█████ ██████

█████ ██████ (██████████: ███████ ████████████)(; ████ █████████: )،(█████ ████ █████ ██████ ███████ ███████) ██ █████ ███████ █████ ████ ██ ████████ ████ ███ ██ ███████ ███ ████ █████ ██ █████ ███ ████ ███ ███████ █████ ████ █████ ████ ██████ ████ ████ ███ ███.

██ █████ ██████████ ██████████ ██ ███████ █████████ ███████ ████ ███ ███ ███ ████ █████████ ███████ ██████ █████ ██████، ███ █████ ███████ █████ ████ ██ ██████ ████ ███ ████ ██ ███████ ██ ██████ ██████ ██ ██████ ███ ████ ███ ███████ █████ █████ ████ █████ █████ █████ ██ █████ ███ ███ ███. ████ ████ ███████ █████ ██████ ████ ███████ ██ █████ █████ █████ ████ ███ ███████ ██ ███████ ██ █████.

███ ████ ██████، █████ ████ ███████ ███████ ███ ██████ ██ ███████ ██ ██████، ██ ████ ██ █████. █████████ ██████. ███████ ████ ██ ████ ██ ████████ ████ █████. ███ █████████ ████ ███ ██████ ████ ██ █████ ██ █████ ████████ ██████: █████ ██████ ███████ ██ █، ████ ██ ███████ ████ ██ ████ █████ █ ██ █ ██████؛ █████ ██████ ████ █████ ██████ ███ █████ █████ ██████ ████ ███ ██ ████ ██ .

████ ███ ██ ███ █████ ████████ ████ ████ ██ ████ ███ ██ ████ ██████ █████ █████.

██ ███ █████ █، ████ █████ █████ █ ████ (█ ███ ██ █ ████). █████ █ █ ███████ ████████ ████ ████ ███ ██████ ████ █████ ████ █████ ██ █. █ ████ ██ █████ █، █، █...

████ ███ ███████ ████████ ███████ ██████:

p(k)=P(X=k)=\mathrm {e} ^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,

████ ███ █████ ███████ █.

████ █████ ████
(█(█ : ██████ ████ █████ █ ██ █.

███ ██ ████ █████ ██████ (██ █████ ██████) ██ ███████ █.

███████

████ ██████ ██████████

█████ █████ ██████ █████ ██████ ███ ██████ ████ ███ ████ █████ ██ ████ █████ ██ █████ .

████ ██ ███████ ████████ █ ███████ ██ █████ ██████ ██ ███████ ███████ █> █ ███ ███ ██ █ = █، █، █... ████ ██████ ██████████ ██ █ ████ ██████:

$\!f(k;\lambda )=\Pr(X=k)={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}},$

█████

█ ██ ███ █████ (█ = █.█████. . .)
█ ██ ███ ████ ██████
!█ ██ █████ █ .

█████ ███████ ██████ █ █████ ██████ ████████ ██ █ █████ ███████

\lambda =\operatorname {E} (X)=\operatorname {Var} (X).

████ █████ █████ ██████ ███ ███████ ████ ███ ███ ████ ██ ███████ ████████، ██ ████ ████ ██████. ███ ███ ███ ███████ ████ ████ ████ ████ █████ █████، ██ ██ ██████ ████████، ██ ███ ██████ ██ █████ ██████.

████ █████ ████████ ███، ████ ██ █████ ███ ███████ $\lambda$ ، ████ ███ ████ ████ ████ ███████ $█$ ████. ██ $\lambda =rt$ (███ $█$ ███ ███████ ███ ████ █████)، █

P(k{\text{ events in interval }}t)={\frac {(rt)^{k}e^{-rt}}{k!}}

████

██ ████ █████ ██████ █████ ██████ █████ ███

███ ███████ ████ ████ █████ ██ ███ ████ █████ ████ █████ ██ █████.
███ ██████ █████ █████ ███ ████ ███████ ███ ██████ ██ █ ██ ████.
███ ███████ ██████ ████ █████ ███████ ██ ████ █████ █████.

██████████ █████████

█████ █████ ██████ ██████ ██████ ███ ████ ██████████ ███████ █████:

█ ██ ███ ██████ ████ ███ ████ ███ ██ ██ ████ ██ █████ ██ █ ██ ████ █████ █، █، █....
██ ████ ████ ███ ████ ███ ██████ ████ ███ ███. ██ ██ ███████ ████ ████ █████.
█████ ██████ ████ ████ ██ ███████ █████ ██ ██ ███████. ██ ███ ███████، █████ ████ ██ ████ ███ █████، ████ ██ █████ █████ ██ ████ █████.
██ ████ ██ ████ █████ ██ ███ ██████ ██████؛ ████ ██ ███، ██ ██ ████ █████ █████ ███، ████ ███ ████ ██████ ██ ██ ████.

