███ de ███████

En ███████ des ████████████ et en ████████████, la ███ de ███████ est une ███ de ███████████ ████████. Elle ██████ le ████████ d'un █████████ de ████████, par ███████ le ██████ d'███████████ d'un █████████ par ███████ de █████. Un ███████ ███████ █████ dans un █████ ███████████ est le ██████ de ████████ ███████ un █████ ███████████ d'une █████ par ██████ ███████. Elle s'████████ ███████ les ██████████ sont ████████████ les ███ des ██████, et est ███████ par un ████ █████████, à ██████ son █████████, c'est-à-████ le ██████ █████ d'███████████, ████, par ██████████, █. La ███ de ███████ est █████████ ██████████ pour ███████ le ██████ d'██████████ dans d'██████ █████ d'███████████, ████████ ██████ que █████████, █████ des ████████, ████████ ou ███████. Les █████████ █████████ à l'████████ de ces ██████████ sont ███████ █████████ de ███████.

Elle ████ son ███ à ██████ █████ ███████, qui l'a ██████████ en ████. Elle ██████ de ██████████ ████████████, qui ████ de la ████████ (par ███████ le ██████ d'██████████ de ██████████████ dans un ███████████ ██████████) aux ████████████ en ████████ ou en ████████.

███████████

███████ ██████████

La ███ de ███████ a ███ ██████████ en ████ par le █████████████ ████████ ██████ █████ ███████, dans son ███████ ██████████ sur la ███████████ des █████████ en ███████ ██████████ et en ███████ ██████. Le █████ █████████ de cet ███████ ████████ en █████████ █████████ ██████████ qui ██████████, entre ██████ ██████, le ██████ d'███████████ (███████ ████████ « ████████ ») qui ████████ █████ pendant un ████ de █████ █████.

███████ ████████

La ███ de ███████ s'████████ à un ████████ d'██████████ par ██████████ de █████ (ou ███████ par ██████████ de ████████, ███.). À █████ d'███████, on peut ██████████ le ██████ de ████████ ████████████ un █████ █████ sur une █████ par ███████ de ███ ███████. Le █████████ █ est le ██████ █████ ███████. Pour que la ███ ████ ██████████, on █████████ que les ██████████ (les ████████ des ████████) sont ████████████. La ███ ne s'██████████ ████ plus si des ████████ ███████ ████████, en ██████, ou s'il y a un █████████████ : à ce ██████ les ████████ █████████████ et leur ███████ n'est plus ███████████.

████████ de █████

Si le ██████ █████ d'███████████ dans un ██████████ de █████ ████ est █, █████ la ███████████ qu'il ██████ ██████████ █ ███████████ (█ █████ un ██████ ███████, █ = █, █, █…) est :

p(k)=\mathbb {P} (X=k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\mathrm {e} ^{-\lambda }

où :

█ est le ██████ d'█████ (█ ≈ █,███) ;
█! est la ███████████ de █. Il ██████████ à la ██████ ███████ ;
█ est un ██████ ████ ███████████ ███████ (█ > █). Il ██████████ à la ███████ █████████ de l'███████████ et à sa ████████.

On ███ █████ que █ ████ la ███ de ███████ de █████████ █, ████ $X\sim \operatorname {\mathcal {P}} \left(\lambda \right)$ .

Par ███████, si un ███████ ████ d'██████████ se ███████ en ███████ █,█ ████ par ██, pour ███████ le ██████ d'██████████ se ██████████ l'██ ████████, on ███████ █████ ██████ une ███ de ███████ de █████████ █ = █,█.

█████████ de l'██████████ de █(█)

Les ██████████ de ██████ sont qu'il y a en ███████ $\lambda$ ██████████ dans une ███████ de █████ T = █ (l'█████ de █████ est ██████████, on peut ████ ███████ T à █ par █████████), et que les ██████████ sont ████████████ les ███ des ██████. À ██████ de ces ██████████, il est ████████ de █████████ que la ████████ de █████ est █████ ██████ ████████████.

