████████ (█████████████)

En ███████████ et en ███████ des ████████████, la ████████ est une ██████ de la ██████████ des ███████ d'un ███████████ ou d'une ████████ █████████. Elle ███████ la ███████ des ██████ des ██████ à la ███████, █████ █████ à la ██████████ entre la ███████ des ██████ des ███████ de la ████████ et le █████ de la ███████, █████ le ████████ de █████-███████. █████, plus l'█████ à la ███████ est █████ plus il est ████████████ dans le ██████ █████ (████ la ████████ █████) de la ████████ qui █████████ ████ une █████ ████ sur la ██████████ des ███████.

La ████████ est ████████ ████████, et ne s’██████ que s’il n’y a ███████████████ qu’une █████ ██████. Sa ██████ ██████ ███████ l’█████ ████ █ (« █████ »), d’où la ████████ $\sigma ^{2}=V=\mathbb {V} (X)=\mathrm {Var(X)}$ .

La ████████ est ███████████ et ██████████ par ███████████. Elle peut ████ ███████ à l’████ d’un ███████████ et de la ███████ █████████ ou ██████████ █████ à l’█████████ si █████-██ est ██████.

La ████████ ████████ █████ un ███ ███████████ de ██████████. Elle se ██████████ █████ pour des ████████ ██████████.

Pour une █████ ███████████

████████

█████ █████ une █████ ███████████ d’une ████████ ██████ (█_█, █_█, ..., █_n), dont on a ███████ la ███████ ${\overline {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$ , la ████████ est la ███████ des ██████ des ██████ à cette ███████ :

V={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}

Un █████████████ du █████ ████ à la █████████████ ████████ :

V=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)-{\overline {x}}^{2}

█████████ ███ la ████████ est la ██████████ entre la ███████ des ██████ et le █████ de la ███████.

█████ la █████ █████ les ███████ █_█, █_█, ..., █_n avec les ██████████ █_█, █_█, ..., █_n, sa ████████ est :

V=\sum _{i=1}^{n}f_{i}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}=\left(\sum _{i=1}^{n}f_{i}x_{i}^{2}\right)-{\overline {x}}^{2}.

La ████████ est un ██████████ de ██████████ des ███████, c’est-à-████ qu’elle est ████████ ████████, ne s’██████ que pour une █████ ███████████ dont ████ les ██████ ont la ████ ██████, elle est d’██████ plus ██████ que les ███████ sont ███████, et ██████████ par █████ d’une █████████. Son ██████ peut ███████ plus █████████ que █████ d’██████ ███████████ de ██████████, █████ l’█████ █████████████ ou l’█████ ██████ █████, mais █████████████ à ces ████████, elle est ██████████ : si on █████████ █ ██████ ████████████ en une █████, la ████████ ███████ peut ████ ████████ à ██████ de l’████████ n_█, la ████████ █_█ et la ███████ ${\overline {x}}_{i}$ de ██████ █████ ████████ par la ███████

V={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{k}n_{i}(V_{i}+({\overline {x}}-{\overline {x}}_{i})^{2})

où $N=\sum _{i=1}^{k}n_{i}$ est l’████████ █████ et ${\overline {x}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{k}n_{i}{\overline {x}}_{i}$ , est la ███████ ███████. █████████ ███, la ████████ ███████ est la █████ de la ████████ des ████████ et de la ███████ des █████████, ████ si cette ████████ ██████████ est ███████ ████████.

██████████████ ██████

Si on ████████ une ████████ ██████ $f:x\mapsto ax+b$ aux ██████ d’une █████ ███████████ (█_█, █_█, ..., █_n), la ████████ est ██████████ par a^█. █████████ ███, la ████████ est ████████ de █████ █ et ██████████ par ███████████.

