██████ ██████

█████████ ███████████, ██████ ██████ ███ ███ ██████ █████ ███ ███ █████ ██ █████ ████ █████ ██████ ██ █████ █████ ██████ ██████ ██. █████ ███ ██ ████ ██████ ████ ██ █████ ██████████████ ██ ████ ███ ███ █████████, ██ █████ ██ █████. ███ ██ ██████ ██████ ██████ ██████ ██████ ███ ██████ ███████ ███ ████ █████. ██████ ██████ █████ ██ ██ ██████, ██████ ████. █████ ████ ███ ██ ██████ ██████ █████ █████ ██████.

█████

██████ ██████ ██ █████ ████ $█$ ███ ███ ██████ $█$ ██████ (█,█) ██ ████ █████ $p\in M$ ██████ ███████████ $g_{p}$ ███ ███████ ███████ ███████. ███ ██████ ██ ████ ██████ █████ ██ ████.

██████ █████, ███████ ███████ ██████ ███ █████ $p\in M$ █████ ██████████ ██ █████ █████ $T_{p}M$ , ██ ███████ ███ ████ ████ █████ ██████ ███████████ ███ █████ ██████.

███████ █████ █████, ████ █████ ██ ██ █████ ████ ██████ ██████.

███████ ██████

█████ ██████ ███████ ██████

██████ ██████ ██████ ████ ██████ ████ ██ ████ $\gamma :[a,b]\to M$ :[█,█]\██ █} ██ ███:

L(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {g_{\gamma (t)}(\gamma '(t),\gamma '(t))}}dt=\int _{a}^{b}{{\sqrt {g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}}}dt}

█████ ██████ ██ █████ (██████) ███ ███ ██████ █████ █████████ ██ ███████ ██ ██████ ████████ ██████ ███ █████████ ██████. ████████ █████ ███ ███ ██████.

█████ ███

██████ ██████ ██████ ████ ██████ █████ ███ ███████████ ██ ███:

\ dV=dx^{1}\cdots dx^{n}{\sqrt {\det {g}}}

██████ ███ ███ ███ ███████████ ███ █████ ███████████.

██████ ███ ███ ███: █████,

\ d{\bar {x}}^{1}\cdots d{\bar {x}}^{n}={\frac {\partial (d{\bar {x}}^{1}\cdots d{\bar {x}}^{n})}{\partial (d{x}^{1}\cdots d{x}^{n})}}d{x}^{1}\cdots d{x}^{n}

████

\ {\frac {\partial (d{\bar {x}}^{1}\cdots d{\bar {x}}^{n})}{\partial (d{x}^{1}\cdots d{x}^{n})}}=\det {\left({\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\nu }}}\right)}

███ █████████ ██ ████████████.

███ ██,

\ {\bar {g}}_{\mu \nu }={\frac {\partial x^{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\mu }}}{\frac {\partial x^{\beta }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}g_{\alpha \beta }

████, ███████ ██ █████████,

\ \det {\bar {g}}=\det {\left({\frac {\partial {x}^{\mu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\right)}\cdot \det {\left({\frac {\partial {x}^{\mu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\right)}\cdot \det {g}

██

\ {\sqrt {\det {\bar {g}}}}=\det {\left({\frac {\partial {x}^{\mu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\right)}{\sqrt {\det {g}}}

███

\ d{\bar {V}}=d{\bar {x}}^{1}\cdots d{\bar {x}}^{n}{\sqrt {\det {\bar {g}}}}=\det {\left({\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial {x}^{\nu }}}\right)}\cdot dx^{1}\cdots dx^{n}\cdot \det {\left({\frac {\partial {x}^{\mu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\right)}{\sqrt {\det {g}}}=dx^{1}\cdots dx^{n}{\sqrt {\det {g}}}=dV

███ █████ ███████████ ██ ██████ ███████ ██ ( $\ {\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\nu }}}\cdot {\frac {\partial x^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}=\delta _{\rho }^{\mu }$ ).

███████

███ ████ ██████ ██████, ████ █████ █████ ███████████ ███████ █████ ██ ███████ ███████ █████ ███████ ██ ████████ $g_{\mu \nu }(p)=g_{p}\left({\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}},{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}\right)$ .

███████ ██████ ██ █████ ████████ $\mathbb {E} ^{n}$ █████ ████████████ ███████ ██ ███ ███████ $g_{ij}=\delta _{ij}$ ████ $\delta$ ███ █████ ██ ██████.
████ ██████ █████ ███████████ ███████ $\{q^{i}\}$ █████ ████ █████ ████████ █████████████ ████████, ███████ █████ ██ ███ ██████ ████:

g_{ij}=\langle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{j}}}\rangle

██ $█$ ███ ██████ ██████ ██ █████ $█$ █־ $N\subset M$ ███ ██ █████, ██████ ██ $█$ ███ ███████ ██ $█$ ██████ ██ ███:

h_{p}(v,w)=g_{p}(v,w)

████

p\in N,v,w\in T_{p}N\subset T_{p}M

███████ ██ ██████ $S^{2}$ ███████ ██████ ███████ ██████ ██ █████ ████████ █████ (████████████ ███████) ██ ███ ███████:

\left({\begin{matrix}1&0\\0&\sin ^{2}(\theta )\end{matrix}}\right)

█████████████

██████ ███████ ██████ ███ █████ ██ ██████, ███ ████ ███████████ ███ █████ █████ █████ ███-████. ████████████ ███████, ████████████ ████ ██ ███: