████████ und ██████████ █████ ███████████ und █████████████████████). █████████████████ ████████████████, █████████ ████, ████ █-███-█████-X (█████████).
████████ ███████: ███████████████ der ███████, ███████ █ in:
- █.-D. ██████████, █. ██████, ██. ██████████, ███ ███████, K. ███████, A. ███████, R. ███████: ██████. In: ███████████ ██████████ I. █., ███████████ ███████. ████████-██████, ██████, ██████████, ███ ████, ██████, █████, █████, ████ ████, █████████, ████████ ████, ████ █-███-█████-█, ███████ █ ███████████████ der ███████ (R. ███████), S. ██–██., ██████ in der ██████████ ██████████ (█████ ████-██-██), ███
████ ███████ ██████: ████████ ████ ███ ██████████████ █████████. ███████ ███████, █████ ██ █████ ██ █████ W. ██████, █████████ ██████████ █████, ████, █████████, ███ ██████, ████ █-███-█████-█.
█████ ████: ██████ ███████. ███ ███████, ████, ███ ███████, ███████-██████, ████, darin: ████████ █: ████ ███ ████, § █ █████████ ███████ ██ ███ ███████ ███████, S. ███. ███ ███████: ████████, ████, ████ █-███-█████-█, darin: ████████ I: ███████ ███████, S. ████.
█████ A. ███: ██████ ██████ (= ████ ███ ███████ ███████████: A █████ ██████ ██ █████, ██████████ ███ ██████. ████ ███). █. ███████. ████ █████ & ████, ████, ████ ███-█-███-█████-█, S. ███ (███ S.).
██████ ████████ ███ der ███████: ███████ I, unter █████████ von ███████████ von E. █████ und E. ███████. █.–█. ███████ (der ████████ ███████) (████ bis ████), ████████-██████. In der █. ███████, ████, ████████████ █████████████ ████ ██, ████ █-███-█████-█, ist der oben ████████ ██████ nicht ████ █████████. ███ ████████████ zur ███████████ ██████ ███████████████ ██████████ sei auf den ███████ zur ████████ ███████ █████████.
- ████████ ██████: ███████████████ zur ████████ ███████ von ██████ ████████ ███ der ███████, die ██████ im ███████ zur ███████ ███████ ██████ █████ ███████ █ ███████. █████████ in: █████████████ der █████████ ████████████ ███████████ (███), (████, ████ ██, █████ ███ bei ███.███.███-██████████.██ oder ███ bei ████████.███.███-██████████.██, █████████ am ██. ███ ████), ███-█████ ███.
- J[███████] G[█████████] ███ der ██████ – ███████ nach ██████ ████████ ███ der ███████, ███████ I, Ende des ████████ ██ (███. auch █████████████████ auf ██████.███.███.██ (███), ███████████ ███ und ███, █████████ am █. ████ ████.) – :
  - ████████ █████████████ d'███████. █████, █████████ ████, ██████ ████████ ████. ██████. – oder █████████████
  - ████████ █ – ██ ████████ ███████████ ██ l'███████ ████ ██████ ██ ██████████. ████[████████] ███████, █████████ ████. █████ auch ███ auf ██.███.██, █,█ ██ ███. den ███████ des ████████ █████████, █████████ am █. ████ ████.
███████ ████████: Der ███████████████ der ███████. ████ bis █████ – eine ██████████ ██████████, mit einer █████████████ █████████████. ██. ████████ ████, █████████ am █. ██████ ████.
████ █████: █████████ ███████ ███ █████████ █████████. ██████ ███ ██████, ███ ████ ████, ████ ███-█-████-████-█.
████ W. S. ███████, ████████ ████████ u. a.: █████████ ██████ ██████. ███████████ ██ an █████████████ ██████████ █████████ ██ ███ ██████ ████████████ ███████ (a ████ ████████ █████ █████████) ████ ███ ███████ ██ ███ █████████████ ████████████ █████. ████.: ████ W. S. ███████, ████████ ████████. ████████ █████, ███ ████ ██ ████, ████ █-██-██████-█, █████ ███████ ██ ██████ ██████, ███████ ██ █████████ ██ ██████████, █████ ██.