██████ ████████

Le ██████ ████████ de la ████████ pour une █████ ███████████ ne ██████ pas sur la ██████████ ███████ des ████████ ██-██████, ████ pour le ██████ à la ████ sur de ███████ ██████. On ███████ ██████ un ██████████ ████████ qui ████████ la █████████ :

c = █
s = █_█
pour j de █ à n
  s = s+█_j
  c = c+(j █_j − s)^█/(j(j−█))
████████ c/n

Pour une ████████ █████████ ██████

██████████

█████ █████ une ████████ █████████ ██████ █ █████████ une █████████ $\mathbb {E} (X)$ , la ████████ est le ██████ ██████ d’█████ █ : $\mathbb {V} (X)=\mathbb {E} \left[(X-\mathbb {E} (X))^{2}\right]$ . La ███████ de ██████-███████ █████ l’██████████ ███████████ $\mathbb {V} (X)=\mathbb {E} (X^{2})-(\mathbb {E} (X))^{2}$ .

Ces ████ ████████ n’ont de ████ que si $\mathbb {E} (X^{2})$ ██████, █████████ ███ si la ████████ █████ un ██████ d’█████ █. Cela est ████████ le ███ pour une ████████ █████████ ██████, et en ███████████ pour une ████████ █████████ qui n’a qu’un ██████ ████ de ███████ █████████. Mais pour une ████████ █████████ ███ ██████, l’█████████ de l’█████████ et du ██████ d’█████ █ █████████ de la ███████████ d’une █████ ou d’une █████████. █████, une ███ de ██████ n’█████ une █████████ que si son █████████ █ est ███████████ █████████ à █, et n’█████ une ████████ que si █ > █.

Pour une ████████ █████████ n’█████████ qu’un ██████ ████ de ███████ ██████ (█_█, ... , █_█), et en ██████ (█_█, ... , █_█) les ████████████ █████████, on ████████ l’██████████ de la ████████

\mathbb {V} (X)=\sum _{i=1}^{k}p_{i}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}=\left(\sum _{i=1}^{k}p_{i}x_{i}^{2}\right)-{\overline {x}}^{2}=\left(\sum _{i=1}^{k}p_{i}x_{i}^{2}\right)-\left(\sum _{i=1}^{k}p_{i}x_{i}\right)^{2}

Pour une ████████ █████████ ████████ avec un ██████ ██████ de ███████, on ███████ la ████ ███████ en ██████████ la █████ par une █████.

Dans le ███ d’une ████████ █████████ à ███████, la ████████ est ███████ par :

\mathbb {V} (X)=\sigma ^{2}=\int (x-\mu )^{2}\,f(x)\,dx\,

où █ est la ███████ de ███████████ et █ est l'█████████ ████████████ de la ████████ █████████ █

\mu =\int x\,f(x)\,\mathrm {d} x\,

La ████████ d'une ████████ █████████ ████████ █ peut █████ se ████████ de la █████ ████████ :

\mathbb {V} (X)=\int x^{2}\,f(x)\,\mathrm {d} x\,-\mu ^{2}

██████████

██████████████ ██████

█████ pour une █████ ███████████, l’█████ d’une ██████████████ ██████ sur une ████████ █████████ ███████ █████-██ par la ███████ : $\mathbb {V} (aX+b)=a^{2}\mathbb {V} (X)$ .

███████████ ████████

Si ████ █████████ ██████████ █ et Y █████████ une ████████, █████ leur █████ █████ et elle s’█████ $\mathbb {V} (X+Y)=\mathbb {V} (X)+\mathbb {V} (Y)+2\mathrm {Cov} (X,Y)$ , où $\mathrm {Cov} (X,Y)$ est la ██████████. La ████████ s’█████ à █████ ███████████ ████████ de █████████ █████████ une ████████ :

\mathbb {V} \left(\sum _{i=1}^{n}{a_{i}\,X_{i}}\right)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\,\mathbb {V} (X_{i})+2\sum _{1\leq i<j\leq n}\,a_{i}a_{j}\,\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})

\mathbb {V} \left(\sum _{i=1}^{n}{X_{i}}\right)=\sum _{i=1}^{n}\mathbb {V} (X_{i})+2\sum _{1\leq i<j\leq n}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})

█████ de █████████ █████████████

Si █ et Y sont ████ █████████ █████████████, leur ██████████ est █████ ████ on ██████ $\mathbb {V} (X+Y)=\mathbb {V} (X)+\mathbb {V} (Y)$ mais la ██████████ est ██████. Cette ████████ ne ████ pas ████ █████████ avec la █████████ ██████████ par l’█████████. En ███████████ $\mathbb {V} (X-Y)=\mathbb {V} (X)+\mathbb {V} (Y)$ et plus ████████████ $\mathbb {V} (aX+bY)=a^{2}\mathbb {V} (X)+b^{2}\mathbb {V} (Y)$ .

