█████ ████

█████ ████, █████ ████████'███ ████'██ ███████████ "████████ █████" ████ ███████████ ██████████████. ██████, ████████ ███████, ████████ ██ █████ █████'██ ██████████████ ███████ █████████ ███████████ ██████ █████████. ████████ ███████ ██████████████ ██████████ █████████████ ██████████ ████ ██████ ██████████ ███ ███ █████████ ███████████████████ ██████.

██████ ██ ███████████

██ ███████ █████████ ████████ ███ ████████. ████████ █████████ ██████████████ $\ I$ ███████ $\ [0,1]$ ██████ ███████ █████████. ███ ██████, █████████ ███████ $\ p$ ██ █████ ███████ $\ q$ ████ ███████ $\ p$ '███ $\ q$ '██ █████ ██████ █████████.

███

███ $\ X$ █████ ██████. ███ $\alpha \colon [0,1]\to X$ ███████ ████████████ $\ X$ ████████ ███ ███ █████. █████ ███ $\alpha$ ████ ████ $\alpha (0)$ ███████ █████████ ███████ ██ $\alpha (1)$ ███████ █████ ███████ ██████ ████████████.

$\ x,y\in X$ █████. █████████ ███ █████ █████████ █████████ $\ x$ ██ $\ y$ ████ ██ $\ I=[0,1]$ '███ $\ X$ ███████ █████ █████ ████████ ██████ $\ \mathbf {P} (x,y)=\{f\colon [0,1]\to X|f(0)=x,f(1)=y\}$ ██████ ██████████.

████████

███ █████ ██████, $\ X=[0,1]$ ████████ ███ $\ f\colon [0,1]\to X$ ████████████ $\ f(x)=x^{2}$ ██████ ████████████. $\ X=$ $\mathbb {R} ^{2}$ ██████████ ██████ ██████████ $\varphi \colon [0,1]\to$ $\mathbb {R} ^{2}$ , $\ t\to (x(t),y(t))$ ██████████ ███ ██████ ██████. ██████ $\ x(t)$ ██ $\ y(t)$ ███████ ███████████████. █████ ███ $\varphi \colon [0,1]\to$ $\mathbb {R} ^{2}$ ██████ $\varphi (t)=(t,t^{2})$ ████████ ████████████. ██ ███████

• $\varphi (0)=(0,0)$ ███████, █████████ ███████ ██

• $\varphi (1)=(1,1)$ █████ ██████████.

██████ $\ [0,1]$ ██████████ █████████████, $\varphi$ █████████████ ████████████ ███████████████ ███████████ ██ ██████ ███████.

█████ ███ █████ ██████ ██ ███ $\ g\colon [-1,1]\to [-1,1]$ ████████████ ███ ██████ ██ $\ g(x)=x^{3}$ █████.

$\ g$ █████████████ ███████ $\ X$ █████ █████ █████ ██ ████████ ███████ ███████. ███ $\beta _{1}\colon I\to X$ ████████████ $\beta _{1}(t)=(t,t^{3})$ ██████ ████████████.

$\beta _{1}(0)=(0,0),\beta _{1}(1)=(1,1)$ ████████ █████████. $\beta _{1}$ '██ ███████████ ████ $█$ ██ $t^{3}$ , $█$ ████████ ███████ █████ █████████ ██████████ $\beta _{1}$ '██ $y=x^{3}$ ██████████ ████ ███ ███ ████████ ██████████████.

█████ $\varphi _{1}\colon [-1,1]\to$ $\mathbb {R} ^{2}$ ████████████ ███ ██████, ████ ██ $\varphi _{1}(t)=(t,t^{3})$ █████.

$\varphi _{1}$ , ███ ███ ████████ █████ █████ ██████ $I=[0,1]$ ████████. $\varphi _{1}$ ████████████ ██████████ $x^{3}$ ██████████ ████████ █████ ███ ███ █████████.

█████ ████, ███████ ██ █████ █████ ███ █████████ ████████████. $\ f\colon I\to [-1,1]$ ██████████ $f(t)=2t-1$ ██████ ███████████.

█████ ███████ ██████████ ███████. $\varphi _{1}\circ \ f(t)\colon I\to$ $\mathbb {R} ^{2}$ ████ ██ $\varphi _{1}\circ \ f(t)=(2t-1,(2t-1)^{3})$ █████.

$\varphi _{1}\circ \ f(0)=$ $(-1,-1)$ ██ $\varphi _{1}\circ \ f(1)=(1,1)$ ██████████.

██ ███████ █████████████ ███████████ $2t-1$ ██ $(2t-1)^{3}$ , $█$ █████ ██████████ ███████ █████████ █████████████ ██ ███████ ███████████ ███████ ██████ ████████ ████████.

█████ ██████ $\varphi _{1}\circ \ f$ , $█$ ████████ ███ ███ ████.

████ ███

$█$ ’███ $█$ ’██ █████ ███ $\varphi \colon I\to X$ ████ ████, ${\bar {\varphi }}$ ████ ████ ${\bar {\varphi }}(t)=$ $\varphi (1-t)$ ██████ ██████████. ██ ███████ ${\bar {\varphi }}$ ███████ █████████ ███████ $█$ ██ █████ ███████ $█$ ████.

█████ ██████, $\varphi \colon I\to [-1,1]$ ██████ $\varphi (t)=2t-1$ ██████ ████████████. ██ ███████ $\varphi (0)=-1$ ██ $\varphi (1)=0$ ████.

$\varphi$ ██████████ ████████████ ████ ██████████, ${\bar {\varphi }}\colon I\to [-1,1]$ ██████ ███████ ${\bar {\varphi }}(t)=$ $\varphi (1-t)$ ████ ████ ██████ ████ ██████ (█████ █).

${\bar {\varphi }}(0)=$ $\varphi (1)=1$ ██ ${\bar {\varphi }}(1)=-1$ , $\varphi (0)=-1$ , $\varphi (1)=1$ ████████ not ██████.

█████ ██████ ████████ ███ ████████ ███████████;

$S^{1}$ █████ ██████ █████ █████, $\varphi \colon I\to S^{1}\subset \mathbb {C}$ ████████████ $\varphi (t)=$ $e^{2i\pi }=\cos 2\pi t+i\sin 2\pi t$ ██████ ████████████.

██ █████████ █████████ ███████████ █████████████:

• $\varphi$ ██████████, █████ █████ ███████████ ███████ ████████ █████████.

• $\varphi (0)=1$ , $\varphi {\bigg (}{\frac {1}{4}}{\bigg )}=i$ , $\varphi {\bigg (}{\frac {1}{2}}{\bigg )}=-1$ , $\varphi {\bigg (}{\frac {3}{4}}{\bigg )}=-i$ , $\varphi (1)=1$ .

██ ███████, $\varphi$ █████ ██████ ██████████ ███████ █████ ███ ██████ (█████ █).

█████ ████ ████████ ███ █████████ ███, $R^{3}$ ██████████ █████ ██████ ███ ██████: $S^{2}=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}$ .

$\varphi \colon [0,1]\to S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}$ ████████████ $\varphi (t)=$ $(\cos \pi t,\sin \pi t,0)$ ████████ ████████████. ██ ███████ ███████ $\varphi$ ██████████ █████ ███ ███████ ██████████ █████ ███████ ██ █████ █████████████ ██████████.

█████ ██████, $\varphi (0)=(1,0,0),\varphi {\bigg (}{\frac {1}{2}}{\bigg )}=(0,1,0)$ ██ $\varphi (1)=(-1,0,0)$ ████. ██ ██████, $\varphi$ ██████████ $S^{2}$ ████████ ███ ██████ ██ ████████████ █████ █’████ ███████.

█████ ██████, $\beta \colon I\to S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}$ , $\beta (t)=$ $(0,\sin \pi 2t,\cos \pi 2t)$ █████████ ███████ ████ █████████ ██████████ ██ $\beta (0)=(0,0,1),\beta (1)=(0,1,0)$ ██████████ $\beta$ ██████████ $S^{2}$ ████████ █████ ███ ████ ████████ (█████ █).