À ██████ de la ███ █████████

On peut ███████ l'████████ de la ███ de ███████ à ██████ de la ███ █████████. On ██████ la ███████ $█$ en $n$ « ███████ » ████████ ██████ $(n>\lambda )$ . En ████████ █████████████, la ███████████ $p_{n}$ d'█████ une ██████████ de l'█████████ pendant la ███████ $1/n$ ████ $\lambda /n$ . On peut █████ ██████████ $p(k)$ par une ███ █████████ : c'est la ███████████ d'███████ $█$ ██████ sur les $n$ ██████.

██████ de la ████████ de █████ à ██████ de la ███ █████████

$\mathrm {B} _{n}(k)={n \choose k}\times p_{n}^{k}\times (1-p_{n})^{n-k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\times \left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{k}\times \left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n-k}$

Ce n'est █████████ qu'une █████████████ : en █████, il ██████ une ███████████ ███ █████ que ████ ███████████ de l'█████████ ███████████ pendant la ████ ███████ $1/n$ , ce qui en l'████ n'est pas ████ en ██████ par le ██████. █████████, si on ████ ██████ $n$ vers l'██████, cette ███████████ ████ vers █. La ███ de ███████ se ████████ ████ █████ █████ la ██████ du ██████ ██-██████ pour $n$ ████ █████.

Pour $n$ ████ █████, ${\frac {n!}{(n-k)!}}$ ███████ ██████████ à $n^{k}$ . On a ████, en ███████ en ███████ ${\frac {n!}{k!(n-k)!}}\times \left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{k}{\underset {\overset {n\rightarrow +\infty }{}}{\sim }}{\frac {n^{k}}{k!}}\times {\frac {\lambda ^{k}}{n^{k}}}={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}$ :

$\mathrm {B} _{n}(k){\underset {\overset {n\rightarrow +\infty }{}}{\sim }}{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\times \left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n-k}={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\times \left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}\times \left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{-k}$

On ████ █████ à l'une des ███████████ █████████ de la ████████ █████████████ :

\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}=\mathrm {e} ^{-\lambda }

Par ████████, $█$ █████ ████████ :

\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{-k}=1

On ████████ ████ l'██████████ de la ███ de ███████ :

$\lim _{n\to \infty }\mathrm {B} _{n}(k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\mathrm {e} ^{-\lambda }$

Par ██████████, █████ ████████ d'une ████████ ██████████████

Le ██████ des ███████ peut █████ se █████ en ████████ sur l'██████████ [█ ; T] les █████████ █_█(t), qui ███████ la ███████████ que l'█████████ se ████████ █ ████ sur l'██████████ de █████ [█ ; t]. En █████████ le ████████████ par ██████████ et le ██████ ████████████, on ████████ à █████████ les ████████ ███████████.

██████ de la ████████ de █████ par ██████████

Dans cette ████████, on ████ $P(k,t)$ la ███████████ qu'il y ███ █ ███████████ de l'█████████ pendant la ███████ $[0,t]$ . On ████ █████ que la ███████████ █████ █████████ dans le █████, le █████ de ██████ ████ t = █ est ██████████, █████ la ███████████ d'███████ n ███████████ dans la ███████ $[t_{0},t_{0}+\Delta t]$ ne ██████ pas de $t_{0}$ , elle ████ $P(k,\Delta t).$

On s'█████████ à $P(k,t+\Delta t)$ . Par ████████████, on a $P(k,t+\Delta t)=P(k-1,t)\times P(1,\Delta t)+P(k-2,t)\times P(2,\Delta t)+...+P(0,t)\times P(k,\Delta t)$ (on ██████████ ██████ les ████████████ ████████ au █████ █). En ███████ une ██████ ████████████ ██████ de $\Delta t$ , la ███████████ d'█████ ████ ███████████ (ou plus) de l'█████████ dans l'██████████ de █████ ██████████████ ███████ ███████████. Le ██████████ de l'██████████ $\Delta t$ se █████████ : $P(0,\Delta t)=1-\lambda \Delta t$ et $P(1,\Delta t)=\lambda \Delta t$ , où $\lambda$ ███████████ la ███████████ d'██████████ d'un █████████ sur l'██████████ de █████ $\Delta t$ .

La ████████ se █████████ en $P(k,t+\Delta t)=P(k,t)\times P(0,\Delta t)+P(k-1,t)\times P(1,\Delta t)=P(k,t)\times (1-\lambda \Delta t)+P(k-1,t)\times \lambda \Delta t$ .

