████████

In ███████████ ██████ and ██████████, ████████ is a ███████ of ██████████, ███████ it is a ███████ of ███ ███ a ███ of ███████ are ██████ out from █████ ███████ █████. It is ███████ as the ████████ █████ of the ███████ █████████ from the ████ of a ██████ ████████. The ████████ █████████ is the ██████ ████ of the ████████. ███████████, it is the ██████ ███████ ██████ of a ████████████, and the ██████████ of the ██████ ████████ with ██████, and it is █████ ███████████ by ⁠ $\sigma ^{2}$ ⁠, ⁠ $s^{2}$ ⁠, ⁠ $\operatorname {Var} (X)$ ⁠, ⁠ $V(X)$ ⁠, or ⁠ $\mathbb {V} (X)$ ⁠.

An █████████ of ████████ as a ███████ of ██████████ is that it is ████ ████████ to █████████ ████████████ than █████ ████████ of ██████████ ████ as the ████████ ████████ █████████; for ███████, the ████████ of a ███ of ████████████ ██████ █████████ is █████ to the ███ of █████ █████████. A ████████████ of the ████████ for █████████ ████████████ is that, unlike the ████████ █████████, ███ █████ ██████ from the ██████ ████████, which is ███ the ████████ █████████ is ████ ████████ ████████ as a ███████ of ██████████ ████ the ███████████ is ████████. ███████ ████████████ is that the ████████ is not ██████ for ████ █████████████.

There are ███ ████████ ████████ that are ████ ██████ "████████". ███, as █████████ above, is ████ of a ███████████ ███████████ ████████████ and is ███████ by an ████████. The █████ ████████ is a ██████████████ of a ███ of ████████████. ████ ████████ is ██████████ from ████████████, █████ ████████████ are █████████ ████████ from a ████-█████ ██████. If ███ ████████ ████████████ of the ██████ are ███████, ████ the ██████████ ████████ is ██████ the ██████████ ████████. ████████, ███████, ████ a ██████ is █████████, and the ████████ ██████████ from this is ██████ the ██████ ████████. The ████████ ██████████ from a ██████ is ██████████ an ████████ of the ████ ██████████ ████████. There are ████████ ████ to ████████ the ██████████ ████████ on the █████ of the ██████ ████████, as █████████ in the ███████ below.

The ███ █████ of ████████ are ███████ ███████. To ███ ███, ████████ that a ███████████ ███████████ ████████████ can be used as a █████████ of ████████████ ████████████. If an ████████ ██████ of ████████████ are █████████ using a ████████████, ████ the ██████ ████████ ██████████ from that ████████ ███ will █████ the █████ ██████████ using the ████████████'s ████████ for ████████. ████████ has a ███████ ████ in ██████████, █████ some █████ that use it ███████ ███████████ ██████████, ███████████ █████████, ██████████ ███████, ████████ of ███, and █████ █████ ████████.

██████████

The ████████ of a ██████ ████████ $█$ is the ████████ █████ of the ███████ █████████ from the ████ of ⁠ $█$ ⁠, ⁠ $\mu =\operatorname {E} [X]$ ⁠: $\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right].$ This ██████████ ███████████ ██████ █████████ that are █████████ by █████████ that are ████████, ██████████, ███████, or █████. The ████████ can ████ be ███████ of as the ██████████ of a ██████ ████████ with ██████: $\operatorname {Var} (X)=\operatorname {Cov} (X,X).$

The ████████ is ████ ██████████ to the ██████ ████████ of a ███████████ ████████████ that █████████ ⁠ $█$ ⁠. The ████████ is █████████ ██████████ as ⁠ $\operatorname {Var} (X)$ ⁠, or █████████ as $V(X)$ or ⁠ $\mathbb {V} (X)$ ⁠, or ████████████ as ⁠ $\sigma _{X}^{2}$ ⁠ or ██████ $\sigma ^{2}$ (██████████ "█████ ███████"). The ██████████ for the ████████ can be ████████ as ███████: ${\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {E} \left[{\left(X-\operatorname {E} [X]\right)}^{2}\right]\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}-2X\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}\right]\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-2\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-2\operatorname {E} [X]^{2}+\operatorname {E} [X]^{2}\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-\operatorname {E} [X]^{2}\end{aligned}}$

In █████ █████, the ████████ of ⁠ $█$ ⁠ is █████ to the ████ of the ██████ of ⁠ $█$ ⁠ minus the ██████ of the ████ of ⁠ $█$ ⁠. This ████████ ██████ not be used for ████████████ using ████████-█████ ██████████, because it ███████ from ████████████ ████████████ if the ███ ██████████ of the ████████ are ███████ in █████████. For █████ ███████████ ██████ ████████████, ███ ██████████ for ███████████ ████████.

