████████████ ███████████

En ██████ de ████████████ █ ███████████, la ████████████ ███████████ es una ████████████ ████████ que se ███████ para ███████ ███████ de ██████ para la ██████████ de un ██████ ██████. Esta ████████████ al █████ que la ████████████ ██████████ █████ la █████████ de ███████ de ███████. La ████████████ ███████████ es un ████ ██████████ de la ████████████ █████.

██████████

███████ de ████████

Se ████ que una ████████ █████████ ████████ $█$ █████ una ████████████ ███████████ con █████████ $\lambda >0$ █ ██████████ $X\sim \operatorname {Exp} (\lambda )$ si su ███████ de ████████ es

f_{X}(x)=\lambda e^{-\lambda x}

para $x\geq 0$ .

███████ de ████████████

Su ███████ de ████████████ █████████ está ████ por

F_{X}(x)=1-e^{-\lambda x}

para $x\geq 0$ .

███████████████ ███████████

La ████████████ ███████████ en █████████ se ███████████ en ████████ del █████████ de ██████ $\beta =1/\lambda$ en ████ ████, la ███████ de ████████ ████

f_{X}(x)={\frac {1}{\beta }}\;e^{-{\frac {x}{\beta }}}

para $x\geq 0$ .

███████ de █████████████

De █████ █████████ esta ████████████ ████████ una ███████ █████████ que es ███████ █████████████ (█), que ██████████ el ███████████ de la ███████ de ████████████.

S(x)=\operatorname {P} [X>x]=\left\{{\begin{matrix}1&{\text{para }}x<0\\e^{-\lambda x}&{\text{para }}x\geq 0\end{matrix}}\right.

███████████

Si $█$ es una ████████ █████████ ███ que $X\sim \operatorname {Exp} (\lambda )$ ████████

La █████ de la ████████ █████████ $█$ es

\operatorname {E} [X]={\frac {1}{\lambda }}

La ████████ de la ████████ █████████ $█$ es

\operatorname {Var} [X]={\frac {1}{\lambda ^{2}}}

El $█$ -█████ ███████ de la ████████ █████████ $█$ es

\operatorname {E} [X^{n}]={\frac {n!}{\lambda ^{n}}}

La ███████ ██████████ de ████████ de $█$ para $\lambda >t$ está ████ por

M_{X}(t)=\left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-1}={\frac {\lambda }{\lambda -t}}

██████

Si $█$ es una ████████ █████████ ███ que $X\sim \operatorname {Exp} (\lambda )$ █ $c>0$ una █████████ ████████

cX\sim \operatorname {Exp} \left({\frac {\lambda }{c}}\right)

███████ de ███████

███ $█$ una ████████ █████████ ███ que $X\sim \operatorname {Exp} (\lambda )$ ████████ para ████████████ $x,y\geq 0$

\operatorname {P} [X>x+y|X>y]=\operatorname {P} [X>x]

████ █████ ███████████ ██████████ ████

{\begin{aligned}\operatorname {P} [X>x+y|X>y]&={\frac {\operatorname {P} [X>x+y\cap X>y]}{\operatorname {P} [X>y]}}\\&={\frac {\operatorname {P} [X>x+y]}{\operatorname {P} [X>y]}}\\&={\frac {e^{-\lambda (x+y)}}{e^{-\lambda y}}}\\&=e^{-\lambda x}\\&=\operatorname {P} [X>x]\end{aligned}}

█████████

La ███████ ███████ (███████ de la ███████ de ████████████ █████████) para una ████████ █████████ $X\sim \operatorname {Exp} (\lambda )$ está ████ por

F^{-1}(p)={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }}\qquad 0\leq p<1

por lo que los █████████ son:

El ██████ ███████ es

F^{-1}\left({\frac {1}{4}}\right)=-{\frac {\ln \left({\frac {3}{4}}\right)}{\lambda }}={\frac {1}{\lambda }}\ln \left({\frac {4}{3}}\right)

La ███████ es

F^{-1}\left({\frac {1}{2}}\right)=-{\frac {\ln \left({\frac {1}{2}}\right)}{\lambda }}={\frac {\ln(2)}{\lambda }}

█ el ██████ ███████ está ████ por

F^{-1}\left({\frac {3}{4}}\right)=-{\frac {\ln \left({\frac {1}{4}}\right)}{\lambda }}={\frac {\ln(4)}{\lambda }}