Ce qui ██████ d'███████ une ████████ ██████████████ : ${\frac {dP(k,t)}{dt}}=-\lambda P(k,t)+\lambda P(k-1,t).$

Pour le ███ █ = █, on ███████ ${\frac {dP(0,t)}{dt}}=-\lambda P(0,t)$ , ████████ ██████████████ de ███████ █████ dont la ████████ est $\mathrm {e} ^{-\lambda t}$ . Une ████ ██████ l'██████████ pour $k=0$ , on en ██████ l'██████████ en $k=1$ , et █████ de █████. Ce █████████ ████████ ██████ de █████████ l'██████████ ████████ de la ███ de ███████ pour █████ ██████ de █.

██████████

Dans █████ cette ███████, █ est une ████████ █████████ ███████ une ███ de ███████ de █████████ █.

███████ et █████████ ████████████

███████ ██████████

Le ███████ ██████ █████████, ou █████████, d'une ███ de ███████ se ███████ par la █████ ███████ de l'█████████████ :

{\begin{alignedat}{2}\mathbb {E} [X]&=\sum _{k=0}^{+\infty }kP(X=k)\\&=\mathrm {e} ^{-\lambda }\sum _{k=1}^{+\infty }{\lambda ^{k} \over (k-1)!}\\&=\lambda \mathrm {e} ^{-\lambda }\sum _{k=1}^{+\infty }{\lambda ^{k-1} \over (k-1)!}\\\\&=\lambda \mathrm {e} ^{-\lambda }\mathrm {e} ^{\lambda }\\&=\lambda \\\end{alignedat}}

Les █████ ███████ ██████████ ████████ de la ███ de ███████ sont ██████ par :

{\begin{array}{lll}\mathbb {E} [X^{2}]&=&\lambda (1+\lambda )\\\mathbb {E} [X^{3}]&=&\lambda (1+3\lambda +\lambda ^{2})\\\mathbb {E} [X^{4}]&=&\lambda (1+7\lambda +6\lambda ^{2}+\lambda ^{3})\end{array}}

On en ██████ la ████████ et l'█████ ████ :

{\begin{array}{lll}V(X)&=&\lambda \\\sigma (X)&=&{\sqrt {\lambda }}\end{array}}

Plus ████████████, le n-████ ██████ █████████ d'une ███ de ███████ de █████████ █ est $\mathbb {E} (X^{n})=\sum _{k=0}^{n}S(n,k)\lambda ^{k}$ où S(n, █) est le ██████ de ████████ de ███████ ██████ de ██████████ n et █.

En ███████████ ███████ █ = █, le n-████ ██████ de █ ██████████ au n-████ ██████ de ████. En █████ cela est une ███████████ de la ███████ de ████████.

La █████ ████████ ██████ les ███████ d'une ███ de ███████ : $\mathbb {E} [X^{k}]\leq \left[{\frac {k}{\ln \left(k/\lambda +1\right)}}\right]^{k}\leq \lambda ^{k}\mathrm {e} ^{\frac {k^{2}}{2\lambda }}$ Ils sont █████ ██████ par la ████████ de ██████████ : $\mathbb {E} [X^{n}]=\lambda \mathbb {E} [X^{n-1}]+\lambda {\frac {\partial \mathbb {E} [X^{n-1}]}{\partial \lambda }}$

███████ ███████

Les ██████ ████████ ███████ ███████ d'une ███ de ███████ sont ██████ par :

{\begin{array}{lll}\mathbb {E} [(X-\lambda )^{2}]&=&\lambda \\\mathbb {E} [(X-\lambda )^{3}]&=&\lambda \\\mathbb {E} [(X-\lambda )^{4}]&=&\lambda (1+3\lambda )\\\mathbb {E} [(X-\lambda )^{5}]&=&\lambda (1+10\lambda )\end{array}}

On en ██████ l'█████████ et le ████████ █████████ :

{\begin{array}{lll}\gamma _{1}(X)&=&1/{\sqrt {\lambda }}\\\gamma _{2}(X)&=&1/\lambda \end{array}}

On a la ████████ de ██████████ : $\mathbb {E} [(X-\lambda )^{n+1}]=n\lambda \mathbb {E} [(X-\lambda )^{n-1}]+\lambda {\frac {\partial \mathbb {E} [(X-\lambda )^{n}]}{\partial \lambda }}$

███████ ██████████

Le █-████ ██████ █████████ d'une ███ de ███████ est

$\mathbb {E} ((X)_{r})=\lambda ^{r}$

où $(x)_{r}=x(x-1)\dots (x-r+1)$ ███████ la ███████████ ████████████.

