█████ (█████)

██ ███████ ██████ ██████████، █████ (██████████: ████████) █████ ██████ ██ █████ ███████ ██ ████، ██ █████ ██████ ████████ █████ ███████ ███ ██████ ████████، ███ ████ ██████ ████████ (██ ██████ ███████) ██████ ████████ █████ ███████ ██ ██████ ████████ (██ ███████). ██ ██ ██ ███ ███ ██████ ████████ ██████ ███████ ██████ ████، ███ ███████ ███ ██████ █████ ███████ ████ ███████ ███ ██████ ████████. ████ ███ █████ ████████ ██████ ███████ ███ ████████ ████████، ███ ███ █████ ████████ ███████، ████ ████ ████ ██ ██████ ██████ █████████ ██ ███████.

██ █████ █████ ██████ █████ ████ █████ ███████ ██ ██████ ███████. ████ ██ ████ ████ █████████ ████ ██████، ██████ ██ ████ ██████. ███ ███ ███████ █████، ███ ████ ████ ██████، ███ █████ ████ ████████ █████.

█████

████ ███████ ██████ ██████ $█$ ██████ $\operatorname {V} \left(X\right)$ ،

██ █████ $\operatorname {Var} \left(X\right)$ ██ █████ $\sigma _{X}^{2}$ .

████████ ██████ ██████ $█$ ██ ████ ██████ $\operatorname {\mu } =\operatorname {E} \left[X\right]$ ، ████ ██ █████ █████، ███ ███████ ███████ $█$ ██:

\operatorname {Var} \left(X\right)=\operatorname {E} \left[\left(X-\mu \right)^{2}\right]

███ ███ ███████ ████ ███████ ████████ ███████ ██████ ██ ██████ ██ ██ ███ ███ ███. █████████ █████ ████████ ███████ █████:

{\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {E} [(X-\mu )^{2}]\\&=\operatorname {E} [(X^{2}-2X\mu +\mu ^{2})]\\&=\operatorname {E} (X^{2})-2\mu \operatorname {E} (X)+\mu ^{2}\\&=\operatorname {E} (X^{2})-2\mu ^{2}+\mu ^{2}\\&=\operatorname {E} (X^{2})-\mu ^{2}.\end{aligned}}

███ ██████:

\mu =\operatorname {E} \left[X\right]={\mbox{arg}}\left\{{\underset {X}{\mbox{min}}}\left\{\operatorname {E} \left[\left(X-{\tilde {X}}\right)^{2}\right]\right\}\right\}

\operatorname {Var} \left[X\right]={\underset {X}{\mbox{min}}}\left\{\operatorname {E} \left[\left(X-{\tilde {X}}\right)^{2}\right]\right\}

██ ██ ██████ ████████ ${\tilde {X}}=\mu$ ████ ███ ████ █████ █████ ██████████ ██ ████ █████، █████ ███ ██████ ██████ ██ ███████.

██████ ███████ ██████ ██████ █████

███ ███ ███████ ████████ $█$ ██████ ██ ████ █████ ██████ $p\left(X\right)$ ، ████ █████ ████████:

\operatorname {Var} \left(X\right)=\int \left(x-\mu \right)^{2}p\left(x\right)dx

███:

\mu =\int xp\left(x\right)dx

███ ██ █████████ ███ ███████ ███████ ███ ████ █████ ████ ████ ██ ████ █████ ███████ $█$ .

██████ ███████ ██████ ██████ █████

███ ███ ███████ ████████ $█$ ██████ ██ ████ ████ ██████ ███████ $x_{1}~p_{1},x_{2}~p_{2},\dots ,x_{n}~p_{n}$ ، █████ ███████:

\operatorname {Var} \left(X\right)=\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-\mu \right)^{2}p_{i}

، ███:

\mu =\sum _{i=1}^{n}x_{i}p_{i}

████ ██ █████: $\textstyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}=1$

███ █████ █████ ███ ████████ ████ █████، █████ ███ ███████ ███ ███ ████ █████ ████████ $█$ ██ █████ ████████ $\mu$ .

█████

███████ █████████ ███████

███████ █████████ ███████ ██ ███████ $\mu$ █ ███████ $\sigma$ ██ █████ █████ (████ ████ ████ █████ █████)، ████ ██████ ██████████ ████ ███ ███:

f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}.

██ ███ ███████، ██████ ████████ █████ $\mu$ ███ ███████ █████ ███ ███:

\operatorname {Var} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x^{2}}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,dx-\mu ^{2}=\sigma ^{2}.

█████ ██████ ███████

███ ███ $█$ ██ █████ ██████ ███████ ██ ████ █████ ███████ $\lambda$ ، ██ $X\sim \operatorname {Pois} \left(\lambda \right)$ ، ███ █████ ████████ █████ $\lambda$ ███████ █████:

{\begin{aligned}\operatorname {Var} \left(X\right)&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-\mu ^{2}=\sum _{n=0}^{\infty }n^{2}{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{n}}{n!}}-\lambda ^{2}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }n^{2}{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{n}}{n!}}-\lambda ^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }n{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{n}}{\left(n-1\right)!}}-\lambda ^{2}\\&=\lambda \sum _{n=1}^{\infty }n{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{n-1}}{\left(n-1\right)!}}-\lambda ^{2}=\lambda \sum _{n=0}^{\infty }\left(n+1\right){\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{n}}{n!}}-\lambda ^{2}\\&=\lambda \left(\underbrace {\sum _{n=0}^{\infty }n{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{n}}{n!}}} _{=\operatorname {E} \left[X\right]=\lambda }+\underbrace {\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{n}}{n!}}} _{=1}\right)-\lambda ^{2}=\lambda ^{2}+\lambda -\lambda ^{2}\\&=\lambda .\\\end{aligned}}

██ ██ █████ ███████ ████████ ██████ ████████ ████████.

████

██ ███████ ██ ████ ██ ████ ████ █████، ██ ███ ████ █████ ███ ███ █████ (█████ █████). ███ ███ ███████ ████████ ████ ████ █████ █████ ███، ████ ██████ █████ █████ ██████ ████. ███ ███████ ███████ ██████، █████ ███████ ████ ███ ████ ███ ████ ████ █████ ██ ████████ ███████.
██ ███████ ██ ████ ████████ ███████ █████ ███████ ████ ████ ██، ██: