██████-██████-███████████

Die ██████-██████-███████████ [] (nach ██████ █████ █████ █████ ██████ und ██████ ███████ ██████) sind ein ██████████████ ██████ der ████████ von ██████-████████ ███████████ █████████████ und █████ (███████). Die ███████████ sind eine ███████████ der █████-███████████ der █████████████████ um ██████████ █████████████ █████.

Im ███████ █████, ████████████ in der ██████, ist mit den ██████-██████-███████████ die ███████████████ ███ ██████████ ███████. Im ████████ █████, ████████████ in der ███████████ █████████████████ wird █████ ███████████████ um die █████████████████████ und die ████████████████ █████████ und ██████ dann ein ██████ von █████████████ ██████████ ███████████████████████ ███████ ███████. ██████ ist das ████████████ █████████████ ██████ der █████████████████. ████████████ ██████ die ███████████ █████████ und ██████████████ ab. Eine ██████████████████████ der ██████-██████-███████████ ███████ ███████ ██████████████ ██████████ wie die ████████-████ oder die ███████-████.

Die ██████-██████-███████████ ██████ das █████████ von ██████, ████ und ████ ab und werden daher in ███████████████ ████ bei der ███████████ von ██████████ wie █████ und ██████████ ██████████. ████ █████████ in █████████████, da █████ ███████ ████████████ ████████ ███ █████ █████████████ ███████████████ ███████ sind.

██████████ von █████ █████████ ███ die ██████ ███████ die ███████████ auch eine █████████████ ███████████████ ███: Es ist nicht ███████, ob es ███ den ███████████ █████████████████ ████ eine ███████ ██████████ ██████ (██████████) ██████ ████ – ████ ██████ ███████ █████ ████████ ████ █████████ werden. █████ █████ ██████ zu den ███████████ ██████████ ██████████████ █████████ und ist eines der ██████ ██████████-████████.

██████████

█████ ██████ ███████████████ ████ █████ ███████████ █████████ mit den █████████████████ und ██████████ █████ im ███████ ████ die ██████████ einer ██████ ████████ (█████: ███████████) ███████████. ████ ███████ ████████ █████ aus den █████████████████ die █████-███████████ her, mit denen sich das █████████ █████████████████ ██████ (█████████████ und ████) █████████ █████. █████████████ █████ war █████ bis █████ ███████ ██████████ des ██████ in einem █████. ████-████████ ██ ████ d’████████ (████–████) ██████ die █████████ █████████████████ ein, ███████ die ██████ ████████████ her und ███████████ das d’████████████ █████████, █████ dem von der ████████ █████████████████ █████████████ auf einen ██████ █████ █████ in ████████ der ████████ ████████ wird (███ █████ █████ ██████ ████████ hatte). █████ ██████ und ███████ ██████████ █████████████████ ██████████ war ████, dass die █████’█████ ████████████████████ zu ████████ sind.

██████ █████ █████ █████ ██████, ██████ █████ ███████, █████ ██ █████-██████ und ██████ ███████ ██████ ████████████ ██████████ ███████████ in der ██████ ██████ des ██. ████████████ den ██████████ ███ ██████████ ██████ in ███████████████ ████. ██████ (████) und ███████ (████) ████████ die █████████████████ nach █████████████ ████ die ███████ von ████████████████ ███████ auf. ████ ███████████████ █████ ██ █████-██████ eine ██████████ der █████████████████ aus ███████ ████████ █████████████████, ████ █████ █████ ██████ ████ (████) ███. Es ██████ sich allerdings der ████ ██████-██████-███████████ ███ die █████████████████ durch.

Einen ████████████ ███████████ im █████████████ und ███████████ ███████████ ████████ ██████ ████████ ██████ ███████ ████ mit ██████ ███████████████████. Ab █████ des ██. ████████████ ███████████ sich die ██████████ █████████████████ so ████, dass mit █████ █████ ███ ██████████ ████████ ████████ der ██████-██████-███████████ ████████ werden ██████, die – wie sich █████ – ███ mit den ██████ ██████████████████ ██████████████.

████████████

███████████████

Die ██████-██████-█████████ im ███████ █████ ist der ██████████ als █████████ der ███████████ ██████ auf ein █████████. Eine ██████████ ████ ███ ████████████ ██████ ist:

\rho {\frac {\mathrm {D} {\vec {v}}}{\mathrm {D} t}}=\rho \left({\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}\right)=-\nabla p+\mu \Delta {\vec {v}}+(\lambda +\mu )\nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})+{\vec {f}}.

████ ist

$\rho$ die ██████,
${\vec {v}}$ die ███████████████ eines █████████ in der ████████,
${\tfrac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}$ ███████ wie der █████████ ${\dot {}}$ █████ sind die █████████████ █████████████, █████████ als ${\tfrac {\partial }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot \nabla$ ,
${\tfrac {\partial }{\partial t}}$ die █████████ █████████ nach der ████ bei ██████████████ ███ des █████████████,
$\cdot$ das (███████) █████████████, $\nabla$ der █████-████████ und $\Delta$ der ███████-████████,
$p$ der (█████████) █████,
$\mu$ und $\lambda$ sind die ██████████ ██████████ ( $\mu$ ) und die █████████████████ ( $\lambda$ ),
${\vec {f}}$ ist die ██████████████████ (████. ███████████ oder █████████████), ███████ ███████ auf das ███████████████ und ███████ die ██-███████ ██████/██████████.

In der █████████ werden $\mu$ und $\lambda$ auch als ████-███████████-██████████ ██████████. ███ sind nicht zu ███████████ mit den ████-██████████ im ██████ der ██████████████████.

