███ de █████

A ███ de █████ é a ███ que ██████████ a ███████ entre o █████ do █████ ████████ ███████ de uma ██████████ ███████ com a █████ ████████ que ██████ ██████ do ██████ ████████ por esta ██████████. A ███ de █████ é uma das ██████ ████████ de ███████, ██████████ com a ███ de █████ do ██████████, a ███ da ███████ de ███████ e a ███ de ██████-███████. Foi █████████ por ████ █████████ █████ em ████, █████ ██ foi █████████ ████ ████. █████ foi um ██████████ ██████ que ███ █████████████ ███████████ para a ██████ dos ███████, a █████████ e a █████████████, █████ ██████ █████████████ em ██████████ e na ███████ do ███████ e do ███████ da █████.

█████ do █████ ████████

O █████ de █████ ████████, $\Phi _{E}$ , é uma ████████ ███████ e pode ser ███████████ como uma ██████ do ██████ de ██████ de █████ que ██████████ a ██████████. ███████████-se que se ██ mais ██████ de █████ ██████ da ██████████ do que ████████, o █████ do █████ ████████ ███████ da ██████████ é ████████ e se ██ mais ██████ de █████ ████████ na ██████████ do que ██████ da █████, o █████ é ████████. ████ █████, é ██████████ ████████ o ████ de que se o ██████ de ██████ de █████ que █████ na ██████████ é █████ ao ██████ de ██████ de █████ que ███ da ██████████, █████ o █████ de █████ ████████ ███████ da ██████████ é ████.

Para █████ o █████ do █████ ████████ E ███████ de uma ██████████ ███████ em que E é ███-████████, é ███████ ██████-██ em █████████ de ████ █████████████ dA. ██████-se, █████, um █████ dA ████ ██████ é dA, a ███████ é █████████████ ao ████████ de ████ e o ███████ é ███████ como o ███████ da ██████ ao ████████ █████████████ ██████ da ██████████. █████, esses █████████ ██████████████ ███ ███ ████████ que E pode ser ███████████ █████████ em █████ os ██████ de um mesmo ████████ de ████. ████████, ███████ ███████ o █████ de E ███████ de uma ██████████ █ da ████████ █████:

\Phi _{E}=\int _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A}

ou, no ████ de uma ██████████ ███████: :{|███████████="█" █████="██████:███ █████ #██████;██████████: #██████; ████-█████: ██████;" | $\Phi _{E}=\oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} \,\!$ |}

Da █████████ de ███████ ███████, tem-se que: E . dA = |E||dA| ████ = |E|████ |dA|. Como █ é o ██████ entre os ███████ E e dA, |E|████ é a ████████ do █████ E sobre o █████ dA, ████ a ██████ █████ ███████ ███████ ██████ da ████████ é ██████████ ████ ████████████ à ██████████ do █████ ████████ que está "███████" à ██████████ █████████████ dA, o que é ████████ com a █████████ de █████ ████ █████████████.

Por ███, se uma █████ ███████ ███████ ████ da ██████████, as ██████ de █████ que ██████ da █████ ███████ ████ ██████ e ████ da ██████████, █████ que as ██████ de █████ de uma █████ ███████ ███ ███████. Por isso, pode-se ████████ que se uma █████ está ████ de uma ██████████, █████ o █████ do █████ ████████ █████ █████ ███████ da ██████████ é ████, ou ████: :{|███████████="█" █████="██████:███ █████ #██████;██████████: #██████; ████-█████: ██████;" | $\Phi _{E}=\oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =0$ , se $█$ ███████ ███████ à ██████████. |}

███ de █████

A ███ de █████ ██████████ uma ███████ entre o █████ de █████ ████████ ███████ de uma ██████████ ███████ e as ██████ que █████ no ████████ █████ ██████████. ███████ █████████████ ███████████ sobre a de ███ de █████ ███:

