████████████

Der ████████████ (████████ █████ ██████ ███████ oder ███) ist einer der █████████████ █████████ des ██████████████ ███████ der ████████████ █████████████. Er █████████ die █████ der ██████████ der ██████████ █████████ der ███████████ ██████ und ████ auf ██████ ████ ██████████ ████ das █████████████ █████████ der ███████████ ████████████████, indem er deren ████████████ mit der ███████████ ███████████████████ █████████. ██████ ████████████ wurde bereits im █████ ████ von ████ █████████ ████ und – ██████████ von ████ – auch von ██████-█████ ████████ im █████ ████ ████████. ██████ ████████ wurde █████ █████████ █████ ████ im █████ ████, und zwar – ██████████ ███████████ und ██████ ██████████ – von ███████ ███████ ████████ und ███████-████ ██ ██ ██████ ███████.

Die ████████████████

Im █████████ sei $\pi (x)$ die ████████████████, die ███ █████████ ██████ ██████ $x$ █████████ ist als die ██████ der ██████████, die nicht ██████ als $x$ sind:

\pi (x):=\left|\{p\in \mathbb {P} \mid p\leq x\}\right|

Der ████████████

Der ████████████ ██████:

\lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{\frac {x}{\ln(x)}}}=1

██████ ██████████████

█████ ███ ████ ██████ ██████████ $f$ und $g$ ████████████ ██████████, ████ der ████████ ${\tfrac {f(x)}{g(x)}}$ ███ $x\to \infty$ gegen █ ███████████, so kann ███ den ████████████ auch so ███████████:

Die ██████████ $x\mapsto \pi (x)$ und $x\mapsto {\tfrac {x}{\ln(x)}}\,(x>0)$ sind ████████████ ██████████.

Der ████████████ ist (im ████████████) damit ████████████, dass die ████████ ███████████ ████████████ █████ ███████████ $s$ mit $\operatorname {Re} (s)\geq 1$ hat.

████████████ mit ███ ist auch die ███████, dass ███ die █████████████████ ███-████████ $\psi$ die ██████████████████

\lim _{x\to \infty }{\frac {\psi (x)}{x}}=1

████.

███████ ██████ ist er, wie ██████ ██████ in den ██████ ████ und ████ – und zwar ohne ██████████ ███████████████████████ ███████████! – ██████, auch ████████████ mit einer ███████████████████████, welche die ██████████████ $\mu$ ██████████:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}=0

Es ████ eine ██████ █████████████████ ███████. Ein „█████████ ██████“, der die ███████████ der ████████████ im ███████████ nach ████████ und ██ ██████ ███████ █████████, wurde von ██████ ██████ ███████. ██████ ████ es ███████, die ohne ██████████ █████████ █████████████████ █████████, ██████████ „██████████“ ███████, die ██████ ████/██ von ████ █████ und ████ ███████ ████████ wurden. Ein ███████ ████████████ █████████ der ████████████ █████████████ ███████ die ███████████ von ██████-███████, █████████ auch die ███████████ im ███████████, ███████ aber ██████████████ ██████████ aus der ███████ der ███████-██████████████.

████████ ██████ des ██████████████

███████ ███████████████ als ${\tfrac {x}{\ln(x)}}$ ███████ der ███████████████████:

\mathrm {Li} (x):=\int _{2}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\ln t}}

Die ███████████████████ ███ $\operatorname {Li} (x)$ wird ███████, weil die ███████████████ von $1/\ln(x)$ nicht █████████ sind.

Der ███████████████████ ist ████████████ ██████████ zu $x/{\ln(x)},$ also auch zu $\pi (x).$

███ kann ██████:

\pi (x)=\mathrm {Li} (x)+O\left(x\cdot \exp(-C(\ln(x))^{3/5}(\ln \ln(x))^{-1/5})\right)

mit einer █████████ ██████████ $C$ . Dabei ist $O(\cdot )$ ein ██████-██████, d. █., es ████ eine █████████ $D$ , ██████