███████████ ████████████

In ███████████ ██████ and ██████████, the ███████████ ████████████ or ████████ ███████████ ████████████ is the ███████████ ████████████ of the ████████ between ██████ in a ███████ █████ ███████, █.█., a ███████ in which ██████ █████ ████████████ and █████████████ at a ████████ ███████ ████; the ████████ █████████ █████ be ███ ██████████ ████-███████████ ███████ of the ███████, ████ as ████ between ██████████ ██████, or ██████ along a ████ of ██████ in the ███████ █████████████ ███████. It is a ██████████ ████ of the █████ ████████████. It is the ██████████ ████████ of the █████████ ████████████, and it has the ███ ████████ of being ██████████. In ████████ to being used for the ████████ of ███████ █████ █████████ it is █████ in ███████ █████ ████████.

The ███████████ ████████████ is not the ████ as the █████ of ███████████ ████████ of █████████████. This is a █████ █████ of ███████████ █████████████ that ████████ the ███████████ ████████████ as ███ of ███ ███████, but ████ ████████ ████ █████ █████████████, ████ as the ██████, ████████, █████, and ███████ █████████████.

███████████

███████████ ███████ ████████

The ███████████ ███████ ████████ (███) of an ███████████ ████████████ is

f(x;\lambda )={\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}

████ █ > █ is the █████████ of the ████████████, █████ ██████ the ████ █████████. The ████████████ is █████████ on the ████████ [█, ∞). If a ██████ ████████ █ has this ████████████, ██ █████ █ ~ ███(█).

The ███████████ ████████████ ████████ ████████ ████████████.

██████████ ████████████ ████████

The ██████████ ████████████ ████████ is █████ by

F(x;\lambda )={\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}

███████████ ███████████████

The ███████████ ████████████ is █████████ ████████████ in █████ of the █████ █████████ █ = █/█, which is ████ the ████: $f(x;\beta )={\begin{cases}{\frac {1}{\beta }}e^{-x/\beta }&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}\qquad \qquad F(x;\beta )={\begin{cases}1-e^{-x/\beta }&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}$

██████████

████, ████████, ███████, and ██████

The ████ or ████████ █████ of an █████████████ ███████████ ██████ ████████ █ with ████ █████████ █ is █████ by $\operatorname {E} [X]={\frac {1}{\lambda }}.$

In █████ of the ████████ █████ below, this █████ █████; a ██████ ███ ████████ an ███████ of ███ █████████ █████ per ████ can ██████ that the ████ between ███████████ █████ will be █.█ ████, or ██ ███████.

The ████████ of █ is █████ by $\operatorname {Var} [X]={\frac {1}{\lambda ^{2}}},$ ██ the ████████ █████████ is █████ to the ████.

The ███████ of █, for $n\in \mathbb {N}$ are █████ by $\operatorname {E} \left[X^{n}\right]={\frac {n!}{\lambda ^{n}}}.$

The ███████ ███████ of █, for $n\in \mathbb {N}$ are █████ by $\mu _{n}={\frac {!n}{\lambda ^{n}}}={\frac {n!}{\lambda ^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.$ █████ !█ is the ████████████ of █.

The ██████ of █ is █████ by $\operatorname {m} [X]={\frac {\ln(2)}{\lambda }}<\operatorname {E} [X],$ █████ ██ ██████ to the ███████ █████████. ████ the ████████ ██████████ between the ████ and ██████ is $\left|\operatorname {E} \left[X\right]-\operatorname {m} \left[X\right]\right|={\frac {1-\ln(2)}{\lambda }}<{\frac {1}{\lambda }}=\operatorname {\sigma } [X],$

in ██████████ with the ██████-████ ██████████.

██████████████ ████████ of ███████████ ██████ ████████

An █████████████ ███████████ ██████ ████████ █ █████ the ████████ $\Pr \left(T>s+t\mid T>s\right)=\Pr(T>t),\qquad \forall s,t\geq 0.$

This can be ████ by considering the █████████████ ██████████ ████████████ ████████: ${\begin{aligned}\Pr \left(T>s+t\mid T>s\right)&={\frac {\Pr \left(T>s+t\cap T>s\right)}{\Pr \left(T>s\right)}}\\[4pt]&={\frac {\Pr \left(T>s+t\right)}{\Pr \left(T>s\right)}}\\[4pt]&={\frac {e^{-\lambda (s+t)}}{e^{-\lambda s}}}\\[4pt]&=e^{-\lambda t}\\[4pt]&=\Pr(T>t).\end{aligned}}$

████ █ is ███████████ as the ███████ ████ for an █████ to █████ ████████ to some ███████ ████, this ████████ ███████ that, if █ is ███████████ on a ███████ to ███████ the █████ over some ███████ ██████ of ████ █, the ████████████ of the █████████ ███████ ████ is the ████ as the ████████ █████████████ ████████████. For ███████, if an █████ has not ████████ after ██ ███████, the ███████████ ███████████ that ██████████ will ████ at █████ ██ ████ ███████ is █████ to the █████████████ ███████████ of █████████ the █████ ████ than ██ ███████ after the ███████ ████.

The ███████████ ████████████ and the █████████ ████████████ are the ████ ██████████ ███████████ █████████████.

The ███████████ ████████████ is ████████████ ████ ███████████ the ████ ██████████ ███████████ ████████████ that has a ████████ ███████ ████.