█████ en ██████ ███████████ (███████ ████████)

El █████ ███████████ en ██████ (████) ███████ ████████ como ███████ ████████ o ████████████ para ███(█) se ███████ de la █████████ ██████:

${\begin{aligned}{\bar {q}}_{\alpha }(X)&={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{\alpha }^{1}q_{p}(X)dp\\&={\frac {1}{(1-\alpha )}}\int _{\alpha }^{1}{\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }}dp\\&={\frac {-1}{\lambda (1-\alpha )}}\int _{1-\alpha }^{0}-\ln(y)dy\\&={\frac {-1}{\lambda (1-\alpha )}}\int _{0}^{1-\alpha }\ln(y)dy\\&={\frac {-1}{\lambda (1-\alpha )}}[(1-\alpha )\ln(1-\alpha )-(1-\alpha )]\\&={\frac {-\ln(1-\alpha )+1}{\lambda }}\\\end{aligned}}$

████████████ de ██████████ ███████████ (████)

La ████████████ ███████████ de ██████████ es uno █████ el █████ de ████████████ en el que el ████ es █████ al ██████ $█$ . Se ███████ de la █████████ ██████:

${\begin{aligned}{\bar {p}}_{x}(X)&=\{1-\alpha |{\bar {q}}_{\alpha }(X)=x\}\\&=\{1-\alpha |{\frac {-\ln(1-\alpha )+1}{\lambda }}=x\}\\&=\{1-\alpha |\ln(1-\alpha )=1-\lambda x\}\\&=\{1-\alpha |e^{\ln(1-\alpha )}=e^{1-\lambda x}\}=\{1-\alpha |1-\alpha =e^{1-\lambda x}\}=e^{1-\lambda x}\end{aligned}}$

███████████ de ████████-███████

La ███████████ de ████████-███████ ████████ en ████ de $e^{\lambda }$ (████████████ de ████████████) de $e^{\lambda _{0}}$ (████████████ "█████████") █████ ████ por ${\begin{aligned}\Delta (\lambda _{0}\parallel \lambda )&=\mathbb {E} _{\lambda _{0}}\left(\log {\frac {p_{\lambda _{0}}(x)}{p_{\lambda }(x)}}\right)\\&=\mathbb {E} _{\lambda _{0}}\left(\log {\frac {\lambda _{0}e^{\lambda _{0}x}}{\lambda e^{\lambda x}}}\right)\\&=\log(\lambda _{0})-\log(\lambda )-(\lambda _{0}-\lambda )E_{\lambda _{0}}(x)\\&=\log(\lambda _{0})-\log(\lambda )+{\frac {\lambda }{\lambda _{0}}}-1.\end{aligned}}$

████████████ de ██████ ████████

Entre █████ las ██████████████ de ████████████ █████████ con ███████ ███████-███████ █, ∞ █ █████ █, la ████████████ ███████████ con █ = █/█ █████ la █████ ████████ ███████████. En otras ████████, es la ████████████ de ████████████ de ██████ ████████ para una ████████ █████████ █ que es █████ o █████ que ████ █ para la que █[█] es ████.

████████████ del ██████ de █████████ ██████████ █████████████

████ █_█, ..., █_█ █████████ ██████████ ████████████████ ████████████ con ██████████ de ████ █_█, ..., █_█. ████████ $\min \left\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\right\}$ ███████ se ██████████ ████████████████, con el █████████ $\lambda =\lambda _{1}+\dotsb +\lambda _{n}.$

████ █████ █████ ████████████ la ███████ de ████████████ ███████████ ██████████████:

${\begin{aligned}&\Pr \left(\min\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}>x\right)\\={}&\Pr \left(X_{1}>x,\dotsc ,X_{n}>x\right)\\={}&\prod _{i=1}^{n}\Pr \left(X_{i}>x\right)\\={}&\prod _{i=1}^{n}\exp \left(-x\lambda _{i}\right)=\exp \left(-x\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\right).\end{aligned}}$

El ██████ de la ████████ que ███████ el ██████ se ██████████ █████ la ████████████ ██████████ $\Pr \left(X_{k}=\min\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}\right)={\frac {\lambda _{k}}{\lambda _{1}+\dotsb +\lambda _{n}}}.$

