███████ ████████████ ████'███████

██ ███████ ████████████ ████'███████ █████████ ███ ████ █████████ ██ ███ █████████ ██ █████ $n\geq 1$ (████ ███ ████████) ███ ████████████ █████████, ███ ████

a_{n}z^{n}+\ldots +a_{1}z+a_{0},

███████ ██████ ███ ██████ █████████ (█ ████).

████████████████ (███ ███████████) ██ ███████ █████████ ███ ██ █████ ███ ██████ █████████ █ ██████████████ ██████.

███ ███████ █████ ███ ██ █████████ █ ████████████ █████████ ███████ ███████████ $█$ ██████ █████████ (███████ ███ ██ ██████ ████████████), ██████ ██ █████████ █ ████████████ █████ ███████ ██ ███ $█$ ██████ █████.

██████

██'████████████ ███ ███████ ██ ███ █████████████ ██ █████ ███ ██████████ ██ ███████ █████████ ██████ ██████ ███ ████ ███ █████ █'█████████ ██ ███████, ███ ██████ ██████████ ██ ███ ████████████ ██████ ██ █████ ██ █████ ████, █████████ ███ ████ ███████████ ████████████ (████). ███ ██ ███ ████████ ██████ █████████████. ███ ████ ███████ ████████ ██ ████ ███████ ██ █████████████ ███ ██ █████████ $x^{4}+1$ . ███ ████ ███████ █████████ █ █████████ ████████ ██ ███ ███████ ███████ ████ ██████ ███████ ████████████ █'█████████ ██ ██████ █████████ ███ █████████.

██ █████ █████████ █████ ██ █████████████ ███ ███████ ██ ███████ ██ █'████████ ███ ████, ██ █████ ████ ████████ ██ ███████ ███ ██████ ██████████ (██ █████████████ ██ █████ ██ ███████ ███ ████ ███████████ ██ ██████ ███████ ████████████ ████'███████). █████ █████████ ██ █████████████ ██████ ███████ ██████ ███ ████ ██ ██████, ████████ ███ ████, ███████ ███ ████.

██████████ ███ ████ █████ ██████ ████'███████ ██████████ █ █████████ ███ ████ ████████████. ██████, ███ ████ ████-██████ ██████, ██ ███████ ████████████ ██ ██████████, ████████ ██'█████ █████████████ █████ ███ ████████ ████████ █ ██████ ██ █████.

██████

████████ █ ████████████ █████

██ ██████ █████ █ ██ ███████████ ██████ █████████ ███ █████ ███████████ █████; ██ ███████ █ ██████ ██████ ███ ████ █████████ █ ████████████ █████. ██ ███████, ██ █████████ ██ █████████

p(z)=z^{2}+1.

██████ █████████ ███ ███████ ███████ ██████ █████: █ ██████ █████ ███ ███████ ██ █████ ██████████████ ██████. ███ ██ ███████ ████████████ ████'███████, ██ █████████ ██ ████ ██████ ███ ██████ █████████: ██████ █ █'█████ ███████████ $z=i$ . ███████:

p(i)=i^{2}+1=-1+1=0.

██████ ███ █ ████████ █'█████ ██████. ██ █████████ ██ █████ ███ █ ██ ███ ██████ █████████: $█$ █ $-i$ .

█████████████

████████ ████████ █████████████ ███ ███████ ████████████ ████'███████, ███ ███████████ ███████ █████ ███████ █████ ██████████, ████ ██ █████████, █'███████ █████████ █ █'███████.

█████████████ ██████ █████ ████████ ██ █████ ██ ██████

███ $p(z)$ ██ █████████ █ ████████████ █████████ ██ █████ $n\geq 1$ .

███████ $\lim _{|z|\to +\infty }|p(z)|=+\infty$ , ██████ ██████ $r>0$ ████ ███

|p(z)|>|p(0)|

███ ████

z\in \mathbb {C}

████ ███

|z|>r.

██ █████ ██████ $D_{r}:=\{z\in \mathbb {C} :|z|\leq r\}$ :|█|\███ █\}} █ ████████, ██████ ███ ██ ███████ ██ ███████████ ██████ ██ █████ $z_{0}\in D_{r}$ ██ ███ $|p(z)|$ ██████ ██ ███ ██████ ██████ ████████ ██ $D_{r}$ .

███████████ ███ $|p(z_{0})|=0$ , ██████ ███ $p(z_{0})=0$ .