█████████

The ████████ ████████ (███████ ██████████ ████████████ ████████) for ███(█) is $F^{-1}(p;\lambda )={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }},\qquad 0\leq p<1$

The █████████ are █████████:

█████ ████████: ██(█/█)/█
██████: ██(█)/█
█████ ████████: ██(█)/█

And as a ███████████ the █████████████ █████ is ██(█)/█.

███████████ █████ at ████ (████████ █████████)

The ███████████ █████ at ████ (████) ████ █████ as the ████████ █████████ or █████████████ for ███(█) is ███████ as ███████:

${\begin{aligned}{\bar {q}}_{\alpha }(X)&={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{\alpha }^{1}q_{p}(X)dp\\&={\frac {1}{(1-\alpha )}}\int _{\alpha }^{1}{\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }}dp\\&={\frac {-1}{\lambda (1-\alpha )}}\int _{1-\alpha }^{0}-\ln(y)dy\\&={\frac {-1}{\lambda (1-\alpha )}}\int _{0}^{1-\alpha }\ln(y)dy\\&={\frac {-1}{\lambda (1-\alpha )}}[(1-\alpha )\ln(1-\alpha )-(1-\alpha )]\\&={\frac {-\ln(1-\alpha )+1}{\lambda }}\\\end{aligned}}$

████████ ███████████ of ██████████ (████)

The ████████ ███████████ of ██████████ is ███ minus the ███████████ █████ at which the ████ ██████ the █████████ $█$ . It is ███████ as ███████:

${\begin{aligned}{\bar {p}}_{x}(X)&=\{1-\alpha |{\bar {q}}_{\alpha }(X)=x\}\\&=\{1-\alpha |{\frac {-\ln(1-\alpha )+1}{\lambda }}=x\}\\&=\{1-\alpha |\ln(1-\alpha )=1-\lambda x\}\\&=\{1-\alpha |e^{\ln(1-\alpha )}=e^{1-\lambda x}\}=\{1-\alpha |1-\alpha =e^{1-\lambda x}\}=e^{1-\lambda x}\end{aligned}}$

████████–███████ ██████████

The ████████ ████████–███████ ██████████ in ████ of $e^{\lambda }$ ("█████████████" ████████████) from $e^{\lambda _{0}}$ ('████' ████████████) is █████ by ${\begin{aligned}\Delta (\lambda _{0}\parallel \lambda )&=\mathbb {E} _{\lambda _{0}}\left(\log {\frac {p_{\lambda _{0}}(x)}{p_{\lambda }(x)}}\right)\\&=\mathbb {E} _{\lambda _{0}}\left(\log {\frac {\lambda _{0}e^{\lambda _{0}x}}{\lambda e^{\lambda x}}}\right)\\&=\log(\lambda _{0})-\log(\lambda )-(\lambda _{0}-\lambda )E_{\lambda _{0}}(x)\\&=\log(\lambda _{0})-\log(\lambda )+{\frac {\lambda }{\lambda _{0}}}-1.\end{aligned}}$

███████ ███████ ████████████

Among ███ ██████████ ███████████ █████████████ with ███████ [█, ∞) and ████ █, the ███████████ ████████████ with █ = █/█ has the ███████ ████████████ ███████. In █████ █████, it is the ███████ ███████ ███████████ ████████████ for a ██████ ███████ █ which is ███████ than or █████ to ████ and for which █[█] is █████.

██████████████ with a ████████

For a ██████ ████████ $X\sim \mathrm {Exp} (\lambda )$ with █████████ $\lambda$ , the ████████ ██████████ with a ████████ $c>0$ is █████ █████████████ ███████████: $cX\sim \mathrm {Exp} (\lambda /c).$

███████ of ███████████ ██████ █████████

███ █_█, ..., █_█ be ███████████ █████████████ ███████████ ██████ █████████ with ████ ██████████ █_█, ..., █_█. ████ $\min \left\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\right\}$ is ████ █████████████ ███████████, with █████████ $\lambda =\lambda _{1}+\dotsb +\lambda _{n}.$

This can be ████ by considering the █████████████ ██████████ ████████████ ████████: ${\begin{aligned}&\Pr \left(\min\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}>x\right)\\={}&\Pr \left(X_{1}>x,\dotsc ,X_{n}>x\right)\\={}&\prod _{i=1}^{n}\Pr \left(X_{i}>x\right)\\={}&\prod _{i=1}^{n}\exp \left(-x\lambda _{i}\right)=\exp \left(-x\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\right).\end{aligned}}$

The █████ of the ████████ which ████████ the ███████ is ███████████ █████████ to the ███████████ ████████████ $\Pr \left(X_{k}=\min\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}\right)={\frac {\lambda _{k}}{\lambda _{1}+\dotsb +\lambda _{n}}}.$

A █████ can be ████ by ███████ $I=\operatorname {argmin} _{i\in \{1,\dotsb ,n\}}\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}$ . ████, ${\begin{aligned}\Pr(I=k)&=\int _{0}^{\infty }\Pr(X_{k}=x)\Pr(\forall _{i\neq k}X_{i}>x)\,dx\\&=\int _{0}^{\infty }\lambda _{k}e^{-\lambda _{k}x}\left(\prod _{i=1,i\neq k}^{n}e^{-\lambda _{i}x}\right)dx\\&=\lambda _{k}\int _{0}^{\infty }e^{-\left(\lambda _{1}+\dotsb +\lambda _{n}\right)x}dx\\&={\frac {\lambda _{k}}{\lambda _{1}+\dotsb +\lambda _{n}}}.\end{aligned}}$

In ████████, $\max\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}$ is not █████████████ ███████████, if █_█, ..., █_█ do not ███ have █████████ █.