███ ████ ███ ██████ █████، ███ █ ██ █████ ██████ ████████، ██████ █ ██ █████ ██████.

█████ ██████ ██ ████ ██ ███████ ██ ██████، ███ █████ ██████ ██████ ███ █████ █ ██████ ███ ███ ███████، ███ █████ ███ ███████ ██ █████████ (████ █████████ ███ █████).

█████ ███ ████████ ███████ ██████

███ █████ ██ ███████ ███████: ████ ████ ██ █ = █ █ █ = █

██████ ██ ████████ ██████ ██ ███████ ███████ (███ ███ ████) ████ █████ ██ ███████ ███ ██ ███ ███ (█ = █ ████ ███ ███ ███)، ███ ███ ████████ ██████ ████ █████ ██████. ██ ██ ██████ █ = █ ████ ████ ██ ██████ ███ ███████؟

P(k=0)={\frac {1^{0}e^{-1}}{0!}}={\frac {1}{e}}\approx 0.37

██ ██ ███ ██████████، ███ ██████ ███ ██████ ██ █████ █████ ██████ ████ ██████ ███ ███████ ██ █.██ ██████. ██████ █ - █.██ = █.██ ██ ██████ ████ █، █، █، ██ ████ ██ █████ ████ ████ ██ ██████ ███ ███████. ██ ██████ █████، ███ █████ ████ ███ ██ ███ ███ (█ = █). ███ ██████ ███ ████ ███████ █████ ████ ███ ███ ██████ █.██، ████ ██████.

████ ███، ███ ███ ███ ██ ██ ███████ ███ █████ ███ ████ █████ (█ = █)، █████ ███████ █████ ██████، ██ █ (█ █████ ██ ██████ ███████) & ████ ؛ = █.██. ████████ ███ ███، █ (███ ████ ██████ ██ ██████ ███████) = █.██، ███ ██ ████ ██ ██████ ████████ ██████.

█████ █████ ████████ ██████

██ ███████ ███ ████ ███ ██████ █████ █████ ███ █████ ██████ ██ ███████ █████ ██████، ███ ██████ ███ █████ (████ █████ █████ ███ █████، █████ █████ ███ █████ █████) ███████ ██████ ████████ █████ ███████ (██████ ████ ███ ██████ ██ ███████).

██ ██ ████ ███ ███████ ████ ████ █████ █ █████ █████ ██ ███ ██ █████ ██████ ███ ███ █████ ████ ████ ██ ██████ ████ █████ ██ ███ █████.

███████ ████ ███ ████ ████ ███ ████ ███ █████ ██ ███ █████ ██████؛ ████ ████ ███████ ████████ █████ ██████ ████ ██████.

████ █████ ███████ ████ ████ ████ ████ ███ ███████ ███ ███████ ███████ ████ ██ ███████ ██████ █████ ██████ ████████ █████ ████ ████.

████

███████ ██████

█████ ██████ ████████ █████████ ██████ ██████ ████ ██████ █.
█████ ████████ ██ $\textstyle \lambda ^{-1/2}$ █████ ████ ██████ █.
█████ ████████ ██████ ██ ███████ ██

\operatorname {E} [|X-\lambda |]={\frac {2\lambda ^{\lfloor \lambda \rfloor +1}e^{-\lambda }}{\lfloor \lambda \rfloor !}}.

!}}.}

███ ███████ ████████ ██████ ██████ ██ ███ ███ ████ █████ $\scriptstyle \lfloor \lambda \rfloor$ ، ███ ████ ███ ████ ████ ██ ██ █████ █ . ███ ██ █████ ████ ██████ (█). █████ █ ██ ███ ████ ████، █████ ██ █ █ █ - █.
████ ███████ █████ ██████ █████ ██████ ████████ █ . █████ ███████ █ ██████ ██████ ██ █ ^█ .
█████ ██████ ██████ ████████ ██████ ██████ ███ ████ ███████ ███████ (██ ███ ███████ ████ █████ ███ ████ ███ ██ █████ ██ «█████ ███████» ███ ██████ ██ ██████، █████ ████ ██████ ████ «██████»).

██████

████ ██████ ( $\nu$ ) ██ ███████ █████ ████:

\lambda -\ln 2\leq \nu <\lambda +{\frac {1}{3}}.

█████ ████

███████ ██████ ███ █████، █ · _█ ██████ ██████، ██ ██████ ██████ ██████ ██ █:

$m_{k}=\sum _{i=0}^{k}\lambda ^{i}\left\{{\begin{matrix}k\\i\end{matrix}}\right\},$

███ ████ {███████} ███ █████ ███████ ██ █████ ██████. ███████ ██████ ██████ ███ ████ ███████. ██ ██████، █████ ████ ██████ ████████ ██████ ██████ ██ █، ███ ████ ████████ ████ ██ ██████ █ █████ ███ ███████ ███████ ██ █████ █ .

██████ ███ ████████ ██████ $B=k/\lambda$ ، ██

$E[X^{k}]^{1/k}\leq C\cdot {\begin{cases}k/B&{\text{if}}\quad B<e\\k/\log B&{\text{if}}\quad B\geq e\end{cases}}$

█████ $█$ ██ ██████ ██████ ████ ██ █.

█████ █████████ █████████ ███████ ██████

██

X_{i}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{i})

███████

i=1,\dotsc ,n

██████، ███

\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \operatorname {Pois} \left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\right)

. █████ ██ █████ ██████، ████ ████ ███ ███ ███ █████ ███████ ████████ ███████ █████ ██████، ██████ ████ ██ ██ ████ █████████ ██████████ █████████.

█████ ████

███████ ██████ ██ ███████ ████████ ██ ██████ ██████.
████████ ██████ █████ ██████ - ██████ $\operatorname {Pois} (\lambda _{0})$ ██ $\operatorname {Pois} (\lambda )$ ████ ██ ███

\operatorname {D} _{\text{KL}}(\lambda \mid \lambda _{0})=\lambda _{0}-\lambda +\lambda \log {\frac {\lambda }{\lambda _{0}}}.

$X\sim \operatorname {Pois} (\lambda )$ ████ ████████ ████████ █████ █████ ██ ███████.

P(X\geq x)\leq {\frac {(e\lambda )^{x}e^{-\lambda }}{x^{x}}},{\text{ for }}x>\lambda

█

P(X\leq x)\leq {\frac {(e\lambda )^{x}e^{-\lambda }}{x^{x}}},{\text{ for }}x<\lambda .

████ █████ ██████ █████ ██████ (██████ ██ ███ ██ █████) ███ █████ ██████:

$P(X\geq x)\leq {\frac {e^{-\operatorname {D} _{\text{KL}}(x\mid \lambda )}}{\max {(2,{\sqrt {4\pi \operatorname {D} _{\text{KL}}(x\mid \lambda )}}})}},{\text{ for }}x>\lambda ,$

███ $\operatorname {D} _{\text{KL}}(x\mid \lambda )$ ██ ███████ ██████ ██████ – █████، ███ ██ ████ █████.

██████████ ████ ████ ████ ███████ ██████ ██████ ████████ $X\sim \operatorname {Pois} (\lambda )$ ███ ████ ███████ ██████ ████████ $\Phi (x)$ ██ ███████:

$\Phi \left(\operatorname {sign} (k-\lambda ){\sqrt {2\operatorname {D} _{\text{KL}}(k\mid \lambda )}}\right)0,$

███ $\operatorname {D} _{\text{KL}}(k\mid \lambda )$ ██ ███ ████ ██████ ██████ – █████ ██████.

██████ ██████

████ $X\sim \operatorname {Pois} (\lambda )$ █ $Y\sim \operatorname {Pois} (\mu )$ ████ ███████ ███████ ██████، ██ $\lambda <\mu$ ، ██ █████ ███

${\frac {e^{-({\sqrt {\mu }}-{\sqrt {\lambda }})^{2}}}{(\lambda +\mu )^{2}}}-{\frac {e^{-(\lambda +\mu )}}{2{\sqrt {\lambda \mu }}}}-{\frac {e^{-(\lambda +\mu )}}{4\lambda \mu }}\leq P(X-Y\geq 0)\leq e^{-({\sqrt {\mu }}-{\sqrt {\lambda }})^{2}}$

██ █████ ████ ██████ ████████ ██ ███████ ███████.

████ █████ ████ ██████ ███████ ███ $P(X-Y\geq 0\mid X+Y=i)$ ██ ██████ ██ $Z\geq {\frac {i}{2}}$ ، ███ $Z\sim \operatorname {Bin} \left(i,{\frac {\lambda }{\lambda +\mu }}\right)$ ، █████ █████ █████ ${\frac {1}{(i+1)^{2}}}e^{\left(-iD\left(0.5\|{\frac {\lambda }{\lambda +\mu }}\right)\right)}$ ، ███ $█$ ██ ████████ █████ (████ ██████ ███ ████ ████ █████████ ███ ██████ █████ ██ ████████). ████ █████ ███ ██ $X+Y\sim \operatorname {Pois} (\lambda +\mu )$ ، █████ ████ ██████ ███ ████████ ███ ███████ ████ ███████. ████ ██████ ███ ████ ██ ████████ ██ ████ █████ ██████.

█████████ ███ █████

███

██ $X_{1}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{1})\,$ █ $X_{2}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{2})\,$ ██████، ██ ████████ $Y=X_{1}-X_{2}$ ████ █████ ██████.
██ $X_{1}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{1})\,$ █ $X_{2}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{2})\,$ ██████، ██ █████ $X_{1}$ ███ ██████ $X_{1}+X_{2}$ ██ █████ ██ ██████.

███ ███ ███████، ███

X_{1}+X_{2}=k

، ██ ██

\!X_{1}\sim \mathrm {Binom} (k,\lambda _{1}/(\lambda _{1}+\lambda _{2}))

████ ███، ███ ████ █ _█، █ _█. . . █ _█ ██ ███████ ██████ █████████ ████████ ██ ████████ █ _█، █ _█... █ _█ ██

████

\sum _{j=1}^{n}X_{j}=k,

X_{i}\sim \mathrm {Binom} \left(k,{\frac {\lambda _{i}}{\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}}}\right)

. ██ ███████،

\{X_{i}\}\sim \mathrm {Multinom} \left(k,\left\{{\frac {\lambda _{i}}{\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}}}\right\}\right)

██ $X\sim \mathrm {Pois} (\lambda )\,$ ██████ $█$ ، ████ ███ █ = █، ██ █████ ██ ██████، $Y\mid (X=k)\sim \mathrm {Binom} (k,p)$ ، ██ ████ █████ █ █████ ██████ $Y\sim \mathrm {Pois} (\lambda \cdot p)\,$ . ██ ██████، ███ $\{Y_{i}\}$ ، ██████ ███ █ = █، ████ ██████ █████ ██████، $\{Y_{i}\}\mid (X=k)\sim \mathrm {Multinom} \left(k,p_{i}\right)$ ، ██ ██ █████ $Y_{i}$ ████ █████ ██████ ███████ $Y_{i}\sim \mathrm {Pois} (\lambda \cdot p_{i}),\rho (Y_{i},Y_{j})=0$ .
████ ██████ █████ ██████ █████ █████ ███████ ██ ██████ ███ ██ ███ █████████ ████ ███ █████████ ██████ ███████ ████████ ███ █████ - ████ █████ ███████ ███████ █████. ████، ████ ████████ ██████ ███████ ██ ██████ ███ ███ █ █████ █████ █████ ████ █ █████ █████ █████. ████ █████ ████ ███ ███ ██ █████ ██████ ██ █████ ███ ███████ ██ ██████ ███ ███ █ ███ █████ ██ █ █ ████ ██ ██ █████ █.██، ██████ █████ ███ ███ █ ≥ ███ █ ██ ≤ ██-

$F_{\mathrm {Binomial} }(k;n,p)\approx F_{\mathrm {Poisson} }(k;\lambda =np)\,$

█████ ██████ ██ ████ ████ ██████ ██████ ██████ ███████ (██ █████ ██████ ████████) ██████ ███. ████ ███████ █████ ██████ ██████ ███████ ██ ███████ ███████ ███████ █████ ███████ █████ ██████. ███ ████ ████ ████ ██████ ██████ ██████.
██████ ███ ███ █████ ███ ███ ███████ ██ █، (███ █> ████)، ███████ ███████ ██████ █ ████████ █ (████████ ████████ ${\sqrt {\lambda }}$ ) ██ █████ █████ ██████ ██████. ███ ████ ████ ██ █████ ██، ███ ███████ ███████ ██ █████ ███ ███ ██ █████ █████ ████████ █████، ██ ███ ███ █ (█ ≤ █)، ███ █ ██ ███ ████ ███ ████، ███ ████████ ██ █ (█ ≤ █ + █.█).