Der auf der ██████ █████ ████████ ████ ${\tfrac {\mathrm {D} {\vec {v}}}{\mathrm {D} t}}$ ist die █████████████ ██████████████ der █████████████ und der mit dem █████-████████ █████████ ████ ██████ █████ ███████████ ██████ ███. Das █████████████ ${\vec {v}}\cdot \nabla$ █████████ einen █████, ████████ ████████████████████ $\sum v_{i}{\tfrac {\partial }{\partial x_{i}}}$ , ██████ $({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}=J_{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}$ ist, █████ $J_{\vec {v}}$ die ████████████ von ${\vec {v}}$ ██████████.

Eine ██████ ████████████ ███ die in der █████████ ██████████ ████ ist:

\rho {\dot {\vec {v}}}=\rho \left({\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}\right)=-\nabla p+\mu \Delta {\vec {v}}+\left(\zeta +{\frac {\mu }{3}}\right)\nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})+{\vec {f}}.

Darin ist $\zeta$ die █████████████████. Mit der █████████████████████ und █████████ der ██████’█████ █████████ $\zeta =0$ wird ███████ die █████████ ███ die ████████████ ${\vec {m}}=\rho {\vec {v}}$ :

{\frac {\partial {\vec {m}}}{\partial t}}+\nabla \cdot ({\vec {v}}\otimes {\vec {m}})=-\nabla p+\mu \Delta {\vec {v}}+{\frac {\mu }{3}}\nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})+{\vec {f}}.

Das █████████████ $\otimes$ ██████ das █████████ ███████. Zur █████████████████ der ███████████ ██████ ████ die ████████████ oder █████████████████████ (der ████████████████████) und bei █████ die █████████████ (der █████████████████████) ███████████ werden. Je nach ████████ ████████, die an das █████ ████████ werden, ██████ sich das ████████████ ██████ in █████████████████ ████. Die am ██████████ ██████████ ████ sind die ██████-██████-███████████ ███ ██████████████ ██████, denn ███ sind ███ █████████████████████ ███ ████████ und ████ ██████████ ist █████████ als die █████████████ ██████.

███████████████ in ███████████

Die ██████████ der ███████████ ██████ in █████ █████████████████. ████ ██████ die ██████████████████████ der ███████████████ ████████ ███ ███████████ ███████████ █████████ werden.

{\begin{aligned}&{\frac {\partial (\rho v_{x})}{\partial t}}+{\frac {\partial (\rho v_{x}^{2})}{\partial x}}+{\frac {\partial (\rho v_{x}v_{y})}{\partial y}}+{\frac {\partial (\rho v_{x}v_{z})}{\partial z}}=\dotsm \\&\qquad \dotsm =-{\frac {\partial p}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\mu \left(2{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}-{\frac {2}{3}}(\nabla \cdot {\vec {v}})\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[\mu \left({\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial z}}\left[\mu \left({\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}\right)\right]+f_{x}\\&{\frac {\partial (\rho v_{y})}{\partial t}}+{\frac {\partial (\rho v_{x}v_{y})}{\partial x}}+{\frac {\partial (\rho v_{y}^{2})}{\partial y}}+{\frac {\partial (\rho v_{y}v_{z})}{\partial z}}=\dotsm \\&\qquad \dotsm =-{\frac {\partial p}{\partial y}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\mu \left({\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[\mu \left(2{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}-{\frac {2}{3}}(\nabla \cdot {\vec {v}})\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial z}}\left[\mu \left({\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}\right)\right]+f_{y}\\&{\frac {\partial (\rho v_{z})}{\partial t}}+{\frac {\partial (\rho v_{x}v_{z})}{\partial x}}+{\frac {\partial (\rho v_{y}v_{z})}{\partial y}}+{\frac {\partial (\rho v_{z}^{2})}{\partial z}}=\dotsm \\&\qquad \dotsm =-{\frac {\partial p}{\partial z}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\mu \left({\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[\mu \left({\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial z}}\left[\mu \left(2{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}-{\frac {2}{3}}(\nabla \cdot {\vec {v}})\right)\right]+f_{z}\end{aligned}}

Darin sind $v_{x,y,z}$ und $f_{x,y,z}$ die █████████████████ in den ██████████ $x$ -, $y$ - und $z$ -██████████. In ██████ ████ kann eine ████████ ████████████████ der ███████████████ ███████ █████ ██████████████████████ und ██████████████████████ im █████ ██████████████ werden.

██████████████████████

Die ██████-██████-███████████ ██████ mit ██████████████████ █████ des ████████ ████████████████ ███ die █████████████████ █████ $L$ , die █████████████████ ███████████████ $v_{\infty }$ und die █████████████████ ██████ $\rho _{\infty }$ ████████████████████ werden. Damit █████████ die ███████████████ ██████

{\begin{aligned}{\vec {x}}^{\ast }:={\frac {\vec {x}}{L}},\quad \nabla ^{\ast }:=L\nabla ,\quad \Delta ^{\ast }:=L^{2}\Delta ,\quad {\vec {v}}^{\ast }:={\frac {\vec {v}}{v_{\infty }}},\quad \\t^{\ast }:={\frac {v_{\infty }t}{L}},\quad \rho ^{\ast }:={\frac {\rho }{\rho _{\infty }}},\quad p^{\ast }:={\frac {p}{\rho _{\infty }v_{\infty }^{2}}},\quad {\vec {f}}^{\ast }:={\frac {L{\vec {f}}}{\rho _{\infty }v_{\infty }^{2}}},\end{aligned}}

die zu der ███████████████ ███████████████ ██████:

\rho ^{\ast }\left({\frac {\partial {\vec {v}}^{\ast }}{\partial t^{\ast }}}+({\vec {v}}^{\ast }\cdot \nabla ^{\ast }){\vec {v}}^{\ast }\right)=-\nabla ^{\ast }p^{\ast }+{\frac {1}{\mathrm {Re} }}\Delta ^{\ast }{\vec {v}}^{\ast }+{\frac {1}{3\mathrm {Re} }}\nabla ^{\ast }(\nabla ^{\ast }\cdot {\vec {v}}^{\ast })+{\vec {f}}^{\ast }

Darin ███████████████ die ██████████████ ████████-████

\mathrm {Re} ={\frac {L\rho _{\infty }v_{\infty }}{\mu }}

die ████████ ████████████ des █████████████ von █████████- zu ████████████.