███████████ $p(z)$ ██ █████ ██ ██████ ███████ █ $z_{0}$ ███████

\forall z\in \mathbb {C} \;:\quad p(z)=a_{0}+a_{k}(z-z_{0})^{k}+a_{k+1}(z-z_{0})^{k+1}+\cdots +a_{n}(z-z_{0})^{n},

████ $a_{0}=p(z_{0})$ , $k\geq 1$ █ ██████ █ $a_{k},a_{k+1},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {C}$ ███ $a_{k}\neq 0.$

██ ████ ███ ██ █████ ██ ██████ █ ██████, ██████ $p^{(m)}(z_{0})=0$ ███ ████ ██████ $m>n$ ███████ $p(z)$ ██ █████████ ██ █████ $█$ . ██████:

p(z)=a_{0}+a_{k}(z-z_{0})^{k}+R(z),

████ $R(z)=o((z-z_{0})^{k})$ ███ $z\to z_{0}$ .

███ ████ $\varepsilon >0$ ████████ █████████ $z\in \mathbb {C}$ ██████████ ██ $\varepsilon$ ██ ████ ███ $a_{k}(z-z_{0})^{k}=-\varepsilon a_{0}$ . ██ $a_{0}\neq 0$ , ██ ███████████ $z_{\varepsilon }\neq z_{0}$ █ ██████ $\varepsilon \to 0^{+}$ ██████ $z_{\varepsilon }\to z_{0}$ . ███████ █████ ███ $p(z_{\varepsilon })=(1-\varepsilon )a_{0}+R(z_{\varepsilon })$ , ███ $\varepsilon$ ████████████████ ███████ ██████

|R(z_{\varepsilon })|=|o((z-z_{0})_{\varepsilon a_{0}/a_{k}})|<{\tfrac {1}{2}}\varepsilon |a_{0}|.

████████, ██ █████ █████ ██████████████ ███████████, ████: $|p(z_{\varepsilon })|\leq |(1-\varepsilon )a_{0}|+|R(z_{\varepsilon })|<(1-{\tfrac {1}{2}}\varepsilon )|a_{0}|<|a_{0}|=|p(z_{0})|,$

█████ ██ █ ███████ ██ ███████, ██ ██████ $z_{0}$ █ ██ █████ ██ ██████ ████████. ██████ $a_{0}=p(z_{0})=0$ █ ██ ██████ ███'█████████.

█████████████ ██████ ████'███████ █████████

███ $p(z)$ ██ █████████ █████████ ██ █████ ████████ █ ██████ █ █, ████ ███ $p(z)\neq 0$ ███ ████ $█$ █████████. ██████ ██ ████████

f(z)={\frac {1}{p(z)}}

█ ███ ████████ ██████, ████ █ ███ ████████ ████████ ██ █████ $\mathbb {C}$ . █'█████ █████

\lim _{|z|\to +\infty }|p(z)|=+\infty

███████

\lim _{|z|\to +\infty }|f(z)|=0

█ ██████ ██ ████████ $f(z)$ █ ████████. ███ ██ ███████ ██ █████████ $f(z)$ █ ████████, ██ ███ █████ ███ █████ $p(z)$ █ ████████.

██████ ███ █████ ████████ █████ ████ ████ █ ████████ ████████.

█████████████ ██████████

████████████ ██ █████████ █ ████████████ █████████ ███ ████████

P(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\ldots +a_{1}z+a_{0}.

██ █████ ██████████ ███ ██████ ██ █████ $\alpha$ ████ ███ $P(\alpha )=0$ . █ ████ █████ ████████ ███████████ ██ ████ ██ ███ $a_{n}=1$ .

██████████ ███ ███████ ███ $█$ ███ ███████ ██████, ████ ███ █'███████ ███ ███ █████ ███ ████████. ████████████ ███ █████ █████████ ██ █████████████ ██ ██████ █'███████ █ ██████ $█$ ██████████████ ██

\gamma _{r}(t)=re^{it}.

██ █████████ $█$ ███████████ ███ ████████ ████████ ███ █████ █████████ ██ ██ ██████ █ ████ ████ ███████ ██ █████████████ $\gamma _{r}$ ██ ███ █████ █████ ██████████████ $P(\gamma _{r})$ . ██ █████ ████ ████████ ███ ███████ ███ █'███████ ███ ███████ ███ ███████ ███████ ███ █ ███ █ ████'████████ ██ $█$ , █ ██████ █████████ ███ ██ ██████ $█$ . ██████ ████████ ███████████ █'██████ ██ ████████████ ██ $P(\gamma _{r})$ ████████ ███'███████ $I(P(\gamma _{r}),0)$ .

