███ █████████████

En ███████ des ████████████ et en ████████████, la ███ █████████████ est une ███ de ███████████ à ███████ ███████ █████████ et ████████ sur $\mathbb {R} _{+}$ . Elle ████████ des █████ avec d'██████ ████ de ████████████, dont les ████ █████, de ███████, ███████████, d'██████, la ███ ████-█████████████ ou la ████████████ █-█████████████.

Une ███ █████████████ ████████ la █████ de ███ d'un █████████ sans ███████, ou sans ██████████████, ou sans █████ : la ███████████ que le █████████ ████ au █████ $s+t$ ██████ (ou n'███████ quelle █████ █████ de █████) ███████ qu'il a ████ ████ $t$ ██████ ████ la ████ que la ███████████ de █████ $s$ ██████ à ██████ de sa ████ en ████████ ████████. En d'██████ ██████, le ████ que le █████████ ███ ████ pendant $t$ ██████ ne ██████ ████ à son █████████ de ███ à ██████ du █████ $t$ .

Plus ████████████, ████ $█$ une ████████ █████████ ███████████ la █████ de ███ d'un █████████, d'█████████ ████████████ $\mathbb {E} (X)$ . On ███████ que : $\forall (s,t)\in \mathbb {R} _{+}^{2},\;\mathbb {P} _{X>t}(X>s+t)=\mathbb {P} (X>s)$

█████, la ███████ de ███████████ de $█$ est ███████ par :

$f(t)=0$ si $t<0$ ;
$f(t)={\dfrac {1}{\mathbb {E} (X)}}\mathrm {e} ^{-{\frac {t}{\mathbb {E} (X)}}}$ pour ████ $t\geq 0$ .

et on ███ que $█$ ████ une ███ █████████████ de █████████ (ou d'█████████) $\lambda ={\dfrac {1}{\mathbb {E} (X)}}$ . ██████████████, une ████████ █████████ █████ cette ███ ███████ la █████████ d'████ sans ███████.

Cette ███ ██████ entre ██████ de █████████ la █████ de ███ d'un █████ ██████████ ou d'un █████████ ████████████. Elle peut █████ ████ ████████ pour ███████ par ███████ le █████ ██████ entre ████ █████ de █████████ █████ au ██████, ou le █████ ██████ entre ████ █████████ de ███████ dans ██████ un ████████ █████ est ████████.

██████████

███████ de ███████████

La ███████ de ███████████ de la ████████████ █████████████ de █████████ $\lambda >0$ █████ la █████ :

f(x)=\left\{{\begin{matrix}\lambda \mathrm {e} ^{-\lambda x}&{\text{si}}\;x\geqslant 0\\0&{\text{si}}\;x<0\end{matrix}}\right.

La ████████████ a pour ███████ l'██████████ ${\textstyle [0,+\infty [}$ .

████████ de ███████████

La ████████ de ███████████ est ██████ par :

F(x)=\left\{{\begin{matrix}1-\mathrm {e} ^{-\lambda x}&{\text{si}}\;x\geqslant 0\\0&{\text{si}}\;x<0\end{matrix}}\right.

█████████

Le ████████ d'█████ $\alpha$ d'une ████████ █████████ ██████████ █████ une ███ █████████████ de █████████ $\lambda$ est █████ par :

q\left(\alpha \right)=-{\frac {\ln \left(1-\alpha \right)}{\lambda }}

█████████, ████████, █████ ████, ███████

████ $█$ une ████████ █████████ qui ████ une ███ █████████████ de █████████ $\lambda$ .

Par ████████████, on ████ que l'█████████ ████████████ de $█$ est $\mathbb {E} (X)={\frac {1}{\lambda }}$ .

On ███████ la ████████ en █████████ par ███████ ; on ███████ : $V(X)={\dfrac {1}{\lambda ^{2}}}$ .

L'█████ ████ est ████ $\sigma (X)={\dfrac {1}{\lambda }}$ .

La ███████, c'est-à-████ le █████ $T$ ███ que $\mathbb {P} (X>T)=0{,}5$ , est $m={\dfrac {\ln(2)}{\lambda }}=\mathbb {E} (X)\ln(2)$ .

