████████ de █████ (████████)

En ████████, le ████████ de █████ █████ le ████ d'un █████ de ████████ ███████ d'une ███████ ██████ aux ███████ à l'███████ du █████ (███████ ███████████ pour le █████ ██████████, ██████ pour le █████ ██████████████, ███.). Un ██████████ ███████ du ████████ est que les ███████ ███████████ à la ███████ ne ███████████ pas au ████.

Ce ████████, qui est en ████ une ███████████ du ████████ de la ██████████, a ███ ████████ ██████████████ par ████ █████████ █████ en ████ (pour la ███████████ et dans un ███ ███████████ ███████████), par ██████ █████ ███████ en ████ (pour l'██████████), par ███████ ████████████ en ████ (pour les ████ de ███████ mais avec une █████████████ ████████), par ██████ █████ en ████ (pour des ███ ████████████) et par ██████-████████ ██████ en ████ (pour les █████ █████████).

████████ de █████ en ███████████████

██████

Le ████ du █████ ██████████ ${\vec {E}}$ ███████ d'une ███████ ██████ $S$ est █████████████ à la ██████ ██████████ ██████ $Q_{\text{int}}$ ████████ dans le ██████ $█$ ████████ par cette ███████. La █████████ de ████████████████ est $1/\varepsilon _{0}$ , où $\varepsilon _{0}$ est la ████████████ ████████████ du ████.

\,\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}={\frac {Q_{\mathrm {int} }}{\varepsilon _{0}}}

█████████████

Le █████ ██████████ ${\vec {E}}$ ███████ l'████████ de ███████-█████

\,\operatorname {div} {\vec {E}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}

où $\rho$ ███████ la ███████ █████████ de ██████. L'█████████ sur $█$ de cette ████████ █████

\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\operatorname {div} {\vec {E}}\;\mathrm {d} V={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\rho \,\mathrm {d} V\equiv {\frac {Q_{\mathrm {int} }}{\varepsilon _{0}}}

où $Q_{\mathrm {int} }$ est la ██████ ██████ à l'█████████ du ██████ $█$ . Le ████████ de la ██████████

\,\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\operatorname {div} {\vec {E}}\;\mathrm {d} V

nous ██████ ██████████ d'██████

\,\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}={\frac {Q_{\mathrm {int} }}{\varepsilon _{0}}}

███████████

███████ ████████

Il est ████████ ████████ de ████████ le █████ ██████████ ██████ par une ████████████ de ██████ en █████████ la ███ de ███████ sur l'██████. Cette ███████ █████ ███████ ████████████, le ████████ de █████ nous ██████ de ██████████ ce ██████ dans les ███ où la ███████████ de ██████ ███████ des █████████ ██████████ de ███████ une ███████ de █████ ███████.

La ███████ ████████ pour ███████ le █████ ██████████ ${\vec {E}}$ en un █████ ${\vec {r}}$ de l'██████ peut ████ ███████ █████ ████.

███████ l'███████████ du █████ █ → au █████ █ → par des ██████████████ de ████████. ███████ une ███████ de █████ █ ███████ par le █████ █ → , █████ les █████ █████████ que la ████████████ de ███████ █ , ██████████ d'████████ ██████████ le ████ de █ , ne se ███████████ pas à une ████████████ ██████████ ou ████████ de ███████ (ce qui n'est pas ████████). ████████ le ████ de █ à ███████ █ . ████████ la ██████ █ █ n t ████████ dans █ . █████████ le ████████ de █████.

Un ███ ██████ ou le ████████ de █████ ██████ de █████████ ce ██████ est la █████ ████████████ ███████.

███████ de la █████ ████████████ ███████

On █████████ une █████ ████████████ ███████ de █████ $█$ et de ██████ ██████ $█$ . On peut la ███████████ par une ████████████ de ██████

\rho ({\vec {r}})={\begin{cases}\rho _{0}&{\text{ si }}|{\vec {r}}|<R\\0&{\text{ sinon}}\end{cases}}\quad

, avec

\quad Q=V_{\text{boule}}\rho _{0}={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\rho _{0}

En ███████████ ██████████, ${\vec {r}}=(r,\theta ,\phi )$ , on ████████ que le ███████ est █████████ par ████████ d'█████ $\theta ,\phi$ ███████████, on a ████ une ████████ █████████. Le █████ ██████████ ${\vec {E}}$ ██████ par cette ████████████ de ███████ ne ████████ ████ que de la ████████ au ██████ de la ██████ $█$ ████ ${\vec {E}}({\vec {r}})={\vec {E}}(r)$ . D'█████ ████, pour ██████ █████ de l'██████, ██████ les ██████ de la ██████ ███████ par ce █████ et le ██████ de ██████ sont ████████████ ████ le █████ en ce █████ est ██████. █████ on a ${\vec {E}}({\vec {r}})=E(r)\cdot {\vec {e}}_{r}$ . Cette ████████ nous ██████ à ███████ pour ███████ de █████ $\Sigma$ la ██████ de █████ $█$ .

