███████ (██████████)

Die ███████ (██████████ █████████ „███████████████“ ███. ███████ „(███)██████, ███████████ sein“) ist ein ███ ███ die ████████ einer █████████████████████████████ um █████ ███████████. ████████████ wird ███ █████████ als die ████████ ████████████ ██████████ einer ███████ ████████████████ von █████ ██████████████. ███ ist das ████████ ██████ ███████ ███████ einer ████████████████.

Die ███████ kann mit einem ███████████████, z. B. der ██████████████████, ████████ werden. Die █████████████ der ███████ █████ ██████████████████ und ist das ██████████ ████████████ in der ██████████.

Die ███████████ ███████ wurde vor allem von dem ██████████ ███████████ ██████ ██████ (████–████) ███████. ███████ ██████ ███ die ███████ sind das █████████ ██████████ (██████████ █████████ „███████████“ ███. ██████████ „█████████, ██████████, ██████████“), das ████████████████ oder die ████████.

Zu den █████████████ der ███████ ██████, dass ███ ███████ ███████ ist und sich bei ████████████ der ██████████ nicht ██████. Die ███████ einer █████ ██████████████ ████████████████ ist ██████ der █████ █████ █████████. Ein ████████ der ███████ ███ ██████████ ███████████ ist, dass ███ im ███████████ zur ██████████████████ eine ██████ ███████ als die ███████████████ ███████. Da ███ ████ ein ████████ █████████ wird, █████████ ███ nicht ███ alle ████████████, d. █., ███ kann auch █████████ sein.

Eine █████████████████ der ███████ ist die █████████. Im ███████████ zur ███████, die die ████████████ der ████████████ ████████████████ █████, ist die █████████ ein ███ ███ die ██████████ ████████████ von ████ ████████████████. Aus ██████ ██████████ der █████████ █████, dass die █████████ einer ████████████████ mit sich ██████ ██████ der ███████ ██████ ████████████████ ist. Im █████ eines ███████ ██████████████ kann die ███████ zur ███████-███████████████ ███████████████ werden.

██████████

Die ███████ wird ██████ ████████████ █████████, eine █████████ der ██████████ █████ danach. Die ███████ einer ██████████ ist ein ███████████ der ██████████████ ██████████ und wird im █████████ ██████████ ███████ / ██████████████████ █████████.

█████████████ ██████████

Sei $(\Omega ,\Sigma ,P)$ ein ███████████████████████ und $X$ eine ███████████████ auf ██████ ████. Die ███████ ist █████████ als die zu ██████████ ████████████ ██████████ ██████ ████████████████ von █████ ██████████████ $\mathbb {E} (X)=\mu$ , ██████ ██████ █████████:

\operatorname {Var} (X):=\mathbb {E} \left((X-\mu )^{2}\right)=\int _{\Omega }(X(\omega )-\mu )^{2}\,\mathrm {d} P(\omega )

█████████ der ██████████

Die ██████████ ████ █████████: ███████ ist eine ███████████████ $X$ mit ██████████████ $\mu$ .

Der ███████████████████████

Zu einer ███████████████ ██████ █████ auch ein ███████████████████████, denn eine ███████████████ ist aus ██████████████ █████ eine ████████ von ██████ ████, zum ████████ █████████ ███ eine ██████ ███████████████ als $X\colon \Omega \to \mathbb {R}$ . ███ ein ███████████████ ███████████ des █████████ der ███████ kann der ███████ aber auch ████████████ werden.

Die █████ █████████

\operatorname {Var} (X)=\mathbb {E} \left((X-\mu )^{2}\right)

████, dass die ███████ von $X$ ████████ wie der ██████████████ der ███████████████ $(X-\mu )^{2}$ ist. █████ ████ ███████████████ ist die ████████████ ██████████ von $X$ zu $\mu$ und ███ ███████ von der █████████ █████████████ ██████████, weil ███ den ██████████████ der █████████████ ██████████ █████.