██████████████

Le ████ que la █████ de ███ ████ sans ██████████████ se ███████ par l'███████ ████████ :

\forall T\geq 0,\qquad \mathbb {P} _{X>T}(X>T+t)=\mathbb {P} (X>t),

Par le ████████ de █████ on a :

\mathbb {P} _{X>T}(X>T+t)={\dfrac {\mathbb {P} (X>T{\text{ et }}X>T+t)}{\mathbb {P} (X>T)}}={\dfrac {\mathbb {P} (X>T+t)}{\mathbb {P} (X>T)}}

En ██████ $\mathbb {P} (X>t)=1-F(t)=G(t)$ la ███████████ que la █████ de ███ ████ ██████████ à $t$ , on ██████ ████ :

{\dfrac {G(T+t)}{G(T)}}=G(t)

███████ la ████████ $█$ est ████████ et ██████, cette ████████ ████████ que $█$ est une ████████ █████████████. Il ██████ ████ $█$ ████ ███ que pour ████ $t$ :

G(t)=\mathrm {e} ^{kt}.

Il ████ █████████ que $█$ est ███████, ███████ $█$ est ██████████ à █. La ███████ de ███████████ $█$ est ███████, pour ████ $t\geq 0$ , par :

f(t)=-k\mathrm {e} ^{kt}

Le ██████ de l'█████████ de $█$ , qui ████ ██████ $\mathbb {E} (X)$ ███████ à l'████████ :

\int _{0}^{+\infty }-kt\mathrm {e} ^{kt}\,\mathrm {d} t=\mathbb {E} (X)

On ███████ l'█████████ en █████████ par ███████ ; on ███████ :

k=-{\dfrac {1}{\mathbb {E} (X)}}=-\lambda

████

\mathbb {P} (X>t)=\mathrm {e} ^{-{\frac {t}{\mathbb {E} (X)}}}

f(t)={\dfrac {1}{\mathbb {E} (X)}}\mathrm {e} ^{-{\frac {t}{\mathbb {E} (X)}}}

██████████ ███████████

███████ de ███████

Une █████████ ██████████ de la ████████████ █████████████ est la █████ de ███████ ou ███████ de ███████. Cette █████████ se ███████ ████████████████ par l'████████ ████████ :

\forall \ s,t\geq 0~\qquad \mathbb {P} _{T>t}(T>s+t)=\mathbb {P} (T>s)

On ███████ que $T$ ██████████ la █████ de ███ d'une ███████ à ███ █████ qu'elle ne █████ en █████ : la ███████████ qu'elle ████ au █████ $s+t$ ██████ ███████ qu'elle a ████ ████ $t$ ██████ ████ la ████ que la ███████████ de █████ $s$ ██████ à ██████ de sa ████ en ████████ ████████. En d'██████ ██████, le ████ qu'elle ne ████ pas ██████ en █████ pendant $t$ ██████ ne ██████ ████ à son █████████ de ███ à ██████ du █████ $t$ . Il est à █████ que la ███████████ qu'une ███████ « █████████ » (à ████████) █████ en █████ ne ████ une ███ █████████████ qu'en ████████ █████████████, ███████ le ████████ s'███████ ████ de l'███████████, et ████████.

███ du ███████ de ████ ████ ██████████████ █████████████

Si les █████████ ██████████ $█$ , $Y$ sont █████████████ et ███████ ████ ████ ██████████████ de ██████████ ██████████ $\lambda$ , $\mu$ , █████ $Z=\min(X,Y)$ est une ████████ █████████ qui ████ la ███ █████████████ de █████████ $\lambda +\mu$ .

█████████████

{\begin{aligned}P(\min(X,Y)\leqslant t)~&=~1-P(\min(X,Y)>t)~\\&{\underset {X,Yind}{=}}~1-P(X>t)P(Y>t)~\\&=~1-(1-P(X\leqslant t))(1-P(Y\leqslant t))~\\&=~1-\mathrm {e} ^{-\lambda t}\mathrm {e} ^{-\mu t}~\\&=~1-\mathrm {e} ^{-(\lambda +\mu )t}~\\\\&\mathrm {donc} ~\min(X,Y)\thicksim {\mathcal {E}}(\lambda +\mu )\end{aligned}}

███ d'████████ ████████

█████ les ████ de ████████████ █████████ de ███████ ███████ et de ███████ $\mu$ , la ███ █████████████ de █████████ $\lambda =1/\mu$ a la plus ██████ ████████ ██████████████. En d'██████ ██████, c'est la ███ de ███████████ d'████████ ████████ pour une ████████ █████████ ████████ d'█████████ █████.