$F_{\mathrm {Poisson} }(x;\lambda )\approx F_{\mathrm {normal} }(x;\mu =\lambda ,\sigma ^{2}=\lambda )\,$

████ ███████ ███████: ███ $X\sim \mathrm {Pois} (\lambda )\,$ ، ██ ██

Y=2{\sqrt {X}}\approx {\mathcal {N}}(2{\sqrt {\lambda }};1)

█

Y={\sqrt {X}}\approx {\mathcal {N}}({\sqrt {\lambda }};1/4)

██ ██ ███ ██████، ███████ ███ ██████ ████████ (███

\lambda

████████) ████ █████ ██ ███████ ███ ██████. ███████ ████، ████ ██████ █████، ██████ ███████ █████، █████ ██ █████ ███████. ████ █████ ████████ (██████████) █████ ██ ███████████ ██████ ████████.

███ ███ ███ █ > █ ███ ████████ ██ ██████ ███████ [█، █ ] ████ █████ ██████ ██████ ██، ██ ████ █████ █████ ██████ ███ █████████ ████████ ███████ ███████ ████ ██████ ███ █████ █ / █ .
█████ █████ ███████ ████████ ████████ ██████ ███ █████ ██████ ███████:

$F_{\text{Poisson}}(k;\lambda )=1-F_{\chi ^{2}}(2\lambda ;2(k+1))\quad \quad {\text{ integer }}k,$

█

$\Pr(X=k)=F_{\chi ^{2}}(2\lambda ;2(k+1))-F_{\chi ^{2}}(2\lambda ;2k).$

█████ ██████

█████ $X_{1}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{1}),X_{2}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{2}),\dots ,X_{n}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{n})$ ███ $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\dots +\lambda _{n}=1$ ، ██ $(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})$ ███ ███████ ████ █████ ██████ $(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\sim \operatorname {Mult} (N,\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})$ █████ $N=X_{1}+X_{2}+\dots X_{n}$ .

███ ████ ، ██ ███ ████ ████، ███ ███ █████ ███ █████ $f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ ، ██ $(Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{n})\sim \operatorname {Mult} (m,\mathbf {p} )$ ███ ███████ █████ ██████، ███

\operatorname {E} [f(Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{n})]\leq e{\sqrt {m}}\operatorname {E} [f(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})]

█████ $(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\sim \operatorname {Pois} (\mathbf {p} )$ .

████ $e{\sqrt {m}}$ ████ ████████ ██ █ ███ $█$ █████ ████ ███ ██████ ██ ██████ ████ ████.

█████ ██████ █████ ███████

██ █████ ███ ███████ ███ ████ ██████ ███████. █████ ███████ ████ ███████ ██

g(u,v)=\exp[(\theta _{1}-\theta _{12})(u-1)+(\theta _{2}-\theta _{12})(v-1)+\theta _{12}(uv-1)]

██

$\theta _{1},\theta _{2}>\theta _{12}>0\,$

█████████ ████████ ██ ██████ (█ _█) ███████ (█ _█) ██████ ████████ █████ ███ ██████

$0\leq \rho \leq \min \left\{{\frac {\theta _{1}}{\theta _{2}}},{\frac {\theta _{2}}{\theta _{1}}}\right\}$

█████ █████ ██████ █████ ██████ █████ ███████ $X_{1},X_{2}$ ██ ███ ████ ███████ ██████ ██████ $Y_{1},Y_{2},Y_{3}$ ████████ $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}$ ██ ███ $X_{1}=Y_{1}+Y_{3},X_{2}=Y_{2}+Y_{3}$ . ████ ████████ ██████ ██████ █████ ███████ ██

${\begin{aligned}&\Pr(X_{1}=k_{1},X_{2}=k_{2})\\={}&\exp \left(-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3}\right){\frac {\lambda _{1}^{k_{1}}}{k_{1}!}}{\frac {\lambda _{2}^{k_{2}}}{k_{2}!}}\sum _{k=0}^{\min(k_{1},k_{2})}{\binom {k_{1}}{k}}{\binom {k_{2}}{k}}k!\left({\frac {\lambda _{3}}{\lambda _{1}\lambda _{2}}}\right)^{k}\end{aligned}}$

█████ ██████ █████

█████ ██████ ███████ ████ ████ $\alpha$ █████ $\lambda$ ████ ██ █████ ██████████ █████ ███ ████ ████████ ████ ███████

$\left(\left(1-{\frac {\lambda }{N}}\right)\delta _{0}+{\frac {\lambda }{N}}\delta _{\alpha }\right)^{\boxplus N}$

███ █. → ∞.

███████ ████، █████ $X_{N}$ ████ ███████ ███████ ████ $X_{N}$ ██ ████ $\alpha$ ██ ████████ ${\frac {\lambda }{N}}$ ███████ █ ██ ████████ ███████. █████ ████ ██ ██████ $X_{1},X_{2},\ldots$ ██████ █████. ██ ████ ███ $N\to \infty$ ██ █████ $X_{1}+\cdots +X_{N}$ ███ ███████ █████ █████ ██████ ████ ██ ████████ $\lambda ,\alpha$ .

███ ███████ █████ █████ █████ ████ ███ ███ ██████ ███ █████ ██████ █████████ ██ █████ ██████ (████████).

███ █████ ███████ ███████ ██████ ██████ ███████ ██████

$\mu ={\begin{cases}(1-\lambda )\delta _{0}+\lambda \nu ,&{\text{if }}0\leq \lambda \leq 1\\\nu ,&{\text{if }}\lambda >1,\end{cases}}$

█████

$\nu ={\frac {1}{2\pi \alpha t}}{\sqrt {4\lambda \alpha ^{2}-(t-\alpha (1+\lambda ))^{2}}}\,dt$

█████ ███ $[\alpha (1-{\sqrt {\lambda }})^{2},\alpha (1+{\sqrt {\lambda }})^{2}]$ .

████ ███ ███████ ████ ██ █████ ████████ █████████ ███ █████ ████████ - ██████. ██████████ █████ ███ █████ $\kappa _{n}=\lambda \alpha ^{n}$ .

███ ████████ ██ ███ ███████

████ ████ ████ ████████ ██████ ██████ ██████ ████؛ ████ ██████ ███ ██████ ██، ███ ████ ██████، ██ ████ «████████ ███ ████████ ██████████ █████ ██████ █. ████ ██. ██████».

███ █████ █████ █ ██████ ██████ ███████ ██████

$R(z)={\frac {\lambda \alpha }{1-\alpha z}}.$

███ █████ █████ ████ (███ ████ ██████ ██████) ██████

$G(z)={\frac {z+\alpha -\lambda \alpha -{\sqrt {(z-\alpha (1+\lambda ))^{2}-4\lambda \alpha ^{2}}}}{2\alpha z}}$

███ █████ █████ █ ██████

$S(z)={\frac {1}{z+\lambda }}$

██ ██████ ███ $\alpha =1$ .

█████████ ████████

█████ ███████ ███████

█████ ████ ██ █████ ███████ █ $k_{i}\in \{0,1,...\}$ ، ████ = █، ... █، ████ ██ █████ ████ ███████ █ ██████ ██████ ████ ██ ███ ██████ ███. █████ ██████████ ██████ ██

${\widehat {\lambda }}_{\mathrm {MLE} }={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}k_{i}.\!$

████ ███ ██ ██████ ███ ████ █ ███ ████ ██████. ████، ███ █████ ██████████ ██████ ██ ████ ███ █████ ██ █. ███ ████ ████ ████ ████ ███ ██████ ████ ████ ██████ █████ - ███ (████). ███ ██ ███ ███████ ██████ ███ █████. ███ ████ █████ ██ ███████ (███ ██ █████ ██████ ████ ████ █████ ██████) ██ ███████ █████ ██████ ██ █.

██████ ███████، ██ ██████ █████ ███████. ██ ██ ███████ █████ ████ ██████ ██████████ ██████ ██████ ███████ ██████ ███ █████: ███ █████ ███ ███ ██████ $\mathbf {x}$ (████ $h(\mathbf {x} )$ ) █████ █████ ███ ███████ $\lambda$ ███████ $\mathbf {x}$ ███ ██ ████ ███████ $T(\mathbf {x} )$ . ██ $T(\mathbf {x} )$ ███████ █████ ██ $\lambda$ .

$P(\mathbf {x} )=\prod _{i=1}^{n}{\frac {\lambda ^{x_{i}}e^{-\lambda }}{x_{i}!}}={\frac {1}{\prod _{i=1}^{n}x_{i}!}}\times \lambda ^{\sum _{i=1}^{n}x_{i}}e^{-n\lambda }$

█████ █████، $h(\mathbf {x} )$ ، █████ ███ ███ $\mathbf {x}$ . █████ ██████، $g(T(\mathbf {x} )|\lambda )$ ، █████ ███ ██████ ███ ██ ████ $T(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}x_{i}$ . ████، $T(\mathbf {x} )$ ████.