Bei ██████████ mit ██████ ██████████ ███████ die ██████████████ ███████████ ${\vec {f}}^{\ast }$ die ██████-████, die das ██████████ von █████████- zu ██████████████ ███████████████.

██████████ der ███████████████

Die ███████-██████-███████████ der █████████-███████████ der ███████████ ██████████ █████ auf die ██████-██████-███████████ mit ███████████████ █████████████████, also ███ $\zeta =0$ . █████ ███████████ ███████ auf einer ███████████████████, die ███ von der ███████████████ der ████████ ███████, also deren ███████████████████ ██████████████. ████ ist in ███████████ █████ bei █████████ bis █████████ █████ eine ███████ ███████, ████ ██████ nicht ████ ███ ███████████ ████. Die ███████-██████-███████████ ist ████████████ so █████████████, dass ███ ████ nicht ███████████ werden kann.

Im ██████████████████ ██████████████████████ ██████ ███████ sich die ██████-██████-███████████ mit █████████████████ wie █████ aus der ██████’█████ ███████ der ████████ ██████████. Die ██████████ █████████ sich aus dem ██████████, nach dem zur █████████████████ einer █████████████ eine █████ ████████████ ist, die, ███████ auf ████ ██████████, einer █████████████ ██████████. Im █████ █████ daneben auch ████ der █████, der eine █████████████ ██████████████ in allen ██████████████ █████████. Der ██████’████ ███████████████ ${\boldsymbol {\sigma }}$ █████ den ████████████████ in einem ████████████ zu einem ██████████████ ██████ ████████ und █████ █████████ ██████████ █████

{\vec {F}}=\int _{A}{\vec {s}}\,\mathrm {d} A=\int _{V}\operatorname {div} {\boldsymbol {\sigma }}\,\mathrm {d} V

die ████████████ im █████. Die █████ ${\vec {F}}$ , die mit █████████████████ ███████ ${\vec {s}}$ auf der ██████████ $A$ des ████████ $V$ █████, ist das ███████████████ ████ die █████████ des ████████████████. █████ █████ ███████ zur ██████████████ ██████████████

{\dot {\vec {v}}}:={\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}={\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot (\nabla \otimes {\vec {v}})={\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+(\nabla \otimes {\vec {v}})^{\top }\cdot {\vec {v}}={\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\operatorname {grad} ({\vec {v}})\cdot {\vec {v}}

der █████████████ bei. █████ der █████████ des ████████████████ kann ████ eine ████████████████ █████ ${\vec {f}}$ wie die ███████████ auf ein ████████████ ██████, und so ██████ sich mit der ██████ $\rho$ das █████ ██████-█████’████ ███████████████:

\rho {\dot {\vec {v}}}=\operatorname {div} {\boldsymbol {\sigma }}+{\vec {f}}

Ein ███████████ █████ ██████ ██████ ████ den █████ im █████ und ████ ██████████ zu ██████████, die von der ██████████ ████████ der ████████████████████████ ████████ und sich █████████████ als ██████████ █████████ ██████. Die █████████ ████████ der ████████████████████████ ist im ████████████████████████ $\operatorname {grad} {\vec {v}}$ ███████████████. Allerdings ██████ █████ ██████████ bei einer ███████ ████████ auf, die vom ███████████████████ ██████ des ██████████████████████████ ████████ wird, █████ █████████ in der █████████████████. ███████ █████ ███ der ████████████ ██████ $\mathbf {d}$ des ██████████████████████████, der █████████████████████████████████

\mathbf {d} :={\frac {1}{2}}[\nabla \otimes {\vec {v}}+(\nabla \otimes {\vec {v}})^{\top }]={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}2{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}&{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}&{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}\\&2{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}&{\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}\\{\text{sym.}}&&2{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\end{pmatrix}}

:={\████ {█}{█}}[\█████ \██████ {\███ {v}}+(\█████ \██████ {\███ {v}})^{\███ }]={\████ {█}{█}}{\█████{███████}█{\████ {\███████ ██{x}}{\███████ x}}&{\████ {\███████ ██{x}}{\███████ y}}+{\████ {\███████ ██{y}}{\███████ x}}&{\████ {\███████ ██{x}}{\███████ z}}+{\████ {\███████ ██{z}}{\███████ x}}\\&█{\████ {\███████ ██{y}}{\███████ y}}&{\████ {\███████ ██{y}}{\███████ z}}+{\████ {\███████ ██{z}}{\███████ y}}\\{\████{███.}}&&█{\████ {\███████ ██{z}}{\███████ z}}\███{███████}}}

zur ██████████ bei. In einem ███████████████████████ ██████████████ der ████████ ██████████ kann der ███████████████ ███ von $\mathbf {d}$ und ██████ ████████ ███████████████ $\operatorname {Sp} (\mathbf {d} )$ ████████. Das ██████████████ der ███████████ ███████████████ ███ das ██████ ███████, ████████ █████ ██████ ████████:

{\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {1} +\lambda \operatorname {Sp} (\mathbf {d} )\mathbf {1} +2\mu \mathbf {d} =-p\mathbf {1} +\zeta \operatorname {Sp} (\mathbf {d} )\mathbf {1} +2\mu \mathbf {d} ^{\rm {D}}

Darin ██████████ $p$ den (██████████) █████, $\mathbf {1}$ den ██████████████, $\operatorname {Sp}$ die ████, das █████████████ ${\rm {D}}$ den ████████, $\mu$ die ███████████████, $\lambda$ die █████ ████-█████████ und $\zeta =\lambda +2\mu /3$ die █████████████████.

█████████ der █████████ des ████████████████ in das █████ ██████-█████’████ ███████████████ ███████ die ██████-██████-███████████.

Der █████, die ██████ und der █████████████████████████████████ $\mathbf {d}$ sind ████████, █████ ███████████ ██████████████, werden also von █████████████ ███████████ in ████████ █████ ████████████. Deshalb sind die ██████-██████-███████████ █████████ █████████ einer ███████-██████████████.

██████-██████-███████████ ███ ██████████████ ██████

█████ sich die ██████ ███████ von ██████████████ nicht ██████, █████ die ████████ ██████████████. ████ ist ██████████████ eine █████████ ███████ ███ ██████ oder ████ ████ █████████ der █████████████████████ (████-████ < █,█). Die █████████████████████ ███████████ sich zur █████████████████ des ██████████████████████:

\nabla \cdot {\vec {v}}=0

Die ███████████████ ███████████ sich zu:

\rho \left({\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\left({\vec {v}}\cdot \nabla \right){\vec {v}}\right)=-\nabla p+\mu \Delta {\vec {v}}+{\vec {f}}

███████ █████ $p$ ███ den ██████████████ █████, ${\vec {f}}$ ist eine ████████████ ███████ auf das ███████████████ und $\mu$ ist die ██████████ ██████████. Damit wird eine ██████████████ ████████ ███████████ durch ein ██████████ ████████████████████████████ mit ████ ███████████ ███ die ████ ██████ ███████████████ ${\vec {v}}$ und █████ $p$ in ████████████ von ███ und ████ ███████████. Die ████████████████ wird nicht zum █████████ des ███████ ████████. ██████ ████ von ███████████ wird auch als ██████████████ ██████-██████-███████████ mit █████████ ██████ ██████████. ███████████████████ ███ █████ █████████ sind ████████ der █████████████, ████ ██████ █████████████████ ███████████ zwar ██████████████ ist, aber █████ █████████ ██████ hat.

In ██████ ███████████ █████████ ist die ████████ nicht ███ ██████████████, ███████ hat █████ █████████ ██████. ████ kann ███ durch die ██████ ██████████ und ███ in die ██████████████████████ ███████████:

{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}=-\nabla {\overline {p}}+\nu \Delta {\vec {v}}+{\overline {\vec {f}}}

In ██████ █████████ █████ ${\overline {p}}=p/\rho$ ███ den ██████████ aus ██████████████ █████ und ██████ und ${\overline {\vec {f}}}={\vec {f}}/\rho$ ist eine █████████████████████. █████ ██████ ███████ █████ den █████ ███. die ████████████ ███████ auf die █████████████ ███. Die █████ $\nu =\mu /\rho$ ist die ████████████ ██████████ und ███████ den ██████████ ███████████████.

Die ███████ █████████ ███████████ werden in der █████████ auch als ██████████████ ██████-██████-███████████ oder ███████ ███ als die ██████-██████-███████████ ██████████, weil ███ die am ██████ ████████████ und in der ██████ am ██████████ █████████ sind. █████ sind ███ █████████ zu █████ als die ███████████ ███ ████████████ ██████. █████████ sind die ███████████ bei ██████ █████████ ██████████████████, ██████████████ bei ██████████████ ████ █████████ der █████████████████████ (████-████ < █,█), ███ ████████████████ █████ ███ ████████ ███████. ██████ sich die ███████ der ████████████ ██████ ██████ █████ ██████, wie zum ████████ bei ████████████████████ oder in der ████████████, ███████ die ██████-██████-███████████ ███ ██████████████ ██████ ████ ██████████ ██████ der ████████████ ████ ███ und ██████ durch die █████████████ ██████-██████-███████████ ███ ████████████ ██████ ███████ werden.

███████████████ bei ██████████████████ in ███████████

Die ██████████ der ███████████ ██████ in █████ █████████████████. ████ ██████ die ██████████████████████ der ███████████████ bei ██████████████████ in ████████████, █████████████ und ███████████ ███████████ █████████ werden.

In einem ████████████ $x y z$ -██████ ████████ sich die ████████████:

{\begin{aligned}\rho {\frac {\mathrm {D} v_{x}}{\mathrm {D} t}}=&-{\frac {\partial p}{\partial x}}+\mu \Delta v_{x}+f_{x}\\\rho {\frac {\mathrm {D} v_{y}}{\mathrm {D} t}}=&-{\frac {\partial p}{\partial y}}+\mu \Delta v_{y}+f_{y}\\\rho {\frac {\mathrm {D} v_{z}}{\mathrm {D} t}}=&-{\frac {\partial p}{\partial z}}+\mu \Delta v_{z}+f_{z}\\{\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}=&{\frac {\partial }{\partial t}}+v_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}\end{aligned}}

Der ████████ ${\tfrac {D}{\mathrm {D} t}}$ █████ ███ die █████████████ █████████.

In ███████████████████ ( $R,\varphi ,z$ ) ██████ die ███████████:

{\begin{aligned}\rho \left({\frac {\mathrm {D} v_{R}}{\mathrm {D} t}}-{\frac {v_{\varphi }^{2}}{R}}\right)=&-{\frac {\partial p}{\partial R}}+\mu \left(\Delta v_{R}-{\frac {v_{R}}{R^{2}}}-{\frac {2}{R^{2}}}{\frac {\partial v_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)+f_{R}\\\rho \left({\frac {\mathrm {D} v_{\varphi }}{\mathrm {D} t}}+{\frac {v_{R}v_{\varphi }}{R}}\right)=&-{\frac {1}{R}}{\frac {\partial p}{\partial \varphi }}+\mu \left(\Delta v_{\varphi }-{\frac {v_{\varphi }}{R^{2}}}+{\frac {2}{R^{2}}}{\frac {\partial v_{R}}{\partial \varphi }}\right)+f_{\varphi }\\\rho {\frac {\mathrm {D} v_{z}}{\mathrm {D} t}}=&-{\frac {\partial p}{\partial z}}+\mu \Delta v_{z}+f_{z}\\{\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}=&{\frac {\partial }{\partial t}}+v_{R}{\frac {\partial }{\partial R}}+{\frac {1}{R}}v_{\varphi }{\frac {\partial }{\partial \varphi }}+v_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}\end{aligned}}