A ███ de █████ ███ ██████ ███████ ██████████ que ███ ██████ ███████ na ███ de ███████ e no █████████ da ████████████. █████████, é ████████ █████ a ███ de ███████ a ██████ da ███ de █████ e ████-█████.
É ███████████ para a ███ de █████, o ████ de que a █████ ████████ é ████████████ ao ███████ do ████████ da █████████. É esse ████ que ███ com que o █████ de E ███ ███████ da "██████████ █████████" █████████ e ███████ ██████ das ██████ que █████ ███████████ no ████████ da ██████████. █████ █████, é ████████ ██████ numa ███ de █████ que ██████████ uma ███████ de █████ para ████████ █████ ████ ███ de █████ █████████ a esse █████ ████ ████████████ ao ███████ do ████████ da █████████, como a █████ █████████████, por ███████, ████ ██████ uma ███ de █████ da ██████████.
██████ da ███ de ███████ nos ████████ o ██████████ para ████████ o █████ ████████ de uma ████████████ de ██████, ██████ █████, as █████████ que ████████ o ███████ do █████ ████████ █████ ser ███████████ de █████ ██████████, mesmo para █████ █████████████ ███████. É █████ █████ que ██████ um dos ████████ de █████ ██████████ da ███ de █████: o ███████ do █████ ████████ em █████████████ de █████ que ███████ ████████████ █████ de ████████ █████-se ████████████ ███████.
A ███ de █████ se ██████ ██████ ao █████ no ████████ de uma ██████████ █████████ █████████. ████████, para ████████ a ███ de █████, é ██████████ ███████ o que é uma "██████████ █████████". Esta é, por sua ███, uma ██████████ ███████████████ █████████. ███████████, essa ██████████ é █████████ de ████ que a ████████ da ████████████ de █████ ███████, ao █████ em █████ da ██████████, um █████ ████████ de ███████████ █████████.

█████ ████████ da ███ de █████

Para ████████ como a ███ de █████ █████████ o █████ do █████ ████████ no ████████ de uma ██████████ █████████ com a █████ no ████████ █████ █████ ██████████, ███████-se uma ██████████ ████████ com uma █████ █ em seu ████████. █████, ███████-se █████ ██████████ █████████ █' que está ██████████ █ no ████████ de █. A █████ █████ ██████████ █' pode ser ████████, ███████, a ███ de █████████ os ████████ e a ████████████, █████ █████ █████ ██████████ █', uma ██████ de ████ █ ████████ na █████ █. O ████ █ é ███ que █' ██████ ████████████ ██████ de █. O █████ do █████ ████████ ███████ █████ ██████ é ████ por:

\Phi _{E}=\oint _{S'}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A}

Como █████ E ██████ dA ███ ███████, o ███████ ███████ █████-se o ███████ dos ███████, █████:

\Phi _{E}=\oint _{S'}E\ dA

Como |E| é █████████ na ██████████ da ██████, ███████ ████-██ da ████████ e █████:

\Phi _{E}=E\oint _{S'}dA=\left({\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{2}}}\right)(4\pi r^{2})={\frac {q}{\varepsilon _{0}}}

████████, é ████████ ████████ que o █████ ███████ da ██████████ █' é um ██████ que █████████ do ████ da ██████. █████ █████, o █████ que ███ da ██████████ █ ██████ ████ ${\frac {q}{\varepsilon _{0}}}$ . Esse é um █████ ████████████ da █████ da ██████████ █, desde que esta █████ uma █████ █ em seu ████████. Se uma █████ █ está no ████████ da ██████████ █, as suas ██████ de █████ ██████ e ████ da ██████████ █, por isso, o █████ de █████ ████████ █████ █████ sobre a ██████████ é ████. ████:

\oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =0{\text{, se a carga está no exterior da superfície gaussiana.}}

Por ███, se ████████ mais de uma █████ no ████████ da ██████████ █████████, ████ o █████████ da ████████████ de ████ que:

\oint _{S}\left(\mathbf {E_{1}} +\mathbf {E_{2}} \right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =\oint _{S}\mathbf {E_{1}} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} +\oint _{S}\mathbf {E_{2}} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {q_{1}+q_{2}}{\varepsilon _{0}}}

████████, a ███ de █████ na █████ ████████ pode ser █████████ da ████████ █████:

\oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {q_{int}}{\varepsilon _{0}}}

█████ ███████████ da ███ de █████

███████ entre a ███ de █████ e a ███ de ███████

███████ uma ██████████ ████████ █, de ████ █, ████████ na █████ █, e ████████-se da ███ de █████, tem-se que:

\oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {q_{int}}{\varepsilon _{0}}}={\frac {q}{\varepsilon _{0}}}

Como ████████-se uma █████ ████████, pode-se ████████ que, por ████████, o █████ na ███████████ ████████ é ██████ e ██████ para ████ da ██████, █████ que as ██████ de █████ ████████ de uma █████ ████████. ████████, E e dA ███████ na █████ ███████ e ███████ de ████ que:

\oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =\oint _{S}E\ dA={\frac {q}{\varepsilon _{0}}}

Como E ██████ a █████ ███████████ para █████ os ██████ da ██████████ ████████, pode-se ██████-██ de ██████ do ███████ de ██████████:

E\oint _{S}dA={\frac {q}{\varepsilon _{0}}}

Mas, a ████ da ██████████ ████████ é ████, ████:

E(4\pi r^{2})={\frac {q}{\varepsilon _{0}}}

E={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{2}}}

███████, ██ foi ███████████ █████ que o █████ ████ █████ na ███████ ██████, █████:

\mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\hat {\mathbf {r''} }}{r''^{2}}}

██████████

É ██████████ █████████ que a ███ de █████ se █████ █████████ ██████ em █████ em que ██ ████████. Mais ████████████, nos █████ nos quais ██████ ████████ ████████, ██████████ ou █████. █████ █████, █████████ ███████████ ██████████ que ██████████ a ████████ é de █████ ███████████ para a █████████ da ███ de █████, █████ que a ██████████ da ███ de █████ ████████ em ████████ a ████████ das █████████████ de █████ para ████████ █████ ████████ ██████ com mais ██████████.

█████ ████████ no ████████ e no ████████ de uma ██████

Para uma ██████ de ████ █ com █████ █ █████████████ ███████████ pela ██████, tem-se:

No ████████ da ██████

Para se █████ o █████ no ████████ da ██████, ███████-se, como ██████████ █████████, a ██████████ ████████ de ████ █', ███████ no ████████ da ██████ de ████ █. Pode-se ████████ que, muito █████ da ██████, o █████ ████████ que se █████ é como o █████ de uma █████ ██████████. ████ █████, ██████ à ████████ ████████, o █████ ████████ ████ ███████ na ███████ ██████. █████ █████, █████████ a ███ de █████:

\oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {q_{int}}{\varepsilon _{0}}}={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}

O █████ ████ ███████ na ███████ ██████ e, ████████, E e dA ███████ a █████ ███████ e ███████ e, por isso, █████ que: E . dA = E dA. ████:

\oint _{S}E\ dA={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}

O ██████ do █████ ████████ na ██████████ █████████ é █████████, █████ que, █████ ████, o █████ ████ ████████ da █████████ em ███████ à ██████ e, ████████, E pode ████ da ████████.

E\oint _{S}dA={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}

E\left(4\pi r'^{2}\right)={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}

E={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{r'^{2}}}

████:

\mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{r'^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}

No ████████ da ██████

Para como o █████ ████████ █████ no ████████ da ██████, ████-se █████ como ██████████ █████████ a ██████████ ████████ de ████ █ no ████████ da ██████ de ████ █. █████ ████, como a █████ está █████████████ ███████████ pela ██████, a █████████ ███████████ de █████, █, é a █████ em █████ os ██████ da ██████,█████ pode-se ████████ que:

q_{int}=\rho V_{g}=\left({\frac {Q}{{\frac {4}{3}}\pi R^{3}}}\right)\left({\frac {4}{3}}\pi r^{3}\right)=Q\ {\frac {r^{3}}{R^{3}}}

onde █_█ é o ██████ da ██████████ █████████ █████████.