█████ ███████ of █.█.█. ███████████ █████ ██████████

███ $X_{1},\dotsc ,X_{n}$ be $█$ ███████████ and ███████████ ███████████ ███████████ ██████ █████████ with ████ █████████ █. ███ $X_{(1)},\dotsc ,X_{(n)}$ ██████ the █████████████ █████ ██████████. For $i<j$ , the █████ ██████ $\operatorname {E} \left[X_{(i)}X_{(j)}\right]$ of the █████ ██████████ $X_{(i)}$ and $X_{(j)}$ is █████ by ${\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X_{(i)}X_{(j)}\right]&=\sum _{k=0}^{j-1}{\frac {1}{(n-k)\lambda }}\operatorname {E} \left[X_{(i)}\right]+\operatorname {E} \left[X_{(i)}^{2}\right]\\&=\sum _{k=0}^{j-1}{\frac {1}{(n-k)\lambda }}\sum _{k=0}^{i-1}{\frac {1}{(n-k)\lambda }}+\sum _{k=0}^{i-1}{\frac {1}{((n-k)\lambda )^{2}}}+\left(\sum _{k=0}^{i-1}{\frac {1}{(n-k)\lambda }}\right)^{2}.\end{aligned}}$

This can be ████ by ████████ the ███ of █████ ███████████ and the ██████████ ████████: ${\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X_{(i)}X_{(j)}\right]&=\int _{0}^{\infty }\operatorname {E} \left[X_{(i)}X_{(j)}\mid X_{(i)}=x\right]f_{X_{(i)}}(x)\,dx\\&=\int _{x=0}^{\infty }x\operatorname {E} \left[X_{(j)}\mid X_{(j)}\geq x\right]f_{X_{(i)}}(x)\,dx&&\left({\textrm {since}}~X_{(i)}=x\implies X_{(j)}\geq x\right)\\&=\int _{x=0}^{\infty }x\left[\operatorname {E} \left[X_{(j)}\right]+x\right]f_{X_{(i)}}(x)\,dx&&\left({\text{by the memoryless property}}\right)\\&=\sum _{k=0}^{j-1}{\frac {1}{(n-k)\lambda }}\operatorname {E} \left[X_{(i)}\right]+\operatorname {E} \left[X_{(i)}^{2}\right].\end{aligned}}$

The █████ ████████ ███████ from the ███ of █████ ███████████. The ██████ ████████ ████████ the ████ that ████ ██ █████████ on $X_{(i)}=x$ , it ████ ██████ that $X_{(j)}\geq x$ . The █████ ████████ ██████ on the ██████████ ████████ to ███████ $\operatorname {E} \left[X_{(j)}\mid X_{(j)}\geq x\right]$ with $\operatorname {E} \left[X_{(j)}\right]+x$ .

███ of ███ ███████████ ███████████ ██████ █████████

The ███████████ ████████████ ████████ (███) of a ███ of ███ ███████████ ██████ █████████ is the ███████████ of █████ ██████████ ████. If $X_{1}$ and $X_{2}$ are ███████████ ███████████ ██████ █████████ with ██████████ ████ ██████████ $\lambda _{1}$ and $\lambda _{2},$ ████ the ███████████ ███████ of $Z=X_{1}+X_{2}$ is █████ by ${\begin{aligned}f_{Z}(z)&=\int _{-\infty }^{\infty }f_{X_{1}}(x_{1})f_{X_{2}}(z-x_{1})\,dx_{1}\\&=\int _{0}^{z}\lambda _{1}e^{-\lambda _{1}x_{1}}\lambda _{2}e^{-\lambda _{2}(z-x_{1})}\,dx_{1}\\&=\lambda _{1}\lambda _{2}e^{-\lambda _{2}z}\int _{0}^{z}e^{(\lambda _{2}-\lambda _{1})x_{1}}\,dx_{1}\\&={\begin{cases}{\dfrac {\lambda _{1}\lambda _{2}}{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}\left(e^{-\lambda _{1}z}-e^{-\lambda _{2}z}\right)&{\text{ if }}\lambda _{1}\neq \lambda _{2}\\[4pt]\lambda ^{2}ze^{-\lambda z}&{\text{ if }}\lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda .\end{cases}}\end{aligned}}$ The ███████ of this ████████████ is █████████ in ██████ ████: ████████ $\lambda _{1}>\lambda _{2}$ (without ████ of ██████████), ████ ${\begin{aligned}H(Z)&=1+\gamma +\ln \left({\frac {\lambda _{1}-\lambda _{2}}{\lambda _{1}\lambda _{2}}}\right)+\psi \left({\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{1}-\lambda _{2}}}\right),\end{aligned}}$ █████ $\gamma$ is the █████-██████████ ████████, and $\psi (\cdot )$ is the ███████ ████████.

In the ████ of █████ ████ ██████████, the ██████ is an ██████ ████████████ with █████ █ and █████████ $\lambda ,$ which in ████ is a ███████ ████ of █████ ████████████.

The ███ of █ ███████████ ███(█) ███████████ ██████ █████████ is █████(█, █) ███████████.

