██ █████

██ ██ █████ █ ███ ████████ ██████████, ████████ ███ ██ ███████ █████ $\pi$ (██), ██████ ██ ██████ ████████ ██ ██████████ (██████████), █████████████ ██ █████.

█████ █████████ █████ ██ $\pi$ █████ ████████ ████ ██ ████████ ███ ██ █████████ █████ █████████████ █ ██████ ███ ███ ████████, █ █████ ████ █'████ ██ ██ ███████ ██ ██████ $█$ . █████ █████ ██ ███████ ██████████ ███████ ███████████ ██ $\pi$ ██████ ██ ████████ ███████████████, ██ ███████ ████ ██ ███ ███████ ██████ ████████████ ████████ ███ ███ $\sin(x)=0$ ██████ ██ ███ ███████ ██████ ███ ██████ ███ $█$ ███████ $\cos(x)$ . █████ ██████ ███████████ ████ ███████████.

██ $\pi$ █ ██████████ █████ ████ ████████ ██ █████████ (██ ███ ██████████ ███ ██ ██████ ██ █████████) █ ████████ ██ ███████ █ ██████ ██ ███████. ██ $\pi$ ███ █ ███ ████████ ██████ █ ████████, ██ ███ ████████ ██████████ ████████ ██ ████ ████████, ████████████ ██ ██████ ██ █████████ ██████.

█████████

██ $\pi$ █ ██ ██████ ███████████, ██████ ███ ███ ██████ ███████ ████ █████████ ██ ███ ██████ ██████, ████ ██████████ ███ ████ ██ ██████ ████████ ███████. ██ ███████████, ██ ███ ████████████████ ██ █████████ ███████ ██ ███████████ █ ██████████ █ ███ ████████ ████████ ██████████; ██ ███████ ██ ██████ ███ $\pi$ ████████ ████ ████ █████ ████████:

█,█████ █████ █████ █████ █████ █████ █████ █████ █████ █████ █████ █████ █████ █████ █████ █████ █████ █████ █████ █████

█ ███████ ██ ██████ ████████████ (██████ ███ █ ██ ██████ █████████): ██████ █████ █ █████ ███████ ██ █████████ ███ █████████ ███ ████. ███ █████████ ███ ███ ██ ████ ████████ ███ ████████████ █████████ ██ ███ $\pi$ █ ██████, ██████ █ ███████████ █████████ ██ $\pi$ ██████ ██ ██████ ██████ ██ ██████ ██████, ██ ████████ █ ██ ████ ██████.

██████ █████████ ██████████ █'█████████████ █████ ██████████ ███ ███████, ████ ██ ███████████ ███ ████ █ ████████ ██ ██ ████████ █████ ██████ ████ ██ ██ ████ ███████.

████████████

█████████ █████████

█████████████ ██ ██ ███████ █ ██ ███ █████ ██ ██████ $█$ :

C=2\pi r.

████ ██ ██ ███████ ██ ██████ $█$ :

A=\pi r^{2}.

████ ██ ██'███████ ██ ████████ $█$ █ $█$ :

A=\pi ab.

██████ ██ ███ █████ ██ ██████ $█$ :

V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.

██████████ ██ ███ █████ ██ ██████ $█$ :

S=4\pi r^{2}.

██████ ██ ██ ████████ ██ ███████ $█$ █ ██████ $█$ :

V=\pi r^{2}h.

██████████ ██ ██ ████████ ██ ███████ $█$ █ ██████ $█$ :

S=2\pi r\cdot (r+h).

██████: ███ █████ ███████████ █ $\pi$ ████████.
██████ ██ ██ ████ ██ ███████ $█$ █ ██████ $█$ :

V=\pi r^{2}{\frac {h}{3}}.

███████

███████ ██ █████, ████:

2\cdot {\frac {2}{\sqrt {2}}}\cdot {\frac {2}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}\cdot {\frac {2}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}\cdot \ldots =\pi .

███████ ██ ███████:

{\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}

█████ █████ ██ ██████ ███:

{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 7}}+{\frac {1}{9\cdot 11}}+{\frac {1}{13\cdot 15}}+{\frac {1}{17\cdot 19}}+\cdots ={\frac {\pi }{8}}.

███████ ██ ██████████

{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}-{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 5}}+{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 7}}-{\frac {1}{4\cdot 5\cdot 9}}+\dots =\pi -3.

███ █████ █████ ████████, ███ ████████ ████████████ ██ █████ ████████ ██

\pi

███████ ██ ███████ (█████ ████)

\pi ={\sqrt {12}}\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{3^{2}\cdot 5}}-{\frac {1}{3^{3}\cdot 7}}+\cdots \right).

████████ ██ ██████:

\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}.

████████ ██ ███████, ███████ ██ ██████:

\zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}.

███████ ███ ███ ██ ████████ ████ ██ ███████:

\zeta (4)={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}.