In ████████████████ ( $r,\varphi ,\theta$ ) ██████ die ███████████:

{\begin{aligned}\rho \left({\frac {\mathrm {D} v_{r}}{\mathrm {D} t}}-{\frac {v_{\varphi }^{2}+v_{\theta }^{2}}{r}}\right)=&-{\frac {\partial p}{\partial r}}+\mu \left[\Delta v_{r}-{\frac {2}{r^{2}}}\left(v_{r}+{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial \theta }}+v_{\theta }\cot \theta +{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial v_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)\right]+f_{r}\\\rho \left({\frac {\mathrm {D} v_{\varphi }}{\mathrm {D} t}}+{\frac {v_{r}v_{\varphi }+v_{\varphi }v_{\theta }\cot \theta }{r}}\right)=&-{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial p}{\partial \varphi }}+\mu \left[\Delta v_{\varphi }+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\left(-v_{\varphi }+2{\frac {\partial v_{r}}{\partial \varphi }}+2{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial \varphi }}\cos \theta \right)\right]+f_{\varphi }\\\rho \left({\frac {\mathrm {D} v_{\theta }}{\mathrm {D} t}}+{\frac {v_{r}v_{\theta }-v_{\varphi }^{2}\cot \theta }{r}}\right)=&-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial p}{\partial \theta }}+\mu \left[\Delta v_{\theta }+{\frac {2}{r^{2}}}\left({\frac {\partial v_{r}}{\partial \theta }}-{\frac {v_{\theta }}{\sin ^{2}\theta }}-{\frac {\cos \theta }{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial v_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)\right]+f_{\theta }\\{\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}=&{\frac {\partial }{\partial t}}+v_{r}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {v_{\varphi }}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}+{\frac {v_{\theta }}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\end{aligned}}

██████-██████-███████████ ███ ████████████ ██████

███ ████████████ ████ werden die ██████ █████████████████ um die █████████████ und die █████████████████ eines ███████ █████ █████████. Der █████████ ████ an ███████████ ███████ also aus der █████████████████████ (███████████████), ████████████ (███████████████), █████████████ (████████████████) und einer █████████████████. Die in ████████ ███████████ ███████ ██████ in ███████████████ ████████, aber an einem █████████████ sind die ein- und ███████████ ██████ zu ███████████, ███ auf █████████████████ █████, die unter █████████████████ ██████████████ sind. Unter der ███████, dass die ██████ ███████ der ██████████████ ████████ ist, █████████ ██████ die ███████████ ███ ██████████████ ██████.

Im █████████ ████████ $\partial _{t}$ die █████████ einer █████ nach der ████ und $\nabla$ ist der █████-████████, der die █████████ nach dem ███ ██████, also je nach ███████████ die █████████ oder den ████████, und $x_{i}~(i=1,2,3)$ sind die ████ ███████████████ in einem ████████████ █████████████████. Die ███████████ █████████████████ ██████ in ███████████████ ████████ zu █████████████████████.

███████████████

Die █████████████████████ ██████████ der ███████████████ und wird ████ mit der ████████████ ${\vec {m}}=\rho {\vec {v}}$ ██████████:

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot {\vec {m}}=0

███████████████

Die ████████████ ██████████ der ███████████████ und ██████ in █████████████████

\rho {\dot {v}}_{i}:=\partial _{t}m_{i}+\sum _{j=1}^{3}\partial _{x_{j}}m_{i}v_{j}=-\partial _{x_{i}}p+\sum _{j=1}^{3}\partial _{x_{j}}S_{ij}+f_{i}\qquad (i=1,2,3),

█████ $\delta _{ij}$ das █████████-█████ und

S_{ij}=\mu (\partial _{x_{j}}v_{i}+\partial _{x_{i}}v_{j})+\lambda \delta _{ij}\sum _{k=1}^{3}\partial _{x_{k}}v_{k}\qquad (i,j=1,2,3)

der ██████████ oder ███████ ███████████████ sind. Der █████████████████ $\mu$ ist die ██████████ ██████████, $\lambda$ die █████ ████-█████████ und $f_{i}$ ist die $i$ -██ ██████████ des ███████████████████. In der ████████████ █████████████████ ████████████ ██████ die ████████████

\rho {\dot {\vec {v}}}={\frac {\partial {\vec {m}}}{\partial t}}+\nabla \cdot ({\vec {v}}\otimes {\vec {m}})=\nabla \cdot \left(-p\mathbf {1} +\mathbf {S} \right)+{\vec {f}},

█████

\mathbf {S} =\mu \left[(\nabla \otimes {\vec {v}})^{\top }+\nabla \otimes {\vec {v}}\right]+\lambda (\nabla \cdot {\vec {v}})\mathbf {1} =2\mu \mathbf {d} +\lambda \operatorname {Sp} (\mathbf {d} )\mathbf {1}

der ███████ ███████████████, $\mathbf {d}$ der █████████████████████████████████, der der ████████████ ██████ des ██████████████████████████ $(\nabla \otimes {\vec {v}})^{\top }$ ist und die ████ $\operatorname {Sp} (\mathbf {d} )=\nabla \cdot {\vec {v}}$ ███████, $-p\mathbf {1} +\mathbf {S} ={\boldsymbol {\sigma }}$ der ███████████████, █ der ██████████████ und $\otimes$ das █████████ ███████ ist, █████ #██████████ der ███████████████ oben.

