████████ de ███████

En la █████████ de ███████, una ████████ de ███████ es una ████████ █████████████ ████ en la que ████ ███████ ████████ se ██████ con un ████████ ███████ de ██████ que █████ ██████████ █████ a █████. ████ ███████ que se ███████ ██████ ████████ ████████ como ████████ de ██████, ███████, █████ (o █████████), █████████, █████████ de █████████ █ ███████████ de ██████ ███████████.

████████████

Una ████████ de ███████ es una ██████████████ del ████████ ███████, ███████████ █ ██████████ del ███████ ██████████ a ███████ ███████████ que ██████████ ██████ la █████ ██████████ que el ███████ ██████████ pero ███████████ ██████ ███████████ █████ "█████". De █████, los ████████ ███ █████████ de ██████████ de ███████ son ████████████ ███████████ ██████ de $\mathbb {R} ^{3}$ █ ████████████ ████████ de $\mathbb {R} ^{n}$ .

La ██████████ ██████████ de la █████████ ███████████ ███████ ████████ a ████████████ ██████ o ████████████████ del ███████ ██████████, las ████████ ████████ de ████████ de una █████, ████ de una ██████████, (█████)███████ o ██████ entre ███ ██████. ████ se ███████ ██████████ en ████ █████ un ██████ ██████████ ███████ ██████ ███████ que ███████ ███████████ un █████████████ para █████ ██████████, █ por █████ ███████ █████████ otro ████████ ███████ ██████ en ██████████ █ sus ███████████.

Desde el █████ de █████ ██████████ una ████████ de ███████ es una ████████ del ████:

( █ , { █ █ } , █ )

Donde:

({\mathcal {M}},\{\phi _{\alpha }\})

es una ████████ █████████████ en la que se ha ████████████ el ████████ de ██████ ███████.

g\,

es una ██████████ ████████ ████████ ████████ desde el ███████ ████████ a la ████████:

g:TM\times TM\to \mathbb {R} .

En ██████████, la ███████ █ ███████ ███████ en ████ ███████ ████████ una █████ ||.|| ████████

$||X||={\sqrt {g(X,X)}}.$

██████████ ████████████ como █████████████

Una █████ ████████ de █████████ ██████████ ████████████ es ██████ ████████████ "██████" del ███████ ██████████. De █████, ████ ███████████ █████████████ de █^█ █████ una ███████ de ███████ ████████: el ████████ ███████ en ████ █████ ████████ es la ███████████ del ████████ ███████ en █^█.

De █████, como se █████ del ███████ de █████████ de ████, █████ las ██████████ de ███████ se ██████ ██████████ █████████████ ██████████████ de $\mathbb {R} ^{D}$ , para █████ █. En ██████████ se █████ ███████ una ████████ de ███████ como un ███████ ███████ que es ██████████ a una ███████████ █████████████ de █^█ con la ███████ ██████████ ████████. Esta ██████████ █████ no ser ████████████ ███████████████ ████████, pero es ███ ████ al █████████ las ████████ ███████████ ███████████ en la █████████ de ███████.

En ███████ una ███████████ de $\mathbb {R} ^{n}$ , █████████ █, ██████ ████████ ██████████ por un ████████ de ████████████ ██████████████ del ████:

█ = █ ( █ █ , … , █ █ ) , con █ █ = █ █ ( █ █ , … , █ █ ) █ ∈ { █ , … , █ }

Por lo que ██████████████ se ██████ en ████ █████ de ███████████ █████████ █_█ que el ██████ ███████ █████ ██████████ en ███████████ ███████ en ████████ de la ██████ █████████ de █:

█ = ( █ █ ) ∗ ( █ ) = █ █ █ █ █ , █ = ∑ █ , █ = █ █ █ █ █ █ █ █ ⊗ █ █ █

En este ████ las $(u^{1},\dots ,u^{m})$ ██████ el █████ de ███████████ ███████ sobre la ███████████.

██████████ ████████████ como █████████ ██████████████

Una ████████ de ███████ se ██████ ████████████ como ████████ █████████████ con una ███████ █████████████ de ██████ ███████████ ████████-█████████ en el ███████ ████████. ████████ se █████ ███████ en █████████ que █████ ser ██████████ en un ███████ ███████:

Si █: [a, █] → █ es una █████ █████████████ █████████████ en la ████████ de ███████ █, ████████ se ██████ su ████████ █(█) como

█ ( █ ) = ∫ a █ ‖ █ ′ ( █ ) ‖ █ █

(██████ que el █'(█) es un ████████ del ███████ ████████ a █ en el █████ █(█); ||.||██████ la █████ ██████████ del ████████ ███████ ████ en ese ███████ ████████.)

