███████████ █████

In the ████████████ █████ of █████████ ████████, the ███████████ █████ of a ███████████ █████ is the █████ of the ███████████ ███████ under ████████ of the █████ █████████ in the █████. It ███████ ███████████ about the █████ █████, or █████, of the ███████████ █████. The ███████████ █████ is the █████ and ████████ ████████ █████. The ███████████ █████ is a ████████ █████████—███████████ ██████ that are ████████ ██████████ (or the ████████ ████ of ████████████) have ██████████ ███████████ ██████. The ███████████ █████ of a ███████████ █████ $█$ is ███████ by $\pi _{1}(X)$ .

█████████

█████ with a █████ (for ███████, a ███████), and some █████ in it, and ███ the █████ ████ ████████ and ██████ at this █████—█████ that █████ at this █████, ██████ around and ██████████ ██████ to the ████████ █████. ███ █████ can be ████████ in an ███████ ███: ██████ along the █████ ████, ████ along the ██████. ███ █████ are ██████████ ██████████ if ███ can be ████████ into the █████ without ████████. The ███ of ███ ████ █████ with this ██████ of █████████ and this ███████████ between ████ is the ███████████ █████ for that ██████████ █████.

███████

█████ ████████ ███████ the ███████████ █████ in ████ in ███ █████ "████████ █████". The ███████ ███████ in the ██████ of ███████ ████████, in the ████ of ████████ ███████, ████████, and █████ █████. It █████████ the █████████ ██████████ of ███████-██████ █████████, as ████ as █████████ a ████████ ███████████ ██████████████ of ██████ ████████.

██████████

██████████ this ███████, $█$ is a ███████████ █████. A ███████ ███████ is a ███████ ████ as the ███ ████████ at the █████. ████████, $x_{0}$ is a █████ in $█$ ██████ the ████-█████. (As is █████████ below, ███ ████ is ██████ █████████.) The ████ of the ██████████ of the ████████ █████ is to ███████ ███ ████ (███████ ████████) ██████ on $█$ can be ████████ into ████ █████. The ███████ ██████████ ███████ on the ██████ of the ████████ of █████, which is █████████ █████.

████████ of █████

█████ a ███████████ █████ $█$ , a ████ █████ at $x_{0}$ is ███████ to be a ██████████ ████████ (████ █████ as a ██████████ ███)

\gamma \colon [0,1]\to X

████ that the ████████ █████ $\gamma (0)$ and the ███ █████ $\gamma (1)$ are ████ █████ to $x_{0}$ .

A ████████ is a ██████████ █████████████ between ███ █████. ████ █████████, a ████████ between ███ █████ $\gamma ,\gamma '\colon [0,1]\to X$ (█████ at the ████ █████ $x_{0}$ ) is a ██████████ ███ $h\colon [0,1]\times [0,1]\to X,$ ████ that

$h(0,t)=x_{0}$ for ███ $t\in [0,1]$ , that is, the ████████ █████ of the ████████ is $x_{0}$ for ███ $█$ (which is █████ ███████ of as a ████ █████████).
$h(1,t)=x_{0}$ for ███ $t\in [0,1]$ , that is, █████████ the ███ █████ █████ at $x_{0}$ for ███ $█$ .
$h(r,0)=\gamma (r)$ , $h(r,1)=\gamma '(r)$ for ███ $r\in [0,1]$ .

If ████ a ████████ $█$ ██████, $\gamma$ and $\gamma '$ are ████ to be █████████. The ████████ " $\gamma$ is █████████ to $\gamma '$ " is an ███████████ ████████ ██ that the ███ of ███████████ ███████ can be ██████████: $\pi _{1}(X,x_{0}):=\{{\text{all loops }}\gamma {\text{ based at }}x_{0}\}/{\text{homotopy}}.$ This ███ (with the █████ █████████ █████████ below) is ██████ the ███████████ █████ of the ███████████ █████ $█$ at the ████ █████ $x_{0}$ . The ███████ of considering the ███████████ ███████ of █████ up to ████████, as ███████ to the ███ of ███ █████ (the ██-██████ ████ █████ of $█$ ) is that the ██████, █████ being ██████ for ███████ ████████, is a ██████ ███ and ████████ ██████. By ████████ the above ████████ is, in ████ █████, ████ ██████████ and ██████████.