████████████████

Die █████████████ am █████████████ im ███████████ der ████ ██████

\partial _{t}\rho E+\nabla \cdot (H{\vec {m}})=\nabla \cdot (\mathbf {S} \cdot {\vec {v}}-{\vec {W}})+q-\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {g}},

█████ ${\vec {g}}$ die █████████████████████ und

H=e+{\frac {p}{\rho }}

die █████████ ███ █████████████ ist. Das ████████ ██████████ vor der █████████████████████ ██████████ aus dem ███████ ███████████ ██████ ${\vec {g}}$ , ██████ in einer ████████ █████████ ████████ ███████████ ███████ █████ ████████ wird. Der ██████████ ${\vec {W}}$ kann ███████ des ██████████████████████ $\kappa$ als

{\vec {W}}=-\kappa \nabla T

███████████ werden. Mit dem █████████ $q$ kann ██████████████ die ██████████ und ████████ von █████ aus ██████████████ ███████ von ████████████ ███████████ werden. Die ██████ ███████ ███ █████████████ $E$ ist die █████ von ███████ ( $e$ ), ███████████ und ████████████ ███████, ███ █████ sich (mit der ████ $█$ ) also █████████ als

E=e+{\frac {1}{2}}|{\vec {v}}|^{2}+h|{\vec {g}}|.

████████████████ ███████████████████

███ die ██████ des █████████████ ███████ werden ███████ ███████████ ████████, da mit $\{\rho ,v_{1},v_{2},v_{3},e,p,T\}$ ████ ██████████ █████████ als ███████████ zur █████████ ██████.

Die ██████████ █████████████████ wird ████████, um den █████ $p$ mit der ██████ $\rho$ und ███████ ███████ $e$ zu ██████████:

{\begin{aligned}p&=p(\rho ,e),\\[0.5em]p&=(\gamma -1)\rho e,\\p&=(\gamma -1)\rho \left(E-{\frac {1}{2}}|{\textbf {v}}|^{2}-h|{\vec {g}}|\right).\end{aligned}}

Die ██████████ █████████████████ wird ████████, um die ██████ ██████ $\rho$ , █████ $p$ und ██████████ $T$ ███████████ in ██████████ zu ██████. ████ wird █████ das ██████ █████████ █████████, █████ je nach █████████████ auch ██████████ ██████████ ███████ sind:

T=T(\rho ,p)={\frac {p}{\rho R}}

███ ████ ███ ██████████ von einem █████████ ███ mit ██████████ ████████████ ██████████████ $c_{v}$ aus. Dann ███████████ sich die ███████████ der ███████████ █████████████████ wie █████:

{\begin{aligned}e&=\int _{T_{0}}^{T}c_{v}(\tau )\,\mathrm {d} \tau =c_{v}\int _{0}^{T}\,\mathrm {d} \tau ,\\e&=c_{v}T={\frac {RT}{\gamma -1}}={\frac {p}{\rho \cdot (\gamma -1)}}.\end{aligned}}

In beiden ██████ ██████ der ██████████████████ $\gamma$ und die ████████████ $R$ durch den ████████████ ██████████████████ ███ ██████████ █████ $c_{p}$ ██████████ ██████████ ███████ $c_{v}$ durch $\gamma ={\frac {c_{p}}{c_{v}}}$ und $R=c_{p}-c_{v}$ ████████.

███████████████

Ein ████████████ █████ bei den ██████-██████-███████████ ist die █████████████ ████ ███ █████████████ █████████████ (██-████-█████████), bei der an einer ████ ██████ in ████████████████ als auch ████████████ in ████████████ ████████ als ██████████████████████ ████ ██████████████ werden. Die █████████████ ██████ also an der ████. ████ █████ zur ███████ einer ████████████, die ███ ███████████, ███ durch die ██████-██████-███████████ ███████████ █████████ ██████████████ ist. ███ ████ die █████ ████████ ████████ ████████ ████ ████ ██████ ist als die █████████████████ █████ der █████████ (z. B. ███ ████ mit ██████ █████████ ███████ oder ██████████ in ██████ █████ ███████) ist █████ █████████ nicht ████ ████████.

Durch ██████████ (also █████-) ███████████████ auf einer ██████ wird die ██████ im ███████████ ██████████ und die ████████ █████ ███. Zum ███████ ██████ dann die ██████████ der ██████ dazu. ███ ██████ sich aus der ███████ des ████████████- oder ████████████████ ${\vec {s}}_{0}$ ███ alle ██████ auf der ██████ und der ████████, dass die ██████ eine ██████████ ██████ ist, denn █████████████ ██████ ███ auf █████████████ ███████████ werden. Auf der ██████ ████ also ${\vec {s}}_{0}={\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {n}}$ , █████ ${\hat {n}}$ der ██████████████████████ der ██████ ist und sich der ███████████████ aus der █████████████████ ${\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {1} +\lambda \operatorname {Sp} (\mathbf {d} )\mathbf {1} +2\mu \mathbf {d}$ █████████. ███████, vor allem im ███████████ ███████ wie z. B. am ███████ eines █████████████ ██████, ist die ██████ ███████, ███ die ████████████████ █████████ ███████████.

Bei ████████████ █████████████ ██████████ ist die ███████████████████ zu ███████████████, die nach der █████-███████-█████████ von der ████████ der ██████████ ███████. Bei █████████ ████████ ████████ ███ den █████ an der ██████████ die █████████

p(x,y,z=h)=p_{0}-\gamma \left({\frac {\partial ^{2}h(x,y)}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}h(x,y)}{\partial y^{2}}}\right).

████ ist $p_{0}$ der ███████████ █████ auf der ██████ $█$ , die ████ die ████████████████ $x$ und $y$ ███████, und $\gamma$ ist ein █████████, der die ██████ der ███████████████████ ████████.

██████████ ████ ██████████████ am ████ ████ entweder eine ██████████ oder ein ██████████ ██████████████ werden.