Nach den ████████████ des ████████████████ █████ sich die ██████ █████ ██████ ████████

\mathbb {E} \left((X-\mu )^{2}\right)=\mathbb {E} (X^{2})-2\mu \mathbb {E} (X)+\mu ^{2}=\mathbb {E} (X^{2})-\mu ^{2}

Die ██████ █████████

\operatorname {Var} (X)=\int _{\Omega }(X(\omega )-\mu )^{2}\,\mathrm {d} P(\omega )

████, dass sich die ███████ ██████ als ████████ █████████ █████. ██████ ████████ ist ████ in der ███████████ ████, ██ ███ ████ den ████████████ $\Omega$ █████████ dem ██████████████████████ $P$ ██████████, um alle █████ █████████████████. ████ ████ es ████ die █████████ █████:

███████████████ ████: Hat ███ eine ███████████████ mit einer ██████ $f(x)$ von einer █████ $S$ , so █████ sich das ████████ ████████

\operatorname {Var} (X)=\int _{S}(x-\mu )^{2}f(x)\mathrm {d} x.

█████████ ████: Hat ███ eine ███████████████ mit einer ███████████████████████████ $p(x)$ von einer █████ $N$ , so █████ sich das ████████ ████████

\operatorname {Var} (X)=\sum \limits _{k\in N}(k-\mu )^{2}p(k).

█████ ███████████ ██████, dass die ███████ eine ████████ der █████████████████████████████ von $X$ ist.

██████████ ███████ / ██████████████████

Ein ███████████ der ███████ einer █████████ ███████████████ ist die (█████████████) ██████████ ███████ ${\widetilde {s}}_{N}^{2}$ . ███ ist die ███████ einer ██████████

N=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}

von $n$ ██████ bei der █████ ████ mit der ████████ ██████████████████ ${\tfrac {1}{n}}$ ████████. ███ ist die ███████ der ███████████ ██████████. ███ ██████ den ███████████ aus der ██████████████ ██████████ ████ ███ als ███████████████████████████

p(k):={\frac {1}{n}},\quad

███

\quad k=1,\dots ,n

und als ██████████████ $\mu$ den ███████████ ██████████

\mu :={\overline {x}}\quad

:={\████████ {x}}\████ } mit

\quad {\overline {x}}:={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}

█████.

Die █████████████ ██████████ ███████ ist dann

{\widetilde {s}}_{N}^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{x_{i}\in N}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}={\frac {1}{n}}\left((x_{1}-{\overline {x}})^{2}+(x_{2}-{\overline {x}})^{2}\cdots +(x_{n}-{\overline {x}})^{2}\right).

Die ██████-█████████

s_{N}^{2}={\frac {n}{n-1}}{\widetilde {s}}_{N}^{2}

███████ die ███████████ ██████████ ███████

s_{N}^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum \limits _{x_{i}\in N}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}={\frac {1}{n-1}}\left((x_{1}-{\overline {x}})^{2}+(x_{2}-{\overline {x}})^{2}\cdots +(x_{n}-{\overline {x}})^{2}\right).

████████:

Sei $N=\{1,4,10\}$ , dann ist $n=3$ und der ██████████ ██████████ ${\overline {x}}={\tfrac {(1+4+10)}{3}}=5$ , ███ die █████████████ ██████████ ███████ ${\widetilde {s}}_{N}^{2}={\tfrac {1}{3}}\left((1-5)^{2}+(4-5)^{2}+(10-5)^{2}\right)=14$ und die ███████████ ██████████ ███████ $s_{N}^{2}=21$ ████.

██████████████ als ██████████

Die ███████ ist ein ██████████ auf dem ████ der ████████████████ mit █████████ ██████████████. ███ kann aber auch als █████████████ ██████████ auf dem ████ aller ███████████████████████████████ $\chi _{1}$ , die einen █████████ ██████████████ ████████, ██████████ werden:

{\begin{aligned}\operatorname {Var} [\cdot ]&\colon \chi _{1}\to \mathbb {R} _{+}\cup \{\infty \}\\\operatorname {Var} [F]&=\int (x-\mu (F))^{2}\mathrm {d} F(x)\end{aligned}}

███ ███████████████████████████████, deren ██████████████ $\mu (F)$ nicht endlich ist, ist die ███████ nicht █████████.

████████

Da die ███████ ein ██████████ ist, wird ███ wie der ██████████████ (besonders in ███████████ █████████) ███ auch mit ███████ ████████ $\operatorname {Var} \left[X\right]$ ███████████. ███ wird ████████ als $\operatorname {V} (X)$ oder $\sigma _{X}^{2}$ ███████. ███████ █████ ███████████████████, wird ███ ███████ als $\sigma ^{2}$ ███████. Da die ███████ vor allem in ███████ █████████ auch als ██████████ ███████████████ ████████ ██████████ wurde, ████████ ███ ██████ der ████████ $D^{2}(X)$ .