████████ ███████████ des ████████████

La ████████ ███████████ des ████████████ d'une ███ de ███████ est :

$G_{X}(t)\equiv \mathbb {E} (t^{X})=\mathrm {e} ^{\lambda (t-1)}.$

████████ ███████████ des ███████

La ████████ ███████████ des ███████ d'une ███ de ███████ est :

M_{X}(t)\equiv \mathbb {E} (\mathrm {e} ^{tX})=\mathrm {e} ^{\lambda (\mathrm {e} ^{t}-1)}.

On █████████ la █████ ███████████ des █████████ de ████████ : █████████ ███, le $n$ -████ ██████ $\mathbb {E} (X^{n})$ est $T_{n}(\lambda )$ .

█████████████

████ █ une ████████ █████████ ███████ une ███ de ███████ de █████████ █. On ████████ que par ██████████ $\mathbb {P} (X=k)=\mathrm {e} ^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}$ .

█████████

{\begin{aligned}\mathbb {E} (X)&=\sum _{k=1}^{\infty }k\,\mathbb {P} (X=k)\\&=\sum _{k=1}^{\infty }k\,\mathrm {e} ^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\\&=\mathrm {e} ^{-\lambda }\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{(k-1)!}}\\&=\lambda \,\mathrm {e} ^{-\lambda }\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}}\qquad ({\text{on reconnaît le développement en série entière de }}\mathrm {e} ^{\lambda })\\&=\lambda \,\mathrm {e} ^{-\lambda }\,\mathrm {e} ^{\lambda }\\&=\lambda .\end{aligned}}

████████

{\begin{aligned}V(X)&=\mathbb {E} (X^{2})-(\mathbb {E} (X))^{2}&\\&=\sum _{k=1}^{\infty }k^{2}\,\mathbb {P} (X=k)-\lambda ^{2}&\\&=\sum _{k=1}^{\infty }k^{2}\,\mathrm {e} ^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}-\lambda ^{2}&\\&=\lambda \,\mathrm {e} ^{-\lambda }\sum _{k=1}^{\infty }\,{\frac {k\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}}-\lambda ^{2}&\\&=\lambda \,\mathrm {e} ^{-\lambda }\sum _{k=1}^{\infty }\,{\frac {d}{d\lambda }}{\frac {\lambda ^{k}}{(k-1)!}}-\lambda ^{2}&\qquad ({\text{la série entière ayant un rayon de convergence infini,}}\\&=\lambda \,\mathrm {e} ^{-\lambda }{\frac {d}{d\lambda }}\sum _{k=1}^{\infty }\,{\frac {\lambda ^{k}}{(k-1)!}}-\lambda ^{2}&\qquad {\text{on peut inverser la sommation et la dérivation}})\\&=\lambda \,\mathrm {e} ^{-\lambda }{\frac {d}{d\lambda }}\left[\lambda \sum _{k=1}^{\infty }\,{\frac {\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}}\right]-\lambda ^{2}&\qquad ({\text{on reconnaît le développement en série entière de }}\mathrm {e} ^{\lambda })\\&=\lambda \,\mathrm {e} ^{-\lambda }{\frac {d}{d\lambda }}[\lambda \,\mathrm {e} ^{\lambda }]-\lambda ^{2}&\\&=\lambda \,\mathrm {e} ^{-\lambda }(\lambda +1)\,\mathrm {e} ^{\lambda }-\lambda ^{2}&\\&=\lambda \,(\lambda +1)-\lambda ^{2}&\\&=\lambda .&\end{aligned}}

