█████

█████ ████████ ██████████, █████ (█████: $\operatorname {Var} (X)$ ██████ ███████ ████████) ███ ███ ██████ █████ ██████████ █████ ████ ██████ ███. ████ ██ ████ ███████ ██ ███ █████ ████ ████ ████.

█████ ███████████, ██████ ███ █████ (███████) ██████ ██ ██ ███, ███████ ██ ██ ██████. █████, ██ ██████ ████ ███, ██ ██████ ████. ███ █████ ██████ ████, ██ ██████ "███████" ████. ██████ ███████ █████ ████, ████ ████ ████ ██-█████.

██████ ██████ ████ █████ ████ █████ █████ ████, █████ ████ ████ █████ ██████ █████████ ████████ ██ ████ ████ ████ ██████████ ██ █████ ██████. ██ █████████ (████ ███████ ████) ███████ ████ ████ ██████; █████ ███████ ████ ██████, ███ ██████ ████ ██████.

████ ███████ ██████ ██ █████ ██████ ██████████, ███ █████ ██ ██████ █████, ████ █████ ██ █████ █████ ███, █████ █████ ██████, █████ ██ ██████ ██████ ███████ ████████.

█████

████ █████ ████ $█$ – ████ ██ ████ – ███ █████ $\mu$ , ██████ ███ ██████ ██████ ██ █████ █████ ██ ██████ ██████ ███, █████ ██████ ██████ ████ █:

$\operatorname {Var} (X)\;{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\;\mathbb {E} [(X-\mathbb {E} [X])^{2}]=\mathbb {E} [(X-\mu )^{2}]$

██████ ██████ ███ █████:

{\begin{aligned}{\text{Var}}(X)&=\mathbb {E} [(X-\mathbb {E} [X])^{2}]\\&=\mathbb {E} \left(X^{2}-2X\mathbb {E} [X]+\mathbb {E} [X]^{2}\right)\\&=\mathbb {E} [X^{2}]-2\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [X]+\mathbb {E} [X]^{2}\\&=\mathbb {E} [X^{2}]-\mathbb {E} [X]^{2}\end{aligned}}

██ ███ █████ ███████████ ██ ███████ ████████ ██████ ███████.

█████ █████

█████ ████ ████

██████ ████████ ███████ █████ █_█ ↦ █_█, ..., █_█ ↦ █_█, ███ ██████ ████ ██████

\operatorname {Var} (X)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\cdot (x_{i}-\mu )^{2}

█████ ████ ████

██████ ████████ ███████ █████, █████ ██████ ████ ██ ███

\operatorname {Var} (X)=\sigma ^{2}=\int (x-\mu )^{2}f(x)\,dx=\int x^{2}f(x)\,dx-\mu ^{2}

████ $\mu$ ███ ███ ██████

\mu =\int xf(x)\,dx

█████████ █████ ██ ███ ██ ████ ████████ ████████ – █████ ██ ████ ████, ██ ███ ██ ████ █████.

███████

███████ ███████

████████ ███████ ██ ████████ █ █-█ ███ ███████ █████ █████ ████████ ██████ ████████ █████ ██ ███:

f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}},

████ █ ███ ██████, ███ ██████ ████ ██ ███:

\operatorname {Var} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {(x-\mu )^{2}}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,dx=\sigma ^{2}.

█████ ███████ ██ ██ ████████ ██████ ███████ ████ ██████ ███████ █████████ ██████ █████ ████████████ ███████. ████████ ████████ █████ █████ █████ ████████ ███ ████ █████ ██████.

███████ ███████

███████ ███████ ██ ██████ █ █-█ ███ ███████ █████ █████ ████ ███ ███████ (████ ███ █████) ████████ ██████ ████████ █████ ██ ███:

f(x)=\lambda e^{-\lambda x},\,

███ ██████ ███ ████ ██ ███ █ = █^−█. ███ ██████ ████ ██ ███:

\operatorname {Var} (X)=\int _{0}^{\infty }(x-\lambda ^{-1})^{2}\,\lambda e^{-\lambda x}dx=\lambda ^{-2}.\,

███ ████ █████ ████ ██████ █████ ██████ █^█ = █^█.

███████ ██████

███████ ██████ ██ ██████ █ ███ ███████ █████ ████ ██████ █ ████ ████ █-█████, ████████ ███████ ████ █ █████ ██ ███:

p(k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }

███ ██████ ███ █ = █. ███ ██████ ████ ██ ███:

\operatorname {Var} (X)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }(k-\lambda )^{2}=\lambda

███ ████ █████ ████ ██████ ██████ █^█ = █.

████████ ████████

████████ ████████ ██ ████████ █ █-█ ███ ███████ █████, ███████ ███ $P(k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}$ . ███ ██████ ███ █ = ██. ███ ██████ ███ $\operatorname {Var} (X)=np(1-p)$ .

████ ████

███████ ███████ ██ ████ $p=0.5$ █████ ██ ████████ █████ $█$ ██ ████ $█$ █████. ███ ███ ██████ ██ ████ █████ ███████ █████ ██ ███: ${\frac {n}{2}}$ , ████ ██████ ██ ███: ${\frac {n}{4}}$ .