█████ d'███████████

█████████████

Un ███████ ██████████ de la ███ █████████████ est le ███████ de la █████████████ (██████████ et █████). ██████ █████ ██████████ ███████ une █████ de ███ qui ████ une ███ █████████████. Le █████████ $\lambda$ s'███████ █████ la █████████ de ██████████████.

La █████ de ███ ███████ ${\dfrac {1}{\lambda }}$ s'███████ le █████ ███████████████.

La ███ des ██████ ███████ ██████ de ████ que la █████████████ d'██████ ███████████ ██ ██████ la ████ ███. La ███████ ${\dfrac {\ln(2)}{\lambda }}$ ██████████ au █████ $T$ ██████████ pour que la ██████████ █████ à ██ % de sa ██████████ ████████ et s'███████ la ████-███ ou ███████.

████████████ et █████ d'███████

On ████████ █████ ███████████ la █████ de ███ d'un █████████ ████████████ par une ███ █████████████. La █████████ de █████ (████ la ███████ #███ █████) ██████ de ██████████ l'█████████ de ███ d'un ███████ █████████ de ████ ██████████ en █████.

En ███████ des █████ d'███████, l'███████ de ███████ dans une ████ est ███████ █████████ par une ███ █████████████, par ███████ dans le ██████ de la ████ M/M/█.

████████ █████████

En ████████ █████████, l'███████████ d'une █████████ ██████████ un ██████ avec █████-██ est ███████ par une ███ █████████████. La ███████████ d'███████████ par █████ de ████████ d'une █████████ avec les ██████ du ██████ est ██████ par la ███████ ████████ █████████████ $n\,\sigma$ , avec $n$ la ███████ █████████ d'██████ et $\sigma$ la ███████ ████████ █████████████.

Si $█$ est la ████████ █████████ ████████████ la ████████ █████████ par la █████████ █████'à ce qu'elle ███████████ avec un █████, la ███████████ d'█████████ une ████████ $x+dx$ est la ███████████ de ████ ██████████ que l'on ███████ ████████████ :

la █████████ a ████████ la ████████ $█$ sans ████ ████████, la ███████████ de cet █████████ █████ █████ $\mathbb {P} (X>x)$ ;
la █████████ n'a pas ███ ████████ ████ de la █████████ de la ███████ ███████████ $d █$ du ██████, la ███████████ de cet █████████ █████ $1-n\,\sigma \,dx$ .

Du ████ de l'█████████ d'████████████, la ███████████ ██████████ est ████ :

\mathbb {P} (X>x+dx)=\mathbb {P} (X>x)\,(1-n\,\sigma \,dx)

En ███████ à la ██████

\lim _{dx\rightarrow 0}{\frac {\mathbb {P} (X>x+dx)-\mathbb {P} (X>x)}{dx}}={\frac {d\mathbb {P} }{dx}}=-\mathbb {P} (X>x)\,n\,\sigma

███████ $\mathbb {P} (X>0)=1$ , cette ████████ ██████████████ ████████ d'█████ un à ███████████ ████████ █████ pour ████████ :

\mathbb {P} (X>x)={\rm {e}}^{-n\,\sigma \,x}

████ ██████

\mathbb {P} (X<x)=1-{\rm {e}}^{-n\,\sigma \,x}

ce qui est la ████████ de ███████████ d'une ███ █████████████ de █████████ $\lambda =n\,\sigma$ . Par █████, l'█████████ de cette ███

\ell ={\frac {1}{n\,\sigma }}

est █████ ███████ █████ ████████ █████ de la █████████ dans le ██████.

████ avec d'██████ ████

███ ███████████

La ███ ███████████ est une ███████ ███████████ de la ███ █████████████. En ███████████, la ███ █████████████ est une ██████ de ████ ████████████ █████████████.