████████ ███████████

On ████████ que la ████████ ███████████ de █ est ███████ par $G_{X}(t)=\mathbb {E} (t^{X})$ . █████ on ███████ :

{\begin{aligned}\mathbb {E} (t^{X})&=\sum _{k=0}^{\infty }t^{k}\mathbb {P} (X=k)\\&=\sum _{k=0}^{\infty }t^{k}\mathrm {e} ^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\\&=\mathrm {e} ^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }t^{k}{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\\&=\mathrm {e} ^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(t\lambda )^{k}}{k!}}\qquad ({\text{on reconnaît le développement en série entière de }}\mathrm {e} ^{t\lambda })\\&=\mathrm {e} ^{-\lambda }\mathrm {e} ^{t\lambda }\\&=\mathrm {e} ^{\lambda (t-1)}.\end{aligned}}

████████ ███████████ des ███████

On ████████ que la ████████ ███████████ des ███████ de █ est ███████ par $M_{X}(t)=\mathbb {E} (\mathrm {e} ^{tX})$ . █████ on ███████ :

{\begin{aligned}M_{X}(t)&=\sum _{k=0}^{\infty }\mathrm {e} ^{tk}\mathbb {P} (X=k)\\&=\sum _{k=0}^{\infty }\mathrm {e} ^{tk}{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,\mathrm {e} ^{-\lambda }\\&=\mathrm {e} ^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\lambda \,\mathrm {e} ^{t})^{k}}{k!}}\qquad ({\text{on reconnaît le développement en série entière de }}\mathrm {e} ^{x}{\text{ évalué en }}x=\lambda \mathrm {e} ^{t})\\&=\mathrm {e} ^{-\lambda }\mathrm {e} ^{\lambda \,\mathrm {e} ^{t}}\\&=\mathrm {e} ^{\lambda (\mathrm {e} ^{t}-1)}.\end{aligned}}

███████ ██████████

{\begin{aligned}\mathbb {E} ((X)_{r})&=\mathrm {e} ^{-\lambda }\sum _{k=r}^{\infty }{\frac {k!}{(k-r)!}}{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\\&=\lambda ^{r}\mathrm {e} ^{-\lambda }\sum _{k=r}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k-r}}{(k-r)!}}\\&=\lambda ^{r}\mathrm {e} ^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\\&=\lambda ^{r}.\end{aligned}}

███████

Les ███████ de ████████ de ███████ ██████ █████████ la ████████

X^{n}=\sum _{k=0}^{n}S(n,k)(X)_{k}

█████, en █████████ la ███████ des ███████ ██████████ d'une ███ de ███████ █████ que la █████████ de l'█████████ on ███████ que

\mathbb {E} (X^{n})=\sum _{k=0}^{n}S(n,k)\lambda ^{k}

█████████ en ██████

█████ █████ ███ de ███████████ ████████, la ████████ de █████ d'une ███ de ███████ peut ████ ███████████ par un █████████ en ██████. ██-███████ sont ███████████ les █████████ de █████ (████) et les █████████ de ███████████ (█████) des ████ de ███████ de ██████████ █ = █ ; █ ; █,█ et █.

███████ le █████████ █ de la ███ de ███████ ███████ █████, (████████████ ██████'il est █████████ à █), son █████████ en █████ est ██████ de l'███████████ d'une ███ ███████ d'█████████ et de ████████ ██████ à █ (l'██████████ de ██████ █████ ████ à l'█████). Cette ███████████ █████ ████ à ██████, █████ que les ██████ █████████████ ne se ████████████, pour ████████ la ███ ███████ (pour ██████████ des ██████ de ███████ ███████ █████████ ███████████) en ████ et █████ de la ███ de ███████ dans ████████ █████.

█████████ de la ███ de ███████ par la █████

Si les █████████ {█_█}_{█=█,...,n} sont █████████████ et ███████ une ███ de ███████ de ██████████ ██████████ █_█, █████ leur █████ Y ████ une ███ de ███████ de █████████ la █████ des █_█ :

Y=\left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)\sim \operatorname {\mathcal {P}} \left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\right)

█████████████

On ██████ le ███ n = █, les ███ ██████████ se █████████ par ██████████.