Con esta ██████████ de ████████, ████ ████████ de ███████ ██████ █ se █████████ en un ███████ ███████ (█ ███████ un ███████ ███████ con ████████) de un ████ ███████: la █████████ █(█, █) entre los ██████ █ █ █ en █ se ██████ como

█ (█, █) = ███ { █(█): █ es una █████ █████████████ █████████████ que ███████ a █ █ █ }.

█████████ ████████

██████ ██████████

██████ las ██████████ de ███████ son ████████████ "██████", no ████████, ███████ █████████ que █████ ███ ██████ ██████████ █ ███████████████ ████████ ██████ una █████ de ████████ ██████ (██████ esta no █████ por qué ser █████). Estas ██████ de ██████ ████████ se ██████ ██████ ██████████ █ son una ██████████████ del ████████ "█████ █████" o "█████ de ██████ ████████". Estas son las ██████ que ██████████ ████████ sus ██████ a lo █████ de las ████████████ ███ ██████.

███ ████ una █████ $\gamma :[a,b]\rightarrow M$ :[a,█]\██████████ █} █████████ en una ████████ ███████████ █, █████████ la ████████ de █████ █████ █(█) ████████ el ██████ ████████ a la █████ █ las ███████████ █_██ del ██████ ███████ █ del █████████ ████:

L(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {\sum _{i,j}g_{ij}x'_{i}(t)x'_{j}(t)}}\ dt

Donde █_█(█) es la █████████ ███████████ de los ██████ de la █████ █████████████ ████████ el █████████ █. ██████ los ████████ de ███████████ █████████ a la ████████ sin ███████, la █████ █████████ de ██████ ████████ que █████ por un █████ █_█ █ █████ el ██████ ████████ █ █████████ la █████████ ████████:

{\frac {d^{2}x^{\mu }}{dt^{2}}}+\sum _{\sigma ,\nu }\Gamma _{\sigma \nu }^{\mu }{\frac {dx^{\sigma }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}=0

█████ ████████ que la ████████ ████████ █████ █████████ por ███████ █████████████, █████████████ ███████ de las ██████████ de █████-████████ para un ███████████ ██████████ a ██████ de la █████ ██████████ ████████ al ██████ ███████.

████████, ██████ █ ███████

En una ████████ ███████████ la ██████████ de un ██████ ███████ ███████ ████████ las ████████ █████████ de ████████, ██████ entre ███ ██████ en un █████ (o ███ ████████ del ███████ ████████ de un █████) o el ███████ de una ██████ de █████ ████████.

La ████████ de un ████████ de una █████ ████ █████████████ por $t\,$ , desde $a\,$ hasta $b\,$ , se ██████ como:

█ = ∫ a █ █ █ █ █ ˙ █ █ ˙ █ █ █

El ██████ entre ███ ████████ █ █ █ (o entre ███ ██████ █████ ████████ █████████ ████ █ █ █ ) se ██████ como:

███ ⁡ █ = █ █ █ █ █ █ █ | █ █ █ █ █ █ █ | | █ █ █ █ █ █ █ |

El █-███████ de una ██████ █ de una ████████ de █████████ █ █████ ████ por la ████████ █████████ a █████ ██████ de la █-█████ de ███████:

█ █ = ∫ █ | █ | █ █ █ ∧ █ █ █ ∧ . . . ∧ █ █ █

██████ de ████ se ██████ ███████ ███████ de ███████████████ █< █ < █ para ████████ de █████████████ ██████████ en la ████████ ████████, lo cual ███████ ███████ █-█████ ███████ ████████████ de la ████████.