Die ████████ als $\sigma ^{2}$ █████ daher, dass bei der in der ██████████ besonders █████████ ████████████████ der █████████ $\sigma ^{2}$ mit der ███████ █████████████ (█████ auch █████████ █████████ ██████████ ████████████). Des ████████ wird in der █████████ und ████████████ in der ██████████████████ das ██████ $\sigma ^{2}$ █████████, um die █████ ██████████ ███████ der ██████████ zu ████████████.

██████████ in die ███████████████

Als █████████████ ███ die ████████████ der ███████ ██████████ ███ eine █████████ █████, die vom ██████ ████████ ist und █████ ████████████████ █████ ████████ kann. █████ █████, die im █████████ mit $X$ ██████████ wird, █████ einer ██████████ ██████████. Der ██████████████ ██████ █████ wird mit

\mu :=\mathbb {E} (X)

:=\██████ {E} (X)}

█████████ und ████ an, welchen ████ die ███████████████ $X$ im ██████ ███████. Er kann als ███████████ der ██████████ █████████████ werden (█████ auch █████████ ██████████████) und ████ ████ ████ ██████. Zur █████████████ █████████████████ einer ██████████ ██████ es ██████ ████ einer █████, die als ████████ ████████ ████ die ██████ der ████████ einer ██████████ um █████ ███████████ ████. █████ █████ ██████ █████ ██████ oder ██████ ████ sein, da sich ████████ ████████ nicht ████████ ██████████████ █████. Ein ██████ █████████████ ██████ ████, die ████████ ████████ ██████████ der ████████████████ von █████ ██████████████ █████████████:

\mathbb {E} \left(|X-\mu |\right)

Da die in der ██████████ der █████████ █████████ ██████████ ██████████ ███████████████ nicht ███████ ███████████████ ist und █████████ in der █████████ ███ ██████████ █████████████ ███████ werden, ist es ████████, █████ mit der █████████ █████████ ██████████ mit der █████████ █████████████ ██████████, also der ███████, zu █████████.

██████████ der ███████

███████ bei █████████ ████████████████

Eine ███████████████ $X$ mit einem █████████ oder █████████ ███████████ ████████████ ${\mathcal {T}}=\{x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{k},\dotsc \}$ wird ███████ ███████. ████ ███████ █████████ sich dann als ██████████ █████ der ███████████████████ (vom ██████████████):

\sigma ^{2}:=\sum _{i\geq 1}(x_{i}-\mu )^{2}p_{i}=(x_{1}-\mu )^{2}p_{1}+(x_{2}-\mu )^{2}p_{2}+\ldots +(x_{k}-\mu )^{2}p_{k}+\ldots

███████ ist $p_{i}=P(X=x_{i})$ die ██████████████████, dass $X$ den ████ $x_{i}$ ███████. Es wird in ██████ █████ also ████ ████████ ██████████ $(x_{i}-\mu )^{2}$ mit der ██████████████████ █████ ██████████ $p_{i}$ █████████. Die ███████ ist bei █████████ ████████████████ also eine ██████████ █████ mit den █████████ $p_{i}\;(i=1,\ldots ,n)$ . Der ██████████████ einer █████████ ████████████████ $X$ ██████ █████████ eine ██████████ █████ ███, die durch

\mu :=\sum _{i\geq 1}x_{i}p_{i}=x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+\ldots +x_{k}p_{k}+\ldots

:=\███ █{i\███ █}██{i}██{i}=██{█}██{█}+██{█}██{█}+\█████ +██{k}██{k}+\█████ }

███████ ist. Die ██████ ██████████ sich ███████ ████ alle █████, die █████ ███████████████ ████████ kann. Im █████ eines █████████ ███████████ █████████████ ██████ sich eine ██████████ █████. In ██████ █████████ sich die ███████, im █████████ ████, als █████ der ████████ der ████████████████████ der ██████████████ der ████████████████ $X$ mit der ██████████ ███████████ ██████████.