███████ █████████████

In this ███████, the following ███████████ are used:

$U(a,b)$ for the (██████████) ███████ ████████████ on the ████████ $(a,b)$ with $a<b$ .
$\mathrm {Beta} (a,b)$ for the ████ ████████████ with ██████████ $a,b>0$ .
$\mathrm {Poisson} (\lambda )$ for the ███████ ████████████ with █████████ $\lambda >0$ .
$\mathrm {Gamma} (\alpha ,\lambda )$ for the █████ ████████████ with █████ █████████ $\alpha >0$ and ████ █████████ $\lambda >0$ .
$\mathrm {Erlang} (k,\lambda )$ for the ██████ ████████████ with █████ █████████ $k\in \mathbb {N}$ and ████ █████████ $\lambda >0$ .
$\chi _{n}^{2}$ for the ███-███████ ████████████ with $█$ ███████ of ███████.
$\mathrm {Pareto} (x_{m},\alpha )$ the ██████ ████████████ with █████ █████████ $x_{m}>0$ and █████ █████████ $\alpha >0$ .
$\mathrm {Laplace} (\mu ,b)$ for the ███████ ████████████ with ████████ $\mu \in \mathbb {R}$ and █████ █████████ $b>0$ .
$\mathrm {SkewLogistic} (\theta )$ for the ████ █ ███████████ ████████ ████████████ with █████████ $\theta >0$ .
$\mathrm {Reighley} (\sigma )$ for the ████████ ████████████ with █████████ $\sigma >0$ .
$\mathrm {Weibull} (\lambda ,k)$ for the ███████ ████████████ with █████ and █████ ██████████ $\lambda ,k>0$ .
$\mathrm {Gumbel} (\mu ,\beta )$ for the ██████ ████████████ with ████████ █████████ $\mu \in \mathbb {R}$ and █████ █████████ $\beta >0$ .
$\mathrm {Logistic} (\mu ,\beta )$ for the ████████ ████████████ with ████████ █████████ $\mu \in \mathbb {R}$ and █████ █████████ $\beta >0$ .
$\mathrm {Geometric} _{0}(p)$ the █████████ ████████████ with ███████ ███████████ $p\in (0,1]$ and ███████ $\mathbb {N} _{0}=\{0,1,2,\dots \}$ .
$\mathrm {Geometric} _{1}(p)$ the █████████ ████████████ with ███████ ███████████ $p\in (0,1]$ and ███████ $\mathbb {N} =\{1,2,3,\dots \}$ .
$\mathrm {Lomax} (\alpha ,\lambda )$ for the █████ ████████████ with █████ █████████ $\alpha >0$ and █████ █████████ $\lambda >0$ .
$\mathrm {GEV} (\mu ,\sigma ,\xi )$ for the ███████████ ███████ █████ ████████████ with ████████ █████████ $\mu \in \mathbb {R}$ , █████ █████████ $\sigma >0$ and █████ █████████ $\xi \in \mathbb {R}$ .
$\mathrm {BenktanderWeibull} (a,b)$ for the ██████████ ████ ██ ████████████ with ██████████ $a>0$ and $b\in (0,1]$ .

███████ █████ of █████ █████████████

The ███████████ ████████████ is a ███████ ████ of ████ █ ███████ ████████████.
For ███ $\lambda >0$ : $\mathrm {Exp} (\lambda )\sim \operatorname {Weibull} \left({\frac {1}{\lambda }},1\right)=\mathrm {Gamma} (1,\lambda )=\mathrm {Erlang} (1,\lambda )$ .
$\mathrm {Exp} (1/2)=\chi _{2}^{2}$ .