Plus ████████████, la ████████ d’une █████ de █████████ █████████████ est █████ à la █████ des █████████. Ce ████████ ████████ que pour un ███████████ de n █████████ de ████ ████████ █^█, la ████████ de la ███████ █████████ s’█████ $\mathbb {V} ({\overline {X}})={\frac {\sigma ^{2}}{n}}$ .

███████ de █████████ █████████████

La ████████ d'un ███████ de ████ █████████ ██████████ █████████████ █ et Y de █████████ ██████ est ████████ en ████████ de ██████ des ████ █████████ par la ███████ ████████

{\begin{aligned}\mathbb {V} (XY)&=\mathbb {V} (X)\mathbb {V} (Y)+\mathbb {V} (X)(\mathbb {E} (Y))^{2}+\mathbb {V} (Y)(\mathbb {E} (X))^{2}\\&=\mathbb {V} (X)\mathbb {E} (Y^{2})+\mathbb {V} (Y)(\mathbb {E} (X))^{2}\\&=\mathbb {V} (Y)\mathbb {E} (X^{2})+\mathbb {V} (X)(\mathbb {E} (Y))^{2}\end{aligned}}

██████████

██████████ ████████

À ██████ d’un ███████████ de █████████ ██████████ ███████ (█_█, ... , █_n) █████████████ et ████████ d’une ████ ███ de ███████████, la ████████ █^█ de cette ███ peut ████ ███████ à l’████ de la ████████ █████████

S^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}

où ${\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$ est la ███████ █████████.

Cet ██████████ est █████████ ██████, ███ $\mathbb {E} (S^{2})={\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}$ .

█████████████

On ████ █ l’█████████ ███████ aux █████████ de l’███████████.

On █████████ $nS^{2}=\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{2}-2{\overline {X}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}+n{\overline {X}}^{2}=\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{2}-n{\overline {X}}^{2}$ .

██ on ██████ ${\overline {X}}^{2}={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}X_{i}X_{j}$ avec pour ████ █, $\mathbb {E} (X_{i}^{2})=\mathbb {V} (X_{i})+(\mathbb {E} (X_{i}))^{2}=\sigma ^{2}+\mu ^{2}$ d’█████ la ███████ de ██████-███████, et pour ████ $i\neq j$ , $\mathbb {E} (X_{i}X_{j})=\mathbb {E} (X_{i})\mathbb {E} (X_{j})=\mu ^{2}$ par ████████████.

On en ██████ $\mathbb {E} ({\overline {X}}^{2})={\frac {1}{n^{2}}}(n(\sigma ^{2}+\mu ^{2})+n(n-1)\mu ^{2})={\frac {1}{n}}(\sigma ^{2}+n\mu ^{2})$ d’où l’on ████ $\mathbb {E} (nS^{2})=n(\sigma ^{2}+\mu ^{2})-(\sigma ^{2}+n\mu ^{2})=(n-1)\sigma ^{2}$ ████ $\mathbb {E} (S^{2})={\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}$ .

Si n > █, on ███████ █████ un ██████████ ███ ██████ ${\widetilde {S}}^{2}={\frac {n}{n-1}}S^{2}$ par █████████ de l’█████████.

Pour ███████ la ████████ d'une ██████████ ███████ à ██████ de █████ ███████ sur un ███████████ de ██████ n, la ████████ ███████ est ███████ en ███████████ la ████████ ███████ sur l'███████████ par n/n – █. Dans le ███ (plus ████ en ████████) d'un ██████ sans ██████ dans une ██████████ de ██████ N, il ████ ████████ l'██████████ ${\frac {N-1}{N}}{\widetilde {S}}^{2}$ . Dans le ███ où l’█████████ █ des █████████ de l’███████████ est ██████, l’██████████ ██████ $T={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}$ est ████ sans █████.

█████████████

█████ dans la █████████████ du █████ de S^█, on ██████ :

$nT=\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{2}-2\mu \sum _{i=1}^{n}X_{i}+\mu ^{2}$ .

████ $\mathbb {E} (nT)=n(\sigma ^{2}+\mu ^{2})-2n\mu \mathbb {E} ({\overline {X}})+n\mu ^{2}=n(\sigma ^{2}+\mu ^{2})-2n\mu ^{2}+n\mu ^{2}=n\sigma ^{2}$ et $\mathbb {E} (T)=\sigma ^{2}$ .

Ces █████ ███████████ sont ███████████.

█████████████

D’█████ la ███ des ██████ ███████, la ███████ █████████ ████████ ███████ ████████ vers l’█████████ █ et la ███████ █████████ des ██████ ${\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{2}$ ████████ ███████ ████████ vers █^█ + █^█, ce qui ██████ que les █████ ███████████ de la ████████ ██████████ vers █^█ ███████ n → +∞.

██████████ de █████████

L’█████████ d’un ██████████ de █████████ pour la ████████ d’une ███ de ███████████ à ██████ d’un ███████████ ██████ du ████ de ███.

Pour une ███████ de ████ █████████ d’un ████ █████████, █████ les ████ de █████████, les ████ ████████████, ██████████████ ou les ████ de ███████, il ██████ d’████████ un ██████████ de █████████ sur le █████████. Pour une ███████ de ████ █████████ d’au █████ ████ ██████████, on ███████ un ██████████ ██████████ █████ un ████ █████████ ███████████ █████ à la ████████ de la ███ ████████. █████, pour un ███████████ de n █████████ ███████████ (█_█, ... , █_n) dont l’█████████ est ████████, le ████████ de la ████████ █████████ sans █████ █████████ par (n-█) par la ████████ ██████ ████ une ███ de ███-████ avec n – █ ██████ de ███████ d’█████ le ████████ de ███████.

████████ d'████████

██████ ██████ ███████, le ███████, le ███ de ████████, dans un ███████ de ████ ████████ « ███ ███████████ ███████ █████████ on ███ ███████████ ██ █████████ ███████████ » où il ███████ la ████████ █████ le █████ de l'█████ ████. Dans ce ████████ il ███████ ██████████ la ████████ à l'█████ ████ en ████ que ██████ de la ███████████ d'un █████████ ███████. Il ███████ ce █████ à ███████ au ███████ de █████████████ de ███████ en ████. C'est lui qui ███████ █████ l'███████ de la ████████ █████ qu'on la ████████ ███████'███ dans son █████ « ███████████ ███████ ███ ████████ ███████ » ████ en ████.

████████████

Le ██████ de la ████████ ██████ d’en ███████ l’█████ ████ $\sigma (X)={\sqrt {\mathbb {V} (X)}}$ , qui est ████████ à la ████████ █████████, au ████ ████████████ du █████ █████ en ███████ ██████████████.

La ████████ d’une █████ ███████████ ████████ dans le ██████ des ████████████ de la ██████████ ████████.

L’███████ de la ████████ (█████) █████████ des ████████ d’██████ de ████████████ entre ████████████ sur une ou █████████ █████████ █████████████.

La ████████ d’une ████████ █████████ ██████████ dans le ████████ ███████ ██████ █████ que dans l’█████████ de ████████-██████████.

████████ ██████████████

██████ ████ █████████ ██████████ Y et █. On ███████ ████████ ██████████████ de Y ███████ █ la ████████ █████████ █████████████ à l'█████████ ██████████████ ███████ █ du █████ de l'█████ de Y à l'█████████ ██████████████ :

\operatorname {Var} (Y|X)=\mathbb {E} \left([Y-\mathbb {E} (Y|X)]^{2}|X\right).

█████ █████ ████████ ██████████████, elle est ████████ de █.