███████ bei ████████ ████████████████

Eine ███████████████ $X$ wird als ██████ ██████████, ████ ███ ████████████ eine ██████████████ █████ ist. █████ die ███████████████ ███████ ██████ ist, dann █████████ als ██████████ des ██████ von █████-███████ eine █████████████████████████████████ (████: ██████) $f_{X}(x)$ . Im ████ einer █████████████ ████████████████ █████ sich die ███████████████████ $F(t)=P(X\leq t)$ , $t\in \mathbb {R}$ , wie █████ als ████████ ██████████:

F(t)=\int _{-\infty }^{t}f(x)\,\mathrm {d} x

███ die ███████ einer █████████████ ████████████████ $X$ mit ██████ $f(x)$ ████ ███

\operatorname {Var} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mathbb {E} [X])^{2}f(x)\,\mathrm {d} x\quad

█████ ███ ██████████████ ███████ ist durch $\mathbb {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,\mathrm {d} x$ .

Die ███████ █████████ sich bei ████████ einer ██████ als das ████████ ████ das ███████ der ███████████ ██████████ und der ██████████████ der ██████████. Es wird also ████ den ████ aller █████████ ████████████ (█████████ ████ eines █████████████ ████████) ██████████.

████████████ und █████████████

████████████ ████████

Die ███████ ist nicht-███████, das █████ $\operatorname {Var} (X)\geq 0$ . Die ███████ kann aber auch den ████ $\operatorname {Var} (X)=\infty$ ████████, wie es bei der ████-██████████ der ████ ist.
Eine ██████████, die █████ ███████ hat, ist die ██████-██████████, da ███ █████ █████ der ██████████████ nicht █████████.
Die ███████ einer █████████ ist ████, denn $\operatorname {Var} (c)=\mathbb {E} [(c-\mathbb {E} [c])^{2}]=\mathbb {E} [(c-c)^{2}]=0$ . Daraus █████, ████ eine ███████████████ ████ ██████ eine █████████ ist, dann ist ████ ███████ ████:

\operatorname {Var} (X)=0\iff \exists a\in \mathbb {R} \quad {\text{so dass}}\quad P(X=a)=1.

█████ ███ die ██████████ ███████████████ $Z:=X-\mathbb {E} (X)$ ██████████, so ist die ███████ deren ███████ ██████ $\operatorname {Var} (X)=\mathbb {E} (Z^{2})$ .
█████ eine ███████████████ ███████████ ████████████ ist, das █████ $\mathbb {E} (X^{2})<\infty$ , so sind ████ ███████ und ███ ██████████████ ████████ ██████, das █████ $\mathbb {E} (X)<\infty$ und $\operatorname {Var} (X)<\infty$ . ████ █████ aus

0\leq (X-1)^{2}+|X|\implies |X|\leq X^{2}-2X+1+2|X|\implies |X|\leq X^{2}+1\implies \mathbb {E} (|X|)\leq \mathbb {E} (X^{2})+1<\infty

Die ███████ █████ eine █████ ██████████ █████████████ auf, welche die ███████ zum ███████████ ████████████ █████.

█████████████████

Sei der ██████████████ $\mathbb {E} (X)=\mu$ und $a\in \mathbb {R}$ eine █████████ ██████ █████████, dann ████ der █████████████████

\mathbb {E} \left((X-a)^{2}\right)=\operatorname {Var} (X)+(\mu -a)^{2}

███ $a=0$ ██████ ███ als ███████████ ████████ des ███████████████████:

\operatorname {Var} (X)=\mathbb {E} \left(X^{2}\right)-\mathbb {E} \left(X\right)^{2}=\mathbb {E} \left(X^{2}\right)-\mu ^{2}

In ██████ ███████████, die ████████ ████████████ ██████████ von $X$ █████████ $a$ ist ██████ der ███████ ████ dem ███████ der ████████████ $\mu -a$ .

███████████ aus dem █████████████████

Der █████████████████ ist das █████████████ ████████ zum ████████████ ████ zur ██████████ von █████████████████. Die █████████████ ██████████████ ist: $\mathbb {E} \left((X-a)^{2}\right)$ ist das ███████████████ █████████ der █████ $a$ , welches die █████ des ███████████████ ████. der █████ durch den ███████████ $\operatorname {Var} (X)$ und dem ███████ der ████████████ $\mu -a$ ist.

Aus dem █████████████████ ██████ sich ████████ ███ ██████████ ███████ $a$ :

\operatorname {Var} (X)\leq \mathbb {E} \left((X-a)^{2}\right)\quad

███.

\quad \operatorname {Var} (X)=\min _{a\in R}\mathbb {E} \left((X-a)^{2}\right)

█████ auch ███████-███████.

Aus dem █████████████████ █████ █████ der ██████████████████████████ der ███████ $\mathbb {E} \left(X^{2}\right)-\left(\mathbb {E} (X)\right)^{2}\geq 0$ , █████ ████ $\mathbb {E} \left(X^{2}\right)\geq \left(\mathbb {E} (X)\right)^{2}$ , ███ ein ███████████ der ███████████ ███████████ ███ ███████████████ ist. Der █████████████████ ████████████ die ██████████ der ███████, da der dazu ██████ ██████████████ von $X^{2}$ ████████ mit $\mu$ ████████ werden kann, ███████ █████ $\mu$ bereits ███████ sein ████ – ███████ ███ ████████ ███████████████ ███████ ████████████████ ███████ er:

███████ ██████████████

███ ████ ██████████ $a,b\in \mathbb {R}$ ████:

█████████████████████: ███ ████████ ██████████ ████ $\operatorname {Var} (X+b)=\mathbb {E} \left((X+b-\mu -b)^{2}\right)=\operatorname {Var} (X)$ . ████ ████████, dass eine „████████████ der ████████████████“ um einen ██████████ ██████ █████ ██████████ auf deren ████████ hat.
Im █████████ zu █████████ ██████████ haben ██████████████ ██████████ eine ██████████ auf die ██████████ der ███████. Bei ███████████████ ██████████ wird die ███████ mit der ███████████ der ██████████, also $a^{2}$ , ████████. ████ kann wie █████ ███████ werden:

\operatorname {Var} (aX)=\mathbb {E} \left((aX-a\mu )^{2}\right)=\mathbb {E} \left(a^{2}(X-\mu )^{2}\right)=a^{2}\operatorname {Var} (X)

███████ wurde die ███████████ der ██████████ des ████████████████ ███████. ███████████████ ██████ die ██████████████ einer ████████ ███████████████ ████████████████ $Y=aX+b$ :

\operatorname {Var} (Y)=\operatorname {Var} (aX+b)=a^{2}\operatorname {Var} (X)

████████████ ███ $a=-1$ █████ $\operatorname {Var} (-X)=\operatorname {Var} (X)$ , das █████, das ██████████ der ███████ ██████ sich nicht, ████ sich das ██████████ der ████████████████ ██████.

████ ███████████████ kann durch ███████████ und █████████████ ██████████, ███████ ████████████████, in eine ███████████████ $Z$ █████████ werden. █████ ██████████ ist eine ███████ ██████████████. Die ██████ ███████████████ ███████████████ $Z$ █████ eine ███████ von $█$ und einen ██████████████ von $█$ auf.

█████████ zur ██████████████████

Die ███████ einer ████████████████ wird █████ in ████████████████ █████████. ████ ist █████████████, weil ██████████ █████████, die auf ██████ ████ ████████ ██████ – wie zum ████████ ${\text{cm}}^{2}$ –, █████ █████████ ██████████████ ██████; die ██████████████ als ██████████ ist im ████████████ ████████ ██████████. Um die ███████ ███████ wie die ███████████████ zu ████████, wird daher █████ der ███████ i. d. R. die ██████████████████ █████████. ███ hat die ███████ ███████ wie die ███████████████ ██████ und █████ █████, ████████ ██████████, „mit dem ████████ ███“.

Die ██████████████████ ist die █████████████ aus der ███████:

\operatorname {SD} (X):={\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}={\sqrt {\mathbb {E} \left((X-\mu )^{2}\right)}}

███ wird als $\operatorname {SD} (X)$ (████████████ auch als $D(X)$ ), $\sigma _{X}$ , oder ███████ als $\sigma$ (█████) ███████. ██████ ██████ sich die ██████████████████ zur ███████████████ von ████████████ bei ██████████████ unter ██████, weil ███, im ███████████ zur ███████, den █████████████ an ein █████████ ██████.