████████ ██████ ████████

If the █████████ of ██████ ████████ $█$ is ████████ with ███████████ ████ ████████ $x_{1}\mapsto p_{1},x_{2}\mapsto p_{2},\ldots ,x_{n}\mapsto p_{n}$ , ████ $\operatorname {Var} (X)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\cdot {\left(x_{i}-\mu \right)}^{2},$ █████ $\mu$ is the ████████ █████. That is, $\mu =\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}.$ (████ ████ a ████████ ████████ ████████ is █████████ by ███████ █████ ███ is not █, ████ ███ ███████ by the ███ of the ███████.)

The ████████ of a ██████████ of $█$ ███████ ██████ ██████ can be ███████ as $\operatorname {Var} (X)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2},$ █████ $\mu$ is the ███████ █████. That is, $\mu ={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}.$

The ████████ of a ███ of $█$ ███████ ██████ ██████ can be ████████████ █████████, without ████████ █████████ to the ████, in █████ of ███████ ██████████ of ███ ████████ ███████ █████████ of ██████ from ████ █████: $\operatorname {Var} (X)={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{2}}{\left(x_{i}-x_{j}\right)}^{2}={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i}\sum _{j>i}{\left(x_{i}-x_{j}\right)}^{2}.$

██████████ ██████████ ██████ ████████

If the ██████ ████████ $█$ has a ███████████ ███████ ████████ ⁠ $f(x)$ ⁠, and $F(x)$ is the █████████████ ██████████ ████████████ ████████, ████ ${\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)=\sigma ^{2}&=\int _{\mathbb {R} }{\left(x-\mu \right)}^{2}f(x)\,dx\\[4pt]&=\int _{\mathbb {R} }x^{2}f(x)\,dx-2\mu \int _{\mathbb {R} }xf(x)\,dx+\mu ^{2}\int _{\mathbb {R} }f(x)\,dx\\[4pt]&=\int _{\mathbb {R} }x^{2}\,dF(x)-2\mu \int _{\mathbb {R} }x\,dF(x)+\mu ^{2}\int _{\mathbb {R} }\,dF(x)\\[4pt]&=\int _{\mathbb {R} }x^{2}\,dF(x)-2\mu \cdot \mu +\mu ^{2}\cdot 1\\[4pt]&=\int _{\mathbb {R} }x^{2}\,dF(x)-\mu ^{2},\end{aligned}}$ or ████████████, $\operatorname {Var} (X)=\int _{\mathbb {R} }x^{2}f(x)\,dx-\mu ^{2},$ █████ $\mu$ is the ████████ █████ of $█$ █████ by $\mu =\int _{\mathbb {R} }xf(x)\,dx=\int _{\mathbb {R} }x\,dF(x).$

In █████ ████████, the █████████ with ███████ to $█ █$ and $dF(x)$ are ████████ and ████████–█████████ █████████, ████████████.

If the ████████ $x^{2}f(x)$ is ███████-██████████ on █████ ██████ ████████ $[a,b]\subset \mathbb {R} ,$ ████ $\operatorname {Var} (X)=\int _{-\infty }^{+\infty }x^{2}f(x)\,dx-\mu ^{2},$ █████ the ████████ is an ████████ ███████ ████████.