█████████████

████████ $█$ ██ $█$ █████████ ████████ ████████ ███ █████████████, $\ f\colon X\to Y$ ███████ ██ █████ ███ █████████ ████████ ██████████; $█$ ██ $\ f^{-1}\colon Y\to X$ ███████ ███████████████.

█████

$█$ '███ $█$ '██ █████ █████ █████ ██████████████████ ██████ ██ ███████ ██████████: $\operatorname {Homeo} ^{+}(I,I)=\left\{f\colon I\to I\mid f\ {\text{daima artan ve homeomorfizma}}\right\}$ .

█████████

$\operatorname {Homeo} ^{+}(I,I)$ ██████ █████████ █████████ $\circ$ ███████ ███ ███████.

██████ ████, ████ $\operatorname {Homeo} ^{+}(I,I)$ █████████ $\circ$ ██████ ███████ ██████ ████████ █████████ ██████████. ████████ $f,g\in \operatorname {Homeo} ^{+}(I,I)$ ███████. $f\circ g\colon I\to I\in \operatorname {Homeo} ^{+}(I,I)$ ████████ ████████████.

$█$ , █████ █████ ██ ███████ ███ █████████ ████ █████ ██ ██████████. ████ ███████ $█$ ████ ██ ████ ██████████ ████████. ███ █████ ███████████ █████████ ██ █████ ███████████ $f\circ g$ ██████████ ██ █████ ████.

███ ███████ ███████████ █████████ ██ ███████ ███ █████████ ██████████ $f\circ g$ ██████████ ██ ███████ ████.

███ ██████, $f^{-1}$ ██ $g^{-1}$ ████████████████ ███████ ████████ █████████. █ █████ $(f\circ g)^{-1}=$ $g^{-1}\circ f^{-1}$ ██████████ ██ ███████ ████. █████ ██████ $f\circ g\colon I\to I\in \operatorname {Homeo} ^{+}(I,I)$ ████ ██████.

█████ ( $\operatorname {Homeo} ^{+}(I,I),\circ$ ) █████████ ████ █████████████ (███████, █████ ██████, █████████████) ███████████ ██████████.

•███████ ████████: ████████ $f,g,h\in \operatorname {Homeo} ^{+}(I,I)$ ███████. ████████ ███ $x\in I$ ███████ ██████. █ █████,

• $h\circ (g\circ f)(x)=h(g\circ f(x))=h(g(f(x)))$ ██ • $(h\circ g)\circ f(x)=(h\circ g)(f(x))=h(g(f(x)))$ ██████████ ███ $x\in I$ ████ $h\circ (g\circ f)(x)=(h\circ g)\circ f(x)$ ████.

•█████ ██████: $\operatorname {Id} \colon I\to I$ ██████████, $\operatorname {Id} (x)=x$ █████████ ( $\operatorname {Homeo} ^{+}(I,I),\circ$ )’███ █████ ██████████ █████ $\operatorname {Id}$ (█████ █████████) ██████████, ███████ ██ ████████, █████ ████████.

███ ██████ $\operatorname {Id} ^{-1}\colon I\to I$ ████ ██████████ ██ ██████████ █████ ███ $x\in I$ ████ $\operatorname {Id} ^{-1}(x)=\operatorname {Id} (x)\Leftrightarrow \operatorname {Id} ^{-1}=\operatorname {Id}$ .

█████ ██████ ███ $x\in I$ ████ $(f\circ \operatorname {Id} )(x)=f(\operatorname {Id} (x))=f(x),(\operatorname {Id} \circ f)(x)=\operatorname {Id} (f(x))=f(x)$ ██████████.

•█████████████: ████████ ███ $f\in \operatorname {Homeo} ^{+}(I,I)$ ██████. $\operatorname {Homeo} ^{+}(I,I)$ ’██ ██████████ ██████, $█$ ’██ █████ █████, ███████, █████ ██ ███████ ████████ ██ $f^{-1}$ ’██ ██ ███████ ████████ █████████.

$f^{-1}\in \operatorname {Homeo} ^{+}(I,I)$ ████████ █████████ ██████████. █████ ████, $f^{-1}$ ’██ █████ █████ ████████ █████████ ██████████.

████████ $x,y\in I$ ██████ ██ $x<y$ ████████ ██████████. $f^{-1}(x)<f^{-1}(y)$ ████████ ██████████.

$█$ █████ ████████ ██ $x<y$ ██████ ████ $f(x)<f(y)$ ████. $█$ ’██ ███████ ██ ████████ ████████████ ██████ $f(a)=x$ ██ $f(b)=y$ ████ ███████ $a,b\in I$ ██████████ ██████.

$█$ █████ █████ ██ $x<y$ ██████ ████, $f(a)<f(b)$ ████. ██ ██████ $a<b$ ██ $f^{-1}(x)<f^{-1}(y)$ ████. █████ ██████, $\circ$ ██████ ███████ $\operatorname {Homeo} ^{+}(I,I)$ ███ ███████.

████ $h\in \operatorname {Homeo} ^{+}(I,I)$ ███ $h(0)=0$ ██ $h(1)=1$ ████.

████████ █████ ███████████████; ████████ $h\in \operatorname {Homeo} ^{+}(I,I)$ ██████; ████ $h\colon I\to I$ ███████, █████ █████ ██ ███████-█████ ███ ████████████████. █ █████ $f^{-1}$ ’ ██████████ ██ ██████████.

$h(0)\neq \{0,1\}$ █████ ██ ██ $h(0)=x\in (0,1)$ ████████ █████. $(0,1]$ ██████████ ██████████ (█████████) ████████ █████████. █ █████ $█$ ███████ ██████████ $h((0,1])$ '██ ██ ██████████ ████████ ██████████████.

$█$ ███████ ██ █████ ██████████, $h((0,1])=[0,x)\cup [x,1]$ ████. █████ $[0,x)\cup [x,1]$ ██████████ ████████. ██ ██████ $h(0)\neq {0,1}$ ████████████ ███ ███████ ████ ██████. ████ $h(0)=\{0,1\}$ ████.

█████ $h(0)=0$ ████████ ██████████. $h(0)=1$ ████████ ██████████. $█$ ██████████ █████ █████ ██ $0<1$ ██████████, $h(0)<h(1)$ ████; ██ ██ $1<h(1)$ ████████.

$h\colon [0,1]\to [0,1]$ ██████████ $h(1)$ ██████ $█$ '███ █████ ██████. █ █████ $h(0)=0$ ████. ████ ████████ ███ $h(1)=1$ ██████ ████ ██████.

█████ ██████, ███ $h\in \operatorname {Homeo} ^{+}(I,I)$ ████, $h(0)=0$ ██ $h(1)=1$ ████.

██████ ████████ ███████ █████████

$█$ ████████ $f,g\colon I\to X$ █████████ █████████. ████ $f=g\circ h$ ██████████ ████████ ███ $h\in \operatorname {Homeo} ^{+}(I,I)$ █████, █ █████ $f\approx g$ ███████.

$\approx$ ███ ███████ ████████████, ███████████ ████████ █████ ███████████████; $\approx$ ████████████ ███████, ███████ ██ ███████ █████████████ ███████████ ████████████.

•███████: $f\colon I\to X$ ████████ ███ ███ █████. ████ $█$ ████████████ $\operatorname {Id} \colon I\to I$ ████████ ███████ █████ █████████ ███████ $f=f\circ h$ ████. ███████████ $f\approx f$ ████.

•███████: $f,g\colon I\to X$ ████████ ███ ███ ████████. $f\approx g$ ████████ ██████████ ██ $g\approx f$ ████████ ██████████.

$f\approx g$ ███ $f=g\circ h$ ██████ ███████ ███ $h\in \operatorname {Homeo} ^{+}(I,I)$ ██████. $█$ █████████████ ███████ ██ █████ ████████ █████████; ██ ██████ █████ ███████████:

$f=g\circ h\Leftrightarrow f\circ h^{-1}=g$ . ████ ████ ███ █████████ ██████ █████ ██ $k=h^{-1}\in \operatorname {Homeo} ^{+}(I,I)$ ██ $g=f\circ k$ ████. █████ ██████ $g\approx f$ ████.