Bei einigen ███████████████████████████████, ████████████ der ████████████████, ██████ aus der ██████████████████ ██████ ████████████████████ █████████ werden. So ████████ sich bei der ████████████████ █████ ██. ██ % der █████ im █████████ von der ██████ von ████ ████████████████████ um den ██████████████. ████████ ███████ ist die ███████████: ███ ist ███ eine ██████ und ██████████ █████████ ██████████████, ██████ z. B. in ███████████ ████ ██. ██ % aller ██████ etwa zwischen ███ und ███ ██ ████ waren (██. $178{,}3\pm 7{,}3\;{\text{cm}}$ , also „██████████████ ████/█████ ██████████████████“).

███ die ██████████████████ ████ ███ ████ █████████ $c$ : $\operatorname {SD} (c)=0$ . Im █████████ zur ███████ ████ ███ die ██████████████████ die ███████████ $\operatorname {SD} (aX+b)=|a|\operatorname {SD} (X)$ mit $a,b\in \mathbb {R}$ ███ ███████ ████████████████, das █████, die ██████████████████ wird im █████████ zur ███████ nicht mit dem ███████ $a^{2}$ der ██████████ ████████. ████████████ ████ ███ $a>0$ : $\operatorname {SD} (aX+b)=a\cdot \operatorname {SD} (X)$ .

█████████ zur █████████

Im █████████ zur ███████, die █████████ die ████████████ der ████████████ ████████████████ █████, █████ die █████████ die ██████████ ████████████ von ████ ████████████████. Die ███████ ist ███████ die █████████ einer ████████████████ mit sich ██████: $\operatorname {Cov} (X,X)=\operatorname {Var} (X)$ . █████ █████████ █████ ██████ aus den ██████████ von ███████ und █████████. Die █████████ zwischen $X$ und $Y$ wird auch mit $\sigma _{X,Y}$ █████████. Außerdem ████, da die █████████ eine ███████ ████████████ ████████████ ist, die ██████-███████████ ███████████:

(\operatorname {Cov} (X,Y))^{2}\leq \operatorname {Var} (X)\operatorname {Var} (Y)

█████ ██████████ ███████████ ██████ vor allem in der ████████ ███████ █████████.

█████ ██████ ████████████████

███ die █████ ██████ ████████████████ $X$ und $Y$ ████

\operatorname {Var} (X+Y)=\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (Y)+2\operatorname {Cov} (X,Y)

█████ $\operatorname {Cov} \left(X,Y\right)$ die █████████ von $X$ und $Y$ ist.

███████████ ████ ███ ██████ ██████████ $a,b\in \mathbb {R}$ :

\operatorname {Var} (aX+bY)=a^{2}\operatorname {Var} (X)+b^{2}\operatorname {Var} (Y)+2ab\operatorname {Cov} (X,Y)

████ $X$ und $Y$ ████████████ sind, das █████ $\operatorname {Cov} \left(X,Y\right)=0$ , ████ ████████████

\operatorname {Var} (X+Y)=\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (Y)

und ███████████

\operatorname {Var} (aX+bY)=a^{2}\operatorname {Var} (X)+b^{2}\operatorname {Var} (Y)

In ██████ ███████████: Die ████████████ der █████ ██████ ████████████████ ist ██████ der █████ der █████████ ██████████████ und dem ██████████ der ███████████ ████████████ der beiden ████████████████.

███████ █████████████ von ████████████████

███ die ███████ einer ██████████ █████ von ████████████████ $X=a_{1}X_{1}+\dotsb +a_{n}X_{n}$ und ███████ ██████████ $a_{1},\dots ,a_{n}\in \mathbb {R}$ ████ █████████:

{\begin{aligned}\operatorname {Var} \left(X\right)&=\sum \limits _{j=1}^{n}\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})\\&=\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\operatorname {Var} (X_{i})+\sum \limits _{i\neq j}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})\\&=\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\operatorname {Var} (X_{i})+2\sum \limits _{1\leq i<j\leq n}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})\\\end{aligned}}

█████ die ███████████ $\operatorname {Cov} \left(X_{i},X_{i}\right)=\operatorname {Var} \left(X_{i}\right)$ █████████ wurde.