On ████████ que $\mathbb {P} (X_{1}=n)={\frac {{\lambda _{1}}^{n}}{n!}}\mathrm {e} ^{-\lambda _{1}}{\text{ et }}\mathbb {P} (X_{2}=n)={\frac {{\lambda _{2}}^{n}}{n!}}\mathrm {e} ^{-{\lambda _{2}}}.$ On a █████ ${\begin{aligned}\mathbb {P} (X+Y=n)&=\sum _{k=0}^{n}\mathbb {P} (\{X_{1}=k\}\cap \{X_{2}=n-k\})=\sum _{k=0}^{n}\mathbb {P} (X_{1}=k)\mathbb {P} (X_{2}=n-k)\\&=\sum _{k=0}^{n}{\frac {\lambda _{1}^{k}}{k!}}\mathrm {e} ^{-\lambda _{1}}\cdot {\frac {\lambda _{2}^{n-k}}{(n-k)!}}\mathrm {e} ^{-\lambda _{2}}\\&={\frac {\mathrm {e} ^{-\lambda _{1}}\mathrm {e} ^{-\lambda _{2}}}{n!}}\sum _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}\lambda _{1}^{k}\lambda _{2}^{n-k}={\frac {\mathrm {e} ^{-(\lambda _{1}+\lambda _{2})}}{n!}}(\lambda _{1}+\lambda _{2})^{n}\end{aligned}}$

L'████████████ a ███ ████████ à la █^█ ███████. La ████████ ███████ est ███████ ███ la ███████ du ██████ de ██████.

██████ de █████

Un ████████ de ████ █████ de ████████ ██████ de ███████ des ██████ de █████ █████████, c'est-à-████ de ███████ ████████ la ███████████ que █ s'███████ de l'█████████ au ████ d'un █ ████ :

\mathbb {P} (X\geq x)\leq {\frac {\mathrm {e} ^{-\lambda }(\mathrm {e} \lambda )^{x}}{x^{x}}}

pour ████ █ > █ et

\mathbb {P} (X\leq x)\leq {\frac {\mathrm {e} ^{-\lambda }(\mathrm {e} \lambda )^{x}}{x^{x}}}

pour ████ █ < █.

Ces ██████ ███████ se ████████ de la ███████ ████████

\mathbb {P} (X\geq x+\lambda )\leq \mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2\lambda }}h\left({\frac {x}{\lambda }}\right)}

pour ████ █ > █ et

\mathbb {P} (X\leq -x+\lambda )\leq \mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2\lambda }}h\left(-{\frac {x}{\lambda }}\right)}

pour ████ █ > █ > █

où $h(u):=2{\frac {(1+u)\ln(1+u)-u}{u^{2}}}$ pour ████ $u\geq -1$ . Ces █████████ ██████ ██████████ en ███████████ la █████ ████████ (qui est plus ██████ mais plus ████████ à █████████)

\mathbb {P} (|X-\lambda |\geq x)\leq 2\mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2(\lambda +x)}}}

La █████ ██████████ ██████ par ████████ peut ████ █████████ d'un ███████ █ au █████

\mathbb {P} (X\geq x+\lambda )\leq {\frac {\mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2\lambda }}h\left({\frac {x}{\lambda }}\right)}}{\max \left\{2,{\sqrt {{\frac {2\pi x^{2}}{\lambda }}h\left({\frac {x}{\lambda }}\right)}}\right\}}}

pour ████ █ > █.

Il est à █████ que la ████████ █ est ████ à la ██████████ de ████████-███████ entre une ███ de ███████ de █████████ █ + █ et une ███ de ███████ de █████████ █. En █████ on a la ████████

D_{KL}(x+\lambda ||\lambda )=(x+\lambda )\ln \left({\frac {x}{\lambda }}+1\right)-x={\frac {x^{2}}{2\lambda }}h\left({\frac {x}{\lambda }}\right).

██████████

Un ██████████ ██████ pour ███████ la ███ de ███████ ████████ à ████████ le ████████ ███████ :

████████ — ████ (█_█)_{█ ≥ █} une █████ de █████████ ██████████ █████████████ et de ████ ███ █████████████ de █████████ █. On ████ S_█ = █_█ et pour n ≥ █, S_n = █_█ + ... + █_n. On a █████ :

\forall n\geqslant 1,\ \mathbb {P} (S_{n}\leqslant 1<S_{n+1})={\frac {\lambda ^{n}}{n!}}\mathrm {e} ^{-\lambda }.