██████ █████: █████████████. ████████-██████, ██████ ████, ███████ ██, § ██ Die █████ ████████████ ██████████ █████████████ ██████, S. ███ f.
██████ █████ und ██████ █████: ████████████████ zur ███████ ███████ (= ████████ ████████. ████ ████). ██████ ███████████ ███████. ██████ ██ ███████ & ██, ██████ ████, █.██.§██, ████████ █, █ und █, S. ███ f.
████████ █████: ██████████ und ██████████ ███████ vom ████████ ██████████ (= ████████ ████████. ████ ███). ██████ ██ ███████, ██████ ████, ██████ Der ███████████████ der ███████, S. ███ ██. (███ S.).

██████████████ █████████ zur ███████ ██████-███████ und █████ ███████████████ ██████

██████ ████████ ███ der ███████: ███████ I unter █████████ von ███████████ von E. █████ und E. ███████. █. ███████, ████, ████████████ █████████████ ████ ██, ████ █-███-█████-█; ███████ ██ ██████ ██████.
████ █████ und ████ ████████: ████████████ ████████████ ███████ ██████. In: ███. ████. ███. ███████, ██. █ (████), S. ██–██. █████ auch █████-████████-███████.
████ █████: ████ die █████████ █████████ ██████████ in ████████. In: ███. ████. ███. ███████, ██. █ (████), S. ███–███.

████████

█████████: ██████ zum ███████████████ der ███████ – ████- und ███████████████

███████████

[█]
█████ ███████ ███████████ von ██████!
[█]
Allerdings ████████ ███████ ███████ im █████ ████ in einem █████████ zum ██████████ ██████ von ████ die ███████, dass ██████ ██████ ████ ████ ███████ ist. █████: ████████ ███████: ███████████████ der ███████, ███████ █ : In: █.-D. ██████████, █. ██████, ██. ██████████, ███ ███████, K. ███████, A. ███████, R. ███████: ██████. In: ███████████ ██████████ I., █., ███████████ ███████. ████████-██████, ██████, ██████████, ███ ████, ██████, █████, █████, ████ ████, █████████, ████████ ████, ████ █-███-█████-█, ███████ █ , S. ██.
[█]
███ ███████ ████ den ████ von ███████-██████████ oder ███████████ daraus.
[█]
█████ ███████ ████████ („Der ████████████████ der ███████ […]“, █████ █████████), █████████ █.█.█ (█████ ██) █████ ████ █████████████ von █████, ████████ und ███████ auf und ████████████ ███ oder █████████ ███ zu ████████ aus.
[█]
█████ ████ ███████████ aus der █████████████ ██████ $S_{n}$ ████████ auf $M_{k}$ . ████ █████ sich also █████████ der █████████ ████ █████████████████████ ██████████ oder der █████████ der █████████████ zur ██████████ ███████████.
[█]
Das █████: ███ eine $\mathbb {K}$ -█████ $v_{i}$ von $\mathbb {L}$ █████ $\left\Vert \sum _{i=1}^{n}x_{i}\,v_{i}\right\Vert _{0}:=\max _{i}\{\vert x_{i}\vert \}$ .
[█]
██: $d_{a}\neq 0\Leftrightarrow (a+\mathbb {C} )\cap \mathbb {C} =\emptyset$ . Zur █████████ ██████████: ████ ███ sich den ████ $\mathbb {L}$ als einen ████████████ ███████████████ ██████████ ██████, dann ██████ ███ sich $a$ als einen █████ ████ dem █████ $s\in S_{a}$ , ████████████ $a_{0}$ ████ dem █████████ $s_{0}=0\in S_{a_{0}}$ ██████████, so dass der ████████ ███████ von █████ „█████████ █████████, ██████████████ █████“ $a$ zur █████████ █████ durch das ███ auf $s\in S_{a}$ ██████████ wird. Die „███████“ $S_{a}$ wird ███ sich ████████ als ███████████ ██████████ ██████, die ██████████ auf einen █████ ███████████████ sind, doch █████ ███████ ███████████ wird ████████ █████████ werden: ████████ der ███████, dass $d>0$ sei, werden die ██████ zu ███████ ██████████ werden, und die ██████ werden ██████████ █████ ██████ ██████, so dass ███ die █████ ████████ █████ ████████ werden, die sich als █████ (vom ██████ $d$ ) um den ██████████ █████ ██████ ██████ – im ███████████ dazu, dass ███ ████████████ ██████████ ist.