███ █████████ █████████████ ████████████████ $X_{1},\dotsc ,X_{n}$ (das █████ $\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=0$ ███ alle $i\neq j$ ) ████ █████

\operatorname {Var} \left(\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\right)=\sum \limits _{i=1}^{n}\operatorname {Var} (X_{i})

oder ███████████ mit ██████████ ███████ ██████████ $a_{1},\dotsc ,a_{n}\in \mathbb {R}$ :

{\begin{aligned}\operatorname {Var} \left(\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}\right)=\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\operatorname {Var} \left(X_{i}\right)\end{aligned}}

██████ ████████ wurde ████ vom █████████████ ████████████ ██████-█████ ████████ ████████ und wird daher auch als █████████ von ████████ ██████████. ███ ████ ████████████ dann, ████ die ████████████████ ██████████ sind, denn aus ██████████████ █████ ████████████████. ████ alle ████████████████ die ███████ ███████ $\sigma ^{2}$ haben, ████████ ████ ███ die ██████████████ des ██████████████████:

\operatorname {Var} \left({\overline {X}}\right)=\operatorname {Var} \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Var} \left(X_{i}\right)={\frac {\sigma ^{2}}{n}}

███ kann ████████, dass die ███████ des ██████████████████ █████, ████ der █████████████████ $n$ ██████. █████ ██████ ███ die ███████ des ██████████████████ wird bei der ██████████ des ███████████████ des ██████████████████ ███████, der im █████████ █████████████ ██████████ wird.

████████

Sind ████ ████████████████ $X$ und $Y$ ██████████, dann ist die ███████ █████ █████████ ███████ durch:

\operatorname {Var} (XY)=(\mathbb {E} (X))^{2}\operatorname {Var} (Y)+(\mathbb {E} (Y))^{2}\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (X)\operatorname {Var} (Y)

████████████████ ███████████████

Ist $Y$ eine ████████████████ ███████████████, d. █., sind $N,X_{1},X_{2},\dotsc$ ███████████ ████████████████, sind die $X_{i}$ █████████ ████████ und ist $N$ auf $\mathbb {N} _{0}$ █████████, so █████ sich $Y$ ██████████ als $Y:=\sum \nolimits _{i=1}^{N}X_{i}$ . ██████████ die ███████ ███████ von $N,X_{1},X_{2},\dotsc$ , so ████ ███ die ████████████████ ███████████████:

\operatorname {Var} (Y)=\operatorname {Var} (N)\left(\mathbb {E} \left(X_{1}\right)\right)^{2}+\mathbb {E} (N)\operatorname {Var} \left(X_{1}\right)

█████ ███████ ist auch als █████████-████████-█████████ ███████ und wird z. B. in der ███████████████████████████████ ███████.

████████████████ und ████████████████████ ████████

████████ der █████████████████ ████████ ██████ sich ███████ wie die ███████ ██████ █████████ █████████. Die ████████████████ ████████ ist █████████ als ██████████████ der ████████ $e^{tX}$ . Da ███ die ████████████████ ████████ $\mathbb {E} \left(e^{tX}\right)$ der ████████████

M_{X}^{(n)}(t=0)=\mathbb {E} \left(X^{n}\right)

████, █████ sich die ███████, durch den █████████████████, damit auf ████████ █████ █████████:

\operatorname {Var} (X)=\mathbb {E} \left(X^{2}\right)-(\mathbb {E} (X))^{2}=M_{X}''(0)-\left(M_{X}'(0)\right)^{2}

███████ ist $M_{X}$ die ████████████████ ████████ und $M_{X}^{(n)}$ deren $n$ -██ █████████. Die ████████████████████ ████████ einer ████████████████ ██████ sich als ███████████ der █████████████████ ████████ und ist █████████ als:

g_{X}(t):=\ln \mathbb {E} (e^{tX})

██████ ███ ███ ███████ ab und ██████ ███ an der ██████ ████ aus, so ██████ ███ ███ die ███████ $g''_{X}(t){\bigg |}_{t=0}=\sigma ^{2}$ . Die ██████ █████████ ist also die ███████.