█████ █████████

By the above ██████████, $\pi _{1}(X,x_{0})$ is ████ a ███. It ███████ a █████ (and █████████ ████████ the ████ ███████████ █████) using the █████████████ of █████. ████ █████████, █████ ███ █████ $\gamma _{0},\gamma _{1}$ , █████ ███████ is ███████ as the ████

\gamma _{0}\cdot \gamma _{1}\colon [0,1]\to X

(\gamma _{0}\cdot \gamma _{1})(t)={\begin{cases}\gamma _{0}(2t)&0\leq t\leq {\tfrac {1}{2}}\\\gamma _{1}(2t-1)&{\tfrac {1}{2}}\leq t\leq 1.\end{cases}}

████ the ████ $\gamma _{0}\cdot \gamma _{1}$ █████ ███████ the ████ $\gamma _{0}$ with "█████ the █████" and ████ ███████ $\gamma _{1}$ with "█████ the █████".

The ███████ of ███ ████████ ███████ of █████ $[\gamma _{0}]$ and $[\gamma _{1}]$ is ████ ███████ as $[\gamma _{0}\cdot \gamma _{1}]$ . It can be █████ that this ███████ ████ not ██████ on the ██████ of ███████████████ and █████████ █████ a ████-███████ █████████ on the ███ $\pi _{1}(X,x_{0})$ . This █████████ █████ $\pi _{1}(X,x_{0})$ into a █████. ███ ███████ ███████ is the ███████████ (████████) █████ of the ████████ ████, which █████ at $x_{0}$ for ███ █████ $█$ (█.█. this █████ ████████ of ███ █████ that can be ████████████ ████████ into the ████████ ████; ███████████ ████████ of ███ the █████ that do not "████ around a ████"). The ███████ of a (████████ █████ of a) ████ is the ████ ████, but █████████ in the opposite █████████ (which is in a █████████ ████████ █████). ████ ████████,

\gamma ^{-1}(t):=\gamma (1-t).

█████ █████ █████ █████ $\gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},$ the ███████

(\gamma _{0}\cdot \gamma _{1})\cdot \gamma _{2}

is the █████████████ of █████ █████, ██████████ $\gamma _{0}$ and ████ $\gamma _{1}$ with █████████ █████, and ████ $\gamma _{2}$ with ██████ █████. By ██████████,

\gamma _{0}\cdot (\gamma _{1}\cdot \gamma _{2})

█████████ the ████ █████ (in the ████ █████), but $\gamma _{0}$ with ██████ █████, and $\gamma _{1},\gamma _{2}$ with █████████ █████. ████, because of the █████████ ██████, the ███ █████ are not █████████. The █████████████ █████

[\gamma _{0}]\cdot \left([\gamma _{1}]\cdot [\gamma _{2}]\right)=\left([\gamma _{0}]\cdot [\gamma _{1}]\right)\cdot [\gamma _{2}]

█████████ █████████ ███████ on the ████ that █████ are ██████████ up to ████████. ██████, ████ above ██████████ are █████████, for ███████, to the ████ that █████████ ███ █████ █████ $\gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2}$ with ██████ █████. The ███ of █████ █████ up to ████████, ████████ with the above █████████ █████████ ████ ████ $\pi _{1}(X,x_{0})$ into a █████.

██████████ of the ████ █████

████████ the ███████████ █████ in ███████ ███████ on the ██████ of ████ █████, it █████ out that, up to ███████████, this ██████ █████ ██ ██████████ as ████ as the █████ $█$ is ████-█████████: ████ █████████, ███ ███████ an ███████████ by ███- and ████-█████████████ with a ████ between the ███ ██████████. This ███████████ is, in ███████, not ██████: it ███████ on the ██████ of ████ up to ████████. ███████ ████████ the ████ ███████ in ████████ the ███████████ between the ███ ███████████ ██████ ████ by ███████████ with an █████ ████████████. It is █████████ █████████ to █████ $\pi _{1}(X)$ ███████ of $\pi _{1}(X,x_{0})$ ████ the ██████ of █████████ ████ not ██████.

████████ ████████

This ███████ █████ some █████ ████████ of ███████████ ██████. To █████ with, in █████████ █████ ( $\mathbb {R} ^{n}$ ) or ███ ██████ ██████ of $\mathbb {R} ^{n},$ there is ████ ███ ████████ █████ of █████, and the ███████████ █████ is █████████ the ███████ █████ with ███ ███████. ████ █████████, ███ ████ ██████ – and ███ ████ █████████, ███ ████████████ █████ – has a ███████ ███████████ █████. ████, the ███████████ █████ ████ not ███████████ between ████ ██████.

