█████████ de ███████

Em █████████ de ███████, uma █████████ de ███████ (a ██████████ █████████ ███████████ ██████ é ██████████) é uma █████████ █████████████ ████ na qual ████ ██████ ████████ é ██████ de um ███████ ████████ de ███████ que █████ ██████████ █████ a █████. Isto ███████ que se ███████ ██████ ██████ ████████ como ███████████ de ██████, ███████, █████ (ou ███████), ██████████, ██████████ de ███████ e ███████████ de ██████ █████████.

██████████

Uma █████████ de ███████ é uma █████████████ do ████████ ███████, ███████████ e ██████████ do ██████ ██████████ a ███████ ███████████ que ██████████ tem a █████ █████████ que o ██████ ██████████ mas ███████████ █████ ███████████ █████ "█████". Com ██████, os ████████ mais ███████ de ██████████ de ███████ ███ ████████████ ███████████ ██████ de $\mathbb {R} ^{3}$ e ████████████ ███████ de $\mathbb {R} ^{n}$ .

A █████████ ██████████ da █████████ ███████████ ███████ ████████ a ████████████ ██████ ou ████████████████ do ██████ ██████████, as ██████ ████████ de ███████████ de uma █████, ████ de uma ██████████, (█████)██████ ou ██████ entre ████ ██████. Isto é █████████ █████████-se em ████ █████ um ██████ ██████████ ███████ ██████ ███████ que ███████ ███████████ um ████████████ para █████ ██████████, e ████████ ███████ ████████ █████ ████████ ███████ ███████ em ██████████ e suas █████████.

Do █████ de █████ ██████████ ███ █████████ de ███████ é um ████████ do ████:

({\mathcal {M}},\{\phi _{\alpha }\},g)

Onde:

({\mathcal {M}},\{\phi _{\alpha }\})

é uma █████████ █████████████ na que se █████ ████████████ o ████████ de ██████ ██████.

g\,

é uma █████████ ████████ ████████ ████████ desde o ██████ ████████ à █████████:

g:TM\times TM\to \mathbb {R} .

Em ██████████, a ███████ █ ███████ ███████ em ████ ██████ ████████ uma █████ ||.|| ████████

$||X||={\sqrt {g(X,X)}}.$

██████████ ████████████ como █████████████

Uma █████ ███████ de █████████ ██████████ ████████████ é ██████ ████████████ "██████" do ██████ ██████████. De ████, ████ ████████████ █████████████ de █^█ tem uma ███████ de ███████ ████████: o ███████ ████████ em ████ █████ ████████ é a █████████ do ███████ ███████ em █^█.

De ████, como se █████ do ███████ de ███████ de ████, █████ as ██████████ de ███████ █████ ser ████████████ █████████████ ██████████████ de $\mathbb {R} ^{D}$ , para █████ █. Em ██████████ pode-se ███████ uma █████████ de ███████ como um ██████ ███████ que é ██████████ a uma ████████████ █████████████ de █^█ com a ███████ ██████████ ████████. Esta █████████ pode ███ ser ████████████ ███████████████ ████████, mas é muito ████ ao se █████████ as █████████ █████████ ███████████ na █████████ de ███████.

Em █████ uma ████████████ de $\mathbb {R} ^{n}$ , ████████ █, ████ ████████ ██████████ por um ████████ de ██████████ ██████████████ do ████:

\mathbf {x} =\mathbf {f} (u^{1},\dots ,u^{m}),\ {\mbox{con}}\ x^{i}=f_{i}(u^{1},\dots ,u^{m})\ i\in \{1,\dots ,n\}

Pelo que ██████████████ se ████ em ████ █████ de ███████████ ██████████ █_█ que o ██████ ███████ pode ser ████████ em ███████████ ██████ em ██████ da ██████ █████████ de █:

G={(\phi _{\alpha })}_{*}(g)=D\mathbf {f} ^{T}D\mathbf {f} ,\qquad G=\sum _{i,j=1}^{m}G_{ij}du^{i}\otimes du^{j}

█████ ████ as $(u^{1},\dots ,u^{m})$ ██████ o █████ de ███████████ ██████ sobre a ████████████.

██████████ ████████████ como ██████ ██████████████

Uma █████████ de ███████ é ████████ ██████████ como █████████ █████████████ com uma █████ █████████████ de ██████ ███████████ ████████-█████████ no ███████ ████████. █████ tem-se ████████ em █████████ que pode ser ██████████ em um ██████ ███████:

Se █: [a, █] → █ é uma █████ █████████████ █████████████ na █████████ de ███████ █, █████ se ██████ seu ███████████ █(█) como

L(\gamma )=\int _{a}^{b}\|\gamma '(t)\|\;dt

(████-se que o █'(█) é um ████████ do ██████ ████████ a █ no █████ █(█); ||.||██████ a █████ ██████████ do ███████ ████████ ████ █████ ██████ ████████.)