████████ ███████

El ████████ ███████ en █^█ (el ████████ ███████ ██████████ ████████) ███████ que se ██████ ██████████ de ████████ █ ███████ entre ████████. Por ███████, si a █ █ son ████████ en █^█, ████████ ██ es la ████████ al ████████ del ██████, █ a * █ █████████ el ██████ del ██████ entre ellos (a * █ = ||a|| ||█|| ███ █). El ████████ ███████ es un ████████ del ███████ ██████ que se █████ ███████ para █████████ ███████ █████████. Desde el ███████ ████████ de una ████████ █████████████ (o de █████, █████████ ███████ █████████ sobre una ████████) es, ███████████ █████ a █████, un ███████ █████████, █████ ██████ ███████ un ████████ ███████. Si el ████████ ███████ en el ███████ ████████ de una ████████ se ██████ ██████████, ████████ los █████████ que eran █████████ █████ a █████ ████████ en ████ ███████ ████████ se ██████ ████████, para ██████ ████████ ████████ en ████████ ███████ de la ████████. En este ████████, el ███████ ████████ se █████ ██████ como ██████████ █████████████ en la ████████. ███, el ████████ ███████ en el ███████ ████████ ██ la ████████ de una ██████████ █████████████. La ████████ de esta ████████ ██ la ████████ de una █████ en la ████████. Para █████ de un ████████ ██████████ ██████ a uno ██████████ ███████████, el █████████ de ████████ es ██████████, en ██████ █████.

█████████

En una ████████ ███████████ las ██████████ █████████ de un █████ ███████ ███████████████ ████████ ████████ a la █████████ ██████████. Por ███████ en un ███████ ██████████ ██████ █████ ██████ ██████ █████████ ████ █████████ se ████████ █████████, sin ███████, en una ████████ ███████████ los █████ de ██████████ ███████ a ████████ (█████████ ████████) o a █████████ (█████████ ████████), █████ ███ la █████████ █████████ de █████ ████████. █████ las ██████████ ██████ ser █████████████ █████████████ por el ██████ de █████████ ███████ que es █████████ a ██████ de █████████ de ██████ █ ████████ █████ del ██████ ███████. El ██████ de █████████ en ████████ de los ████████ de ███████████ █ ██████ el ████████ de ████████ de ████████ █████ ████ por:

█ █ █ █ █ = ∂ █ █ █ █ █ − ∂ █ █ █ █ █ + █ █ █ █ █ █ █ █ − █ █ █ █ █ █ █ █

Una ████████ ███████████ que ██████ el ███████████ del ██████ de █████████ es que si se ██████████ ███████████ ████████ $\scriptstyle \{x^{1},\dots ,x^{n}\}$ █████████ en un █████ █ en un ███████ de █████ █████ la ███████ de ████ ████████ ██████████ █████ ██████████ como:

█ █ █ ( █ ) = █ █ █ − █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ + O ( | █ | █ )

█████ █████ que si el ██████ de ███████ se █████ █████████████ ████████ ██████████ la ███████ se ████████ a la ███████ ██████████ █ la █████████ ██████████ es ██████████. En ████ del que el ██████ no ███ ████, sus ███████████ ███ una ████ de ██████ se ██████ la █████████ de la ████████ ███████████ de la █████████ de un ███████ ██████████ de la █████ █████████.

████████████████ de las ██████████ de ███████

████████ █████████████████, en las que se ██████ el █████████ de que el ██████ ███████ dé █████ a una █████ ██████████ ████████ ████████ sobre ████ █████ en el ███████ ████████, █ se █████████ por el █████████ ███ █████ de que el ██████ ███████ ███ █████████████ no ██████████. ████ ████████ ███████████ es ███████ una ████████ █████████████████.
████████ de ███████, en la que se ███████ el █████████ de ██████████ de un ██████ ███████ ████████ ████████, █ se █████████ esa █████████ por el █████████ ███ █████ la ██████████ de una █████ sobre el ███████ █████████ ████████ a ████ █████. ████ ████████ ███████████ es por █████ una ████████ de ███████.
████████ de ██████ es una ████████ ███████████ en la que es ███████ ███████ ███████████ ████████ a las ██████████ en las ██████████ de ███████. ██████ es ████████ ████████, una ████████ de ███████, █ una ████████ ███████████, con estas ████ ███████████ ███████████ entre sí.

█████ ███████

█████████ de ███████
████████ de ███████
███████████ ███████

███████████

████████████

██████ █. ████, ███████ ██████████, ███████ ██████████ █████, ████ █-███-█████-█.
███, █.█. ██████████ █████████: ██ ████████████ ██ █████████. ███ ███. ████ █-███-█████-█

█████: ███████