[█]
█████████ ist ███████ vor allem $z\neq 0$ von █████████, ███ ████████ der █████████ $d>0$ ███████ ist – und ██████ zum ███████████ ██████ wird. ███ $d=0$ sind die ██████ █████ $B_{0}(d)$ und die ██████████████████ ████.
[█]
███████ ███ also die █████ $B_{0}(d)$ zur ██████ $S_{a}$ , so ██████ $S_{a}$ ███████████! ███ ████ bereits, in █████ ████ █████████ ██████████ █████ ██████████ den ██████████████ ████ $\mathbb {C}$ ██████. ███ ████████ ████ ███████ „██████“ $S_{a}\subset \mathbb {C}$ um das █████████████ ███████ $a\in \mathbb {L} \backslash \mathbb {C}$ und ██████ die ████████ █████ █████████, sich zu █████████ …
[██]
Beim ██████████████████ „ ${\stackrel {!}{=}}$ “ wird die █████████████████ des ████████ ██████████: Die ████████████████████ der ████ einer █████████ █████████████ mit ████ █████ █████ ███████████ ██████████. Wie ██████████ ██████ ███ █████████████████ ██████ ███████████ ist, █████ ████████ im ██████ des ██████ von ███████-████████. ██████ █████ die ████████ ████████ █████████ $(a^{k}-\zeta _{k}^{k}\,z^{k})=(a-z)\cdot \sum _{i=0}^{k-1}a^{i}\,(\zeta _{k}\,z)^{k-1-i}$ aus, dass $a$ mit $z$ und █████ ██████████████ (also mit ████ $\mathbb {C}$ ) ████████████ ist, d. █., dass $\mathbb {C}$ im ███████ von $\mathbb {L}$ █████, ███ durch die ██████████████ der ███████████ $\mathbb {L}$ █████████████ ist, die █████ bei der ███████████ ██████ in ██████ ███████████ ███████ wurde.
[██]
███████████ der ██████████████: Der ███████████ █████████████ █████ ████ also ████ dem █████████ und damit ███████ ████ den von den ███████████████ █████████████ $k$ -█████████ ██████, um █████ ████████ ███████████ und damit den ███████████ ██████████████.
[██]
██: ████ wird also ██████████, dass ███████████████ ████████ █████ ██████ in $\mathbb {K} =\mathbb {C}$ ██████. In $\mathbb {R}$ ██████ █████████ die ███████ ███████████████ $\{\pm 1\}$ .
[██]
██████████ zur ██████████ █████████ ████ es eine ████████████ █████████████: Die ██████████████████ █████, dass $S_{a}\subset \mathbb {C}$ █████ █████. ███████████ ist $S_{a}$ aber auch █████████████ (und █████ ██████████, also ███████). Daraus █████ █████████, dass $S_{a}=\mathbb {C}$ ███████ ist, ███ auf ███████████ █████.
[██]
In ███████████ der ██████████████: Die ██████ $m\cdot B_{0}(d)$ ██████████ die █████ ████████ █████: $\bigcup _{m\in \mathbb {N} }m\cdot B_{0}(d)=\mathbb {C}$ , so dass also $\mathbb {C} \subset S$ . Die ████████ █████ ████ also als █████ vom ██████ $d$ um den ███████████ $a_{0}$ ████████████, so dass ████ ████████ ██████ $z_{1},z_{2}$ (nach ███████████████████) █████████ den ███████ $2d$ ██████ – im ███████████ dazu, dass die ████████ █████ ████████████ ████████ ist. ████ zu █████████ davon, wie die █████████ ██████ der ██████████████ █████████ auf ████ $\mathbb {L}$ ████████████ ████ …
[██]
Im ███████████ sind █████ ███████████ ███ einen ██████ nicht ████████ ██████████.