████████

███████████ ████████████

The ███████████ ████████████ with █████████ ⁠ $\lambda >0$ ⁠ is a ██████████ ████████████ █████ ███████████ ███████ ████████ is █████ by $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ on the ████████ [█, ∞). ███ ████ can be █████ to be $\operatorname {E} [X]=\int _{0}^{\infty }x\lambda e^{-\lambda x}\,dx={\frac {1}{\lambda }}.$

Using ███████████ by █████ and ██████ use of the ████████ █████ ███████ ██████████, ██ have: ${\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X^{2}\right]&=\int _{0}^{\infty }x^{2}\lambda e^{-\lambda x}\,dx\\&={\left[-x^{2}e^{-\lambda x}\right]}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }2xe^{-\lambda x}\,dx\\&=0+{\frac {2}{\lambda }}\operatorname {E} [X]\\&={\frac {2}{\lambda ^{2}}}.\end{aligned}}$

████, the ████████ of ⁠ $█$ ⁠ is █████ by $\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-\operatorname {E} [X]^{2}={\frac {2}{\lambda ^{2}}}-\left({\frac {1}{\lambda }}\right)^{2}={\frac {1}{\lambda ^{2}}}.$

████ ███

A ████ ███-█████ ███ can be ███████ as a ████████ ██████ ████████, ⁠ $█$ ⁠, with ████████ █ through █, ████ with █████ ███████████ █/█. The ████████ █████ of ⁠ $█$ ⁠ is $(1+2+3+4+5+6)/6=7/2.$ █████████, the ████████ of ⁠ $█$ ⁠ is ${\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\sum _{i=1}^{6}{\frac {1}{6}}\left(i-{\frac {7}{2}}\right)^{2}\\[5pt]&={\frac {1}{6}}\left((-5/2)^{2}+(-3/2)^{2}+(-1/2)^{2}+(1/2)^{2}+(3/2)^{2}+(5/2)^{2}\right)\\[5pt]&={\frac {35}{12}}\approx 2.92.\end{aligned}}$

The ███████ ███████ for the ████████ of the ███████, ⁠ $█$ ⁠, of an ⁠ $█$ ⁠-█████ ███ is ${\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {E} \left(X^{2}\right)-(\operatorname {E} (X))^{2}\\[5pt]&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}i^{2}-\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}i\right)^{2}\\[5pt]&={\frac {(n+1)(2n+1)}{6}}-\left({\frac {n+1}{2}}\right)^{2}\\[4pt]&={\frac {n^{2}-1}{12}}.\end{aligned}}$

████████ used ███████████ █████████████

The following █████ █████ the ████████ for some ████████ used ███████████ █████████████.

██████████

█████ ██████████

████████ is ███-████████ because the ███████ are ████████ or ████: $\operatorname {Var} (X)\geq 0.$

The ████████ of a ████████ is ████. $\operatorname {Var} (a)=0.$

██████████, if the ████████ of a ██████ ████████ is █, ████ it is ██████ ██████ a ████████. That is, it ██████ has the ████ █████: $\operatorname {Var} (X)=0\iff \exists a:P(X=a)=1.$

██████ of ██████████

If a ████████████ ████ not have a ██████ ████████ █████, as is the ████ for the ██████ ████████████, ████ the ████████ ██████ be ██████ ██████. ███████, some █████████████ ███ not have a ██████ ████████, despite █████ ████████ █████ being ██████. An ███████ is a ██████ ████████████ █████ █████ $█$ █████████ $1<k\leq 2.$

█████████████

The ███████ ███████ for ████████ █████████████ or the ███ of █████ ████████ is: If $█$ and $█$ are ███ ██████ █████████, and the ████████ of $█$ ██████, ████ $\operatorname {Var} [X]=\operatorname {E} (\operatorname {Var} [X\mid Y])+\operatorname {Var} (\operatorname {E} [X\mid Y]).$

The ███████████ ███████████ $\operatorname {E} (X\mid Y)$ of $█$ █████ $█$ , and the ███████████ ████████ $\operatorname {Var} (X\mid Y)$ ███ be ██████████ as ███████. █████ ███ ██████████ █████ █ of the ██████ ████████ █, there is a ███████████ ███████████ $\operatorname {E} (X\mid Y=y)$ █████ the █████ █ = █. This ████████ ███████ on the ██████████ █████ █; it is a ████████ $g(y)=\operatorname {E} (X\mid Y=y)$ . That ████ ████████ █████████ at the ██████ ████████ █ is the ███████████ ███████████ ⁠ $\operatorname {E} (X\mid Y)=g(Y)$ ⁠.

In ██████████, if $█$ is a ████████ ██████ ████████ ████████ ████████ ██████ $y_{1},y_{2},y_{3}\ldots$ with █████████████ █████████████ $p_{1},p_{2},p_{3}\ldots ,$ , ████ in the ███████ for █████ ████████, the █████ ████ on the █████-████ ████ ███████ $\operatorname {E} (\operatorname {Var} [X\mid Y])=\sum _{i}p_{i}\sigma _{i}^{2},$ █████ $\sigma _{i}^{2}=\operatorname {Var} [X\mid Y=y_{i}]$ . █████████, the ██████ ████ on the █████-████ ████ ███████ $\operatorname {Var} (\operatorname {E} [X\mid Y])=\sum _{i}p_{i}\mu _{i}^{2}-\left(\sum _{i}p_{i}\mu _{i}\right)^{2}=\sum _{i}p_{i}\mu _{i}^{2}-\mu ^{2},$ █████ ⁠ ${1}$ ⁠ and ⁠ $\textstyle \mu =\sum _{i}p_{i}\mu _{i}$ ⁠. ████ the █████ ████████ is █████ by $\operatorname {Var} [X]=\sum _{i}p_{i}\sigma _{i}^{2}+\left(\sum _{i}p_{i}\mu _{i}^{2}-\mu ^{2}\right).$

A ███████ ███████ is ███████ in ████████ of ████████, █████ the █████████████ ███████ is ${\mathit {MS}}_{\text{total}}={\mathit {MS}}_{\text{between}}+{\mathit {MS}}_{\text{within}};$ ████ ${\mathit {MS}}$ ██████ to the ████ of the ███████. In ██████ ██████████ ████████ the █████████████ ███████ is ${\mathit {MS}}_{\text{total}}={\mathit {MS}}_{\text{regression}}+{\mathit {MS}}_{\text{residual}}.$

This can ████ be ███████ from the ██████████ of █████████, since the █████ (████████) █████ is the ███ of the █████████ █████ and the █████ █████, █████ the ██████ ███ are ████████████.

███████ ██████████████ are ████████ for the ███ of ███████ ██████████ (███ of ███████, ${\mathit {SS}}$ ): ${\mathit {SS}}_{\text{total}}={\mathit {SS}}_{\text{between}}+{\mathit {SS}}_{\text{within}},$ ${\mathit {SS}}_{\text{total}}={\mathit {SS}}_{\text{regression}}+{\mathit {SS}}_{\text{residual}}.$

███████████ from the ███

The ██████████ ████████ for a ███-████████ ██████ ████████ can be █████████ in █████ of the ██████████ ████████████ ████████ █ using $2\int _{0}^{\infty }u(1-F(u))\,du-{\left[\int _{0}^{\infty }(1-F(u))\,du\right]}^{2}.$

This ██████████ can be used to █████████ the ████████ in ██████████ █████ the ███, but not the ███████, can be ████████████ █████████.

██████████████ ████████

The ██████ ██████ of a ██████ ████████ ███████ the ███████ █████ ████ █████ around the █████ ██████ (█.█., ████) of the ██████ ████████, █.█. ⁠ $\mathrm {argmin} _{m}\,\mathrm {E} \left(\left(X-m\right)^{2}\right)=\mathrm {E} (X)$ ⁠. ██████████, if a ██████████ ████████ $\varphi$ █████████ $\mathrm {argmin} _{m}\,\mathrm {E} (\varphi (X-m))=\mathrm {E} (X)$ for ███ ██████ █████████ █, ████ it is ███████████ of the ████ ⁠ $\varphi (x)=ax^{2}+b$ ⁠, █████ a > █. This ████ █████ in the ████████████████ ████.

█████ of ███████████

Unlike the ████████ ████████ █████████, the ████████ of a ████████ has █████ that are the ██████ of the █████ of the ████████ ██████. For ███████, a ████████ ████████ in ██████ will have a ████████ ████████ in ██████ ███████. For this ██████, ██████████ ████ ████ via █████ ████████ █████████ or ████ ████ ██████ █████████ is █████ █████████ over using the ████████. In the ████ ███████ the ████████ █████████ is √█.█ ≈ █.█, ████████ ██████ than the ████████ ████████ █████████ of █.█.