██████████ █████████████ to █████ █████████████

If █ ~ ███████(█, █^-█), ████ |█ − █| ~ ███(█). On the █████ ████, if █, █ ~ ███(█) are ███████████, ████ █ - █ ~ ███████(█, █^-█). ████, if █ ~ ███(█_█) and █ ~ ███(█_█) are ███████████, ████ █_██ - █_██ ~ ███████(█, █).
If █ ~ ████(█, █), ████ −███(█) ~ ███(█). ████████████, if █ ~ ███(█), ████ █^−█ ~ ████(█, █).
As a ███████ ████ of the above: If █ ~ █(█, █) ████ −███(█)/█ ~ ███(█). ████████████, if █ ~ ███(█), ████ █^−██ ~ █(█, █). This is a ██████ ███████████ of the ███████████ ████████ █████████.
If █ ~ ██████(█, █), ████ ███(█/█) ~ ███(█). ████████████, if █ ~ ███(█), ████ ██^█ ~ ██████(█, █).
If █ ~ ████████████(█), ████ $\log \left(1+e^{-X}\right)\sim \operatorname {Exp} (\theta )$ . ████████████, if █ ~ ███(█), ████ −███(█^█−█) ~ ████████████(█).
If █ ~ ████████(█), ████ $X^{2}\sim \mathrm {Exp} (1/(2\sigma ^{2}))$ . ████████████, if █ ~ ███(█), ████ ${\sqrt {Y}}\sim \operatorname {Rayleigh} \left(1/{\sqrt {2\lambda }}\right)$ .
If █ ~ ███████(█, █), ████ █^█ ~ ███(█/█^█). In ██████████, if █ ~ ███(█), ████ █^█ ~ ███████(█/█^█, █/█).
If █ ~ ██████(█, █), ████ ███((█-█)/█) ~ ███(█). ████████████, if █ ~ ███(█), ████ █ − █ ███(██) ∼ ██████(█, █) = ███(█, █, █).
If █ ~ █████████████████(█, █), ████ █ - █ ~ ███(█). ████████████, if █ ~ ███(█), ████ █ + █ ~ █████████████████(█, █), which ███████ to a █████████ ███████████ ████████████.
If █ ~ ███(█), ████ $\lfloor X\rfloor \sim \operatorname {Geometric} _{0}\left(1-e^{-\lambda }\right)$ , $\lceil X\rceil \sim \operatorname {Geometric} _{1}\left(1-e^{-\lambda }\right)$ and ⁠█/█⁠█^█ ~ ████████(█, █).
If █ ~ ███(█), ████ $\mu -\beta \log \left({\frac {e^{-X}}{1-e^{-X}}}\right)\sim \operatorname {Logistic} (\mu ,\beta )$ .
If █, █ ~ ███(█) are ███████████, ████ █/█ ~ █████(█, █) and $\mu -\beta \log \left({\frac {X}{Y}}\right)\sim \operatorname {Logistic} (\mu ,\beta )$ . The ██████ can be used to ██████ a ██████████ ████████ for █████████ of █████ ${\frac {\lambda _{i}}{\lambda _{j}}}$ .
If █ ~ ███(█) and $Y\sim \mathrm {Gamma} \left(\alpha ,{\frac {\beta }{\alpha }}\right)$ are ███████████, ████ ${\sqrt {XY}}\sim \operatorname {K} (\alpha ,\beta )$ .
If █ ~ ███(█) and █ ~ █████(█, █), ████ the ████████ ████████████ of █ is █████(█, █), the █████ ███████.
If █ ~ ███(█) and $Y\mid X$ ~ ███████(█), ████ $Y\sim \operatorname {Geometric} _{0}\left({\frac {1}{1+\lambda ^{-1}}}\right)$ .
If █_█ ~ █(█, █), ████ $n\min \left(Y_{1},\ldots ,Y_{n}\right)\ {\overset {d}{\longrightarrow }}\ \operatorname {Exp} (1).$ Since $\min \left(Y_{1},\ldots ,Y_{n}\right)\sim \operatorname {Beta} (1,n)$ , the ███████████ ████████████ is █████████ a (████) █████ of a ██████ ████ ████████████: $n\operatorname {Beta} (1,n)\ {\overset {w}{\longrightarrow }}\ \operatorname {Exp} (1).$
The ████ ████████████ can be ████████ from ███████████ ████████████ and ███████ ████████████.
The ███████████ ████████████ is a █████ of the █-███████████ ████████████ in the $\kappa =0$ ████.
███████████ ████████████ is a █████ of the █-███████████ █████ ████████████ in the $\alpha =1$ and $\nu =1$ █████:
$\lim _{(\alpha ,\nu )\to (0,1)}p_{\kappa }(x)=(1+\kappa \nu )(2\kappa )^{\nu }{\frac {\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {\nu }{2}}{\Big )}}{\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {\nu }{2}}{\Big )}}}{\frac {\alpha \lambda ^{\nu }}{\Gamma (\nu )}}x^{\alpha \nu -1}\exp _{\kappa }(-\lambda x^{\alpha })=\lambda e^{-\lambda x}.$

██████████ ███████ █████████████:

█████-███████████ ████████████ – the ████████████ █████ ███████ is a ████████ ███ of ███████████ █████████.
███████████████ ████████████ – the ████████████ of a ███████ ███ of ███████████ ██████ █████████.
██████████ ████████████ – the ███ of an ███████████ ████████████ and a ██████ ████████████.

█████████ of ███████████ █████████

In the following, ███ █, █_█, ..., █_█ ~ ███(█) be ███ ███████████.

$X_{1}+\cdots +X_{n}=\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim$ ██████(█, █) = █████(█, █).
If $T=X_{1}+\cdots +X_{n}=\sum _{i=1}^{n}X_{i}$ , ████ $2\lambda T\sim \chi _{2n}^{2}$ .
${\frac {X}{\sum _{i=1}^{n}X_{i}}}\sim$ █████(█, █) and ${\frac {X}{\sum _{i=1}^{n}X_{i}}}+1\sim$ ██████(█, █).
${\frac {X}{X+\sum _{i=1}^{n}X_{i}}}\sim$ ████(█, █). In ██████████, ${\frac {X}{X+X_{1}}}\sim$ █(█,█).

███████████ █████████

Below, ███████ ██████ ████████ █ is █████████████ ███████████ with ████ █████████ █, and $x_{1},\dotsc ,x_{n}$ are █ ███████████ ███████ from █, with ██████ ████ ${\bar {x}}$ .

█████████ ██████████

███████ ██████████ █████████

The ███████ ██████████ █████████ for █ is ███████████ as ███████.

The ██████████ ████████ for █, █████ an ███████████ and ███████████ ███████████ ██████ █ = (█_█, ..., █_█) █████ from the ████████, is: $L(\lambda )=\prod _{i=1}^{n}\lambda \exp(-\lambda x_{i})=\lambda ^{n}\exp \left(-\lambda \sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)=\lambda ^{n}\exp \left(-\lambda n{\overline {x}}\right),$

█████: ${\overline {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$ is the ██████ ████.