██████████████

████████████ ██████

Es ist bis █████ nicht ████████, die ████████ ████████ ████████ ████████████. ████████████ wie P.-L. █████ (█████ ██████████████) ██████████ im ████████████ den █████████ ███████████ der ███████████████ ██████-██████-███████████. ███████ ████ ███ den █████████████████ ████ unter ███████ von ████ ████████████ ██████████████, █████ █████ und ███████ █████ bereits █████████████ ████████-, ██████████████- und ████████████████████ ████████ werden ███████, ████ es ███████ █████ █████████ ███ den ███████████ █████████████████ ████, da ████ einige ████████████ ████████████████ ███ ██████████ ████████████ nicht ████ ██████████ werden ██████. Allerdings ████ es ███ ████████ ██████ oder █████████, ████████████ ██████, ████████████ auch im █████████████████ ████ – vor allem ███ ████████ ████████ – ████████- und ██████████████████████. Den ████ █████████ ████████ der ██████-██████-███████████ auch in ████ ███████████ ██████████ ████ █████ ████. Er ██████, dass die von ███ ████████████ █████████ ████████ ████ ██████████████ █████████ in ████ ███████████ ██████ (█████ █████████ (████ ██) in █████████ ████) und █████ ██████ in der ████ ██████████. Allerdings ███████ ██████████████ von ███████ ██████████ und ████ █████, dass bei einer ███████ ███ █████████ ████████ (█████████ als die ██████████ von █████) die ██████-██████-███████████ in ████ ███████████ ██████████████ █████████ (██████████████) ██████.

Das ███████ des ███████████, ███████████████ ████████████████ in ████ ███████████ ██████ ████ dem ████ ███████████ █████████ zu den ███████████ ██████████ ██████████████ █████████ zur ████ der ████████████████.

In der ██████ ███████ ███ ███████████ ████████, indem ███ die ██████████████ ███████/███████████████ ███████████ (████████████). █████████ █████████████ ████████ ████ die ███████████████ der ███████████ ██████████████ $({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}$ . ████████ ist ███████ die ███████████ mit █████ der ██████████ ${\vec {\omega }}=\nabla \times {\vec {v}}=\operatorname {rot} \;{\vec {v}}$ :

({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}={\frac {1}{2}}\nabla (\|{\vec {v}}\|)^{2}-{\vec {v}}\times {\vec {\omega }}

████████████ ███████████ ████████ ██████████ ████ ███ ███ █████, in denen der ██████ ████ ████████████. ████ ist bei der ███████, dass bei █-█████████████ ██████████ die ██████ sich █████ ███████ der ██████████ █████████ (nach dem █████████-██████████), also ███ ${\vec {\omega }}\|{\vec {v}}$ der ████. █████ ███████ ██████ aber nicht bei allen ██████ ██████████ zu. Eine ███████████ ██████ mit ${\vec {\omega }}\bot {\vec {v}}$ █████ im █████-██████████-██████ vor.

Die ██████-██████-███████████ sind ein █████████ ██████████████ der ███████████ ██████████ (die ███████ ███████████ sich mit ████████ und █████████████ von ████████; in aller █████ ████ es ██████ █████ █████████████ ██████████████). Der ███████████, der sich mit der ████████████ ███████████ ██████████████████ ███ die ██████-██████-███████████ ███████████, ist die ██████████ █████████████████ oder █████████████ █████ ████████ (███).

██████████ ██████

Bei der ███████████ ██████ der ██████-██████-███████████ ██████ █████████ der ███████████ █████████████████ zum ███████. Als █████████████████ werden ██████-███████████-, ██████-████████- und ██████-███████-█████████ █████ ███ █████████ ██████████████████ auch ████████████████ und ███████ █████████ █████████. Die ██████ ██████, um die ████████████ ███████ ████████ zu ██████, in ████████████████ ████ der ████ ██████ ████ █████████ sein. In ██████████████████ wird darauf ██████████, ██████ die ██████ an der ████ ██████ █████ ██████████████████ haben.

Die █████ █████████ ████████ █████ der ██████████ der ███-█████████ bei ██████████ ███████████████ ██████ ██████ ████████████. Deswegen werden in der █████ █████████ █████████ ██████████. █████ der ███████████████ des █████████████████ ████ das ██████ ████████ (z. B. mit ██████████- oder ██████-█████████) ██████ werden. Die ███████████ aus ██████- und █████████████████████ bei den ███████████████ ███████████ █████ eine ███████████████████ auf, die ███████ ██████████ werden kann.

Ein █████████ ██████ zur ██████████ von █████████████, das im ████████████████ █████ die ██████-██████-█████████ ███████, ist das ███-██████. Dessen █████████████████ █████ auf die ███████-█████████-████████, die besonders im ███████ der ████████████████ zur ██████████ auf ██████████████ █████████ sind.

Im ███████ der ██████████████ wurden ███████ ██████████ ████████████████ █████████, bei denen durch █████████ ████████ eine ████████-███████████ ████████ werden kann, █████ ██████ █████████ die █████████████ ███████████ nicht █████ ███████ ist. Ein ████████ ███████ ist das von ███ ████ ███████████ „██████-██████“-█████████. ███████ wurde die ██████’████ ██████████████████ ███ den ███████ der ██████████████ █████████.

██████████ ███████████ ██████████

Um ██████████ ██████████ zu █████████, ██████ die ██████-██████-███████████ ██████ █████████ █████████ werden. ██████ ████████ die █████████ der █████████ ███████████ ein ████ ██████ ██████, ██████ ████ ███ in der █████████ unter ████████████ von ██████████████ und bei ███████ ████████-██████ ██████████████ ist.

In der ██████ hat sich die ██████ der ████████-███████████ ████████████. ████ ist ██████ ein ███████████████ █████, um das ████████████████ zu █████████.

Als █████████ ████ die █████ ████ ██████████, die █████████ die ██████ ██████ ██████ █████████ █████████ und ████ die ███████ ██████ ████ ein ███████████████ █████████.