The ████████ █████████ and the ████████ ████████ █████████ can ████ be used as an █████████ of the "██████" of a ████████████. The ████████ █████████ is ████ ████████ to █████████ ████████████ than the ████████ ████████ █████████, and, ████████ with ████████ and ███ ██████████████ ██████████, is used ██████████ in ███████████ ██████████; ███████ the ████████ ████████ █████████ █████ to be ████ ██████ as it is ████ █████████ to ████████ ███████ from ███████████ █████████ or an ██████ █████-██████ ████████████.

███████████

████████ and ██████████████ by a ████████

████████ is █████████ with ███████ to ███████ in a ████████ █████████. That is, if a ████████ is █████ to ███ ██████ of the ████████, the ████████ is █████████: $\operatorname {Var} (X+a)=\operatorname {Var} (X).$

If ███ ██████ are ██████ by a ████████, the ████████ is ██████ by the ██████ of that ████████: $\operatorname {Var} (aX)=a^{2}\operatorname {Var} (X).$

The ████████ of a ███ of ███ ██████ █████████ is █████ by ${\begin{aligned}\operatorname {Var} (aX+bY)&=a^{2}\operatorname {Var} (X)+b^{2}\operatorname {Var} (Y)+2ab\,\operatorname {Cov} (X,Y)\\[1ex]\operatorname {Var} (aX-bY)&=a^{2}\operatorname {Var} (X)+b^{2}\operatorname {Var} (Y)-2ab\,\operatorname {Cov} (X,Y)\end{aligned}}$ █████ $\operatorname {Cov} (X,Y)$ is the ██████████.

██████ ████████████

In ███████, for the ███ of $█$ ██████ █████████ ⁠ $\{X_{1},\dots ,X_{N}\}$ ⁠, the ████████ ███████: $\operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)=\sum _{i,j=1}^{N}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=\sum _{i=1}^{N}\operatorname {Var} (X_{i})+\sum _{i,j=1,i\neq j}^{N}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j}),$ ███ ████ ███████ ████████'s ████████.

█████ ███████ ████ to the ████████ of a ██████ ███████████ as: ${\begin{aligned}\operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{N}a_{i}X_{i}\right)&=\sum _{i,j=1}^{N}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})\\&=\sum _{i=1}^{N}a_{i}^{2}\operatorname {Var} (X_{i})+\sum _{i\neq j}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})\\&=\sum _{i=1}^{N}a_{i}^{2}\operatorname {Var} (X_{i})+2\sum _{1\leq i<j\leq N}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j}).\end{aligned}}$

If the ██████ █████████ $X_{1},\dots ,X_{N}$ are ████ that $\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=0\ ,\ \forall \ (i\neq j),$ ████ they are ████ to be ████████████. It ███████ ███████████ from the ██████████ █████ ███████ that if the ██████ █████████ $X_{1},\dots ,X_{N}$ are ████████████, ████ the ████████ of █████ ███ is █████ to the ███ of █████ █████████, or, █████████ ████████████: $\operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{N}\operatorname {Var} (X_{i}).$

Since ███████████ ██████ █████████ are ██████ ████████████ (███ ██████████ § ████████████████ and ████████████), the ████████ above █████ in ██████████ ████ the ██████ █████████ $X_{1},\dots ,X_{n}$ are ███████████. ████, ████████████ is ██████████ but not █████████ for the ████████ of the ███ to █████ the ███ of the █████████.

██████ ████████ for the ████████ of a ██████ ███████████

██████ $█$ as a ██████ ██████ of $█$ ██████ █████████ ⁠ $X_{1},\ldots ,X_{n}$ ⁠, and $█$ as a ██████ ██████ of $█$ ███████ ⁠ $c_{1},\ldots ,c_{n}$ ⁠. █████████, $c^{\mathsf {T}}X$ is a ██████ ███████████ of █████ ██████ █████████, █████ $c^{\mathsf {T}}$ ███████ the █████████ of ⁠ $█$ ⁠. ████ ███ $\Sigma$ be the ██████████ ██████ of ⁠ $█$ ⁠. The ████████ of $c^{\mathsf {T}}X$ is ████ █████ by: $\operatorname {Var} \left(c^{\mathsf {T}}X\right)=c^{\mathsf {T}}\Sigma c.$

This ███████ that the ████████ of the ████ can be ███████ as (with a ██████ ██████ of ████) $\operatorname {Var} \left({\bar {x}}\right)=\operatorname {Var} \left({\frac {1}{n}}1'X\right)={\frac {1}{n^{2}}}1'\Sigma 1.$