The ██████████ of the ██████████ ████████'s █████████ is: ${\frac {d}{d\lambda }}\ln L(\lambda )={\frac {d}{d\lambda }}\left(n\ln \lambda -\lambda n{\overline {x}}\right)={\frac {n}{\lambda }}-n{\overline {x}}\ {\begin{cases}>0,&0<\lambda <{\frac {1}{\overline {x}}},\\[8pt]=0,&\lambda ={\frac {1}{\overline {x}}},\\[8pt]<0,&\lambda >{\frac {1}{\overline {x}}}.\end{cases}}$

████████████, the ███████ ██████████ ████████ for the ████ █████████ is: ${\widehat {\lambda }}_{\text{mle}}={\frac {1}{\overline {x}}}={\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}x_{i}}}$

This is not an ████████ █████████ of $\lambda ,$ ████████ ${\overline {x}}$ is an ████████ ███ of $1/\lambda$ and the ████████████ ████. There are ███████ to ██████ the ████ of ${\widehat {\lambda }}_{\text{mle}}$ ████████ a ████-█████████ ███████ ██████████ █████████.

An ███████████ █████████ of the ████ ███████ █████ (███ ████: ████–████████ ████████) can be █████, ████████ a ██████ ████ ███████ than ███, with a ██████████ ██████ to the ███: ${\widehat {\lambda }}=\left({\frac {n-2}{n}}\right)\left({\frac {1}{\bar {x}}}\right)={\frac {n-2}{\sum _{i=1}^{n}x_{i}}}$ This is ███████ from the ████ and ████████ of the ███████-█████ ████████████, ${\textstyle {\mbox{Inv-Gamma}}(n,\lambda )}$ .

█████

The █████████ ███████-████████ ████████ █████████ for $\lambda$ is

${\widehat {\lambda }}_{\mathrm {umvue} }={\frac {n-1}{\sum _{i=1}^{n}x_{i}}},$

which, in ████████ to the ███, is ████████ by ██████████.

██████ ███████████

The ██████ ███████████, ███████ ${\mathcal {I}}(\lambda )$ , for an █████████ of the ████ █████████ $\lambda$ is █████ as: ${\mathcal {I}}(\lambda )=\operatorname {E} \left[\left.\left({\frac {\partial }{\partial \lambda }}\log f(x;\lambda )\right)^{2}\right|\lambda \right]=\int \left({\frac {\partial }{\partial \lambda }}\log f(x;\lambda )\right)^{2}f(x;\lambda )\,dx$

████████ in the ████████████ and ███████ █████: ${\mathcal {I}}(\lambda )=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\partial }{\partial \lambda }}\log \lambda e^{-\lambda x}\right)^{2}\lambda e^{-\lambda x}\,dx=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{\lambda }}-x\right)^{2}\lambda e^{-\lambda x}\,dx=\lambda ^{-2}.$

This ██████████ the ██████ of ███████████ ████ ███████████ ██████ of an ███████████ ████████████ ███████ about the ███████ ████ █████████ $\lambda$ .

██████████ █████████

An █████ ███(█ − █)% ██████████ ████████ for the ████ █████████ of an ███████████ ████████████ is █████ by: ${\frac {2n}{{\widehat {\lambda }}_{\textrm {mle}}\chi _{{\frac {\alpha }{2}},2n}^{2}}}<{\frac {1}{\lambda }}<{\frac {2n}{{\widehat {\lambda }}_{\textrm {mle}}\chi _{1-{\frac {\alpha }{2}},2n}^{2}}}\,,$ which is ████ █████ to ${\frac {2n{\overline {x}}}{\chi _{{\frac {\alpha }{2}},2n}^{2}}}<{\frac {1}{\lambda }}<{\frac {2n{\overline {x}}}{\chi _{1-{\frac {\alpha }{2}},2n}^{2}}}\,,$ █████ █^█_█,█ is the ███(█) ██████████ of the ███ ███████ ████████████ with █ ███████ of ███████, █ is the ██████ of ████████████ and █-███ is the ██████ ███████. A ██████ █████████████ to the █████ ████████ █████████ can be ███████ using a ██████ █████████████ to the █^█_█,█ ████████████. This █████████████ █████ the following ██████ for a ██% ██████████ ████████: ${\begin{aligned}\lambda _{\text{lower}}&={\widehat {\lambda }}\left(1-{\frac {1.96}{\sqrt {n}}}\right)\\\lambda _{\text{upper}}&={\widehat {\lambda }}\left(1+{\frac {1.96}{\sqrt {n}}}\right)\end{aligned}}$

This █████████████ ███ be ██████████ for ███████ ██████████ at █████ ██ to ██ ████████.

████████ █████████ with a █████████ █████

The █████████ █████ for the ███████████ ████████████ is the █████ ████████████ (of which the ███████████ ████████████ is a ███████ ████). The following ████████████████ of the █████ ███████████ ███████ ████████ is ██████:

$\operatorname {Gamma} (\lambda ;\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\lambda ^{\alpha -1}\exp(-\lambda \beta ).$ ;\█████ ,\████ )={\████ {\████ ^{\█████ }}{\█████ (\█████ )}}\██████ ^{\█████ -█}\███(-\██████ \████ ).}

The █████████ ████████████ █ can ████ be █████████ in █████ of the ██████████ ████████ ███████ above and a █████ █████:

${\begin{aligned}p(\lambda )&\propto L(\lambda )\Gamma (\lambda ;\alpha ,\beta )\\&=\lambda ^{n}\exp \left(-\lambda n{\overline {x}}\right){\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\lambda ^{\alpha -1}\exp(-\lambda \beta )\\&\propto \lambda ^{(\alpha +n)-1}\exp(-\lambda \left(\beta +n{\overline {x}}\right)).\end{aligned}}$ ;\█████ ,\████ )\\&=\██████ ^{█}\███ \████(-\██████ █{\████████ {█}}\█████){\████ {\████ ^{\█████ }}{\█████ (\█████ )}}\██████ ^{\█████ -█}\███(-\██████ \████ )\\&\██████ \██████ ^{(\█████ +█)-█}\███(-\██████ \████(\████ +█{\████████ {█}}\█████)).\███{███████}}}

███ the █████████ ███████ █ has been █████████ up to a ███████ ███████████ ████████. Since it has the ████ of a █████ ███, this can ██████ be ██████ in, and ███ ███████:

$p(\lambda )=\operatorname {Gamma} (\lambda ;\alpha +n,\beta +n{\overline {x}}).$ ;\█████ +█,\████ +█{\████████ {█}}).}

████ the ██████████████ █ can be ███████████ as the ██████ of █████ ████████████, and █ as the ███ of the █████ ████████████. The █████████ ████ ████ is: ${\frac {\alpha +n}{\beta +n{\overline {x}}}}.$

████████ █████████ with a ███████████ █████

The ███████████ ████████████ is ███ of a ██████ of ███████████ █████████████ with █████ █████████. As a ██████ of the █████ █████████, the ███████████ has an ██████████ ████ ███████, which is $1/\lambda .$ The use of the ████ ███████ as the █████ (█████ as the ████ █████) in a ████████ ██████████ █████ █████████████ that are █████████ ██████████, for ███ ██████████ ████ █████████ ██████. █████████ ██████████ █████████████ have the ████████ that the █████████ █████████████ █████ the █████████ of out-of-██████ ██████ ███████. For the ███████████, there is an █████ ██████████ for ████████ ███████████ █████████ using the ████ █████, █████ by

$p_{\rm {Haar-prior}}(x_{n+1}\mid x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {n^{n+1}\left({\overline {x}}\right)^{n}}{\left(n{\overline {x}}+x_{n+1}\right)^{n+1}}}.$

This is an ███████ of ███████████ █████ ██████████, in which the █████ is ██████ to ███████ ███████████ (and, in this ████, to ████ the ███████████ ███████). ███████████ █████ ██████████ for the ███████████ using the ████ █████ is ███████████ in the █ ████████ ███████ █████████.

The ████ ██████████ can be ███████ from a ██████ of █████ ████████████, as █████████ in the ██████████ ███████ below.

██████████ and ████████████

██████████ of ██████

The ███████████ ████████████ ██████ █████████ ████ ██████████ the ███████ of the █████-███████ █████ in a ███████████ ███████ ███████.

The ███████████ ████████████ ███ be ██████ as a ██████████ ███████████ of the █████████ ████████████, which █████████ the ██████ of █████████ ██████ █████████ for a ████████ ███████ to ██████ █████. In ████████, the ███████████ ████████████ █████████ the ████ for a ██████████ ███████ to ██████ █████.

In ████-█████ █████████, the ██████████ of a ████████ ████ (or ███████████ per ████ ████) is ██████ █████████. For ███████, the ████ of ████████ █████ █████ ███████ █████████ to the ████ of ███. But if ██ █████ on a ████ ████████ during which the ████ is ███████ ████████, ████ as from █ to █ █.█. during ████ ████, the ███████████ ████████████ can be used as a ████ ███████████ █████ for the ████ until the next █████ ████ ███████. ███████ ███████ █████ to the following ████████ which █████ █████████████ █████████████ ███████████ █████████:

The ████ until a ███████████ ████████ ██████, or the ████ between ██████ of a ██████ ███████
The ████ between █████████ ███ █████████ ████ and the next
The ████ until ███████ (on ███████ to ███████ ████ ███████) in ███████-████ ██████ ████ ████████

███████████ █████████ can ████ be used to █████ ██████████ █████ ███████ ██████ █████ with a ████████ ███████████ per ████ ██████, ████ as the ████████ between █████████ on a ███ ██████, or between █████████ on a █████ ████.

In ███████ ██████, the ███████ █████ of ██████ in a ██████ (█.█. ███ ████ it █████ for a ████ ██████ ███. to █████ a ████████) are █████ ███████ as █████████████ ███████████ █████████. (The ███████ of █████████ for ████████ is ████ ███████ by the ███████ ████████████ if the ████████ are ███████████ and ███████████ ███████████.) The ██████ of a ███████ that can be ███████ of as a ████████ of ███████ ███████████ █████ ███████ the ██████ ████████████ (which is the ████████████ of the ███ of ███████ ███████████ █████████████ ███████████ █████████).

███████████ ██████ and ███████████ ███████████ ████ ████ █████████ use of the ███████████ ████████████. Because of the ██████████ ████████ of this ████████████, it is ████-██████ to █████ the ████████ ██████ ████ ███████ of the ███████ █████ used in ███████████ ██████. It is ████ ████ ██████████ because it is ██ ████ to ███ ███████ █████ in a ███████████ █████. The ███████████ ████████████ is ███████ not ███████████ to █████ the ███████ ████████ of █████████ or █████████ ███████, because the "███████ █████" ████ are not ████████: ████ ████████ █████ for ████ █████ and for ████ ███ ███████.