The █-██████

A ████-█████████ █████ █████ ███████████ █████ is ███████ is ██████ ██████ █████████. For ███████, the █-██████ $S^{2}=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}$ ████████ on the █████, and ████ ███ the ██████-███████████ ███████, are ██████-█████████. The ██████ ███████████ a ████████ ███████████ ███ ██████████ ████ to the ████████ ████. This ████ can be ███████ to ███ █████ $\gamma$ ████ that there is a █████ $(x,y,z)\in S^{2}$ that is not in the █████ of $\gamma .$ ███████, since there are █████ ████ that $\gamma ([0,1])=S^{2}$ (███████████ from the █████ █████, for ███████), a ████████ █████ ████████ ████ ███████ ████████ with █████ from █████████ ████████, ████ as the ███████–███ ██████ ███████ or the ████████ █████████████ ███████.

The ██████

The ██████ (████ █████ as the █-██████)

S^{1}=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}

is not ██████ █████████. ███████, ████ ████████ █████ ████████ of ███ █████ that ████ around the ██████ a █████ ██████ of █████ (which can be ████████ or ████████, █████████ on the █████████ of ███████). The ███████ of a ████ that █████ around $█$ █████ and ███████ that █████ around $█$ █████ is a ████ that █████ around $m+n$ █████. █████████, the ███████████ █████ of the ██████ is ██████████ to $(\mathbb {Z} ,+),$ the ████████ █████ of ████████. This ████ can be used to ████ ██████ of the ███████ █████ █████ ███████ and the ██████–████ ███████ in █████████ █.

The ██████ █████

The ███████████ █████ of the ██████ █████ is the ████ █████ on ███ ███████. The ████ to █████ this is as ███████: ████████ the ████ █████ to be the █████ █████ the ███ ███████ ████ (██████ in █████ in the ███████ at the █████), ███ ████ $\gamma$ can be ██████████ as $\gamma =a^{n_{1}}b^{m_{1}}\cdots a^{n_{k}}b^{m_{k}}$ █████ a and █ are the ███ █████ ███████ around ████ ████ of the ██████ as ████████, and the █████████ $n_{1},\dots ,n_{k},m_{1},\dots ,m_{k}$ are ████████. Unlike $\pi _{1}(S^{1})$ , the ███████████ █████ of the ██████ █████ is not ███████: the ███ ████ of █████████ $a$ and $█$ are not █████████ to ████ █████: $[a]\cdot [b]\neq [b]\cdot [a]$

████ █████████, the ███████████ █████ of a ███████ of $█$ ███████ is the ████ █████ on $█$ ███████.

The ███████████ █████ of a █████ ███ of ███ ████ █████████ ██████ $█$ and $█$ can be ████████ as the ████ ███████ of the ██████████ ███████████ ██████: $\pi _{1}(X\vee Y)\cong \pi _{1}(X)*\pi _{1}(Y)$ This ███████████ the above ████████████ since the ██████ █████ is the █████ ███ of ███ ███████.

The ███████████ █████ of the █████ █████████ at $█$ ██████ is ████ the ████ █████ with $█$ ██████████. The $█$ -██ █████████ is the █████ of the ████ that ████ around the $█$ -██ ████████ without █████ around ███ █████ █████████.

██████

The ███████████ █████ can be ███████ for ████████ ██████████ ███. In ██████████, ████████ a █████████ █████ $G=(V,E)$ , with a ██████████ ██████ $v_{0}$ in $█$ . The █████ in $█$ are the ██████ that █████ and ███ at $v_{0}$ . ███ $█$ be a ████████ ████ of $█$ . █████ ██████ ████ in $█$ ████████ ███████ ███ ████ in $E\setminus T$ ; █████ ████ in $█$ is a █████████████ of ████ ██████ █████. █████████, the ███████████ █████ of a █████ is a ████ █████, in which the ██████ of ██████████ is ███████ the ██████ of █████ in $E\setminus T$ . This ██████ ██████ $|E|-|V|+1$ .

For ███████, ███████ $█$ has ██ ████████ ████████ in █ ████ of █ ████████ ████, with █████ ██████████ ████████ that are ████████ ████████████ or ██████████. ████ $█$ has ██ █████ ███████, and the ██████ of █████ in ████ ████████ ████ is ██ − █ = ██, ██ the ███████████ █████ of $█$ is the ████ █████ with █ ██████████. ████ that $█$ has █ "█████", █████████ to a ███████ of █ ███████, which has the ████ ███████████ █████.