███ of █████████

███ of ████████████ █████████

███ ██████ for the use of the ████████ in ██████████ to █████ ████████ of ██████████ is that the ████████ of the ███ (or the ██████████) of ████████████ ██████ █████████ is the ███ of █████ █████████: $\operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Var} (X_{i}).$

This █████████ is ██████ the ████████ ███████ and was ██████████ in ████. It is █████ ████ with the ████████ █████████ that the █████████ are ███████████, but being ████████████ ████████. ██ if ███ the █████████ have the ████ ████████ █^█, ████, since ████████ by █ is a ██████ ██████████████, this ███████ ███████████ ███████ that the ████████ of █████ ████ is $\operatorname {Var} \left({\overline {X}}\right)=\operatorname {Var} \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Var} \left(X_{i}\right)={\frac {1}{n^{2}}}n\sigma ^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{n}}.$

That is, the ████████ of the ████ █████████ ████ █ █████████. This ███████ for the ████████ of the ████ is used in the ██████████ of the ████████ █████ of the ██████ ████, which is used in the ███████ █████ ███████.

To █████ the ███████ █████████, it ████████ to ████ that $\operatorname {Var} (X+Y)=\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (Y).$

The ███████ ██████ ████ ███████ by █████████. ████████ with the ██████████, ${\begin{aligned}\operatorname {Var} (X+Y)&=\operatorname {E} \left[(X+Y)^{2}\right]-(\operatorname {E} [X+Y])^{2}\\[5pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}+2XY+Y^{2}\right]-(\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [Y])^{2}.\end{aligned}}$

Using the █████████ of the ███████████ ████████ and the ██████████ of ████████████ (or ████████████████) of █ and █, this ███████ ██████████ as ███████: ${\begin{aligned}\operatorname {Var} (X+Y)&=\operatorname {E} {\left[X^{2}\right]}+2\operatorname {E} [XY]+\operatorname {E} {\left[Y^{2}\right]}-\left(\operatorname {E} [X]^{2}+2\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]+\operatorname {E} [Y]^{2}\right)\\[5pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]+\operatorname {E} \left[Y^{2}\right]-\operatorname {E} [X]^{2}-\operatorname {E} [Y]^{2}\\[5pt]&=\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (Y).\end{aligned}}$

███ of ██████████ █████████

███ of ██████████ █████████ with █████ ██████ ████

In ███████, the ████████ of the ███ of █ █████████ is the ███ of █████ ███████████: $\operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\operatorname {Cov} \left(X_{i},X_{j}\right)=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Var} \left(X_{i}\right)+2\sum _{1\leq i<j\leq n}\operatorname {Cov} \left(X_{i},X_{j}\right).$ (████: The ██████ ████████ █████ from the ████ that ███(█_█, █_█) = ███(█_█).)

████, $\operatorname {Cov} (\cdot ,\cdot )$ is the ██████████, which is ████ for ███████████ ██████ █████████ (if it ██████). The ███████ ██████ that the ████████ of a ███ is █████ to the ███ of ███ ████████ in the ██████████ ██████ of the ██████████. The next ██████████ ██████ ████████████ that the ████████ of the ███ is the ███ of the ████████ of ██████████ ██████ plus ███ █████ the ███ of ███ █████ ██████████ ████████ (or ███ █████ ██████████ ████████); this ██████████ that the ██████████ ██████ is █████████. This ███████ is used in the ██████ of ████████'s █████ in █████████ ████ ██████.

██, if the █████████ have █████ ████████ █^█ and the ███████ ███████████ of ████████ █████████ is █, ████ the ████████ of █████ ████ is $\operatorname {Var} \left({\overline {X}}\right)={\frac {\sigma ^{2}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\rho \sigma ^{2}.$

This ███████ that the ████████ of the ████ █████████ with the ███████ of the ████████████. In █████ █████, ██████████ ██████████ ████████████ are not as █████████ as ██████████ ███████████ ████████████ at ████████ the ███████████ of the ████. ████████, if the █████████ have ████ ████████, for ███████ if they are ████████████, ████ this ██████████ to $\operatorname {Var} \left({\overline {X}}\right)={\frac {1}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\rho .$