Com esta █████████ de ███████████, ████ █████████ de ███████ ███████████ a █ se ████████ em um ██████ ███████ (e █████████ um ██████ ███████ com ███████████) de um ████ ███████: a █████████ █(█, █) entre os ██████ █ e █ em █ é ████████ como

█ (█, █) = ███ { █(█): é uma █████ █████████████ █████████████ que ███████ a █ e █ }.

█████████ ████████

██████ ██████████

█████ que as ██████████ de ███████ █████ ██████████ "██████", ███ ████████, ███████ █████████ que █████ dos ██████ ██████████ e ███████████████ ████████ ██████ uma █████ de ███████████ ██████ (█████ que esta ███ █████ ██████ ser █████). Estas ██████ de ██████ ███████████ se ██████ ██████ ██████████ e ███ uma █████████████ do ████████ de "█████ ████" ou "█████ de ██████ ███████████". Estas ███ as ██████ que ██████████ ████████ seus ██████ ao █████ das ███████████ mais ██████.

█████, ████ uma █████ $\gamma :[a,b]\rightarrow M$ :[a,█]\██████████ █} ███████ em uma █████████ ███████████ █, █████████ o ███████████ de ███ █████ █(█) ████████ o █████ ████████ à █████ e as ███████████ █_██ do ██████ ███████ █ do ████████ ████:

L(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {\sum _{i,j}g_{ij}x'_{i}(t)x'_{j}(t)}}\ dt

Onde █_█(█) é a █████████ ███████████ dos ██████ da █████ █████████████ ████████ o █████████ █. ██████ os ████████ de ███████████ ██████████ à ███████ sem ██████, a █████ █████████ de ██████ ███████████ que █████ por um █████ █_█ e tem o █████ ████████ █ ████████ a ████████ ███████:

{\frac {d^{2}x^{\mu }}{dt^{2}}}+\sum _{\sigma ,\nu }\Gamma _{\sigma \nu }^{\mu }{\frac {dx^{\sigma }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}=0

Pode se ██████████ que a ███████ ████████ pode ser ██████ por ███████ ████████████, █████████████ ███████ das ████████ de █████-████████ para uma ███████████ ██████████ a ██████ da █████ ██████████ █████████ ao ██████ ███████.

███████████, ██████ e ██████

Em uma █████████ ███████████ a ██████████ de um ██████ ███████ ███████ ████████ as ██████ ███████████ de ███████████, ██████ entre ████ ██████ em um █████ (ou ████ ███████ do ██████ ████████ de um █████) ou o ██████ de uma ██████ █████ █████████.

O ███████████ de um ████████ de uma █████ ████ █████████████ por $t\,$ , desde $a\,$ ███ $b\,$ , é ████████ como:

L=\int _{a}^{b}{\sqrt {g_{ij}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}}}\ dt

O ██████ entre ████ ███████ █ e █ (ou entre ████ ██████ █████ ███████ █████████ ███ █ e █ ) é ████████ como:

\cos \theta ={\frac {g_{ij}U^{i}V^{j}}{\sqrt {|g_{ij}U^{i}U^{j}||g_{ij}V^{i}V^{j}|}}}

O █-██████ de uma ██████ █ de uma █████████ de ████████ █ ███ a ser ████ pela ████████ █████████ a ███ ██████ da █-█████ de ██████:

V_{R}=\int _{R}{\sqrt {|g|}}\ dx^{1}\land dx^{2}\land ...\land dx^{n}

████ █████ █████ ser █████████ ███████ de ████████████████ █< █ < █ para ███████ de █████████████ ████████ na █████████ ████████, a qual ███████ ███████ █-█████ ██████ ████████████ da █████████.

███████ ████████

O ███████ ████████ em █^█ (o ███████ ███████ ██████████ ████████) ███████ que se ██████ ████████████ de ███████ e ███████ entre ███████. Por ███████, se a e █ ███ ███████ em █^█, █████ ██ é o ███████████ ao ████████ do █████, e a * █ █████████ o ███████ do ██████ entre eles (a * █ = ||a|| ||█|| ███ █). O ███████ ████████ é um ████████ da ███████ ██████ que pode ser ████████ para ████████ ██████ ████████. Desde o ███████ ████████ de uma █████████ █████████████ (ou, de ████, ████████ ███████ ████████ sobre uma █████████) é, ███████████ █████ a █████, um ██████ ████████, pode █████ ██████ um ███████ ████████. Se o ███████ ████████ no ██████ ████████ de uma █████████ é ████████ ██████████, █████ os █████████ que eram ███████ █████ a █████ █████████ em ████ ██████ ████████ █████ ser ██████████, para ██████ ██████ ████████ em ███████ ███████ da █████████. █████ ████████, o ██████ ████████ pode ser ███████ como ██████████ █████████████ na █████████. █████, o ███████ ███████ no ██████ ████████ dá o ███████████ de uma ██████████ █████████████. A ████████ █████ ███████████ dá o ███████████ de uma █████ na █████████. Para ██████ de um ████████ █████████ ██████ a um ██████████ ███████████, o █████████ de █████████, em muitos █████, é ██████████.