•███████: $f,g,h\colon I\to X$ ████████ ██ ███ ████████. $f\approx g$ ██ $g\approx h$ ███████████ ██████████ ██ $f\approx h$ ████████ ██████████.

████████████ ████, $f=g\circ \varphi _{f}$ ██ $g=h\circ \varphi _{g}$ █████████████ ████████ $\varphi _{f},\varphi _{g}\in \operatorname {Homeo} ^{+}(I,I)$ ██████████ ██████. ██ ███████, $f=g\circ \varphi _{f}\Leftrightarrow f=h\circ \varphi _{g}\circ \varphi _{f}$ '███.

$\varphi _{f},\varphi _{g}\in \operatorname {Homeo} ^{+}(I,I)$ ██████████ $\varphi _{f}\circ \varphi _{g}\in \operatorname {Homeo} ^{+}(I,I)$ ████. ████ $k=\varphi _{f}\circ \varphi _{g}\in \operatorname {Homeo} ^{+}(I,I)$ ███████ $f=h\circ k$ ██████████ ██████. ███████████, $f\approx h$ ████.

█████ ██████ $\approx$ ███ ███████ ████████████.

████████

$\varphi _{1}$ ██ $\varphi _{2}$ █████████████ $█$ ████████ ███ ███ █████. ██ ████████ ███ ██████████, $F\colon I\times I\to X$ , $(a,t)\mapsto F(a,t)$ ████████ ███████ ██ █████████ ████████ ████████ ███████ ███ ████████████.

(█) ███ $█$ ██████ ████, $F(a,t)\colon I\to X$ , $█$ '███ $█$ '██ █████ ███ ███ ████████.

(██) $█$ '███ $█$ '██ █████ $\varphi _{1}$ , $\varphi _{2}$ ███████ ████ $F(0,t)=$ $\varphi _{1}$ ██ $F(1,t)=$ $\varphi _{2}$ '███. $\varphi _{1}$ ██ $\varphi _{2}$ ███████ ██ ███████ ███ $█$ ██████████ ███ █████████████ $\varphi _{1}$ ██ $\varphi _{2}$ ███████████████ ███████ ██ $\varphi _{1}\simeq \varphi _{2}$ ████████ ██████████.

█████████

████████ █████████, ████████ ███████ █████████ ████████ ███ ██████████.

█████████ ████████ █████ ███████████████: $\varphi _{0}$ , $\varphi _{1}$ , $\varphi _{0}^{'}$ ██ $\varphi _{1}^{'}$ : $[0,1]\rightarrow X$ ████████ ███████ ██████ █████. . ████ $\varphi _{0}\simeq \varphi _{0}^{'}$ ██ $\varphi _{1}\simeq \varphi _{1}^{'}$ █████████ $\varphi _{0}\circ \varphi _{1}\simeq \varphi _{0}^{'}\circ \varphi _{1}^{'}$ ████████ ████████████ ██ ███████ ██████ ███ ██████████. $\varphi _{0}{\text{ ve }}\varphi _{0}^{'}$ ████████ $█$ ██████████ ██ $\varphi _{1}{\text{ ve }}\varphi _{1}^{'}$ ████████ ███ $█$ ██████████ ███████ █████. ${\displaystyle F\circ G}$ ████████████ █████████ ███████ ██████████████ █████ ████████ ████████████ ███ ███████ ████████ █████████ ██████.

$F\circ G(s,t)={\begin{cases}F(2s,t),&0\leq s\leq {\frac {1}{2}}\\G(2s-1,t),&{\frac {1}{2}}\leq s\leq 1\end{cases}}$ █████████ ${\displaystyle (F\circ G)(s,0)=F(2s,0)=\varphi _{0}{\text{, }}(F\star G)(s,1)=G(2s-1,1)=\varphi _{1}^{'}}$ █████████████ ████ ██████. ██ ██████ ${\displaystyle \varphi _{0}\circ \varphi _{1}\simeq \varphi _{0}^{'}\circ \varphi _{1}^{'}}$ ████████ ████████. ██ ██████ ████████ █████████, ████████ ███████ █████████ ████████ ███ ██████████.