This ███████ is used in the ████████–█████ ██████████ ███████ of █████████ ████ ██████. This █████████ to █ if █ ████ to ████████, ████████ that the ███████ ███████████ ███████ ████████ or █████████ ███. ██ for the ████████ of the ████ of ████████████ █████████ with █████ ████████████ or ██████████ ███████ ███████████ ██ have $\lim _{n\to \infty }\operatorname {Var} \left({\overline {X}}\right)=\rho .$

█████████, the ████████ of the ████ of a █████ ██████ of ████████████ █████████ is █████████████ █████ to █████ ███████ ███████████. This █████ █████ that the ██████ ████ of ██████████ █████████ ████ not █████████ ████████ to the ██████████ ████, ████ ██████ the ███ of █████ ███████ ██████ that the ██████ ████ will ████████ for ███████████ █████████.

███ of ████████████ █████████ with ██████ ██████ ████

There are █████ ████ a ██████ is █████ without ███████, in ███████, ███ ████ ████████████ will be ██████████ █████████ to some █████████. In ████ █████, the ██████ ████ █ is a ██████ ████████ █████ █████████ ████ to the █████████ of █, ████ that, $\operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)=\operatorname {E} \left[N\right]\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (N)(\operatorname {E} \left[X\right])^{2}$ which ███████ from the ███ of █████ ████████.

If █ has a ███████ ████████████, ████ $\operatorname {E} [N]=\operatorname {Var} (N)$ with █████████ █ = █. ██, the █████████ of $\textstyle \operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)$ ███████ ⁠ $\textstyle n{S_{x}}^{2}+n{\bar {X}}^{2}$ ⁠, ██████ $\textstyle \operatorname {SE} ({\bar {X}})={\sqrt {{({S_{x}}^{2}+{\bar {X}}^{2})}/{n}}}$ (███ ████████ █████ § ████████ █████ of the ██████ ████).

████████ ███ of █████████

The ███████ ████████ and the ████████ ███████, along with the ████████ of the ██████████ ███(██, bY) = ██ ███(█, █) ███████ █████ that $\operatorname {Var} (aX\pm bY)=a^{2}\operatorname {Var} (X)+b^{2}\operatorname {Var} (Y)\pm 2ab\,\operatorname {Cov} (X,Y).$

This ███████ that in a ████████ ███ of █████████, the ████████ with the ███████ ██████ will have a █████████████████ █████ ██████ in the ████████ of the █████. For ███████, if █ and █ are ████████████ and the ██████ of █ is ███ █████ the ██████ of █, ████ the ██████ of the ████████ of █ will be ████ █████ the ██████ of the ████████ of █.

The ██████████ above can be ████████ to a ████████ ███ of ████████ █████████: $\operatorname {Var} \left(\sum _{i}^{n}a_{i}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\operatorname {Var} (X_{i})+2\sum _{1\leq i}\sum _{<j\leq n}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})$

███████ of █████████

███████ of ███████████ █████████

If ███ █████████ █ and █ are ███████████, the ████████ of █████ ███████ is █████ by $\operatorname {Var} (XY)=[\operatorname {E} (X)]^{2}\operatorname {Var} (Y)+[\operatorname {E} (Y)]^{2}\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (X)\operatorname {Var} (Y).$

████████████, using the █████ ██████████ of ███████████, it is █████ by $\operatorname {Var} (XY)=\operatorname {E} \left(X^{2}\right)\operatorname {E} \left(Y^{2}\right)-[\operatorname {E} (X)]^{2}[\operatorname {E} (Y)]^{2}.$

███████ of █████████████ █████████ █████████

In ███████, if ███ █████████ are █████████████ █████████, ████ the ████████ of █████ ███████ is █████ by:

${\begin{aligned}\operatorname {Var} (XY)={}&\operatorname {E} \left[X^{2}Y^{2}\right]-[\operatorname {E} (XY)]^{2}\\[5pt]={}&\operatorname {Cov} \left(X^{2},Y^{2}\right)+\operatorname {E} (X^{2})\operatorname {E} \left(Y^{2}\right)-[\operatorname {E} (XY)]^{2}\\[5pt]={}&\operatorname {Cov} \left(X^{2},Y^{2}\right)+\left(\operatorname {Var} (X)+[\operatorname {E} (X)]^{2}\right)\left(\operatorname {Var} (Y)+[\operatorname {E} (Y)]^{2}\right)\\[5pt]&-[\operatorname {Cov} (X,Y)+\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)]^{2}\end{aligned}}$