██████ ███ ███████ █ ████ ████ ██ ████ ████████ █████ ██████، ██████ ███████ ████████ ████ ████████:

${\begin{aligned}\ell (\lambda )&=\ln \prod _{i=1}^{n}f(k_{i}\mid \lambda )\\&=\sum _{i=1}^{n}\ln \!\left({\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k_{i}}}{k_{i}!}}\right)\\&=-n\lambda +\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right)\ln(\lambda )-\sum _{i=1}^{n}\ln(k_{i}!).\end{aligned}}$

████ ████ ██ $\ell$ ████ █████ █ ████ ███████ █████:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \lambda }}\ell (\lambda )=0\iff -n+\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right){\frac {1}{\lambda }}=0.\!$

████ ██ ███ █ ████ ████ █████.

$\lambda ={\frac {\sum _{i=1}^{n}k_{i}}{n}}$

███ █ ██ █████ ███ █ _█ . ██████ ███ █████ ██████ ██████ ██ █ ███ ██████ ███████ █████ ███ ██████ ██████ █ .

${\frac {\partial ^{2}\ell }{\partial \lambda ^{2}}}=-\lambda ^{-2}\sum _{i=1}^{n}k_{i}$

████ █████ ██████ ██████ ███ ██████ ███████ :

${\frac {\partial ^{2}\ell }{\partial \lambda ^{2}}}=-{\frac {n^{2}}{\sum _{i=1}^{n}k_{i}}}$

███ ████ █ ██ █████ █████ █ _█ . ███ ███████ ████ █████ ████ ███████ █████. ███ ██ ███████ ███، ███ ██████ ███████ ████ ██ ████ ████████.

██ ███ ████████، ████ ██ █████ █████████ █████ ███ ████ ███ $E(g(T))=0$ ████ ███ $P_{\lambda }(g(T)=0)=1$ ██████ $\lambda$ . ███ ███ █████ $X_{i}$ ██ ███ $\mathrm {Po} (\lambda )$ ، ██ ██ $T(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \mathrm {Po} (n\lambda )$ . ██ ████ █████ ███████ ████ ████ ███████ ███، ██ █████ ██ ███ ██████ ███████.

$E(g(T))=\sum _{t=0}^{\infty }g(t){\frac {(n\lambda )^{t}e^{-n\lambda }}{t!}}=0$

██ ███ ███ ████████، $g(t)$ ███ ██ ████ █. ███ ████ ██ █████ ███ ██ ████ ██ ██ █████████ ██████ ████ ██████ $█$ ██ ███████ ██████ █████ ███████ ██ $\lambda$ . ████، $E(g(T))=0$ ██████ $\lambda$ ████ ███ $P_{\lambda }(g(T)=0)=1$ ، ███ ███ ██ ███████ █████.

████ █████

████ ███████ ██ ████ █████ ██████ █████ ██████ ████████ ███████ ███ █████ ███████ ████████ ████████ ██████ ███ █████. █████ █████ ████ ███ ███████ █████ ██████ ████، ████ ████ ███ █████ ████. ██████ ███ ████████ █ ██ █████ ██████ ██████ █، ███ ████ █████ ██ █ ██████ █████ █ – █ ██

${\tfrac {1}{2}}\chi ^{2}(\alpha /2;2k)\leq \mu \leq {\tfrac {1}{2}}\chi ^{2}(1-\alpha /2;2k+2),$

██ █████،

F^{-1}(\alpha /2;k,1)\leq \mu \leq F^{-1}(1-\alpha /2;k+1,1),

███ $\chi ^{2}(p;n)$ ██ ██████ ██████ (████████ ██████ █████ ███████ █) ██████ ████ ███ ██ █ ██ █████ ██████ █ $F^{-1}(p;n,1)$ ██ ████ ████ ██████ ████ ██████ █████ █ ██████ ███████ █. ███ ██████ ██████ «████» █████ ██ ████████ ███████ ██ ███ ████ ██ █ – █ ██████.