█████████

Em uma █████████ ███████████ as ██████████ em █████ de um █████ ██████ ██████████████ ████████ com ███████ à █████████ ██████████. Por ███████, em um ██████ ██████████ █████ ███-se ██████ █████ █████████ ████ █████████ se ██████ █████████, ██████████, em uma █████████ ███████████ os ██████ de ██████████ ██████ a ████████ (█████████ ████████) ou a █████████ (█████████ ████████), ███████ ████ a █████████ █████████ de ███ █████████. █████ as ██████████ █████ ser █████████████ █████████████ pelo ██████ de █████████ de ███████ que é █████████ a ██████ das █████████ de ████████ e ███████ █████ do ██████ ███████. O ██████ de █████████ em ██████ dos ████████ de ███████████ e ██████ a █████████ de █████████ de ████████ que é ████ por:

{R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\partial _{\nu }\Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }

Uma ███████ ████████████ que █████ █████ o ███████████ do ██████ de █████████ é que se ██ ████████████ ███████████ ███████ $\scriptstyle \{x^{1},\dots ,x^{n}\}$ █████████ em um █████ █ no ███████ de ███████████ █████ a ███████ de ████ █████████ ███████████ pode ser ███████ como:

g_{ij}(x)=\delta _{ij}-{\frac {1}{3}}R_{iklj}x^{k}x^{l}+O(|x|^{3})

Pode se ███ que se o ██████ de ███████ é ███████ █████████████ █████ ██████████ a ███████ se ████████ da ███████ ██████████ e a █████████ ██████████ é ██████████. No ████ de que o ██████ ███ ████ ████, seus ███████████ ███ uma █████ de ██████ se █████████ a █████████ da █████████ ███████████ da █████████ de um ██████ ██████████ de █████ ████████.

██████████████ das ██████████ de ███████

█████████ █████████████████, nas quais ███ █████████ o █████████ de que o ██████ ███████ dê █████ a uma █████ ██████████ ████████ ████████ sobre ████ █████ no ██████ ████████, e ███ ████████████ pelo █████████ mais █████ de que o ██████ ███████ ████ ████████████ ███ ██████████. ████ █████████ ███████████ é ██████ uma █████████ █████████████████.
█████████ de ███████, na qual se ███████ o █████████ de ██████████ de um ██████ ███████ ████████ ████████, e se █████████ essa ████████ pelo █████████ mais █████ da ██████████ de uma █████ sobre o ██████ ████████ ████████ a ████ █████. ████ █████████ ███████████ é ████████ uma █████████ de ███████.
█████████ de ██████ é uma █████████ ██████████ na qual é ████████ ███████ ██████████ ████████ às ██████████ nas ██████████ de ███████. ██████ é █████████ ████████, uma █████████ de ███████, e uma █████████ ██████████, com estas ████ ██████████ ███████████ entre ██.

███████████

████████████

██████ █. ████, ███████ ██████████, ███████ ██████████ █████, ████ █-███-█████-█.
███, █.█. ██████████ █████████: ██ ████████████ ██ █████████. ███ ███. ████ █-███-█████-█
████, ██████ (████), ██████████ ████████ ███ █████████ ████████, ████ ███-█-███-█████-█ ███ ██. , ██████, ███ ████: ████████-██████
do █████, ████████ (████), ██████████ ████████, ████ ███-█-████-████-█, █████, ██████, ██████: ██████████
██████ ██████: A █████████ ████ ██ ██████████ ████████. ████████-██████, ██████, ████, ████ █-███-█████-█
█████████ ██████, █████████ █████, ███████ ██████████: ██████████ ████████ (██████ ███████), ████████-██████, ██████/██████████ ████, ████ █-███-█████-█
██████ █████████████: █████████ ███ █████████ ██ ███ ██████, ██████ ████████, ████, ████ █-███-█████-█
█████ ███████, █.E. ███████, █████ █████; █████████, ██████ ████████, ███ ████████████; ████████ ███████ & ████████ █████, ████.
█████ ████████; ██████████ ████████; ████████ ███████ & ████████ █████, ████.
█████ ██████; ██████████ ████████: A █████████ █████, ██████ ███████; ██████ & ███████, ████.
█████ █. ███████; A ██████ ██ ██████████ ████████, ████ - ███.█████.███.██

████████ ████████

█████████, ████ █. "██████████ ████████." - █████████ - A ███████ ███ ████████.

███ ██████