████ ██████

████ ██████ are by ██████████ the ███████████ █████ of the ██████████ of a ████ $█$ ████████ in $\mathbb {R} ^{3}$ . For ███████, the ████ █████ of the ███████ ████ is █████ to be the █████ █████ $B_{3}$ , which █████ ███████ ███████ of a ███-███████ ███████████ █████. The █████████ ████████████ ██████████ █████████ ████ ██████ in █████ of ██████████ and █████████ █████ on a ███████ of the ████. █████████, ████ ██████ have some █████ in ████ ██████ to ███████████ between █████: if $\pi _{1}(\mathbb {R} ^{3}\setminus K)$ is not ██████████ to some █████ ████ █████ $\pi _{1}(\mathbb {R} ^{3}\setminus K')$ of ███████ ████ $█^{'}$ , ████ $█$ ██████ be ███████████ into $█^{'}$ . ████ the ███████ ████ ██████ be ████████████ ███████████ into the ██████ (████ █████ as the ██████), since the ██████ has ████ █████ $\mathbb {Z}$ . There are, ███████, █████ that ██████ be ████████ into ████ █████, but have ██████████ ████ ██████.

████████ ████████

The ███████████ █████ of a █████-█ ██████████ ███████ can be ████████ in █████ of ██████████ and █████████ as $\left\langle A_{1},B_{1},\ldots ,A_{n},B_{n}\left|A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}\right.\right\rangle .$

This ████████ the █████, being the ████ of █████ █, █████ ███████████ █████ is $\left\langle A_{1},B_{1}\left|A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}\right.\right\rangle \cong \mathbb {Z} ^{2}.$

███████████ ██████

The ███████████ █████ of a ███████████ █████ $█$ (with ███████ to the ████ █████ being the ███████ ███████) is ██████ ███████████. In ██████████, the ███████████ █████ of a ███ █████ is ███████████. In ████, the █████ █████████ on $█$ ██████ $\pi _{1}(X)$ with ███████ █████ █████████: █████ ███ █████ $\gamma$ and $\gamma '$ in $█$ , ███████ ████ $\gamma \star \gamma '$ can ███████ by using the █████ ██████████████ in $█$ :

(\gamma \star \gamma ')(x)=\gamma (x)\cdot \gamma '(x).

This ██████ █████████ $\star$ on the ███ of ███ █████ is a ██████ ███████████ from the ███ █████████ above. ███████, the ███████–██████ ████████ █████ that it ████ in ████ █████ with the above █████████████ of █████, and ████████ that the █████████ █████ █████████ is ███████.

An ██████████ of the █████ █████ that, ████ █████████, $\pi _{1}(X)$ is ███████ for ███ █-█████ $█$ , █.█., the ██████████████ ████ not have an ███████, ███ ████ it have to be ███████████. For ███████, this █████ that the ███████████ █████ of a ████ █████ of ███████ ███████████ █████ $█$ , $X=\Omega (Y),$ is ███████. ███████ █████ ████ to █████ ████'s ███████████ of the ██████████ of a ███ █████.

█████████████

If $f:X\to Y$ is a ██████████ ███, $x_{0}\in X$ and $y_{0}\in Y$ with $f(x_{0})=y_{0},$ ████ █████ ████ in $█$ with ████ █████ $x_{0}$ can be ████████ with $█$ to █████ a ████ in $█$ with ████ █████ $y_{0}.$ This █████████ is ██████████ with the ████████ ███████████ ████████ and with ███████████ of █████. The █████████ █████ ████████████, ██████ the ███████ ████████████, is ███████ as $\pi (f)$ or, ████ ████████,

f_{*}:\pi _{1}(X,x_{0})\to \pi _{1}(Y,y_{0}).

This ███████ from ██████████ ████ to █████ █████████████ is ██████████ with ███████████ of ████ and ████████ █████████. In the ████████ of ████████ ██████, the █████████ of ███████████ to a ███████████ █████ ███ ███████████ █████ is █████████ a ███████

\pi _{1}:\mathbf {Top} _{*}\to \mathbf {Grp} ,\quad (X,x_{0})\mapsto \pi _{1}(X,x_{0})

from the ████████ of ███████████ ██████ ████████ with a ████ █████ to the ████████ of ██████. It █████ out that this ███████ ████ not ███████████ ████ that are █████████ ████████ to the ████ █████: if $f,g:X\to Y$ are ██████████ ████ with $f(x_{0})=g(x_{0})=y_{0}$ , and $█$ and $█$ are █████████ ████████ to $\{x_{0}\}$ , ████ $f_{*}=g_{*}$ . As a ███████████, ███ ████████ ██████████ ████-█████████ ██████ have ██████████ ███████████ ██████:

X\simeq Y\implies \pi _{1}(X,x_{0})\cong \pi _{1}(Y,y_{0}).

For ███████, the █████████ of the ██████ in the █████████ █████