En ██████████ le ████████ de █████ à la ███████ $\Sigma$ , on ███████

{\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\rho \,{\text{d}}V=\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{\Sigma }{\vec {E}}\cdot {\text{d}}{\vec {S}}=E(r)\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{\Sigma }{\vec {e}}_{r}\cdot {\text{d}}{\vec {S}}=4\pi r^{2}E(r)

On a █████ ████ ███ de ██████ :

\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\rho \,{\text{d}}V={\begin{cases}{\frac {4}{3}}\pi r^{3}\rho _{0}&{\text{ si }}r<R\\{\frac {4}{3}}\pi R^{3}\rho _{0}&{\text{ si }}r>R\end{cases}}

███████ ██████████ une █████ pour le █████ ██████████

E(r)={\frac {\rho _{0}}{3\varepsilon _{0}}}\times {\begin{cases}r&{\text{ si }}r<R\\R^{3}/r^{2}&{\text{ si }}r>R\end{cases}}

Dans ce ███, on ████ que la ████████ de la ████████████ de ██████ ██████ d'████████ ██████████ l'█████████ sur le █████ ${\vec {E}}$ .

████████ de █████ en ███████████

██████

Le ████ du █████ ██████████████ ${\vec {\mathcal {G}}}$ ███████ d'une ███████ ██████ $S$ est █████████████ à la █████ ██████ $M_{\text{int}}$ ████████ dans le ██████ $█$ ████████ par cette ███████. La █████████ de ████████████████ est $-4\pi G$ , où $█$ est la █████████ de ███████████.

\,\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}{\vec {\mathcal {G}}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}=-4\pi G\,M_{\text{int}}

█████████████ ███████

Le █████ ██████████████ ${\vec {\mathcal {G}}}$ ███████ l'████████ ██████

\operatorname {div} {\vec {\mathcal {G}}}=-4\pi G\rho _{\mathrm {m} }

où $\rho _{\mathrm {m} }$ ███████ la █████ █████████. L'█████████ sur $█$ de cette ████████ █████

\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\operatorname {div} {\vec {\mathcal {G}}}\;\mathrm {d} V=-4\pi G\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\rho _{\mathrm {m} }\,\mathrm {d} V\equiv -4\pi G\,M_{\mathrm {int} }

où $M_{\mathrm {int} }$ est la █████ ██████ à l'█████████ du ██████ $█$ . Le ████████ de la ██████████

\,\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}{\vec {\mathcal {G}}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\operatorname {div} {\vec {\mathcal {G}}}\;\mathrm {d} V

nous ██████ ██████████ d'██████

\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}{\vec {\mathcal {G}}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}=-4\pi G\,M_{\text{int}}

█████████████ par ████████

Les █████████ ███████ pour le █████ ██████████, $\,\operatorname {div} {\vec {E}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$ et pour le █████ ██████████████ $\,\operatorname {div} {\vec {\mathcal {G}}}=-4\pi G\rho _{\mathrm {m} }$ ███████ ██████████████ ████ ████████ de la █████ de ███████ $\,{\vec {F}}_{\mathrm {C} }={\frac {q_{1}q_{2}{\vec {r}}_{12}}{4\pi \varepsilon _{0}|{\vec {r}}_{12}|^{3}}}\,$ et de la █████ de ███████████ $\,{\vec {F}}_{\mathrm {g} }=-G{\frac {m_{1}m_{2}{\vec {r}}_{12}}{|{\vec {r}}_{12}|^{3}}}\,$ qui ont la ████ █████ █████████████.

Par ████████, on ████████ :

Le █████ ██████████████ ${\vec {\mathcal {G}}}$ au █████ ██████████ ${\vec {E}}$ ,
La █████ $m$ à la ██████ ██████████ $█$ ,
La █████████ ████████████████ ████████ $-G$ à la █████████ de ███████ $k=1/4\pi \varepsilon _{0}$ .

On ███████ █████ à ██████ du ████████ de █████ en ███████████████, le ████████ de █████ en ███████████

\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}{\vec {\mathcal {G}}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}=-4\pi G\,M_{\text{int}}

On ██████████ l'██████████ du █████ $-$ qui ████████ du ████ que la █████ de ███████████ est ████████ ██████████ (la █████ █████ ████████ ████████) █████ que la █████ de ███████ peut ████ ██████████ ou █████████ en ████████ du █████ des ███████.