█████████ — Si █ ████ la ███ █████████████ d'█████████ █, et si $Y=\lceil \theta X\rceil ,\ \theta >0,\$ █████ Y ████ la ███ ███████████ de █████████

p=1-\mathrm {e} ^{-{\tfrac {1}{\theta }}}

█████████████

{\begin{aligned}\mathbb {P} (Y=k)&=\mathbb {P} (\lceil \theta X\rceil =k)\\&=\mathbb {P} (\theta X\in \ ]k-1,k])\\&=\mathbb {P} \left(X\in \left]{\tfrac {k-1}{\theta }},{\tfrac {k}{\theta }}\right]\right)\\&=F_{X}\left({\tfrac {k}{\theta }}\right)-F_{X}\left({\tfrac {k-1}{\theta }}\right)\\&=\exp \left(-{\tfrac {k-1}{\theta }}\right)-\exp \left(-{\tfrac {k}{\theta }}\right)\\&=\left(\mathrm {e} ^{-{\tfrac {1}{\theta }}}\right)^{k-1}\ \left(1-\mathrm {e} ^{-{\tfrac {1}{\theta }}}\right).\end{aligned}}

On ████, pour un ██████ ████ █, $\lceil x\rceil \$ la ██████ ███████ ██████████ de █, ███████ par

\lceil x\rceil =\min \left\{k\in \mathbb {Z} \ |\ k\geq x\right\}.

En ███████████

\theta =-{\tfrac {\lambda }{\ln \left(1-p\right)}},

on ████████ █████, à ██████ d'une ████████ █████████ █████████████ $█^{'}$ de █████████ $\lambda$ une ████████ █████████

Y^{\prime }=\lceil \theta X^{\prime }\rceil ,

███████ une ███ ███████████ de █████████ $█$ ██████████ (avec █████████ la ██████████ ${\displaystyle 0 <semantics> <mrow> <mstyle displaystyle=$ ), ███ $X=\lambda X'$ ████ █████ une ███ █████████████ de █████████ █ (et d'█████████ █).

██████████████,

█████████ — Si, pour $n\geq 1$ , la ████████ █████████ Y_n ████ la ███ ███████████ de █████████ █_n, et si

\lim _{n}p_{n}=0,\qquad \lim _{n}p_{n}/a_{n}=\lambda >0,

█████ a_nY_n ████████ en ███ vers la ███ █████████████ de █████████ █.

█████████████

On se █████ une ████████ █████████ █████████████ █ de █████████ █, et on ████

{\begin{aligned}\theta _{n}&=-{\tfrac {1}{\ln \left(1-p_{n}\right)}},\\Y_{n}^{\prime }&=\lceil \theta _{n}X\rceil .\end{aligned}}

█████ Y_n et Y_n ' ont ████ ███, en █████ de la █████████ ██████████. Par ████████, pour ████ █

\lim _{n}a_{n}Y_{n}^{\prime }(\omega )=\lim _{n}a_{n}\lceil \theta _{n}X(\omega )\rceil =\left(\lim _{n}a_{n}\theta _{n}\right)X(\omega )=X(\omega )/\lambda

██ d'une ████ la ███████████ ███████ ████ ████████ la ███████████ en ███, d'█████ ████ la ███ de █/█ est la ███ █████████████ de █████████ █.

On peut ████ ces ███████████ ████████████ █████ de ███████ ████████████ de la ███████████ du ██████ de █████████ vers le █████████ de ███████.

███ de ███████

La ███ █████████████ est une ███ de ███████ avec un ███████ de █████ $█$ (ou $\beta$ ) de █.

███ █████

La ███ █████████████ est une ███ █████ de ██████████ $k=1$ et $\theta =1/\lambda$ .

En ███████████, du ████ des ██████████ de la ███ █████, si on ███████ de $N$ █████████ ██████████ ███████ $(X_{i})$ █.█.d. ███████ ███████ une ███ █████████████ de █████████ $\lambda$ , leur █████ ████ une ███ █████ de ██████████ $k=N$ et $\theta =1/\lambda$ : $\sum _{i=1}^{N}X_{i}\sim \Gamma \left(N,1/\lambda \right)$

█████ et ██████████

Cet ███████ est █████████████ ou en ████████ ████ de l'███████ ████████ « ████████████ █████████████ » (████ la █████ des ███████).

████ █████

████████ ████████

█████████ ██████████ ████████████
████████ █████████
███ ███████████

█████ ████████

███████ dans des █████████████ ou █████████████ ████████████ :
- ██████████
- ███ █████ ██████ ███████████
███████ d'████████ :
- ███

███████ des ████████████ et de la ███████████