█████ ██ █████ █████ █████ ████، ██ ██████ █████ ████ ████ ██████ ███████ ███████ (████ ███ █████ ██████-████████):

$k\left(1-{\frac {1}{9k}}-{\frac {z_{\alpha /2}}{3{\sqrt {k}}}}\right)^{3}\leq \mu \leq (k+1)\left(1-{\frac {1}{9(k+1)}}+{\frac {z_{\alpha /2}}{3{\sqrt {k+1}}}}\right)^{3},$

█████ $z_{\alpha /2}$ ████ ███ ████████ ███████ ██████ ██ █████ █████ ██████ █ / █ .

██████ ███ █████ ██ ███ ██████ ███ █████ ██████ █████ (██████ ███ ████ ██ █████ ███████ █ █ _█ ██████ ██ █████ ██████ ██████ █)، ███ █████

$k=\sum _{i=1}^{n}k_{i},\!$

████ ██████ ██████ ██ █ = ██، ██ ██ ███████ ██████ ███████ ██ █ .

███████ █████

██ █████████ ███████، ████ ███████ ██████ ██████ ██████ █ ██████ ██████ ██ █████ ████. ██████

$\lambda \sim \mathrm {Gamma} (\alpha ,\beta )\!$

████ ███ ██ █ ███ ███████ ████ ██████ ████ █ ███████ ██ ███ █████ █████ █ ██████ ███████ ██████ █ :

$g(\lambda \mid \alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\;\lambda ^{\alpha -1}\;e^{-\beta \,\lambda }\qquad {\text{ for }}\lambda >0\,\!.$

███ ███، ██████ ███ ███ ██████ ██ ███ █ ███████ █ _█ ███ ███ ██ ███، ████ ████ (█، █)، ████ ███████ ██████

$\lambda \sim \mathrm {Gamma} \left(\alpha +\sum _{i=1}^{n}k_{i},\beta +n\right).\!$

███████ ████ █ [█] █████ █████ ████ ██████ ${\widehat {\lambda }}_{\mathrm {MLE} }$ ██ ████ $\alpha \to 0,\ \beta \to 0$ ، █████ ████ ██████ ██ ███████ █████ ██████ █████ ████.

███████ ███████ ██████ ███████ ██████ █████ ██ █████ ████ ██ ██████، ████ ██████ █████ ████-██████.

███████ ████████ ██████ ██████ ████████

█████ $X_{1},X_{2},\dots ,X_{p}$ ██ ██████ ██ █████████ █████████ ████████ ██ ██████ ██ $█$ ███████ ██████، ████ ████ █████ $\lambda _{i}$ █ $i=1,\dots ,p$ ، ████ █████ ███ ████████. ███ ███، ████ █████████ █ █████ ███ ██ ██ █████ █████ █████████ ████████ $L(\lambda ,{\hat {\lambda }})=\sum _{i=1}^{p}\lambda _{i}^{-1}({\hat {\lambda }}_{i}-\lambda _{i})^{2}$ ، ███ $p>1$ ، ███، ███ ████ ████ █████ ███████ ███████، ████ ███ ${\hat {\lambda }}_{i}=X_{i}$ ███ █████.

██ ███ ██████، ███ █████ █████ ██ ████ ████████ ███ $0<c\leq 2(p-1)$ █ $b\geq (p-2+p^{-1})$ ██

${\hat {\lambda }}_{i}=\left(1-{\frac {c}{b+\sum _{i=1}^{p}X_{i}}}\right)X_{i},\qquad i=1,\dots ,p.$

██████ ██████████

████ ██████ ███ ███████ █████ ██████ ██ ██████ ██ ████████ ███ ██ ███:

████ ██ █████████: ████ █████████ ████████ ███ ██████.
████ ██ ███ █████: ████ █████████ ███ ████████.
████ ██ ████████: █████ ██████ ███████ ██████ ███.
████ ██ ███ ███████: ███ ███████ ███ ███ ██ █████ ██████ ███ ████ ███.
████ █████: ████ ███████ ███ ██████ ██ ████ ███████.
████ ███ ███████ ████████: ███ ███████ ██ █████████ ████ ████ ██ ████ █████ █████.
████ ███ ███ ███████ █████████: █████ ██████ █████ ███████ █████████ ███████ ███████.
████ ███ ██████ ████████: ███ █████ ██████ ██ ████ █████ █████ ██ ████ ████.
████ ████████: ███ █████████ ████████ ██ ████ ████ █████. ███ ████ █████ █████ █████ ██████████ █████ ████████ ██████ ████████ ████ █████ ███ ███████ (███).