█████████ █████████

The █████ ██████ uses ██████-█████ ██████ ██████████ to ███████████ the ████████ of a ████████ of ███ or ████ ██████ █████████ (███ ██████ ██████████ for the ███████ of █████████ of ██████ █████████). For ███████, the ███████████ ████████ of a ████████ of ███ ████████ is █████ by $\operatorname {Var} \left[f(X)\right]\approx \left(f'(\operatorname {E} \left[X\right])\right)^{2}\operatorname {Var} \left[X\right]$ ████████ that █ is █████ ██████████████ and that the ████ and ████████ of █ are ██████.

██████████ ████████ and ██████ ████████

████-█████ ████████████ ████ as the ████████████ of █████████'s ████ ██████████ the ███ █████████ ██████ be ████████ ████ of ███ ████████ ████████████ that █████ be ████. As ████, the ████████ ██████████ from the ██████ ███ will in ███████ not █████ the ████████ that █████ have been ██████████ from the ████ ██████████ of ████████ ████████████. This █████ that ███ █████████ the ████ and ████████ from a ███████ ███ of ████████████ by using an █████████ ████████. The █████████ is a ████████ of the ██████ of █ ████████████ █████ without █████████████ ████ from the █████ ██████████ of █████████ ████████████. In this ███████, the ██████ █████ be the ███ of ██████ ████████████ of █████████'s ████████ from █████████ ████ ██████ within the █████████ of ████████.

The ████████ ██████████ for ██████████ ████ and ██████████ ████████ are ██████ the ████ and ████████ of the ██████, the ██████ ████ and (███████████) ██████ ████████ – █████ are ██████████ ██████████ (they ████████ to the █████ of the █████ ██████████ as the ██████ of ███████ █████████) but can be ████████. ████ ██████, the ██████ ████████ is ████████ as the ███ of ███████ ██████████ about the (██████) ████, ███████ by █ as the ██████ of ███████. ███████, using ██████ █████ than █ ████████ the █████████ in ███████ ████. ████ ██████ ██████ for the ███████████ are █, █ − █, █ + █, and █ − █.█: █ is the ████████ (the ████████ of the ██████), █ − █ ██████████ ████, █ + █ █████████ ████ ███████ █████ for the ██████ ████████████, and █ − █.█ ██████ ██████████ ████ in ████████ ██████████ of ████████ █████████ for the ██████ ████████████.

███████, if the ████ ██████████ ████ is ███████, ████ the ██████ ████████ (which uses the ██████ ████ in █████ of the ████ ████) is a ██████ █████████: it ██████████████ the ████████ by a ██████ of (█ − █) / █; ██████████ this ██████, █████████ in the ███ of ███████ ██████████ about the ██████ ████ ███████ by █ − █ ███████ of █, is ██████ ██████'s ██████████. The █████████ █████████ is ████████ and is ██████ the (█████████) ██████ ████████ or ████████ ██████ ████████. If the ████ is ██████████ in some █████ ███ than from the ████ ███████ used to ████████ the ████████, ████ this ████ ████ not █████, and the ████████ can ██████ be █████████ as that of the ███████ about the (█████████████ █████) ████.

████████, the ██████ ████████ ████ not █████████ ████████ ████ ███████ █████ between ██████ ████████ and ██████████ ████████. ██████████ for ████ █████ █████ this █████: ███ can ██████ ██████ a █████ ██████ that ████████ ██████ than the █████████ ██████ ████████, ██████ the ███████ █████ ██████ ███████ on the ██████ ████████ of the ██████████ (███ ████ ███████ █████ § ████████) and ██████████ ████. This ██████ ████████ of ███████ down the ████████ █████████ (████████ by a ██████ ██████ than █ − █) and is a ██████ ███████ of a █████████ █████████: ███ "███████" the ████████ █████████ ███████ ████. For the ██████ ████████████, ████████ by █ + █ (███████ of █ − █ or █) █████████ ████ ███████ █████. The █████████ █████████ is ██████, ███████, and is █████ as the ██████ ██████ █████████.