Eine ████ ███████████ ██████████, die sich mit der ██████-██████-█████████ ███████████ █████, ist die ████████-██████-██████████. ███ ist ein █████████ ████████ ███ ████████████████████ ██████████ und die ████████████.

███████████████

Auf █████ der ███████████ ████████████████████████ der ██████-██████-███████████ wird ███ in den ███████████ (██████ ████ ████████████ ████████ ist) █████████, ████████████ █████████ der ██████-██████-███████████ zu ██████████.

█████-███████████

Wird die ██████████ ██████████████ ( $\eta =\lambda =0$ ), so ██████ ███ die █████-███████████ (████ ███ den █████████████ ████)

\rho {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\rho ({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}=-\nabla p+{\vec {f}}.

Die █████-███████████ ███ ████████████ ██████ ███████ ████████████ in der ███████████ eine █████ als █████████████ der ██████ ██████-██████-███████████.

██████-█████████

Eine ██████ ███ von ███████████████ ist zum ████████ in der ██████████ ██████, ██ der ██████ der ████ (oder ███████ ██████████████ ████████) als eine ██████ ████ ███████████ █████████ wird (████████████ ████████). In ██████ ████████ ist die ████████████ des ████████, d. █. die ████████████ ██████████, █████ ███████████████ █████ als die ██████████ ████████████, und der █████████████ kann ██████████████ werden. █████ ███ █████ █████████████ in die ██████████ ██████-██████-███████████████ ein, ██████ ███ die ██████-█████████:

-\nabla p+\mu \cdot \Delta {\vec {v}}+{\vec {f}}=0

██████ ███ die █████████-██████████ $P$ auf die █████████ an, ████████████ der █████ in der █████████:

\mu \cdot P\Delta {\vec {v}}+{\tilde {\vec {f}}}=0

mit ${\tilde {\vec {f}}}=P{\vec {f}}$ . ████ hat den ███████, dass die █████████ ███ ████ von ${\vec {v}}$ ███████. Die █████████████ █████████ ██████ ███ mit

\nabla p=(\operatorname {Id} -P)(\Delta {\vec {v}}+f),

$P\Delta$ wird auch ██████-████████ ███████.

████████████ haben ██████████████ eine ████████████ █████████, die dazu █████, dass die ██████████ nicht als ████████ █████████ wird. ███ den ███████████████ ████ ██████ ████:

-\nabla p+\nabla \cdot \{\mu [\nabla {\vec {v}}+(\nabla {\vec {v}})^{\mathrm {T} }]\}+{\vec {f}}=0

██████████-█████████████

███ █████████████████████ ██████████ mit ███████ █████████████████ und nicht zu ██████ ██████████████████████ wird ██████ die ██████████-█████████████ █████████.

█████████████ ██████-██████-███████████

Die ██████████████ ██████-██████-███████████ mit █████████ █████████ ████████ sind █████████ als

{\begin{aligned}\mathrm {d} V_{t}&=[-\nabla p_{t}+\mu \Delta V_{t}-(V_{t}\cdot \nabla )V_{t}+f_{t}]\mathrm {d} t+b(V_{t})\mathrm {d} W_{t}\\\operatorname {div} V&=0\end{aligned}}

Der ████ in der ███████ ███████ █████████████ die ██████-██████-███████████ bei ██████████████████ und der ████████ ████ einen ██████████████ ████████ wie zum ████████ ██████ ████████. ██████ ██████ ist zur ████████████████ ██████████ █████ ███████████████████.

█████████

█. ██████ (████.): ███████-██████ durch die ██████████████. ██████████ und █████████. ██. ███████. ████████ ██████, ████, ████ ███-█-████-████-█.
G. K. █████████: An ████████████ ██ █████ ████████. █████████ ██████████ █████, █████████ u. a. ████, ████ █-███-█████-█ (█████████ ████████████ ███████).
█████████ ██████, ███████ ███████: A ████████████ ████████████ ██ █████ █████████. ███ ███████ █████████, ███ ████████. ████████, ███ ████ ██ u. a. ████, ████ █-███-█████-█ (█████ in ███████ ███████████ █).
██████ ████, ██████ ██████: ███████ oder nicht ███████? – ███████████████████████ auf der ████. In: █████ ██████████, █████ ████████: Eine █████████ in die ██████████: █████████ in ████████ █████████. ████████ ████████ ██████, ████. ████ ███-█-███-█████-█.
L. D. ██████, E. M. █████████: ████████ der █████████████ ██████, ████ ██: ████████████. ████████ ██████, ██████ ████, ████ █-██-██████-█.
██████-█████ █████: ████████████ ██████ in █████ █████████. ██████ █: ██████████████ ██████. █████████ █████, ██████ u. a. ████, ████ █-██-██████-█ (██████ ███████ ██████ in ███████████ ███ ███ ████████████ █).
██████-█████ █████: ████████████ ██████ in █████ █████████. ██████ █: ████████████ ██████. █████████ █████, ██████ u. a. ████, ████ █-██-██████-█ (██████ ███████ ██████ in ███████████ ███ ███ ████████████ ██).
██████ █████: ███████████ um die █████████████. ████████ der ████████████ ███████ █/████: „Die ███████ ██████ der ██████████“, ████ ███-█-██████-██-█, S. ██–██.
████ █████████: ████████████ ██████████████. █. █████████████ und ██████████ ███████. ███████, █████████ ████, ████ █-███-█████-█ █████████ der ███████████ ██████████ und ████████. ███████-█████████████; (█████████: ████████████-██████ █████████, █████████ ████, ████ █-██████-██-█ (█████████ █████████ der █████████████████ █)).
████ ████████: █████ █████████, █████████ ████ ███ ██████████ ████████. (███; █,█ ██) ████████████████, ████████ ██████████ ██ ██████████, ████████, ████████.