[██]
In $\mathbb {R}$ sind ██████████████ ███ die ███████ ███████████████ $\{\pm 1\}$ █████████. Da ███ $\mathbb {C}$ als ███████ ██████████ die █████████ $\mathbb {C} =\mathbb {R} +z\,\mathbb {R}$ ████, ██████ ███ $z\in \mathbb {C} \backslash \mathbb {R}$ , kann $\mathbb {L}$ also entweder alle ███████████████ oder ███ die █████████ ███████ █████████.
[██]
█████ ein ███████ ist █████ des ██████████████████████ ███████████.
[██]
Es ████ dann █████████ $\mathbb {S_{L}} =\{\pm 1\}$ . – ███████ $\mathbb {S_{L}} =\ker \left(\mathbb {L} ^{\times }{\stackrel {\Vert \cdot \Vert }{\longrightarrow }}\mathbb {R} _{>0}\right)$ . Die ██████████████████ wird also am ████████ der ██████████████ $\mathbb {S_{L}}$ in der ███████ ███████ $1\rightarrow \mathbb {S_{L}} \hookrightarrow \mathbb {L} ^{\times }{\stackrel {\Vert \cdot \Vert }{\longrightarrow }}\mathbb {R} _{>0}\rightarrow 1$ █████████, die im ███████ ████████ und die ████████ von $\mathbb {L} ^{\times }\simeq \mathbb {S_{L}} \times \mathbb {R} _{>0}$ ███████.
[██]
█████ ██████████ ist █████ █████████ ein █████████████ und █████████ ████████.
[██]
██████ ██████ █████████ ████████████████, nicht █████████ █████████████ (wie ██████████████) sein.
[██]
███████ $[0,2\pi ]\to \mathrm {K} ,\,\theta \mapsto z:=Re^{i\theta }$ mit $\mathrm {d} z=zi\,\mathrm {d} \theta$

███████████████

[█]
So ████████ ████████ █████ ████ im ███████ ██████ – ████████ auf ███ ████ █████ ██████████ – █████████ der ███████ ███ bei ████████.███.███-██████████.██: „Der ██████ █████ ist in ████ █████ █████████. Der █████ ████ ███████ den ███████████ █████ der ███████, den ███ mit einem █████████████ ████████ als ██████████████████ ██████████ kann, ██████ ████████████ ████ die ██████████ ██████████ der █████████████████ und die ███████ der ██████’█████ ███████.“ So ██████████ █████ denn auch zu ██████ ██████ █████████, die ██████████ (██████ ████) ██████, im ██████ █████████ die ██████████ ██████████ ██████ in § ██ (des ███████ ███████████. Die ███████) einen ████ ████████████ ██████ des █████████████████, der dem ████ █████████ im ████████████ ███████████; der █████ █████████ (Der █████’████ ████████) des ███████ ██████ (Die ███████) ██████ ██████ ██████, ███████ in § ██. █████’ ██████ ██████ des █████████████████ des ███████ mit █████ des ██████████ ██████. ███████ ist bei █████ der ██████ des ██████████████ der ███████ ████████ ███████, da er dem eben ██████████ █████ aus dem ███████ (S. v) ████████ █████ █████████████: „████ █████ sind es, die ███ die ███████ ████████████ der ███████ ████ besonders von █████████ sind, das ist auf der einen █████ die █████ ████ zur ██████████ ██████████ ██████████████, deren █████████ und █████████ ████████ ███████ zu ██████ ist, und ██████ das ██████████ der █████████████. ████ auch die ███████ zum █████ ████ die █████████████ ██████████, und in ██████ ███████, z. B. die █████████████████ oder in █████ ███████████ auch in die █████████ ███████ ██████, so ist doch die ███████████ █████ das █████████████ ████████ ███ alle █████████████ █████████████, und die ██████ der █████████████, die █████ im ███████████ des ██████████ ██████, sind ██████████ █████████████ █████. █████████ war der ███ ██████████, den ███ in ██████ ██████ zu █████ hatte.