████████ ██ ██████, ██ ███ ██ ████████ ████████ █████ █ ██████ █████:

{\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{2^{2}}}\right)}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{3^{2}}}\right)}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{5^{2}}}\right)}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{7^{2}}}\right)}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{11^{2}}}\right)}}\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}.

█████████ ██ █████:

\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}.

█████████ ██ ██████:

\int _{-\infty }^{+\infty }e^{\frac {-u^{2}}{2}}du={\sqrt {2\pi }}.

█████ █████████ ████████:

\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{1+{x^{2}}}}\,dx=\pi ;

;}

\int _{0}^{+\infty }{{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx}={\frac {\pi ^{2}}{6}};

\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}};

\int _{0}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}dx={\frac {\pi r^{2}}{4}}.

█████████ ██ ███████:

\int _{-\infty }^{+\infty }\cos(x^{2})\,dx=\int _{-\infty }^{+\infty }\sin(x^{2})\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}.

████████ █████:

\Gamma \left({1 \over 2}\right)={\sqrt {\pi }};

\Gamma \left({3 \over 2}\right)={\frac {1}{2}}!={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}.

███████████████ ██ ████████:

n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.

████████ ███ ██ ██████:

\sum _{k=0}^{n}\phi (k)\sim 3n^{2}/\pi ^{2}.

████████ ██ ██████, ████████ ██ ███████ ███████ «██ ███ ████████ ███████ █████ ██████████»:

e^{\pi i}+1=0.

████████ ████████ ██ ██████ ███ █ ██████ █████ ███████:

{\frac {\pi }{4}}={\frac {3}{4}}\times {\frac {5}{4}}\times {\frac {7}{8}}\times {\frac {11}{12}}\times {\frac {13}{12}}\times {\frac {17}{16}}\times {\frac {19}{20}}\times {\frac {23}{24}}\times {\frac {29}{28}}\times {\frac {31}{32}}\times \cdots

████ ██ ██████████ ██ ████ █████ █ ██████ █████ ███████ █ ██ ████████████ ██ ████████ ██ ███████ ███ ██████ ██ ██████████.

███ ███████ ████████ ███ ████████, ████ ██ ████████ ██ ██████, ██ ████████████ █████████ ███ ██ █████ █ █ ██████ █████. █ ████ ██ ███████████ █████ █████ █ ██████ ████████ ██ ███████ ███ ████████ ██

\pi

███████ ██████ █████ █████ ████████, ███ "██████████" ███ █████ (██████, ████)

\pi ={1}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{12}}-{\frac {1}{13}}+\cdots

████ █ █████ ██ ███████████ ████ █████: ██ ██████

█

██ █████ ████████; █ ██████ █████ █████ █████

4m-1

█████ █████ ████████; █ ██████ █████ █████ █████

4m+1

█████ █████ ████████; ███ █ ██████ ████████ ██ █████ █ ██ ████████ ███ █████ ███ ███████ ███████.

█████ ██████ █████, ███ █████ ████████ ██ ████████, █ ██ ███████████ ████████████ █████. ███████ ███████ ███████ █████ █ ███████ ██ ███████ ███ ████████ ███ ████████ ██████.

███████ ████████ ██ ██████ ██ ██████, ██████ ██ ██████:

\pi ={4}\times \left({1}-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n+2}}-{\frac {1}{n+4}}+{\frac {1}{n+6}}-\dots \right),

████

n=3.

███ ████████ ██ ██████████ ███ ██ █████████ █ ███████.

███████ ███ ███████:

\oint {\frac {dz}{z}}=2\pi i.

████████ ████████ ██ █████████:

{\sqrt {\phi ^{2}+1}}=\phi +{\cfrac {e^{-2\pi /5}}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-6\pi }}{1+\,\cdots }}}}}}}}

████

\phi

█ ██ ████████ █████ (

1,618\dots

███ ███████ (██████, █., ███████, █. ███ ███████, █. - ████):

\pi ={\frac {5{\sqrt {2+\phi }}}{2\phi }}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2\phi }}\right)^{5n}\left({\frac {1}{5n+1}}+{\frac {1}{2\phi ^{2}\left(5n+2\right)}}-{\frac {1}{2^{2}\phi ^{3}(5n+3)}}-{\frac {1}{2^{3}\phi ^{3}(5n+4)}}\right).

████████ ████████ █████████████ (█ ████████ ████████) ██ █████████:

1+{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}}+\cdots +{1 \over 1+{1 \over 1+{2 \over 1+{3 \over 1+{4 \over 1+{5 \over 1+\cdots }}}}}}={\sqrt {\frac {{\rm {e}}\pi }{2}}}.

███████ ███ ████ ██ ████████ ██ ██████-██████████ █ ██ ████████ █████, ██ ███ ██████ ██ ██ █████:

\pi =\left({{\frac {\Gamma (\gamma )}{\Gamma (2\gamma )\Gamma (1/2-\gamma )}}+{\frac {2\Gamma (1-2\gamma )}{\Gamma (1-\gamma )\Gamma (1/2-\gamma )}}}\right)^{2}\left({\frac {\Gamma (\gamma )\Gamma (1/2-\gamma /2)}{\Gamma (\gamma /2)}}\right)^{4}.