███ ██████ █████ █████████ ██ █████ █████████ ████ ██████ ██████████ ████████ ████████ ███ ███████ ████████████. ████████ ███ $\varphi$ ███████ ████████ ██████ $[\varphi ]$ ███ ██████████.

████████ ████████, ████████ ███████████ ███████, ███████ ██ ███████ █████████████ █████████ ██████████.

•███████: $\varphi _{1}\colon I\to X$ , $█$ '███ $█$ '██ █████ ███ ███ █████. $F\colon I\times I\to X$ , $F(a,t)=f(t)$ ████████ ███████████ $█$ ██████████ $\varphi _{1}$ ███ $\varphi _{1}$ ████████ ███ ███████████; █████ ███ $█$ ████,

$F(a,t)\colon I\to X$ ██████████ $█$ '███ $█$ '██ █████ ███ ██████ ██ $F(0,t)=\varphi _{1}(t),F(1,t)=\varphi _{1}(t)$ '███. █████ ██████ $\varphi _{1}\simeq \varphi _{1}$ ████ ██████.

•███████: $\varphi _{1},\varphi _{2}\colon I\to X$ , $█$ '███ $█$ '██ █████ █ ███ █████. $\varphi _{1}\simeq \varphi _{2}$ ████████ █████ ██████. █ █████ ████ ███ $\ F\colon I\times I\to X$ ████████ ███████ ████████ ██████ ██; ███ █████ $█$ ████,

$\ F(a,t)\colon I\to X$ ██████████ $█$ '███ $█$ '██ █████ ███ ███ ████ ██ $F(0,t)=$ $\varphi _{1}(t)$ , $F(1,t)=$ $\varphi _{2}(t)$ '███.

█████ $\ F'\colon I\times I\to X$ ████████████ $F'(a,t)=$ $\ F(1-a,t)$ ████████ ████████████. █ █████ ███ █████ $█$ ████, $F'(a,t)=$ $\ F(1-a,t)$ ██████████ $█$ '███ $█$ '██ █████ ███ ██████ ██

$F'(0,t)=$ $\ F(1,t)=$ $\varphi _{2}(t)$ ██ $F'(1,t)=$ $\ F(0,t)=$ $\varphi _{1}(t)$ ████. █████ ██████ $\ g\simeq f$ ████ ██████.

•███████: $\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3}\colon I\to X$ ████████ ███████ █ ███ █████. $\varphi _{1}\simeq \varphi _{2}$ ██ $\varphi _{2}\simeq \varphi _{3}$ ████████ █████ ██████. ███████████ ███████; $\varphi _{1}\simeq \varphi _{3}$ ███.

$\varphi _{1}\simeq \varphi _{2}$ ██ $\varphi _{2}\simeq \varphi _{3}$ ██████████ ████ $█$ ██ $█$ ████████████ ██████ ██; $\ F\colon I\times I\to X$ , $\ F(0,t)=$ $\varphi _{1}(t)$ ██ $\ F(1,t)=$ $\varphi _{2}(t)$ , $\ G\colon I\times I\to X$ , $\ G(0,t)=$ $\varphi _{2}(t)$ ██

$\ G(1,t)=$ $\varphi _{3}(t)$ '███. █████ ███ $\ H\colon I\times I\to X$ ████████████

{\begin{aligned}\ H(a,t)&={\begin{cases}\ F(2a,t)&0\leq a\leq {\tfrac {1}{2}}\\\ G(2a-1,t)&{\tfrac {1}{2}}\leq a\leq 1\end{cases}}\end{aligned}}

████████ ████████████. ██████ █████████ ██;

\ H(a,t)

██████████

\ a=1/2

███████ ███████ ███ █████ ██████████.

███ ██████ $a=1/2$ ████ $\lim _{a\to 1/2^{+}}H(a,t)=G(0,t)=$ $\varphi _{2}(t)$ ██ $\lim _{a\to 1/2^{-}}H(a,t)=F(1,t)=$ $\varphi _{2}(t)$ ██████████.