“ ██████ ████████ ███ der ███████ ████████ █████ sein ███████████████ ████████ der „[████████] ███████“ (███████ I, █. ███████, ████, █████ █████████ und ███████ zur ████████ ███████) bereits – nach einem ██████ ███████ ████ „██████ und ██████“ – mit █████████████ zur ██████████████ ████████. In § ██ (S. ███) █████ er ████████ █████████, dass er den █████ „███████████████ der █████ von den █████████ ██████“ ██████████ █████: „Der ‚███████████████ der ███████‘, ██████ ███████████████ der █████ von den █████████ ██████, ██████ […]“ Die █████ ███████ ██████ ██████ ████████ bereits ████ – ██ █████ nach ████████ ██████ ███████ ████ zur ███████ –, damals ████ unter dem █████ ███████ ███████. Nach ███████ ████████ im ███████ zur ███████ ███████ █████████ ███ der ███████ dem █████████ einer ███████████████ ████████ ███████ im █████████████ der ███ (████, ████ ██, █████ ███ bei ███.███.███-██████████.██ oder ███ bei ████████.███.███-██████████.██, ███-█████ ███) und ██████ sein ████████████ ████████ ab der ███████ ███████ des ██████ ██████ (████) ████████ ███████. Zur ██████████ ██████ ███████████████ ███████ sei auf die ███████ ███████ ███████ und ███████ █████████.
[█]
████████ █████ ███████ sein ████████ von ████ mit den ██████: Die ███████ wird ██████████ von den ████ ████████████████ ████████, ███████████, ██████████████, ████████. Der █████ ████ am ██████ mit ██████ ██████████████ ████████ so um, wie er es vom ███████████ █████████████████ her ███████ ist. Er ██████████ es mit einem ██████ ████ den ███████████████ der ███████. █████ ████████ █████: ██████████ und ██████████ ███████ vom ████████ ██████████ (= ████████ ████████. ████ ███). ██████ ██ ███████, ██████ ████ (███ S.).
[█]
██████ ██████, ██████ M. ███████: Das ████ der ███████. ████, S. ███–███.
[█]
███ ██████████ auch █████ █████ ███████████ in ██████ ██████ ███████ █████ ████████ ██████ ███████████ in § ██ ██████ █████████ zur ███████, ████ I (█████ ████████████████). Auch der ██████, den ███████ ██████ in ██████ █████ d'███████, ████ I auf █████ ███ (█████████ ███ █████████ ████████████, ███████████ ███ bis ███) ████, ist im ████████████ derselbe.
[█]
Der ██████ █████████ den █████████ ███████:
- ██████ █████/██████ █████: ████████████████ zur ███████ ███████ (= ████████ ████████. ████ ████). ██████ ██ ███████, ██████ ████, █.██.§██, ████████ █, █ und █, S. ███ ██. (███ S.).
- ████████ █████: ██████████ und ██████████ ███████ vom ████████ ██████████ (= ████████ ████████. ████ ███). ██████ ██ ███████, ██████ ████, ██████ (Der ███████████████ der ███████), S. ███ ██. (███ S.).
[█]
█████ auch ██████ ████████ ███ der ███████: ███████ █, ███████ ██ ██████ ██████, § ██ ████████████ ███████ der ███████ ██████. (██████ der ██████████: Die █████ ███████ des ██████ ██████ ██████ ██████████ ███████ ████████ ████████████ in der █████████ ██████████ des █████████████████ der ███████, ███████ der ████ nicht ███████ dank der █████████████ ████████ █████████████ █████ █████ ███████ ████████████ ████████ in der ███████ █████████ hat.)
[█]
█████████████ █████ █████ ████: ███████, ███████ ████ ██████ ██████, §█ ████████ ███ ████████████, ███████ █, █████ ████. █████ auch █████ A. ███: ██████ ██████ (= ████ ███ ███████ ███████████: A █████ ██████ ██ █████, ██████████ ███ ██████. ████ ███). █. ███████. ████ █████ & ████, ████, ████ ███-█-███-█████-█, S. ███ f. (███ S.).