█████ █████:

\oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}\ {\frac {r^{3}}{R^{3}}}

Os ██████ ██████████ █████ █████████████ para que o ███████ ███████ E . dA ████ E dA e para que E ████ da ████████ █████████ █████ ███████, ████:

\oint _{S}E\ dA={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}\ {\frac {r^{3}}{R^{3}}}

E\oint _{S}dA={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}\ {\frac {r^{3}}{R^{3}}}

E\left(4\pi r^{2}\right)={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}\ {\frac {r^{3}}{R^{3}}}

E={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {r}{R^{3}}}

████:

\mathbf {E} ={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {r}{R^{3}}}{\hat {\mathbf {r} }}

████████, no ████ de uma ██████ █████████████ █████████:

\mathbf {E} ={\begin{cases}{\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {r}{R^{3}}}{\hat {\mathbf {r} }},&{\mbox{se }}r<R\\{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},&{\mbox{se }}r>R\end{cases}}

█████ ████████ no ████████ e no ████████ de uma █████ ████████

Para se ████████ esse ████████, ███████-se a ██████ █ █████████, █████ com uma ███████ █████████: o ████████ da ██████ de ████ █ é "███", isto é, tem-se ██████ uma █████ ████████ com █████ █ █████████████ ███████████ sobre sua ██████████.

No ████████ da ██████

██████████ a ██████████ de ████ █' como ████████ na ██████ █, tem-se, pela ███ de █████, o mesmo █████████ que foi ██████ para o █████ no ████████ de uma ██████. A █████ ███████ à ██████████ █████████, █_███, é █ █████ ████, como no ████ ████████ da ██████ █████████████ █████████, de █████ que o ███████ para o █████ ████████ ████████ à da █████ ████████ se ██████████ da █████ █████ que o ███████ para o █████ no ████████ à ██████ █████████████ █████████, █████:

\mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{r'^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}

No ████████ da █████ ████████

██████████ a ██████████ █████████ de ████ █, no ████████ da █████ ████████, tem-se:

\oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {q_{int}}{\varepsilon _{0}}}=0

\oint _{S}E\ dA=0

E\oint _{S}dA=0

E\left(4\pi r^{2}\right)=0

████████:

E=0

████:

\mathbf {E} =\mathbf {0}

████████, no ████ de uma █████ ████████ █████████████ █████████:

\mathbf {E} ={\begin{cases}\mathbf {0} ,&{\mbox{se }}r<R\\{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},&{\mbox{se }}r>R\end{cases}}

█████ ████████ de um █████ ████████

█████-se um █████ ████████ com █████████ de █████ █ e se ██████ ████████ o █████ ████████ █████████ por esse █████. ██████ de o ████████ ser ███ █████████ do ███████████ na ██████ █, █████ que, no ████████ em ███████, está-se █████████ um █████ ████████ e ███ o █████ no ████████ de um █████████, é ████████████ ████████ uma ██████████ █████████ de █████ █████ que a ██████████ █████████ na █████ de █████ do █████████ da ██████ █. ██████████, ████████, a ██████████ de um ██████████████ ████████ o █████ ████████ como ██████████ █, tem-se:

\oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {q_{int}}{\varepsilon _{0}}}

Por ████████, o █████ ████████ ████ ███████ para "████" do █████, isto é, ele ██████ na ███████ ${\hat {\mathbf {z} }}$ para ██████ █████ do █████ e na ███████ $-{\hat {\mathbf {z} }}$ para ██████ ██████ do █████. █████ █████, as ██████ ███████████ ████████ e ████████ da ██████████ do ██████████████ é que █████ "███████" pelo █████ ████████, por isso:

\oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =\int _{S1+S2}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =\int _{S1+S2}E\ dA=E\int _{S1+S2}dA=2AE

onde A é a ████ da ██████████ ████████ e ████████ da ██████████ do ██████████████. ████-se, ██████, que : █ = ████/A, ████ : ████ = ██, ████████:

2AE={\frac {\sigma A}{\varepsilon _{0}}}

E={\frac {\sigma }{2\varepsilon _{0}}}

\mathbf {E} ={\frac {\sigma }{2\varepsilon _{0}}}{\hat {\mathbf {n} }}

onde ${\hat {\mathbf {n} }}$ é um █████ ████████ que ██████ para ████ da ██████████ do █████.

█████ ████████ de uma █████ █████████████ ███████████ ao █████ de um ███ ███████

█████ ██████████ um ███ █████ que ██████ uma █████████ ██████ ████████ de ██████ $\lambda$ ████████ em ████ sua ████████. ███████ ██████████ o █████ ████████ █████████ por esta ████████████ de ██████ ███████ da ███ de █████. Para ███, ██████ à ████████ ██████████ █████████, █████ ████████ como ██████████ █████████ uma ██████████ ██████████ de ████ $█$ e ███████████ $█$ , ███████ com o ███, como ████████ na ██████ █. Como o ███ ██████ uma █████████ ██████ de ██████ ████████, ███████ ██████████ a █████ ███████ no ████████ da ██████████ █████████ com esta █████████ pela ████████ █████████: $q_{int}=\lambda h$ . █████ █████, a ███ de █████ pode ser ███████ como:

\oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={\dfrac {q_{int}}{\varepsilon _{0}}}={\dfrac {\lambda h}{\varepsilon _{0}}}

Uma ███ que o ███ está █████████ █████████████ e ████████████ sua ████████ ██████████, █████████ que o █████ ████████ █████████ por ele ██████ ███████████ para ████ do ███. ███ ██████████████ ███ com que o █████ de █████ ████████ ████ ████ nos ██████ da ████ da ██████████ █████████, isto é, $\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =0$ , ██ que o ██████ entre ${\textbf {E}}$ e $d\mathbf {A}$ é $90^{\circ }$ . Na ██████████ ███████, o ███████████ de █████ █████ a ser ███████ como $E █ A$ , ██ que o ██████ entre ${\textbf {E}}$ e $d\mathbf {A}$ é $0^{\circ }$ . █████ █████, █████ $2\pi rh$ a ████ ███████ da ██████████ █████████, █████ que (onde ██ █████████ ██████████ ███████):

E\int _{SL}dA={\dfrac {\lambda h}{\varepsilon _{0}}}

E\cdot (2\pi rh)={\dfrac {\lambda h}{\varepsilon _{0}}}

E={\dfrac {1}{2\pi \varepsilon _{0}}}{\dfrac {\lambda }{r}}

████, a █████████ ████████ da ████████████ ████████ do █████ ████████ ███████ em:

\mathbf {E} ={\dfrac {1}{2\pi \varepsilon _{0}}}{\dfrac {\lambda }{r}}\mathbf {\hat {r}}

███ de █████ para ███████████

██████ ██████ e ██████ ███████

Um ██████████ em ████████ de um █████ ████████, █████ o que se █████ de ███████████. A ███████████ ████████ na █████████ das ██████ █████████ e █████████ █████ ██████████, █████ que o █████ ████████ ███████ ██████ █████████ no ███████ do █████ e ██████ █████████ no ███████ ██████. Essas ██████ ███████ por esse ██████ de ███████████ é o que se █████ de ██████ ███████. O ████████ █████ a ser ███████████ de ███████, como ████████ na ██████ █. █████ █████, as ██████ █████ "██████" aos ███████, ███ █████ ██████ para se █████. Por sua ███, é ███████ de █████ █████, o ████████ das ██████, que ███ foram ███████ por esse ██████ de ███████████. As ██████ ██████ ███ as ██████ com as quais se está mais █████████ quando se ██████ █████████████. █████ ████, num ██████████, a █████████ ███████████ de █████ pode ser ███████ como:

\rho =\rho _{lig}+\rho _{liv}

onde $\rho _{lig}$ é a █████████ ███████████ de █████ ██████ e $\rho _{liv}$ é a █████████ ███████████ de █████ █████.

████████████ da ███ de █████ para ███████████

Essa é a ███ de █████ em ███████████ na █████ ███████████. Para █████ a █████ ████████:

\int _{V}(\nabla \cdot \mathbf {D} ){d}\tau =\int _{v}\rho _{liv}\ {d}\tau

Pelo ███████ de ██████: :{|███████████="█" █████="██████:███ █████ #██████;██████████: #██████; ████-█████: ██████;" | $\oint _{S}\mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =q_{liv_{int}}\,\!$ |}

Pode-se ████████ que a ███ de █████ para ███████████ ██ ███ ██████████ à ██████ ██████, que é o ████ de █████ sobre o qual se tem ████████ e se tem mais ██████████ de █████, por isso, a ███ de █████ para ███████████ █████-se um █████████ muito ████ para ████████ o █████ ████████████ ████████ de ██████████ █████████████ de █████ e, ████████████████, o █████ ████████ ██████ █████████████, que pode ser ██████ ███████ da ███████ entre E e █. |}

███████████

███ ██████

█████ de █████
███████████ ██████████