█████ █████ una ██████ ███████ que $I=\operatorname {argmin} _{i\in \{1,\dotsb ,n\}}\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}$ . ████████, ${\begin{aligned}\Pr(I=k)&=\int _{0}^{\infty }\Pr(X_{k}=x)\Pr(\forall _{i\neq k}X_{i}>x)\,dx\\&=\int _{0}^{\infty }\lambda _{k}e^{-\lambda _{k}x}\left(\prod _{i=1,i\neq k}^{n}e^{-\lambda _{i}x}\right)dx\\&=\lambda _{k}\int _{0}^{\infty }e^{-\left(\lambda _{1}+\dotsb +\lambda _{n}\right)x}dx\\&={\frac {\lambda _{k}}{\lambda _{1}+\dotsb +\lambda _{n}}}.\end{aligned}}$

██████ que $\max\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}$

$\max\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}$ no es una ████████████ ███████████, si █_█, …, █_█ no █████ ██████ █████████ █.

████████ █████████ de ████████████ de █████ ███████████ █.█.█

████ $X_{1},\dotsc ,X_{n}$ $█$ ███████████ ███ ███████████ ███████████ █████████ ██████████ █████████████ con █████████ de ████ █. ████ $X_{(1)},\dotsc ,X_{(n)}$ los ████████████████ ████████████ de █████. Para $i<j$ , el ███████ ████████ $\operatorname {E} \left[X_{(i)}X_{(j)}\right]$ de los ████████████ de █████ $X_{(i)}$ █ $X_{(j)}$ █████ ████ por

${\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X_{(i)}X_{(j)}\right]&=\sum _{k=0}^{j-1}{\frac {1}{(n-k)\lambda }}\operatorname {E} \left[X_{(i)}\right]+\operatorname {E} \left[X_{(i)}^{2}\right]\\&=\sum _{k=0}^{j-1}{\frac {1}{(n-k)\lambda }}\sum _{k=0}^{i-1}{\frac {1}{(n-k)\lambda }}+\sum _{k=0}^{i-1}{\frac {1}{((n-k)\lambda )^{2}}}+\left(\sum _{k=0}^{i-1}{\frac {1}{(n-k)\lambda }}\right)^{2}.\end{aligned}}$ ████ █████ █████ █████████ la ███ de la ███████████ █████ █ la █████████ sin ███████: ${\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X_{(i)}X_{(j)}\right]&=\int _{0}^{\infty }\operatorname {E} \left[X_{(i)}X_{(j)}\mid X_{(i)}=x\right]f_{X_{(i)}}(x)\,dx\\&=\int _{x=0}^{\infty }x\operatorname {E} \left[X_{(j)}\mid X_{(j)}\geq x\right]f_{X_{(i)}}(x)\,dx&&\left({\textrm {since}}~X_{(i)}=x\implies X_{(j)}\geq x\right)\\&=\int _{x=0}^{\infty }x\left[\operatorname {E} \left[X_{(j)}\right]+x\right]f_{X_{(i)}}(x)\,dx&&\left({\text{by the memoryless property}}\right)\\&=\sum _{k=0}^{j-1}{\frac {1}{(n-k)\lambda }}\operatorname {E} \left[X_{(i)}\right]+\operatorname {E} \left[X_{(i)}^{2}\right].\end{aligned}}$

La ███████ ████████ se █████ de la ███ de la ███████████ █████. La ███████ ████████ ███████ el █████ de que una ███ que █████████████ en $X_{(i)}=x$ , ████ ████████ que $X_{(j)}\geq x$ . La ███████ ████████ se ████ en la █████████ sin ███████ para ██████████ $\operatorname {E} \left[X_{(j)}\mid X_{(j)}\geq x\right]$ con $\operatorname {E} \left[X_{(j)}\right]+x$ .

███████

████████ para la ████████████ ███████████ es la ████████████ de la ████████ de los ██████████ de una ████████ ████████ que ███████████ entre ███ ███████, que se ███████████ █████ la ████████████ de ███████.

El ██████ ████████████ en un ██████ de ████████ hasta ███████ la ███████ ███████ del ███ se ██████ ███████ como una ███████████.
El █████████ de ██████ entre ██████████ (de una ███████████ ████████) █████ una ████████████ ███████████.
██████████ una ███████ que ███████ ████ de ███████, la ████████ de ██████ de ███████ hasta █████████ una █████ en el ███████ se ██████ ███████ como una ███████████.
En ██████████ de ████████, un ███████████ con ████ de █████ █████████ █████ una ████████████ ███████████.