███████ █████

██████ █████

████ ████ ████ ██████ █████ ████ █ █████ ██ ███ █████ ████ ████ █████ █████ ███ █ █-█, ████████ ████ ████ $\textstyle {\frac {1}{6}}$ . ███ ██████ ███: (█ + █ + █ + █ + █ + █)/█ = █.█. ████ ████ ██ ██████ █████

{\begin{aligned}\sum _{i=1}^{6}{\tfrac {1}{6}}(i-3.5)^{2}={\tfrac {1}{6}}\sum _{i=1}^{6}(i-3.5)^{2}&={\tfrac {1}{6}}\left((-2.5)^{2}{+}(-1.5)^{2}{+}(-0.5)^{2}{+}0.5^{2}{+}1.5^{2}{+}2.5^{2}\right)\\&={\tfrac {1}{6}}\cdot 17.50={\tfrac {35}{12}}\approx 2.92\end{aligned}}

█████ █████

█████ ████ █ ███ ███████ █████ $\textstyle {\frac {1}{n}}$ ███ ████ ██ ██████ ███████ ███ █ █-█. ████ ██ ██████ ██ ███:

{\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\mathbb {E} (X^{2})-(\mathbb {E} (X))^{2}\\&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}i^{2}-\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}i\right)^{2}\\&={\tfrac {1}{6}}(n+1)(2n+1)-{\tfrac {1}{4}}(n+1)^{2}\\&={\frac {n^{2}-1}{12}}\end{aligned}}

██████

██████ ████ ██ ██████ $\operatorname {Var} (X)\geq 0$
██████ ██ █████ ████ ████ ████ ██ ███ ██ ██████ █████ ████ ███ ████ ████████ █
██████ ██ ███████████ ████████ ██ ██████ █████ $█$ ███: $\operatorname {Var} (aX+b)=a^{2}\operatorname {Var} (X)$ ████ $\ a,\,b$ ██ ██████ ██████.
██████ (████████) ████ ██████ ███████ (██████████) ██ ██████ ██ ████: $\operatorname {Var} (X)=\operatorname {Cov} (X,X)$ , ████ $\operatorname {Cov} (Y,Z))$ ████ ██ ██████ ███████ ██ ███████ $█, █$ .
██████ ██ ████ ██████ ██████ █ , █ ███: ███ ⁡ ( █ + █ ) = ███ ⁡ ( █ ) + █ ███ ⁡ ( █ , █ ) + ███ ⁡ ( █ ) .
- ████ ██████ ██ ██████ ██████ █████ ████ ██████ ██████ ██:
$\operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Var} (X_{i})+2\sum _{1\leq i}\sum _{<j\leq n}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})$

█████, ██████ ███████ ██ ██ ███ ██████ ██████ ██ ██ ████ ██████ – ██ ███ ██ ███████ ███████ ████ ██████ ██ ███, ██ ██████ ██ ████ ███████ ███████ ████ ████ █████ ████████ ██ ██ ███ ███.
████ ██████ █████: ██ $█, █$ ██████ ██████, ███████ ██ $█$ █████, ████ ████ ██ ██████ ██ $█$ █████ ███:
$\operatorname {Var} (X)=\mathbb {E} (\operatorname {Var} (X|Y))+\operatorname {Var} (\mathbb {E} (X|Y))$ .

█████ ██████████ ██████ █████

█████ ██████████

████ █████████ █████ (█████████ ████ █████) ████ ████ ██ ██████ █████ ██████:

\sigma ^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}}{N}}

${\overline {x}}$ - █████ ██████████. $\ N$ - ████ ███████ ██████████.

█████ ███████ ██████ █████ ██████████:

\sigma ^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}}{N}}-\left({\frac {\sum _{i=1}^{N}x_{i}}{N}}\right)^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}-N*{\overline {x}}^{2}}{N}}\!

█████ █████

██████ ████ ████ ████ $(y_{1},\dots ,y_{N})$ ██ █████ ██ █████ ████ ███ █████████ ████ ████, ██ █████ █████ █████ ██ ███ ██████: $s^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(y_{i}-{\overline {y_{N}}}\right)^{2}$ .

█████ █████ ███ ████ ███████ ████ █████ ██████████. ████████ ████████ █████ █████ ███ ██ ████ █████ █████ ████ █████ ██████████.

████ ███ ████ ██████ ██████████

████ ████ ████ ████ ████ $(y_{1},\dots ,y_{N})$ ████ █████ ██ █████ ██████████ ██ ███ ██████: $s^{2}={\frac {1}{N-1}}\sum _{i=1}^{N}\left(y_{i}-{\overline {y}}\right)^{2}$ ; ██████ ██████, ███ ████ ████ ████. ██ ███████ ███████ ████ ██████, ██ ██████ ██ █████ ████. ███ █████ ████ ███ ████, ████ ██ ███ ██████ ██████ █████ ██████████.

█████ ███████ ████ ██████ █████ ██████: $s^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}-(\sum _{i=1}^{N}x_{i})^{2}/N}{N-1}}\!$ .

███ ██

█████ ██████
█████ ███
█████ ████
█████

███████ ████████

████ ██████ █████ █████ ███████████

█████, ████ █████████ (███████)
█████, ████ ███████████ ████████ (███████)
█████ █████ ██████ ███████, █████ ████ ██████