████ ███ █████████████████ ██ ██████ $█$ ███ ██████ ████'███████ ███ █████ ██████████, $\pi r$ █ ██████████ ████ █████████ ██ █████ ██████████ █████████ ██ █████ ██ ███████ █████ ████████ ███ ████████ ██ █████████████████ $f\left(x\right):={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$

{\begin{aligned}\pi &={\frac {1}{r}}\int _{-r}^{r}{\sqrt {{\Big (}{\frac {d}{dx}}f(x){\Big )}^{2}+1}}\,dx\\&={\frac {1}{r}}{\int _{-r}^{r}{\sqrt {{\frac {x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}+1}}\,dx}\\&=[\arcsin(1)-\arcsin(-1)].\end{aligned}}

██████ ███ ██████

██ ███████████ ███ ███ ██████ ██████ █ ████ █████ █████ ███ ████ █ ██: ${\frac {6}{\pi ^{2}}}$ (≈██,█%).
██ ██████ █████ ██ ████ ██ ███ █ █████████ ████████ ██ ██████ ████████ ████ █████ ██ ███ ████████ ████████ █: ${\frac {\pi }{4}}.$

███████ ████████, ██████ ████████

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {x_{i}}}={\frac {2}{\pi }}$ ███ █████ █████ █ █████ $x_{0}$ ██ $[0,1]$ ████ ███ $x_{i}$ ████ ██████████ █████ █████ █████████ ███ $r=4.$

███████████ █ ██████████

████████ ██ ███████ ██ ███████████ █████ █████████████ ███████ ██████████:

f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-{(x-\mu )^{2} \over 2\sigma ^{2}}}.

██████ ██ ██ █████ █ ████████ ██ ███████████ ██████████ ███ ███████ ██ $\pi$ , ████ ████ ███ ██ ██████, ██ ███ ██ ███████ ███ ███████ ██ ██████.

████████████

██ ███████ ████████ (██████ ██ ███████) ███ ██████ ███████ █████ █████ $C_{L}/\alpha$ (██████ ████████████ ██ ████████ ██████ █'██████ ██ █████████) ███ █████████ ███████ █████ ██████████████ ███████ █ $2\pi$

██████

███████ █████ ███████ ████████████ ███ ███████:

T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}.

█████████ ██ █████ ██ ████████ █████ ██████████ ████████:

R_{ik}-{g_{ik}R \over 2}+\Lambda g_{ik}={8\pi G \over c^{4}}T_{ik}.

█████ ██ ███████:

F={\frac {\left|q_{1}q_{2}\right|}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}.

█████████ ██ ████████████████ ██ ██████████:

\Delta x\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}.

██ ████████ ██ $\pi$ ██ ██████ ███ ██████ ███████, ████, █ ███████████ █████ ███████████ ████████ ███ ██ ████████ ███████ $\epsilon _{0}$ █ $█$ .

████████ ████████

████ ████ ██████ ███████████, $\pi$ ███ ███ ██████ ████████ ████ ███ ████████ ██ ███ ██████ ██████, ██ ███████ ███ ████████████████ ████ ████████ ████████:

\pi =3+\textstyle {\frac {1}{7+\textstyle {\frac {1}{15+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{292+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}.

█████████ ██ ████████ ████████ ██ ██ █████████ █████ ██ █████████ ██ ███████████████ █████████ ██ $\pi$ , ██ ███ ██ █████ ████ █, ██/█, ███/███ █ ███/███, ██ ███████████████ ██ $\pi$ ███ ██████████ █ ████████████ █████. ██ ████████ ████████ ██ $\pi$ ███ █ █████████ (██ ██████ $\pi$ ███ █ ██ ██████ ███████████ ██████████) ██ ████████ ███ █████ █████████, ████████ ████ ██████████ █████ ████████ █████ ████████████████ ████ ████████ ████████ █████████████ ███ ███████ ██ ██████ ██████:

\pi =\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\frac {1^{2}}{2+\textstyle {\frac {3^{2}}{2+\textstyle {\frac {5^{2}}{2+\textstyle {\frac {7^{2}}{2+\textstyle {\frac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}=3+\textstyle {\frac {1^{2}}{6+\textstyle {\frac {3^{2}}{6+\textstyle {\frac {5^{2}}{6+\textstyle {\frac {7^{2}}{6+\textstyle {\frac {9^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}}}=\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\frac {1^{2}}{3+\textstyle {\frac {2^{2}}{5+\textstyle {\frac {3^{2}}{7+\textstyle {\frac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}.

████████ ████████ ██ ███████ █████ ████████ ████████ ██ ██████ █████████ ████ ████████ $\arctan(x)$ ███ $x=1$ ;