███████████ $\ H(a,t)$ ██████████ $\ a=1/2$ ██████████ ██ ██████████. ██████, $H(0,t)=F(0,t)=$ $\varphi _{1}(t)$ ██ $H(1,t)=G(1,t)=$ $\varphi _{3}(t)$ ████████ █████████.

█████ ██████ $\varphi _{1}\simeq \varphi _{3}$

$\varphi _{1}\simeq \varphi _{3}$ ████ ██████.

$\pi _{1}(X,x_{0})$ ███████.

████████ █████████ ████, █████ ██████ $x_{0}\in X$ ██ $\pi _{1}(X,x_{0})$ , $x_{0}$ '█ ██████ ████████████ ████████ ████████████ ██████ █████.

•█████ ███████ $e_{x_{0}}:[0,1]\longrightarrow X$ , $e_{x_{0}}(t)=x_{0}$ ████ $[e_{x_{0}}]$ ██████████ █████████. ████████ ███ $█$ ███████ ████ $[e_{x_{0}}]\star [f]=[f]$ ████████ ████████ ██ ████████ ██ ███████ ██████████: $F(s,t)={\begin{cases}e_{x_{0}},&0\leq t\leq {\frac {1-s}{2}}\\f({\frac {(2t+s-1)}{(s+1)}}),&{\frac {1-s}{2}}\leq t\leq 1\end{cases}}$ .

• $█$ , $\pi _{1}(X,x_{0})$ '██ ███████ ████████ ███ █████ █████. $█$ '██ ███████ ${\overline {f(s)}}=f(1-s)$ ██████ ████████████. $█$ '██ ███████ ██████ ████████████ ██████████. █████ ███ $e{\text{ ve }}f\star {\overline {f}}$ ██████████ ████████ ██ ███████ ██████████: $F(s,t)={\begin{cases}f(2ts),&0\leq t\leq {\frac {1}{2}}\\f(2s(1-t),&{\frac {1}{2}}\leq t\leq 1\end{cases}}$ .

• $f,g,h\in \pi _{1}(X,x_{0})$ ████████ ██ ██████ █████. █████ ███ $[f]\star ([g]\star [h])=([f]\star [g])\star [h]$ ████████ ██████████. ██ ██████ ████████ ████████ ██ ███████ ██████████: $F(t,s)={\begin{cases}f({\frac {4t}{1+s}}),&0\leq t\leq {\frac {s+1}{4}}\\g(4t-1-s),&{\frac {s+1}{4}}\leq t\leq {\frac {s+2}{4}}\\h(1-4{\frac {1-t}{2-s}}),&{\frac {s+2}{4}}\leq t\leq 1\end{cases}}$ .

█████ ████████ ███████, ████ ████████ ███████ ██ ███████ ██████████ █████████████ █████ $\pi _{1}(X,x_{0})$ ███ ███████.

████████

█ █████████ ██████ █████ ████████ █████ █████ $\mathbb {Z}$ ███ ███████ ███████ ██████████, ████████ ██████████: $\pi _{1}(S^{1},1)\simeq \mathbb {Z}$ .
█████ ████████ █████ █████ ███ ██████ ██████████ ████████ ███████ ███████.

███ ███████████

████ █. █████████, ████ ██████ (█████████)
█████ █████████ ███ ████████ ███ ████ ██████ █ █████ ████ █████████ ███████ ███████ █████████ ██████████.
████████: █████████████ ██ ███ ████ ██████, █████████████ ███ ██████████ ████████
█████://███.████████.███/~████████/██████/███████████-█████.███ ██ █████ ████ █████████ ███████ ███████ █████████ ██████████.
█████████ ███████ ██ ███████████ & ██████████: █████://█████████.███.██/██/████████/███████-████/██████ ██ █████ ████ █████████ ███████ ███████ █████████ ██████████.

████████

█████████ ██████████ ████ ████ █████████ ███████ ███████ █████████ ██████████.
██████ █████, ████████ ███ █████████, ████
█████ ███████, █████████ ████████ ██ █████ ████ █████████ ███████ ███████ █████████ ██████████.