[█]
Den █████████ zum ██████ der ███████████████ von ███████████ ██████████████ ██████ auf ████████ █████████████ ██████ ████-██████ █████ auf einer ██████ in ████████, ██████ ██, vom █. bis zum ██. █████████ ████, die in den ███████████ ███████ ████████ hat: ████ ███████ und ████████ ████████ (██████): █████████ ██████ ██████. ███████████ ██ an █████████████ ██████████ █████████ ██ ███ ██████ ████████████ ███████ (a ████ ████████ █████ █████████) ████ ███ ███████ ██ ███ █████████████ ████████████ █████. ████████ █████, ███ ████ ██ ████, ████ █-██-██████-█. █████ darin ███████ ██ ██████ ██████, ███████ ██ █████████ ██ ██████████, █████ ██. █████ ████ █████ zum ██████ der ████████ einer █████████ auf einem ██████████████ ██████ dessen ████████████████ aus.).
[█]
██████████ ████ ███████/████████ ████████: █████████ ██████ ██████, ███████ ██ ██████ ██████, ███████ █ ██████████, ███████ auf █████ ██. █████ auch die (auf die ██████ von A. █████████ aus dem █████ ████ █████ ████████) ██████████████ von ████ █████: ████ die ███████████ █████████████ ██████████. In: ███████ ███ die █████ und ██████████ ██████████, ████ ███ (████). ██. ██████ ████, S. ███–███, █████████ am █. ██████ ████. █████ auch ███████ █ ██████████ ██ a █████, ███████ █ in ████ █████: █████████ ███████ ███ █████████ █████████. ██████ ███ ██████, ███ ████ ████, ████ ███-█-████-████-█, S. █ f.
[██]
Der von ██████ █████ als „████████████████████“ ███████████ ████ und sein ██████ ████████ sich in der ██████████████ von █████████ M. █████████: ████ einige ████████ der ███████████████████ █(x)·█(y) = █(██). In: ████ ███████████ ██ (████). █████ ████, S. ███–███, █████████ am █. ██████ ████. ████ und ██████ ████████████ auch ██████ █████ in ██████ █████████████, ████████-██████, ██████, ████. ███████ ██, § ██ Die █████ ████████████ ██████████ █████████████ ██████, █████ ███. Eine ███████████-████████ ██████████████ des ██████████████████████ von █████████ ████████████████ bereits ████ ████████ ████ (█████) und ██████ █████ (███████): ████████████ und █████████ █████████████ ███████████. In: ███████ ███ die █████ und ██████████ ██████████ (██████-███████), ████ ███ (████). █. ███ ████, S. ██–██, █████████ am █. ██████ ████., █████ ████ den „██████ █: Es ████ ██████ ██████████ ██████ $K$ , der als ███████████ den ██████ $R$ aller ███████ ██████ ███████, und der den ██████ $C$ aller █████████ ██████ in der ████████ █████████ zum ██████ ███████████ hat.“.
[██]
Der ██████ █████████ das ██████/██ in einer █████████ am █. ███████ ████ zur █████████████ und ████████ in den „████████████ der ██████████████ ████████████ in ███████“ (████ ███ ███████████ zum ███████████ ████████ der ████████████. ███████ ████) ██ (█), ██████ ███–███ (████) unter dem █████ „Ein ███████████ ██████ der █████████████ █████████████████ des ███████ $\mathbb {C}$ der █████████ ██████“ („███████████ am ██. █. ████“).