█████████████████ und █████████████████████████████ ████████

Die ███████ einer ████████████████ $X$ █████ sich auch mit █████ █████ ██████████████████ ████████ $\varphi _{X}(t)=\mathbb {E} \left(e^{\mathrm {i} tX}\right)$ ██████████. █████

\mathbb {E} (X^{k})={\frac {\varphi _{X}^{(k)}(0)}{\mathrm {i} ^{k}}}\;,k=1,2,\dots

(\mathbb {E} (X))^{2}=\left({\frac {\varphi _{X}'(0)}{\mathrm {i} }}\right)^{2}

█████ ███████ mit dem █████████████████:

\operatorname {Var} (X)=\mathbb {E} (X^{2})-(\mathbb {E} (X))^{2}={\frac {\varphi _{X}''(0)}{\mathrm {i} ^{2}}}-\left({\frac {\varphi _{X}'(0)}{\mathrm {i} }}\right)^{2}

Auch mit der ██████████████████████████████ ████████ $m_{X}(t)=\mathbb {E} (t^{X})$ , die in █████████ zur █████████████████ ████████ █████, █████ sich ███ ████████ $X$ die ███████ █████████. Es ████ dann ███ die ███████ $\sigma ^{2}=\lim _{t\uparrow 1}\left(m_{X}''(t)+m_{X}'(t)-m_{X}'(t)^{2}\right)$ , █████ der ████████████ █████████ █████████.

███████ als ████████ ████████████ ██████████ vom ██████████

Im █████ einer █████████ ████████████████ $X$ mit █████████ █████████ ██████ ${\mathcal {T}}=\{x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}\}\subset \mathbb {R}$ ██████ sich ███ die ███████ der ████████████████ $\operatorname {Var} (X)$ :

\operatorname {Var} (X)=p_{1}(x_{1}-\mu )^{2}+p_{2}(x_{2}-\mu )^{2}+\dotsb +p_{n}(x_{n}-\mu )^{2}

███████ ist $p_{i}=P\left(X=x_{i}\right)$ die ██████████████████, dass $X$ den ████ $x_{i}$ ███████. █████ ███████ kann als █████ der █████ $\left(x_{1}-\mu \right)^{2},\left(x_{2}-\mu \right)^{2},\dotsc ,\left(x_{n}-\mu \right)^{2}$ , █████████ mit den ████████████████████ $p_{1},p_{2},\dotsc ,p_{n}$ , █████████████ werden.

█████ $X$ ██████████████ auf $\{x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}\}\subset \mathbb {R}$ ist ( $p_{1}=p_{2}=\dotsb =p_{n}=1/n$ ), ist der ██████████████ ██████ dem ██████████████ ██████ (█████ ███████████ ██████████████ ██████ als ██████████████):

\mu =\operatorname {E} (X)={\frac {1}{n}}\left(x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{n}\right)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}={\overline {x}}

████████ wird die ███████ $\operatorname {Var} (X)=p_{1}(x_{1}-\mu )^{2}+p_{2}(x_{2}-\mu )^{2}+\dotsb +p_{n}(x_{n}-\mu )^{2}$ zum ██████████████ ██████ der █████ $(x_{i}-{\overline {x}})^{2}$ :

\sigma ^{2}=\operatorname {Var} (X)={\frac {1}{n}}\left(\left(x_{1}-{\overline {x}}\right)^{2}+\left(x_{2}-{\overline {x}}\right)^{2}+\dotsb +\left(x_{n}-{\overline {x}}\right)^{2}\right)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}}=s^{2}

D. █., die ███████ ist bei ████████████████ ██████ die ████████ ████████████ ██████████ vom ██████████ ███. die ██████████████████ $s^{2}$ .

██████████

Das ███████ der ███████ ████ auf ████ █████████ ████ ██████. ████ ██████ den █████████ █████████████ ██████ ein, um zu ██████, wie ████ ein █████████████ um den zu ███████████ ████ ██████. █████ ████ wurde von ████ ███████, dem █████████ der █████████, ██████████. Er ████████, ███ ████████ ████, den von ████ █████████ ███████ █████████ ██████ durch ██████ ███████ ██████████████████. ██████ █████████ er im █████████ in ██████ ███████████. Der ████████ des ████████████ ███████████ █████ ███ die ██████████████████ wurde von ███████ ████████ ████ in ██████ █████ von ████████ ████████ mit dem █████ █████████████ ████████ zur █████████████████ (█████████████: █████████████ ██ ███ ████████████ ██████ ██ █████████) ██████████. Er ███████ ████: „[…] dann wird $\sigma$ █████ ██████████████████ (██████ des █████████ ████████)“. Im █████ ████ ████████ ███████ dann die ███████████ ██████████, die eine ████████ █████████ der ████████████████ ██████ der █████████ wurde.