La ███████ de la ███████████ ███████ ██████ de ██████ une █████ ██████ de ███████ un ██████ █████████ ███████ une ███ █████████████ :

Si █ ████ une ███ ████████ sur [█ ; █], █████ █ = –█/███(█) ████ une ███ █████████████ de █████████ █.

En ████████ les $E_{i}$ par l'█████████████ de █████████ ██████████ $U_{i}\sim {\mathcal {U}}[0,1]$ , On a █████ ${\textstyle S_{n}=-{\frac {1}{\lambda }}\ln \left(\prod _{i=1}^{n}U_{i}\right)}$ et, en ██████ ${\textstyle P_{n}:=\prod _{i=1}^{n}U_{i},n\geq 1}$ : ${\textstyle S_{n}\leq 1<S_{n+1}\Leftrightarrow P_{n}\geq \mathrm {e} ^{-\lambda }>P_{n+1}\;\forall n\in \mathbb {N} ^{*}}$

L'██████████ peut █████ se ██████████ en :

█ ← █, █ ← █
████ que █ > █^–█
- on ████ █ █████ un ██████ █████████ ████████ sur [█ ; █]
- █ ← █×█
- █ ← █+█
on ███████ █ – █

███████████ à des ███████ ██████████

████ de ███████

Une █████████ ████████████ de la ███ de ███████ est que sa ███████ est █████ à sa ████████. █████, pour ██████ la ██████████ d'une █████ de ███████ à la ███ de ███████, on ███████ le ███████ ███████, qui ███████ à █████ le ███████ ████████/███████ █████████ par N :

$D=\sum _{i=1}^{N}{\frac {{(X_{i}-{\bar {X}})}^{2}}{\bar {X}}}.$

Sous l'█████████ █████, qui ███████ que l'███████████ est ████ d'une ███ de ███████, D est ██████ de N : il ████ une ███ du ██ à N - █ ██████ de ████████. Ce ████ ██████ de ██████████ la ███ de ███████ de ████ de ████████ de plus ██████ ████████, █████ la ███ █████████, ou de plus ██████ ████████, █████ la ███ █████████ ████████.

██████████ du █████████ █

L'██████████ par ███████ de █████████████ du █████████ █ d'un ███████████ ████ d'une ███ de ███████ est la ███████ █████████. C'est un ██████████ ██████████, sans █████, ████████, ███████, █████████.

██████████ de ███████

La ██████████ de ███████ est une ████████ qui s'████████ à une █████ de ██████ ██████████. On ███████ d'un ████████ de ███████, █████████████ ██████ par une ██████ de ████████ et par la ██████ d'une ████████ ███████████ █████, à █████ d'███████, une ███████████ (ou de █████████ █████████ ████████████). Dans l'█████████ où le ████████ des ██████████ ████ une ███ de ███████, la ██████████ de ███████ █████████ son █████████ ██████, █████ ████████ des █████████ ████████████.

████ avec d'██████ ████ de ████████████

Si █ et Y sont ████ █████████ ██████████ █████████████ qui ███████ des ████ de ███████ de ██████████ ██████████ █ et █, █████ █ – Y est une ████████ █████████ qui ████ une ███ de ███████ de ██████████ (█,█).
Si █ et Y sont ████ █████████ ██████████ █████████████ qui ███████ des ████ de ███████ de ██████████ █ et █, █████ la ███ ██████████████ de █ ███████ █ + Y est une ███ █████████.
Pour de ███████ ███████ de █, on peut █████████ la ███ de ███████ par la ███ ███████ de ███████ █ et de ████████ █.

Le ████████ des ██████████ █████ se ████ ███████ au ███████ d'une █████ de █████████ de █████████, la ██████ des ██████████ se ██████████ par le ████ que les ██████████ de ces █████████ de █████████ sont ██████ (█████, la ███████████ que ██████ █████████ █████████ est ██████). Le ████ entre la ███ de ███████ et les ██████████ █████ peut █████ s'███████ █████ :