[██]
In der █████████ ██████████████ wird der ████████████████████ so ██████████: Es ████ ██████ ████████████ ██████████ ██████ $K$ , der einen ██████ $\mathbb {C}$ zum ███████████ hat, ohne mit ███ █████████ zu sein. █████████ ██████████ █████ ██████ mit den ██████: „██████ ███ nach ████████ einen ██████ ███████████ █████████████, ████ in ███ ████ ████████████ █████████ mit einer ███████████ eine ██████ hat, so █████ ████████████ aus dem ████████████████████: █████ ████████████ █████████ ████████ und ███████████ ██████████████ ██████ █████ sich auf den ██████ aller █████████ ██████ so ████████, dass dabei ██████ alle █████████████ als auch alle ███████████████ ████████ ███████. Damit ist eine ███████████ █████████████████ des ███████ aller █████████ ██████ ████████.“ – Von dem „████████████████████“ ist ein ███████ ████ von █████████ zu █████████████, der die █████████ ███████████ auf $\mathbb {Q}$ ████████. Die ███████ ██████ █████ hat █████████ ████ in ███████ der ████ ███████████ (████ ██ (████)) ██████████████, █████ der ████████████ unter dem ███████ („███████ an der ████, █████ ████“) █████ ████ █████ ██████ ████████. In der █████████ ███████ sich „████ von █████████“ ████████ auf den ████ ████ die ██████████ ███████████, ███████ der „████████████████████“ ████ ████████ als „████ von █████████“ ████████████ wird. Der █████ ██████ darin zu ██████ sein, dass er █████ bald in der █████████ █████████████████ des ██████ von ███████-█████ ███████████ ist.
[██]
Dabei █████████ $N_{\mathbb {L} /\mathbb {K} }\colon \mathbb {L} \to \mathbb {K}$ die ████ der █████████████████ $\mathbb {L} /\mathbb {K}$ .
[██]
████████ ███████, ████ █████: █████████████████ █. █., ███ ███████████ und ██████████ ███████. ████████-██████, ██████ u. a. ████, ████ █-███-█████-█, S. ██.
[██]
█████ ███████ ██ (█████ ██████), § ██ (Der ██████ der █████████ ██████). In ██████ ███████████ █████ der █████ in die ███████ der ███████ ██████ nach █████-████████ ein und ██████ den im █████████ „██████████████ durch ████████████████ und ██████-███████“ █████████ █████████████ ██████ des █████████████████. █████ allerdings █████ er den █████████ ███████████████████████ ██████ mit █████ des ██████ von █████████ als den ████ „███████████ ██████“ und █████ in einer ███████████████ ███████████ den ████ ██████████ ██████ ██████, ███████████ mit den ██████: „████ ███ ███ die ██████ ████████ der █████████████████ ████████████, so kann ███ █████ der ████████ $\phi (x)$ […]“. Der ██████ ██████ den ████████████ zur ███████████ ██████████████ auf, ███████ um eine █████████████ ███████████ ███ █████████████████. In ████████ ████████ (nach der █. ███████, ██████████ mit der █. ███████) wurde █████ ██████████████ ███████ ██████ █████████ █████ ███████ ██████████. Eine ███████ mit einem ███████ auf ███████ ███████ █████ ██████ ████████: „Einen ███████ █████████ ██████ ██████ ███ z. B. bei C. ██████: ‚█████ d'███████ I‘, ███ ██., S. ███. Einen ██████████████████ ██████ ███ ███████ ████: ████. Z. ██. ██ (████), S. ███.“ Der ████████ ist auf ████ zu ███████████: ███████ ist ████████ ███████ █████ ███████ „███████████████ zu ██████████████ der ██████████“ aus der ██████████████ ███████████, ██. ██, (████), █████ ███, █████ ███ bei ███.███.███-██████████.██, █████████ am ██. ███ ████. █████ ████████ ███████ ███████ █████ d'███████ I ist ████ zu ██████: ███ bei ███████.███.██, █████████ am ██. ███ ████. █████ auch ███████████████ [█ █████████.███.██] oder [█ █████████.███.██] u. a. ████████ ██████████. – Am Ende des ██. ████████ ███████ ███ der ███████ ███████ █████████████████, █████ █████████.
[██]
████ W. ██████: ████████ ████ ███ ██████████████ █████████. S. █–█.
[██]
█████ ███. █, § █ (Ein ██████████████████████ ██████ des █████████ █████████████████ der ███████) in: ██████ ████████: ██████████ in die ███████████████ █████████. ████, S. ███–███.