In ███████, if ███ ███████ a ███ at a █████ ███████████ and ████████ in a ███████ █████████████ █████, the ███████ of the ███████ █████████ ████ ██████ an ███████████ ███████████ ████████████, █████ as the ██████████ ███████. This is a ███████████ of the ███████ ████████ █████████ below.

In █████████, the ███████████ ████████████ is used to ███████ ███████ ██████ of ████ █████████ as ███████ and ██████ ███████ ██████ of █████ ████████ and █████ █████████ ███████.

The ████ ███████ ███████████ an ███████ of ███████ the ███████████ ████████████ to ██████ ████████ ███████ ███-███ █████████ ███████ ████ the ██% ██████████ ████ █████ on the ████████ ████████████. The ████████ ████ are ███████████ by ████████ █████████ as ████ of the ██████████ █████████ ████████.

In █████████-█████ ██████████, the ████████████ of ███████ ████████ for a ████████ of █████████ with ██ ███████ ████-███████ (like in an █████████ ████, ████████████ ███ █████ of █████████).

██████████

██████ ████████ a ██████ of █ ████ ██████ from an ███████ ███████████ ████████████ a ██████ ████ is to use █████ ███████ to ████ ███████████ about ██████ ████ from the ████ ██████. A ██████ ██████████ ████████████ over ██████ ███████ is the ██-██████ ████-in ████████████, ██████ by ████████ a ████████ ████████ for the ████ █████████ █ into the ███████████ ███████ ████████. A ██████ ██████ of ████████ is the ███ ████████ by the █████████ of ███████ ██████████, and using this ██████ the ██████████ ███████ over a ██████ ██████ █_█+█, ███████████ on the ████████ ███████ █ = (█_█, ..., █_█) █████ by $p_{\rm {ML}}(x_{n+1}\mid x_{1},\ldots ,x_{n})=\left({\frac {1}{\overline {x}}}\right)\exp \left(-{\frac {x_{n+1}}{\overline {x}}}\right).$

The ████████ ████████ ████████ a ██████████ ████████████ which █████ into ███████ the ███████████ of the █████████ █████████, ████████ this ███ ██████ █████████ on the ██████ of █████.

A ██████████ ████████████ ████ of the ██████ of ████████ ██████ that █████ under the ██████████ ████████ ████████ is

$p_{\rm {CNML}}(x_{n+1}\mid x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {n^{n+1}\left({\overline {x}}\right)^{n}}{\left(n{\overline {x}}+x_{n+1}\right)^{n+1}}},$

which can be ██████████ as

a ███████████ ██████████ ████████████, ████████ from the ████████████ of the ███████ ████████ ${x_{n+1}}/{\overline {x}}$ ;
a ███████ ██████████ ██████████, ████████ by ███████████ the █████████ █ from the █████ ██████████ of █_█+█ and █ by ████████████;
an █████████ ████████ ██████████ █████████ ████████████, ████████ using the ███-███████████ ████████ █████ █/█, which is █████ to the █████ ████ █████ in this ████. ███████████ █████████ using the █████ ████ █████ are ██████████ to ████ █████████ ██████████ █████████████.
the ███████████ ██████████ ███████ ██████████ (████) ██████████ ████████████, from ███████████ █████████ ██████████████.

The ████████ of a ██████████ ████████████ ███ be ████████ using the ████████ or ██████████ between the ████ ███████████ ████████████ with ████ █████████, █_█, and the ██████████ ████████████ █████ on the ██████ █. The ████████–███████ ██████████ is a ████████ used, ████████████████ ████ ███████ of the ██████████ between ███ █████████████. ███████ █(█_█||█) ██████ the ████████–███████ ██████████ between an ███████████ with ████ █████████ █_█ and a ██████████ ████████████ █ it can be █████ that

${\begin{aligned}\operatorname {E} _{\lambda _{0}}\left[\Delta (\lambda _{0}\parallel p_{\rm {ML}})\right]&=\psi (n)+{\frac {1}{n-1}}-\log(n)\\\operatorname {E} _{\lambda _{0}}\left[\Delta (\lambda _{0}\parallel p_{\rm {CNML}})\right]&=\psi (n)+{\frac {1}{n}}-\log(n)\end{aligned}}$

█████ the ███████████ is █████ with ███████ to the ███████████ ████████████ with ████ █████████ █_█ ∈ (█, ∞), and █( · ) is the ███████ ████████. It is █████ that the ████ ██████████ ████████████ is ████████ ████████ to the ███████ ██████████ ████-in ████████████ in █████ of ███████ ████████–███████ ██████████ for ███ ██████ █████ █ > █.

██████ ███████ ██████████

A ████████████ ████ ██████ ██████ for ██████████ ███████████ ████████ is █████ on ███████ █████████ ████████: █████ a ██████ ███████ █ █████ from the ███████ ████████████ on the ████ ████████ (█, █), the ███████

$T=F^{-1}(U)$

has an ███████████ ████████████, █████ █^−█ is the ████████ ████████, ███████ by

$F^{-1}(p)={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }}.$

████████, if █ is ███████ on (█, █), ████ ██ is █ − █. This █████ ███ can ████████ ███████████ ████████ as ███████:

$T={\frac {-\ln(U)}{\lambda }}.$

█████ ███████ for ██████████ ███████████ ████████ are █████████ by █████ and ███████.