████████ d'███████████

███████ à l'█████████ de la █████

La █████ ███████ ████ ██████████ █████ à ████████ █████████ (en ████████ █████████████), le █████ de ███████ ${\vec {g}}$ est ███████ ██████ vers le ██████ █ de la █████, et son ██████ $█$ (la ███████) ne ██████ que de la ████████ ███████ $█$ (████████ à █). Le ████████ de █████ ████████ à la ██████ de ██████ █ et de █████ $█$ s'█████ $-4\pi r^{2}g=-4\pi G\,M_{\mathrm {int} }$ où $M_{\mathrm {int} }$ ███████ la █████ ████████ à l'█████████ de la ██████, ████ :

g=G{\frac {M_{\mathrm {int} }}{r^{2}}}

Si l'on se █████ à l'█████████ de la █████ ( $r>R\,$ où $█$ ███████ le █████ █████████), $M_{\mathrm {int} }$ n'est █████ que la █████ █████████ $M$ (la █████ d'███ ████████ entre les █████████ $█$ et $█$ est ███████████) :

g={\frac {GM}{r^{2}}}

La ███████ à l'█████████ de la █████ est ████ la ████ que si █████ la █████ de la █████ █████ ██████████ au █████ █.

Si l'on ███████ par $g_{0}$ la ███████ à la ███████ de la █████ ( $g_{0}=GM/R^{2}$ ), la ███████ à l'█████████ de la █████ s'█████ :

g=g_{0}\left({\frac {R}{r}}\right)^{\!2}

À l'████████ $█$ on a $\,r=R+z=R\left(1+{\frac {z}{R}}\right)$ , la ███████ ████ ████ :

g=g_{0}\left(1+{\frac {z}{R}}\right)^{\!-2}

Si l'████████ est ██████ (████████ au █████ █████████), on peut █████████ l'██████████ ██-██████ par un █████████████ ██████ au ███████ █████ :

g\approx g_{0}\left(1-2{\frac {z}{R}}\right)

$R\approx$ █ ███ ██. Pour $z=$ █ ██, $2{\frac {z}{R}}\approx$ █,█████, la ███████ ███████ ████ d'███████ █,██ % par █████████ d'████████.

███████ à l'█████████ de la █████

█████ dans la ███████ ██████████, le █████ de ███████ ${\vec {g}}$ est ███████ ██████ vers le ██████ █ de la █████, son ██████ $█$ ne ██████ que de la ████████ ███████ $█$ , et le ████████ de █████ ████████ à la ██████ de ██████ █ et de █████ $█$ █████ $\,g=G\,M_{\mathrm {int} }/r^{2}\,$ où $M_{\mathrm {int} }$ ███████ la █████ ████████ à l'█████████ de la ██████.

█████ $█$ est █████████ au █████ █████████ $█$ , la █████ $M_{\mathrm {int} }$ ██████ de $█$ . Si l'on ███████ dans un ███████ █████ que la █████ █████████ $\rho$ de la █████ est ████████, $M_{\mathrm {int} }(r)={\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}\rho \,$ ████ :

g={\frac {4}{3}}\pi \,G\rho \,r

La ███████ en ███████ █████ █████ à $g_{0}={\tfrac {4}{3}}\pi \,G\rho \,R$ , la ███████ à l'█████████ de la █████ peut s'██████ :

g=g_{0}{\frac {r}{R}}

En ███████, la █████ █████████ des █████████ ██████████ est une ████████ $\rho (r)$ ████████████, en ██████ en ██████ de leur ███████████ ████████ (le ███ du █████ est plus █████ que les █████████ du ███████) et en ██████ █████ qu'ils sont d'██████ plus █████████ qu'ils sont ████████ (la ████████ ████████ avec la ██████████, elle est ████████ au ██████ de la █████). █████ $\,M_{\mathrm {int} }(r)=\int _{0}^{r}\!4\pi \,r_{1}^{2}\,\rho (r_{1})\,\mathrm {d} r_{1}$ ████ :

g={\frac {4\pi \,G}{r^{2}}}\int _{0}^{r}\!r_{1}^{2}\,\rho (r_{1})\,\mathrm {d} r_{1}

████████ de la █████ ██████

Les ████████ de la █████ ██████ █████████ qu'il y a dans la █████ une ██████ ██████ ████████, █████████ (de ████ ██████ █ que la █████ elle-████), et que d'█████████ █████████ de la ███████ (███████) de cette ██████ ███████████ ██████ avec la ████ vers █ et les █████ au ███, █████████ par une ███████ ███████ vers le sous-███. Le ████████ de █████ ██████ ██████████ qu'en ████ la ███████ ██████ █████, que ████ l'█████████ de la ██████ ████████ ██████ en ██████████ : en ███████ █████ ███████ de █████ une ██████ de ██████ █ et de █████ █ █████████ ou ████ au █████ de la ██████, la ████ ███████ que ████████████, $g=G\,M_{\mathrm {int} }/r^{2}$ , █████ $\,g=0\,$ ██████'il n'y a ██████ █████ à l'█████████ de la ██████.

Dans le █████ de ██████████ d'█████ ████ █████████, il y a en plus un ██████ ████ au ██████ █. Le ████████ de █████ ██████ de ████ que la ███████ █████████ par des █████████ de la ███████ de la ██████ ne ██████ pas ███████ vers le sous-███ mais vers le ██████ ████.

██████████ de ███████

La ██████████ de ███████ est l'une des ███████████ █████████ à l'████████████ de la █████████ ███████ du ██████ ███████████ de la █████ pour ███████ une ██████ █████████ et la ████████ à la ██████ ███████ (la ██████████ entre █████-██ et █████-là est l'████████ de ███████). La ██████████ de ███████ est la █████████ ███ à la ████████ de ██████ entre le ██████ de la ███ et le █████ de ██████, d'████████ █.

Les ██████ sont █████████ ██████████ à une ██████ d'█████████ █ (un ███████) ██████████ une ██████████ de █████ █████████ $\Delta \rho$ par ███████ à l'███ qui ███████ ████ ███████ entre les █████████ █ et █ █████ le ██████ ███████████ (les █████████ de la ███████████ sont ████ en ██████ dans une █████ des ███████████ ███████████ dans le ██████ de l'████████ de ███████). L'███████ de la ██████ █████ ████████ ████ ██████ par ███████ à █, la ██████████ de ███████ $\Delta g_{\mathrm {p} }$ est █████████ à la █████████ (le ██████ du █████ de █████████ $\Delta {\vec {g}}_{\mathrm {p} }$ ) █████ par une ██████ ███████████ d'█████████ █, de █████ █████████ $\Delta \rho$ et d'█████████ ███████████ ███████ dans les ████ ██████████. La ████████ de cette ██████ ████████ que le █████ de █████████ qu'elle ████ ████ ███████████████ au ████ █████████ de la ██████, de ████ ██████ $\Delta g_{\mathrm {p} }$ en ████ les ██████ de ses ████ █████, et de ████ █████████ sur ces ████ █████ (██████ vers le ███ sur la ████ du ████, vers le ████ sur la ████ du ███).

On ███████ █████ ███████ de █████ une ███████ de ████████ de ███████ S, de ████████████ ████████████████ au ████ █████████, et avec l'une de ses ████ █████ █████ au-██████ de la ████ ██████████ de la ██████ et l'█████ █████ au-███████ de la ████ ██████████. Le ████ de $\Delta {\vec {g}}_{\mathrm {p} }$ ███████ de cette ███████ ██████ se ███████ du ████ ███████ par les ██████ █████████ (███ ███████ $\Delta {\vec {g}}_{\mathrm {p} }$ y est █████████ à la ███████), du ████ ███████ par la ████ du ████ ( $-S\,\Delta g_{\mathrm {p} }$ ) et du ████ ███████ par la ████ du ███ (████ au █████████), le ████ █████ est ████ $-2S\,\Delta g_{\mathrm {p} }$ . La █████ ████████ à l'█████████ de la ███████ de █████ est █████ au ███████ de la █████ █████████ $\Delta \rho$ par le ██████ de ██████ ███████ à l'█████████, c'est-à-████ $S\,h$ . Le ████████ de █████ s'█████ ████ $-2S\,\Delta g_{\mathrm {p} }=-4\pi G\,\Delta \rho \,S\,h$ , d'où :

\Delta g_{\mathrm {p} }=2\pi G\,\Delta \rho \,h

La █████ █████████ de l'███ █████ ███████████ ██████ █████ des ██████, on peut █████████ $\Delta \rho$ par $\rho$ , la █████ █████████ de ces ██████.

████ █████

███ de ███████
█████████ de ███████
███████ de █████
████████ d'██████
███ de ████-███████
████████ de la ██████████
████████ de ██████

█████ ████████

███████ dans des █████████████ ou █████████████ ████████████ :
- ██████████
- ███ █████ ██████ ███████████
- ███████████ ████████████ ███
- ████████████████████

███████ de la ████████
███████ de l’███████████ et de l’████████████