███████

\Phi (r)=I(P(\gamma _{r}),0).

██████ █'██████ ██ ████████████ ███ █████ ███ ████████████ █████ █████ ████ ███ ██████ ███ ██████ ███ █'███████ (█ ██ ██████████ █████████) ██ ████████ $\Phi (r)$ ████ ████████ █ ██████ █'██████ ██████ ████ ██████ ██████ █████ █████ ██████ ███ ████████ ████████.

███ ████████████ ██ ██████ ██ $\Phi (r)$ ███ ███ ██████████ ██████ ██ $█$ :

███ $r=0$ ██ █████ $\gamma _{r}$ █ ██████████ ██ ██ █████ █████ (█'███████) █ ██ ███ ████████ ████ ██████ ████'████ ██ █████ █████ ███ ███ ███ ██████ █'███████. ██ ██████ ████ █████████████ ██ ██ ███ $I(P(\gamma _{0}),0)=\Phi (0)=0$ .
███ $█$ ██████████ ██████ ████████ ██ █████
$r>1,\quad r>|a_{n-1}|+\ldots +|a_{0}|$

███████ ███ ██ █████

P(\gamma _{r})

███ ██████ █████████ ███ ██████████ █████ █████

\gamma _{r}^{n}

████████ ██

t\mapsto r^{n}e^{int}

████████ ██

\gamma _{r}

████████ ██ ████████ ███████████

z^{n}

. ██████ █'██████ ██ ██████ █████ ████████ ███'███████ █

█

█ ███ █'██████████ █████████ ████████ ███████ ███

\Phi (r)=n

███ ██████████ ██████ ██████████ ███ ██████

█

██ █████ █████ █████████████

|z|=r

████ ██ ████████ ██████ ██ ██████████████:

|P(z)-z^{n}|=|a_{n-1}z^{n-1}+\ldots +a_{1}z+a_{0}|

\leq |a_{n-1}||z|^{n-1}+\ldots +|a_{1}||z|+|a_{0}|

=|a_{n-1}|r^{n-1}+\ldots +|a_{1}|r+|a_{0}|

<r^{n-1}(|a_{n-1}|+\ldots +|a_{1}|+|a_{0}|)

<r^{n-1}\cdot r=r^{n}=|z^{n}|.

██████ █████████ ███ ████████ ███

█

██ █████ █████ █████████████ ██ ██████

█

██ ████████ ███ ██████ ██ █████

P(z)

█████ █████ ████████ ███ █████

z^{n}

█ ██████ ██ ██████ ███ ██████ ██ █████

z^{n}

████'███████, ██████ ██ ████████ ███ █████████

P(z)

█

z^{n}

███ █████ █'███████ ███ ████

█

██

\gamma _{r}

█ ██████ ████████ ██ ████████ ███ ████████████ ████████ ██

P(\gamma _{r})

██

\gamma _{r}^{n}

███ ███ ██████ ███████ ██ █████ ███ █'███████.

██ █████ ███ $\Phi (r)$ ██████ ██████ ██████████ ███ ██████████ █████ ███████████ ██ █████ ███ ████ ██████ ███ ████████ ████████, █ █████ ██████ ██████ █ ██ ███████ ██ ███ ███████████ ███ █'███████ ███ $█$ ███ ██████ ███████ ██████ █ ███████████.

█████ ██████████████ ██████

██ ████ ███ ██ █████ █████████ $\mathbb {C}$ █ ██ █████ ██████████████ ██████ ███ ████████ ██ █████ ███ ████ █████████ ██ █████ ████████ █ ██████ █ █, █ ████████████ █████████, ██ ██████ ███ ██████ ██ $\mathbb {C}$ , ████ ██████████ ██ ███████ ███ ███████. ████ █████████ ███ █ █████████ ███ ██████████ $\mathbb {Q}$ █ $\mathbb {R}$ ████ ██ ███ ██████ ██████ ████████████ █ ████████

x^{2}-2

███ ███ ██ ██████ ███ █████ $\mathbb {Q}$ ███ █████████, █